四川省绵阳南山中学2017届高三下学期3月月考试卷 数学

绵阳南山中学2017年春季高2017届3月月考
理科数学试题 第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.设U R =，{3,2,1,0,1,2}A =---，(1)B x x =≥，则U A C B = （ ） A ．{1,2} B ．{1,0,1,2}- C ．{3,2,1,0}--- D ．{2}
2.在复平面中，复数
4
2
1(1)1
i i +++对应的点在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限
3.在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，则“sin sin A B >”是“a b >”的（ ）条件.
A ．充分不必要
B ．必要不充分
C ．充要
D ．既不充分又不必要 4.若1sin()3πα-=
，且2
π
απ≤≤，则sin 2α=（ ）
A ．9-
B ．9-
C ．9
D ．9
5.执行下图的程序框图，则输出k 的值为（ ）
A ．98
B ．99
C ．100
D ．101
6.李冶（1192-1279），真定栾城（今属河北石家庄市）人，金元时期的数学家、诗人，晚年
在封龙山隐居讲学，数学著作多部，其中《益古演段》主要研究平面图形问题：求圆的直径、正方形的边长等，其中一问：现有正方形方田一块，内部有圆形水池，其中水池的边缘与方田四边之间的面积为13.75亩.若方田的四边到水池的最近距离均为二十步，则圆池直径和方田的边长为分别是（注：240平方步为1亩，圆周率按3近似计算）（ ）
A ．10步，50步
B ．20步，60步
C ．30步，70步
D ．40步，80步 7.某几何体三视如下图，则该几何体体积是（ ）
A ．16
B ．20
C ．52
D ．60 8.若3
3
2
()a x x dx -=+⎰
，
则在a
的展开式中，x 的幂指数不是整数的项共有（ ） A ．13项 B ．14项 C ．15项 D ．16项 9. 已知函数()sin(2)12
f x x π
=+，'()f x 是()f x 的导函数，则函数'2()()y f x f x =+的一
个单调递减区间是（ ） A ．7[
,
]1212ππ
B ．5[,]1212ππ-
C ．2[,]33ππ-
D ．5[,]66
ππ- 10. 在平面直角坐标系中，不等式组2220
0x y x y x y r ⎧+≤⎪
-≤⎨⎪+≤⎩（r 为常数）表示的平面区域的面积为π，
若,x y 满足上述约束条件，则1
3
x y z x ++=+的最小值为（ ）
A ．1- B
．1
7
-
C ．13
D ．75-
11. 双曲线22
221x y a b
-=（0,0a b >>）的左、右焦点分别为12,F F ，过点1F 且垂直于x 轴的
直线与该双曲线的左支交于,A B 两点，2AF ，2BF 分别交y 轴于,P Q 两点，若2PQF ∆的周
长为12，则ab 取得最大值时双曲线的离心率为（ ）
A ．．
3
12.函数22()1x f x e ax bx =-+-，其中,a b R ∈，e 为自然对数的底数，若(1)0f =，'()f x 是()f x 的导函数，函数'()f x 在区间(0,1)内有两个零点，则a 的取值范围是（ ） A ．22(3,1)e e -+ B ．2(3,)e -+∞ C ．2(,22)e -∞+ D ．22(26,22)e e -+
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分）
13.设样本数据122017,,,x x x 的方差是4，若21i i y x =-（1,2,,2017i = ），则
122017,,,y y y 的方差是 ．
14.在平面内将点(2,1)A 绕原点按逆时针方向旋转34
π
，得到点B ，则点B 的坐标是 ．
15.设二面角CD αβ--的大小为0
45，A 点在平面α内，B 点在CD 上，且0
45ABC ∠=，则AB 与平面β所成角的大小为 ．
16.非零向量,m n 的夹角为3
π
，且满足n m λ= （0λ>），向量组123,,x x x 由一个m 和两个
n 排列而成，向量组123,,y y y 由两个m 和一个n 排列而成，若112233x y x y x y ∙+∙+∙ 所有
可能的最小值为2
4m ，则λ= ．
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若14m S -=-，0m S =，214m S +=（*
2,m m N ≥∈）. （1）求m 的值； （2）若数列{}n b 满足
*2log ()2
n
n a b n N =∈，求数列{(6)}n n a b +∙的前n 项和n T . 18. 如图，三棱柱ABC DEF -中，侧面ABED 是边长为2的菱形，且3
ABE π
∠=
，
BC =
四棱锥F ABED -的体积为2，点F 在平面ABED 内的正投影为G ，且G 在
AE 上，点M 是在线段CF 上，且1
4
CM CF =
.
（1）证明:直线//GM 平面DEF ； （2）求二面角M AB F --的余弦值.
19. 交强险是车主必须为机动车购买的险种，若普通6座以下私家车投保交强险第一年的费用（基准保费）统一为a 元，在下一年续保时，实行的是费率浮动机制，保费与上一年度车辆发生道路交通事故的情况相联系，发生交通事故的次数越多，费率也就越高，具体浮动情况如下表：
交强险浮动因素和浮动费率比率表
浮动因素
浮动比率 1A 上一个年度未发生有责任道路交通事故 下浮10% 2A
上两个年度未发生责任道路交通事故 下浮20% 3A 上三个及以上年度未发生有责任道路交通事故 下浮30% 4A
上一个年度发生一次有责任不涉及死亡的道路交通事故 0% 5A 上一个年度发生两次及两次以上有责任道路交通事故 上浮10% 6A
上一个年度发生有责任道路交通死亡事故
上浮30%
某机购为了研究某一品牌普通6座以下私家车的投保情况，随机抽取了60辆车龄已满三年的该品牌同型号私家车的下一年续保时的情况，统计得到了下面的表格：
类型 1A
2A
3A
4A
5A
6A
数量
10
5
5
20
15
5
以这60辆该品牌车的投保类型的频率代替一辆车投保类型的概率，完成下列问题： （1）按照我国《机动车交通事故责任强制保险条例》汽车交强险价格的规定，950a =，记X
为某同学家的一辆该品牌车在第四年续保时的费用，求X 的分布列与数学期望；（数学期望值保留到个位数学）
（2）某二手车销售商专门销售这一品牌的二手车，且将下一年的交强险保费高于基本保费的车辆记为事故车，假设购进一辆事故车亏损5000元，一辆非事用户车盈利10000元； ①若该销售商购进三辆（车龄已满三年）该品牌二手车，求这三辆车中至多有一辆事故车的概率；
②若该销售商一次购进100辆（车龄已满三年）该品牌二手车，求他获得利润的期望值.
20. 设,,M N T 是椭圆
22
11612
x y +=上三个点，,M N 在直线8x =上的射影分别为11,M N . （1）若直线MN 过原点O ，直线,MT NT 斜率分别为12,k k ，求证12k k 为定值；
（2）若,M N 都不是椭圆长轴的端点，点()3,0L ，11M N L ∆与MNL ∆面积之比为5，求MN 中点K 的轨迹方程.
21. 已知函数()ln(1)f x m x =+，()1
x
g x x =
+（1x >-）. （1）讨论函数()()()F x f x g x =-在(1,)-+∞上的单调性；
（2）若()y f x =与()y g x =的图象有且仅有一条公切线，试求实数m 的值. 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.选修4-4：坐标系与参数方程
以平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为cos sin x a a y a β
β
=+⎧⎨
=⎩，（0a >，β为参数），以
O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l 的极坐标方程3
cos()32
πρθ-=.
（1）若曲线C 与l 只有一个公共点，求a 的值； （2）,A B 为曲线C 上的两点，且3
AOB π
∠=，求OAB ∆的面积最大值.
23.选修4-5：不等式选讲
设函数()121f x x x =--+的最大值为m . （1）作出()f x 的图象；
（2）若2
2
2
23a c b m ++=，求2ab bc +的最大值.
试卷答案
一、选择题
1-5: CDCAB 6-10:BBCAD 11、12：DA 二、填空题
13. 16 14. ( 15. 030 16. 83
三、解答题 17.解：
（1）由已知得14m m m a S S -=-=，且12214m m m m a a S S ++++=-=， 设数列{}n a 的公差为d ，则有2314m a d +=，∴2d =， 由0m S =得1(1)
202
m m ma -+
⨯=，即11a m =-， ∴12(1)14m a a m m =+-=-=，∴5m =.
（2）由（1）知14a =-，2d =，∴26n a n =-，∴32n n b -=，∴
32(6)222n n n n a b n n --+∙=⨯=⨯.
∴10132122232(1)22n n n T n n ---=⨯+⨯+⨯++-⨯+⨯ ① ∴0132121222(2)2(1)22n n n n T n n n ---=⨯+⨯++-⨯+-⨯+⨯ ② ①-②得
121012
1
11122212222
2
222122
n n n n n n n T n n n ---------⨯-=++++-⨯=-⨯=--⨯- ，
∴1
1(1)22
n n T n -=-∙+
（*
n N ∈）. 18.证明：
（1）因为四棱锥F ABED -的体积为2，即14223F ABED V FG -=
⨯⨯=，∴FG =.
又BC EF ==
，∴32EG =，即点G 是靠近点A 的四等分点，
过点G 作//GK AD 交DE 于点K ，则33
44
GK AD CF ==， 又3
4
MF CF =
，∴MF GK =且//MF GK ，∴MFKG 是平行四边形， ∴//GM FK ，又GM ⊄面DEF ，FK ⊂面DEF ，∴//GM 平面DEF
（2）设,AE BD 相交于点O ，则OB OE ⊥，以点O 为原点，,OB OE
分别为,x y 轴的正方
向建立如图空间直角坐标系，则(0,1,0)A -
，B
，
1(0,2F -
，5
(44
M -，
∴(1,0)BA =-
，5
(44
BM =--
，1(2BF =- ，
设面ABM 法向量1111(,,)n x y z = ，则由1
100n BA n BM ⎧∙=⎪⎨∙=⎪⎩
得111110
5
04
y x y ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩
取1(1n =-
；
面ABF 法向量1222(,,)n x y z = ，则由2200n BA n BM ⎧∙=⎪⎨∙=⎪⎩
得2222201
2
y y ⎧-=⎪
⎨-=⎪⎩
取2(2,n =-
；
∴121212
cos ,85n n n n n n ∙==-
； 又二面角M AB F --的平面角锐角，故二面角M AB F --
19.解：
（1）由题意可知X 的可能取值为0.9a ，0.8a ，0.7a ，a ，1.1a ，1.3a ， 由统计数据可知：1(0.9)6P X a ==
；1(0.8)12P X a ==；1(0.7)12
P X a ==；1()3P X a ==1( 1.1)4P X a ==；1
( 1.3)12
P X a ==；
故X 的分布列为：
X 0.9a 0.8a 0.7a
a
1.1a 1.3a
P
1
6 112 112 13 14
112
11111111911305
()0.90.80.7 1.1 1.3942
61212341212012
a E X a a a a a a =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯==≈.
（2）①由统计数据可知任意一辆该品牌车龄已满三年的二手车为事故车的概率为1
3
，故三辆车中至多有一辆事故车的概率31
33
11220(1)()3
3327
P C =-+=. ②设Y 为该销售商购进并销售一辆二手车的利润，Y 的可能取值为-5000，10000. 所以Y 的分布列：
Y -5000 10000
P
13
23
Y 的数学期望12
()500010000500033
E Y =-⨯+⨯=.
故销售商一次购进100辆车龄已满三年二手车获得利润期望值为100()50E Y =万元. 20.解：
（1）设(,)M p q ，(,)N p q --，00(,)T x y ，则2
2
01222
0y q k k x p -=-，
又22
22
0011612
1
1612
p q x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式相减得22220001612x p y q --+=，即22022034y q x p -=--，∴1234k k =-. （2）设直线MN 与x 轴相交于点(,0)R r ，1
32
MNL M N S r y y ∆=
-∙-，11111
52
M N L M N S y y ∆=⨯-，
由于115M N L MNL S S ∆∆=且11M N M N y y y y -=-，得31r -=，4r =（舍去）或2r =. 即直线MN 经过点(2,0)F ，设11(,)M x y ，22(,)N x y ，00(,)K x y ， ①当直线MN 垂直于x 轴时，弦MN 中点为(2,0)F ； ②当直线MN 与x 轴不垂直时，设MN 方程为(2)y k x =-，
则由22
(2)3448
y k x x y =-⎧⎨+=⎩得2222
(34)1616480k x k x k +-+-=，21221634k x x k +=+，2122
1648
34k x x k
-=+， 202
834k x k =+，02634k y k -=+，消去k 整理得22
004(1)13
y x -+=（00y ≠） 综上，MN 中点K 的轨迹方程2
2
4(1)13
y x -+= （0x >）或223460x y x +-=（0x >）. 21.解：
（1）'
'
'
22
1(1)1()()()1(1)(1)
m m x F x f x g x x x x +-=-=
-=+++，（1x >-）， 当0m ≤时，'()0F x <，函数()F x 在(1,)-+∞上单调递减；
当0m >时，令'
()0F x <，得111x m -<<-+
，函数()F x 在1
(1,1)m
--+上单调递减；'()0F x >，得11x m >-+，函数()F x 在1
(1,)m
-++∞上单调递增.
综上：当0m ≤时，函数()F x 的单调递减区间是(1,)-+∞； 当0m >时，函数()F x 的单调递减区间是1(1,1)m --+
；单调递增区间是1
(1,)m
-++∞. （2）函数()ln(1)f x m x =+在点(,ln(1))a m a +处的切线方程为
ln(1)()1
m
y m a x a a -+=-+， 即ln(1)11m ma y m a a a =++-++； ()1x g x x =
+（1x >-）在点(,)1b b b +处切线为2
1
()1(1)
b y x b b b -=-++，即2
22
1(1)(1)
b y x b b =+++； 因为()y f x =与()y g x =的图象有且仅有一条公切线，所以
2
2
211(1)ln(1)1(1)m a b ma b
m a a b ⎧=⎪++⎪
⎨⎪+-=⎪++⎩
①②有唯一一对(,)a b 满足这个方程组，且0m >. 由①得：21(1)a m b +=+，代入②消去a 整理得：2
2ln(1)ln 101
m b m m m b ++
+--=+，关于(1)b b >-的方程有唯一解. 令2()2ln(1)ln 11b m b m m m b ϕ=++
+--+，则'22
222[(1)1]()1(1)(1)m m b b b b b ϕ+-=-=+++， 方程组有解时，0m >，所以()b ϕ在1(1,1)m --+单调递减，在1
(1,)m
-++∞单调递增； 所以min 1
()(1)ln 1b m m m m
ϕϕ=-+
=--， 因为b →+∞，()b ϕ→+∞；1b →-，()b ϕ→+∞，所以只需ln 10m m m --=， 令()ln 1m m m m ϑ=--，'()ln m m ϑ=-，又'(1)0ϑ=，所以()m ϑ在(0,1)单增，在(1,)+∞单减，所以max ()(1)0m ϑϑ==，
所以1m =时，ln 10m m m --=，此时关于b 的方程2
2ln(1)ln 101
m b m m m b +++--=+有唯一解0b =，0a b ==，公切线方程为y x =. 故m 的值为1. 22.解：
（1）曲线C 是以(,0)a 为圆心，以a 为关径的圆；直线l
的直角坐标方程：30x -=；
由直线l 与圆C 只有一个公共点，则可得
3
2
a a -=，解得：3a =-（舍去）或1a =，故1a =. （2）因为曲线C 是以(,0)a 为圆心，以a 为半径的圆，且3
AOB π
∠=
，
由正弦定理得：
2sin
3
AB a π
=
，所以AB =.
由余弦定理得2
22
2
3AB a OA OB OA OB OA OB ==+-∙≥∙，
所以211sin 3232OAB
S OA OB a π∆=∙≤⨯=OA OB =时取“=”
故OAB ∆
的面积的最大值是2
4
. 23. 解：
（1）12()21()3(1)22(1)x x f x x x x x ⎧+≤-⎪⎪⎪=--<<⎨⎪--≥⎪⎪⎩
，图象如图： （没有()f x 的解析式，需要在图中标示出12
x =-，1x =对应的关键点坐标，否则扣分）
（2）由（1）知32m =
∵2222222323()2()242
m a c b a b c b ab bc ==++=+++≥+ ∴324
ab bc +≤，当且仅当a b c ==时，取“=”， 故2ab bc +的最大值为34
.。