数学开放题的题型分析与解题策略

高考数学开放题的题型分析与解题策略
1993年全国高考数学科命题组就指出：“要考查一些开放问题”，国家教委将“数学开放题”列为九五重点科研项目．相对于传统的封闭题严密完整，开放题在构成问题的要素——条件、策略、结论中有一些是不明确的，当前数学开放题之所以引起我们中学数学教师的关注，我以为一是以实践能力、创新意识的培养为核心的素质教育的深入的需要．数学开放题对培养学生思维的发散性（结论开放）、聚敛性(条件开放)、创造性（策略开放），不失为好载体．二是高考命题的导向作用，98年首次出现于全国高考数学试题，数学开放题走进高考试卷的需要．三是数学走向应用的需要．我们的数学教育不仅要让学生学会继续深造所必需的数学基本知识，基本方法，基本技能，更重要的是让学生学会用数学的眼光看待世界，用数学的思维方式去观察分析现实社会，去解决现实生活中的问题．
一、数学开放题的特性
数学开放题是相对于传统题条件完备、结论确定的封闭题而言的，指那些条件不完备、结论不确定的数学问题。

从结构形式上看具有以下特性：（1）非完备性。

在开放题中，要么条件不充足，要么结论被隐去，要么解题方法和依据不明确，因而其组成要素是不完备的。

（2）不确定性。

对于条件开放题而言，其条件可能是多种多样的；对于结论开放题而言，其结论是不确定的；对于策略开放题而言，其解
题策略和依据是不唯一的；对于综合开放题而言，它只是给出一定
的问题情景，其条件、解题策略和结论均需要解题者在情景中去设
定和寻找。

（3）发散性。

解开放题时，必须打破原有的思维模式，展开联想和想象的翅膀，从多角度、多方位寻找答案，因而思维方向和模式呈发散
性。

（4）探究性。

开放题的答案没有固定的、现成的模式可循，解题者不能用常规方法套用，必须经过主动的思索，自己来设计解题方案。

因
而，开放题的解决需要具有大胆探索精神和一定的探究能力。

（5）创新性。

在解答开放题的过程中，或可能引出新的问题，或可能引申推广更一般的问题，这些往往是意料之外的事情。

因而，开放题
有利于学生创新意识和创造能力的培养。

二、高考数学开放题的常见题型
前苏联学者奥加涅相认为，一个数学问题系统由条件、结论、求解过程及解题依据四个要素组成，按照题目中已知要素的多少，数学题可分为四种类型：
1、标准性题（已知四个要素）
2、训练性题（已知三个要素）
3、探索性题（已知二个要素）
4、问题性题（已知一个要素）。

依此，开放题应归属于探索性题或问
题性题。

这类题知识覆盖面大，再加上题意新颖，构思精巧，具有
相当的深度和难度，灵活选择方法的要求较高，并且具有很强的综
合性和逻辑性，它重在考查学生的分析、探索能力和思维的发散性，
近几年高考中这类问题的分量加重，在选择题、填空题、解答题中
都已出现。

进入高考试卷的开放题常见的基本题型有以下几种：（一）、结论开放型
这类开放题是指提供一定的条件，可以是既满足条件，且所得结论的意义相同的问题。

也可以是提供一定的条件，满足条件的结论方面往往有多种答案的题型。

这需要学生灵活运用所学的知识，善于突破常规，进行直觉、想象、猜想、创造等活动才能解决问题。

1、结论存在型
例1、 给定上双曲线1222=-y x ，过点不（1，1）能否作直线L ，使L 与所给双曲线交于两点21,Q Q ，且点B 是线段21Q Q 的中点？这
样的直线如果存在，求出它的方程；如果不存在，说明理由。

2、结论不定型
例2、若四面体各棱的长是1或2，且该四面体不是正四面体，则其体积
的值是 。

3、结论推广型
例3、是否存在常数c b a 、、，使得等式
）（）（）（c bn an n n n n +++=+⋅++⋅+⋅222212
113221Λ对一切*N n ∈都成立？并证明你的结论。

4、结论类比型
例4、在平面几何里，有勾股定理：“设ABC ∆的两边AB 、AC 互相垂直，
则222BC AC AB =+”。

拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥
的侧面积与底面积间的关系，可以得到的正确的结论是：“设三棱锥A-BCD
的三个侧面ABC 、ACD 、ADB 两两垂直，则 。

（二）、策略开放型
此类开放题分常规策略开放题和非常规策略开放题两类。

1、常规策略开放题
指运用所学的知识，根据问题的条件去分析、推理、判断得到的途径、
手段可能是多种的，而这些不同的途径、手段就是不同的解题策略。

（1）、手段开放型
例5、有一块边长为4的正方形钢板，现对其进行切割焊接成一个长方
体无盖容器（切、焊耗损忽略不计）。

有人应用数学知识作了如下设计：如
图（1），在钢板的四个角各切去一个小正方形，剩余的部分围成一个长方体，该长方体的高为小正方形的边长，如图（2）。

①、请你求出这种切割焊接而成的长方体的最大容积1V
②、由于上述设计存在缺陷（材料有所浪费），请你重新设计切焊方法，
使材料浪费减少，而且所得的长方体容器的容积12V V 。

（三）、综合开放型
（1） （2）
某一数学问题，若题目的条件、解题策略或结论中有两项以上不确定，
则为综合开放题。

综合开放题可以是同学科的，也可以是跨学科的。

例6、βα,、是两个不同的平面，n m 、是平面之外的两条不同的直线，
给出四个论断：①n m ⊥②βα⊥③β⊥n ④α⊥m 以其中三个论断作为
条件，余下的一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题：
（四）新颖信息型
通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型，创设全
新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，去实
现信息的迁移和构造，达到灵活解题的目的。

例7、若记号“*”表示求两个实数a 与b 的算术平均数的运算，即2
b a b a +=*，则两边含有运算符合“*”和“+”，且对于任意3个实数
c b a 、、都成立的一
个等式可以是 。

（五）分类讨论型
条件都具备，但结论依赖于某个参数，必须对参数进行讨论，才能确定
结论的详细情况。

例8、以椭圆)1(1222
>=+a y a
x 的短轴端点)1,0(B 为直角顶点作椭圆的内接等腰直角ABC ∆，问这样的三角形能作几个？
在推进素质教育的过程中，我们认为进行开放型问题的训练，是数学教育走出困境的一个好办法。

由于数学开放题有利于学生创新意设的培养和良好思维品质的形成，有利于考查和区分学生的探究能力和实践能力，它越来越受到教育界人士的关注和深入研究，在选拔性考试中起着越来越重要的作用，那么解决开放型数学问题有那些思维策略呢？
三、解决开放型数学问题的思维策略
（一）、由因探果，顺推分析。

对结论开放型问题，只需根据给定的条件寻求相应的结论
例9（前面例2）
分析：由于四面体的各棱长未一一给出，因此首先需探求出符合提设的空间图形，然后才能按照图形求体积。

解：由于四面体不是正四面体，所以其棱长分别为1和2，其次，各棱必须构成三角形，才能构成四面体，所以同一个面中不能出现两条棱为1，一条棱为2的情形，这样，满足本题条件的四面体共有下列三种（即长为1的棱分别是一条、两条、三条）。

分别计算三种四面体的体积依次为1211,1214,611，按要求只填一种即可。

（二）、执果索因，逆推分析。

对条件开放题问题，需要探求其结论成立的条件时，可执果索因，将题设和结论视为已知条件，倒推分析，导出所需的条件。

例10 、在直三棱柱ABC C B A -111中，1CC BC =，当底面111C B A ∆满足条件 时，有11BC AB ⊥。

（注：填上你认为正确的一种条件即可，不必
考虑所有可能的情况）
分析：把结论11BC AB ⊥看作已知条件。

解：连结1BC ，由1CC BC =，可得11BC C B ⊥，因此，
要11BC AB ⊥，则只要C AB BC 11平面⊥
即只要1BC AC ⊥，有直三棱柱可知，只要BC AC ⊥
因BC C B AC C A //,//1111，故只有1111C B C A ⊥即可。

（三）、假设存在，肯定顺推。

就是事先假设问题所研究的对象存在或成立，然后依条件顺推，探求结论。

例11、给定双曲线122
2
=-y x ，过点)1,1(B 能否作直线m ，使m 与所给双曲线交于两点21Q Q ，且B 点是线段21Q Q 的中点？这样的直线如果存在，求出它的方程；如果不存在，说明理由。

分析：存在性问题，一般先肯定结论存在或成立，若不存在，证明方法通常用反证法，若存在，就找出结论来，或根据有关定理予于说明。

解：设所求的直线m 存在，并设斜率为k ，则)1(1-=-x k y ，
即k kx y -+=1。

代人到
02222=--y x 中， 得
032)1(2)2(222=-+----k k x k k x k 。

12)1(2,022212=--=+≠-k k k x x k ，解得2=k
当2=k 时，
02)32)(2(4)1(42222<-=-+----=∆k k k k k 若k 存在，显然不满足条件，所以满足条件的直线m 不存在。

（四）、否定结论，反证逆推。

否定逆推就是将所研究的对象事先予于否定，即假设不存在或不成立，
然后利用相关条件逆向分析推理，探求结论。

例12、已知c bx x x f ++=2)(，是否存在实数a,b,c ，使得
)3(,)2(,)1(f f f 中至少有一个不小于2
1。

分析：当探求结论或条件从正面难以成功时，“否定逆推”是首选的解题策略。

即从反面入手，逆向分析推理，从而判定结论或条件。

解：否定逆推，假设)3(,)2(,)1(f f f 都小于2
1，则： ⇒⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<++=<++=<++=2139)3(2124)2(211)1(c b f c b f c b f ⇒⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<++<-<++<-<++<-21392121242121121c b c b c b
⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-<+<--<+<--<+<-)3(2173219)2(2722
9)1(2123c b c b c b 由（1）+（3）得－11＜4b ＋2c ＜－9 即292211-<+<-
c b ， （4） 显然（4）与（2）相矛盾，所以原假设不成立，故存在实数a,b,c ， 使得)3(,)2(,)1(f f f 中至少有一个不小于2
1。

（五）、数形结合，等价转化。

有些数学开放问题的题设所给的数或式有明显的几何意义，可以巧妙地转换思维角度，将有利用问题的解决。

例13、设x,y 为实数，集合{}
01|),(2=--=x y y x A ，
{}
{}b kx y y x C y x x y x B +===+-+=|),(,052816|),(2，问是否存在 自然数k ,b ，使Φ=⋂⋃C B A )(？
解析：由题设条件联系其条件所体现的几何背景，我们转换思维角度知原命题等价于是
否存在自然数k ,b ，使直线b kx y +=与抛物线
12+=x y 或 25482++=x x y 没有交点。

由于2548,122+=+=x x y x y 在轴上的正截距为1,2
5， 故必有b=2，又由于⎩⎨⎧+=+=122x y kx y 无实数解，得
12
31231=⇒+<<-k k ，此时 方程组⎪⎩
⎪⎨⎧++=+=254822x x y x y 也无实数解。

总之开放型数学问题由于选择范围广，覆盖知识面大，具有较强的综合性和逻辑性，对使用的解题方法也有较高的要求，因此必须要求学生自己去探索，结合已有条件，进行观察、分析、比较、概括，不但要会演绎法，也必须会归纳法，不但要掌握严密的逻辑推理，也必须掌握合情推理。