根与系数的关系及判别式综合问题大题培优强化11题

根与系数的关系及判别式综合问题培优强化30题
1．已知关于x的一元二次方程kx2+（k﹣2）x﹣2＝0（k≠0）．
（1）求证：不论k为何值，这个方程都有两个实数根；
（2）若此方程的两根均整数，求整数k的值．
2．已知关于x的一元二次方程x2+（k+2）x+2k＝0．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若该方程有一个根是正数，求k的取值范围．
3．已知关于x的方程x2﹣（k+2）x+2k＝0．
（1）求证：无论k为何值，方程总有实数根；
（2）若等腰三角形一腰长为5，另外两边长度为该方程的两根，求等腰三角形的周长．4．已知关于x的一元二次方程x（x﹣2）＝k．
（1）若k＝3，求此方程的解；
（2）当k≥﹣1时，试判断方程的根的情况．
5．已知：关于x的一元二次方程x2﹣（2k+3）x+k2+3k+2＝0．
（1）证明无论k取何值时方程总有两个实数根．
（2）△ABC中，BC＝5，AB、AC的长是这个方程的两个实数根，求k为何值时，△ABC是等腰三角形？
6．如图，菱形ABCD中，m、n、t分别是菱形ABCD的两条对角线和边长，这时我们把关于x 的形如mx2+2√2tx+n＝0的一元二次方程称为“菱系一元二次方程”．请解决下列问题：（1）填空：①当m＝2，n＝4时，t＝；
②用含m、n的代数式表示t2＝；
（2）求证：关于x的“菱系一元二次方程”mx2+2tx+
1
2n＝0必有实数根．
7．关于x的一元二次方程ax2+6x﹣5a＝0…①和3x2﹣ax+a＝0…②．
（1）若a＞0，且方程①有两实根x1，x2，方程②有两实根x3，x4，求代数式x1x2+x1x3+x1x4+x2x3+x2x4+x3x4的最小值；
（2）是否存在实数a，使得方程①和②恰有一个公共的实数根？若存在，请求出实数a的值；
若不存在请说明理由．
8．阅读材料，解答问题：
材料1
为了解方程（x2）2﹣13x2+36＝0，如果我们把x2看作一个整体，然后设y＝x2，则原方程可化为y2﹣13y+36＝0，经过运算，原方程的解为x1，2＝±2，x3，4＝±3．我们把以上这种解决问题的方法通常叫做换元法．
材料2
已知实数m，n满足m2﹣m﹣1＝0，n2﹣n﹣1＝0，且m≠n，显然m，n是方程x2﹣x﹣1＝0的两个不相等的实数根，由韦达定理可知m+n＝1，mn＝﹣1．
根据上述材料，解决以下问题：
（1）直接应用：
方程x4﹣5x2+6＝0的解为；
（2）间接应用：
已知实数a，b满足：2a4﹣7a2+1＝0，2b4﹣7b2+1＝0且a≠b，求a4+b4的值；
（3）拓展应用：
已知实数m，n满足：1
m4+
1
m2
=7，n2﹣n＝7且n＞0，求
1
m4
+n2的值．
9．若α=
1+√5
2为一元二次方程x
2﹣x+t＝0的根；
（1）则方程的另外一个根β＝，t＝；
（2）求（α3﹣α2+1）（β3﹣β2+1）的值．
10．如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根，且其中一个根为另一个根
的2倍，那么称这样的方程为“倍根方程”．例如，一元二次方程x2﹣9x+18＝0的两个根是3
和6，则方程x2﹣9x+18＝0就是“倍根方程”．
（1）若一元二次方程x2﹣6x+k＝0是“倍根方程”，则k＝；
（2）若一元二次方程nx2﹣（2n+m）x+2m＝0（n≠0）是“倍根方程”，求
m+n
2m−n
的值；
11．已知关于x的方程ax2+2x﹣3＝0有两个不相等的实数根．
（1）求a的取值范围；
（2）若此方程的一个实数根为2，求a的值；
（3）直接写出所有不大于5的正整数a的值，使原方程的两个根均为有理数．。