瞬时变化率—导数(第二课时 导数的几何意义) 课件-高二上学期数学苏教版(2019)选择性必修第一册

只有________是它的切线．
答案：y 轴
求曲线的切线方程
[例 1] (链接教科书第 184 页习题 4 题)已知曲线 C：y＝13x3＋43，求曲线 C 在点 P(2，4)处的切线方程．
[解] ∵P(2，4)在曲线 y＝13x3＋43上，
∴曲线在点 P(2，4)处切线的斜率为
k＝ lim Δx→0
答案：B
1．下面说法正确的是
()
A．若 f′(x0)不存在，则曲线 y＝f(x)在点(x0，f(x0))处没有切线
B．若曲线 y＝f(x)在点(x0，f(x0))处有切线，则 f′(x0)必存在
C．若 f′(x0)不存在，则曲线 y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线斜率不存在
D．若曲线 y＝f(x)在点(x0，f(x0))处没有切线，则 f′(x0)有可能存在
[跟踪训练] 已知 y＝f(x)的图象如图所示，则 f′(xA)与 f′(xB)的大小关系是
()
A．f′(xA)>f′(xB)
B．f′(xA)<f′(xB)
C．f′(xA)＝f′(xB)
D．不能确定
解析：由导数的几何意义，f′(xA)，f′(xB)分别是切线在点 A，B 处切线的斜
率，由题图可知 f′(xA)<f′(xB)．
1．已知曲线上一点 P(x0，f(x0))，求在该点处切线方程的三个步骤
2．求过曲线 y＝f(x)外一点 P(x1，y1)的切线方程的六个步骤 (1)设切点(x0，f(x0))； (2)利用所设切点求斜率 k＝f′(x0)＝Δlxim→0 f（x0＋ΔΔx）x－f（x0）； (3)用(x0，f(x0))，P(x1，y1)表示斜率； (4)根据斜率相等求得 x0，然后求得斜率 k； (5)根据点斜式写出切线方程； (6)将切线方程化为一般式．
2．函数 y＝f(x)的部分图象如图，根据导数的几何意义， 你能比较 f′(x1)、f′(x2)和 f′(x3)的大小吗？ 提示：根据导数的几何意义，因为在 A，B 处的切线斜 率大于零且 kA>kB，在 C 处的切线斜率小于零，所以 f′(x1)>f′(x2)>f′(x3)．
1．如果曲线 y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程为 x＋2y－3＝0， 那么
13（2＋Δx）3＋43－13×23＋43 Δx
＝ lim Δx→0
4＋2Δx＋13（Δx）2＝4.
∴曲线在点 P(2，4)处的切线方程为 y－4＝4(x－2)，
即 4x－y－4＝0.
[母题探究] (变条件)若将本例中的条件“在点 P(2，4)”处换为“过点 P(2，4)”，其他条 件不变，结论又如何呢？ 解：设曲线 y＝13x3＋43与过点 P(2，4)的切线相切于点 Ax0，13x03＋43，则切线的 斜率为
解析： f′(x0)的几何意义是曲线 y＝f(x)在点(x0，f(x0))处切线的斜率，当切
线垂直于 x 轴时，切线的斜率不存在，但存在切线．
答案：C
2．曲线 f(x)＝－2x在点 M(1，－2)处的切线方程为
()
A．y＝－2x＋4
B．y＝－2x－4
C．y＝2x－4
D．y＝2x＋4
解析： ΔΔxy＝1＋－ΔΔ2 xx＋2＝1＋2Δx，所以当Δx→0 时，f′(1)＝2，即 k＝2.
[解析] kAB＝f（3）3－－2f（2）＝f(3)－f(2)， f′(2)为函数 f(x)的图象在点 B(2，f(2))处的切线的斜率， f′(3)为函数 f(x)的图象在点 A(3，f(3))处的切线的斜率， 根据题图可知 0<f′(3)<f(3)－f(2)<f′(2)． [答案] C
导数与函数图象升降的关系 若函数 y＝f(x)在 x＝x0 处的导数存在且 f′(x0)>0(即切线的斜率大于零)，则 函数 y＝f(x)在 x＝x0 附近的图象是上升的；若 f′(x0)<0(即切线的斜率小于零)， 则函数 y＝f(x)在 x＝x0 附近的图象是下降的．导数绝对值的大小反映了曲线上 升和下降的快慢．
答案：A
求切点坐标
[例 2] 已知抛物线 y＝2x2＋1 分别满足下列条件，试求出切点的坐标． (1)切线的倾斜角为 45°； (2)切线平行于直线 4x－y－2＝0； (3)切线垂直于直线 x＋8y－3＝0.
[解] 设切点坐标为(x0，y0)，则 Δy＝2(x0＋Δx)2＋1－2x20－1＝4x0·Δx＋2(Δx)2， ∴ΔΔxy＝4x0＋2Δx， 当Δx→0 时，ΔΔxy→4x0，即 f′(x0)＝4x0. (1)∵抛物线的切线的倾斜角为 45°， ∴斜率为 tan 45°＝1. 即 f′(x0)＝4x0＝1，得 x0＝14， ∴切点的坐标为14，98.
k＝ lim Δx→0
13（x0＋Δx）Δ3＋x 43－13x30＋43＝x20，
∴切线方程为 y－13x30＋43＝x20(x－x0)， 即 y＝x20·x－23x30＋43.
∵点 P(2，4)在切线上， ∴4＝2x20－23x30＋43，即 x30－3x20＋4＝0. ∴x30＋x20－4x20＋4＝0， ∴x20(x0＋1)－4(x0＋1)(x0－1)＝0， ∴(x0＋1)(x0－2)2＝0， 解得 x0＝－1 或 x0＝2. 故所求的切线方程为 x－y＋2＝0 或 4x－y－4＝0.
＝13Δlxim→0
3x2Δx＋3x（Δx）2＋（Δx）3 Δx
＝13Δlxim→0[3x2＋3xΔx＋(Δx)2]＝x2，∴f′(2)＝22＝4. 所以点 P 处的切线的斜率等于 4.
(2)在点 P 处的切线方程为 y－83＝4(x－2)，即 12x－3y－16＝0.
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[跟踪训练] 过点(1，－1)且与曲线 y＝x3－2x 相切的直线方程为 A．x－y－2＝0 或 5x＋4y－1＝0 B．x－y－2＝0 C．x－y－2＝0 或 4x＋5y＋1＝0 D．x－y＋2＝0
解析：显然点(1，－1)在曲线 y＝x3－2x 上，
若切点为(1，－1)，则由 f′(1)＝ lim Δx→0
(2)∵抛物线的切线平行于直线 4x－y－2＝0， ∴k＝4，即 f′(x0)＝4x0＝4，得 x0＝1， ∴切点坐标为(1，3)． (3)∵抛物线的切线与直线 x＋8y－3＝0 垂直， 则 k·－18＝－1，即 k＝8， 即 f′(x0)＝4x0＝8，得 x0＝2，∴切点坐标为(2，9)．
求切点坐标可以按以下步骤进行 (1)设出切点坐标； (2)利用导数或斜率公式求出斜率； (3)利用斜率关系列方程，求出切点的横坐标； (4)把横坐标代入曲线或切线方程，求出切点纵坐标．
[问题] 如果设曲线的方程为 y＝f(x)，A(x0，f(x0))，那么曲线在点 A 处的 切线的斜率是什么？
知识点一 导数的几何意义
函数 y＝f(x)在 x＝x0 处的导数 f′(x0)就0＋Δx）－f（x0）
切线的斜率，即 k0＝Δlxim→0____________Δ__x_________＝f′(x0)．
k＝f′(x0)＝Δlxim→0
f（x0＋Δx）－f（x0） Δx
＝ lim Δx→0
（x0＋Δx）3－2（xΔ0＋xΔx）－（x30－2x0）＝3x20－2，
∴x20＋x0－1＝3x20－2，∴2x20－x0－1＝0， ∵x0≠1，∴x0＝－12.
∴k＝x20＋x0－1＝－54，
∴切线方程为 y－(－1)＝－54(x－1)， 即 5x＋4y－1＝0，故选 A.
－13，
23 27
导数几何意义的应用
[例 3] (链接教科书第 184 页习题 3 题)已知函数 f(x)的图象如图所示，则
下列不等关系中正确的是
()
A．0<f′(2)<f′(3)<f(3)－f(2) B．0<f′(2)<f(3)－f(2)<f′(3) C．0<f′(3)<f(3)－f(2)<f′(2) D．0<f(3)－f(2)<f′(2)<f′(3)
则 f′(x0)＝3x20－2x0＝1，解得 x0＝1 或 x0＝－13，
当 x0＝1 时，y0＝x30－x20＋1＝1，
又(x0，y0)在直线 y＝x＋a 上，
将 x0＝1，y0＝1 代入得 a＝0 与已知条件矛盾舍去．
当 x0＝－13时，y0＝－133－－132＋1＝2237，
答案：3227
则切点坐标为－13， 2237，将－13， 2237代入直线 y＝x＋a 中得 a＝3227.
()
A．f′(x)＞0 C．f′(x0)＝0
B．f′(x0)＜0 D．f′(x0)不存在
答案：B
2．已知曲线 y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为 2x－y＋2＝0，则 f′(1)＝
A．4
B．－4
()
C．－2
D．2
答案：D 3．抛物线 y2＝x 与 x 轴、y 轴都只有一个公共点，在 x 轴和 y 轴这两条直线中，
曲线的切线并不一定与曲线只有一个交点，可以有多个，甚至可以无穷 多．与曲线只有一个公共点的直线也不一定是曲线的切线．
1．若函数 y＝f(x)在点 x0 处的导数存在，则曲线 y＝f(x)在点 P(x0，f(x0))处的切 线方程是什么？ 提示：根据直线的点斜式方程，得切线方程为 y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．
知识点二 导函数概念
1．定义：若 f(x)对于区间(a，b)内任一点都可导，则 f(x)在各点处的导数也随 着__自__变__量___x_的变化而变化，因而也是自变量 x 的函数，该函数称为 f(x)
的导函数．
f（x＋Δx）－f（x）
2．记法：f′(x)即 f′(x)＝Δlxim→0__________Δ__x___________．
f（1＋Δx）－f（1） Δx
＝ lim Δx→0
（1＋Δx）3－2（1＋Δx）－（－1） Δx
＝ lim [(Δx)2＋3Δx＋1]＝1， Δx→0
∴切线方程为 y－(－1)＝1×(x－1)，即 x－y－2＝0.
()
若切点不是(1，－1)，设切点为(x0，y0)， 则 k＝xy00＋－11＝x30－x02－x01＋1＝（x30－x0）x0－－（1 x0－1） ＝x20＋x0－1， 又由导数的几何意义知
[跟踪训练] 直线 l：y＝x＋a(a≠0)和曲线 C：f(x)＝x3－x2＋1 相切，则 a 的值为___________， 切点坐标为____________．
解析：设直线 l 与曲线 C 的切点为(x0，y0)，
因为 f′(x)＝lΔxi→m0 （x＋Δx）3－（x＋ΔΔx）x 2＋1－（x3－x2＋1）＝3x2－2x，
所以直线方程为 y＋2＝2(x－1)．即 y＝2x－4.故选 C.
答案：C
3．已知曲线 y＝13x3 上一点 P2，83，求：
(1)点 P 处的切线的斜率；
(2)点 P 处的切线方程．
解：(1)由
y＝13x3，得
f′(x)＝ lim Δx→0
Δy Δx
＝ lim Δx→0
13（x＋Δx）3－13x3 Δx
第五
章
导数及其应用
5．1 导数的概念 5．1.2 瞬时变化率——导数
第二课时 导数的几何意义
从物理学中我们知道，如果物体运动的轨迹是一条曲线，那么该物体在每 一个点处的瞬时速度的方向是与曲线相切的．例如，若物体的运动轨迹如图所 示，而且物体是顺次经过 A，B 两点的，则物体在 A 点处的瞬时速度的方向与 向量 v 的方向相同．