华理概率论06-01-B-试卷答案

华东理工大学2005–2006学年第一学期
《概率论与数理统计》课程期末考试试卷 B 2006.1.
开课学院： 理学院 ， 考试形式： 闭卷 ， 所需时间： 120 分钟 姓名： 学号： 班级： 任课教师
一、填空题（每小题4分，共20分）
1． 从一装有3个红球2个白球的盒子中取出两球，取得一红一白的概率为
0. 6 ；若已知其中至少有一个是白球，则另一球也是白球的概率为 1 / 7 。

2．设A 、B 是两个事件，5.0)(=A P ，2.0)(=B P ，)|()|(B A P B A P =，则
=
)(B A P 6
.0。

3．若某人射击的命中率为0.2，则他命中目标时已经射击的次数X 为k 的概率
=
=}{k X P 1
)8.0(2.0-k ，5=EX 。

4．设随机变量X 与Y 相互独立，且1)()(==Y E X E ，2)()(==Y D X D ，则
8
)(=
XY D 。

5．已知随机变量)2(~E X ，则X e Y =的分布密度函数为=)(y Y ϕ
⎩⎨
⎧≤>-1
1
,0,23y y y 。

二、选择题（每小题4分，共20分）
1．设总体 X ～)(λP , ),,,(4321X X X X 是来自总体X 的样本，则下列λ的无偏
估计中最有效的是 （ D ）
A ．
7
2224321X X X X +++； B ．6
224
32
1
X X X X +++；
C ．5
24321X X X X +++； D ． 4
4
32
1
X X X X +++。

2．对于任意两事件A 和B ，则下列结论正确的是（ C ）
A ．一定不独立，，则若
B A AB ∅=； B ．一定独立，，则若B A AB ∅≠；
C ．有可能独立，，则若B A AB ∅≠；
D ．一定独立，，则若B A AB ∅=。

3．已知二维随机变量),(Y X 的边缘分布都是正态分布，则下列不正确的结论是
（ A ）
A ．),(Y X 一定服从二维正态分布；
B ．独立时服从正态分布与Y X ；
C ．),(Y X 可能服从二维正态分布；
D ． 以上结论不都正确。

4．对任意两事件A 和B ，有=-)(B A P （ B ）
A ．)()(
B P A P -； B ．)()(AB P A P -；
C ．)()()(AB P B P A P +-；
D ．)()()(AB P B P A P -+。

5．设总体 X ～),0(2σN ,),,,,,(654321X X X X X X 是来自总体 X 的样本，
则统计量2
6252
42
321)(X X X X X X ++++服从的分布为（ C ） A ．)3,3(F B ．)1,3(F C ．)3,1(F D ．)1,1(F
三、解答题（共60分）
1．（8分）某选择题有4个选项，已知考生知道正确解法的概率为
3
2
，此时该考生因粗心犯错的概率为
4
1
；如果该考生不知道正确解法时只能随机乱猜。

1）求该考生答对选择题的概率α；
2）已知该考生答对了，求该考生确实知道正确答案的概率β？
解：设A 表示“知道正确解法”，B
“答对选择题”。

据题意：32)(=A P ，4
1
)|(=A B P ， 4
1
)|(=A B P
（1）)()|()()|()(A P A B P A P A B P B P +==α12
7
)321(4132)411(=-⨯+⨯-=
（5分）
（2）76
12
73243)()()|()()()|(=⨯
====B P A P A B P B P AB P B A P β
（3分） 2．（10分）某厂知道自己产品的不合格率比较高，因此打算在每盒（100只）中
多装几只产品。

假定不合格率为0.2，试问：
（1）如果在每盒中多装21只，则消费者不吃亏的概率是多少？
（2）要使消费者不吃亏的概率达到0.99，每盒中至少要多装多少只？ （99.0)326.2(,7664.0)727.0(=Φ=Φ） 解：设每盒中的不合格品有X 个，
（1）)2.0,121(~B X ，“消费者不吃亏”}21{≤=X ，则
)727.0(18.02.01212.012121)21(Φ-=⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛⨯⨯⨯-Φ≈≤X P 2336.07664.01=-=
（ 5分）
（2）设每盒中至少要多装n 只，则)2.0,100(~n B X +
)326.2(99.01005028.02.0)100(2.0)100()(Φ=≥⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-Φ=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛⨯⨯+⨯+-Φ≈≤n n n n n n X P ， 326.210050
2≥+-n
n ，7.38≥n 。

所以，要使消费者不吃亏的概率达到0.99，每盒中至少要多装39只 。

（5分）
3．（10分）设X 与Y 是两个独立的随机变量，且均服从)2,2(-上的均匀分布，试求（1）未知量t 的方程02=++Y Xt t 有实根的概率p ；（2）Y X Z +=的
概率密度函数)(z f Z 。

解：X 的概率密度函数为其他22,0,
4/1)(<<-⎩⎨⎧=x x X ϕ，
Y 的概率密度函数为其他22,0,
4/1)(<<-⎩
⎨⎧=y y Y ϕ，
（1）方程02=++Y Xt t 有实根的概率
⎰⎰≥-=
≥-=0
42
2)()()04(y x Y X dxdy y x Y X P p ϕϕdy dx x ⎰
⎰--⨯=2412
2
2
44112
7= （4分）
（2）dx x z x z f Y X Z )()()(-=⎰∞+∞-ϕϕdx x z Y )(4122-=⎰+-ϕdu u Y z z )(412
2
ϕ⎰+-=
当4-≤z 时，0)(=y Y ϕ，0)(=z f Z ；
当04≤<-z 时，)4(161
4141)(22+==⎰+-z dx z f z Z ；
当40≤<z 时， )4(16
1
4141)(22z dx z f z Z -==⎰-；
当4>z 时，0)(=y Y ϕ，0)(=z f Z .
⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪⎨⎧≤<-≤<-+=∴其他，040),4(161
04),4(161
)(z z z z z f Z 。

（6分）
4．（10分）设随机变量)43,1(~B X ，)21
,1(~B Y ，且X 与Y 的相关系数3
1=ρ，
（1）试求随机变量X 与Y 的联合分布；（2）令),max (Y X Z =，求DZ 。

解：（1）43=EX ，163=DX ，21=EY ，4
1
=DY ，
81),(==DY DX Y X Cov ρ，2
1
),()(=+⋅=Y X Cov EY EX XY E
=)(XY E }0{0}1{1=⨯+=⨯XY P XY P }1,1{===Y X P
5.0}1,1{===∴Y X P ，
6分）
（2）),max (Y X Z =的分布为)75.0,1(B ，即分布律为
∴（4分） 5．（10分）设n X X X ,,,21 是来自总体X 的一个简单随机样本，X 的概率密度
函数为⎩
⎨⎧<<+=其他1
0,0,)1();(x x x f θθθ，其中1-≠θ，求参数θ的极大似然估计
与矩估计。

解：∏==n i i x f L 1
);()(θθ∏=+=n
i i x 1
)1(θ
θ∏=+=n
i i n
x 1
)
1(θθ
∑=++=n
i i x n L 1
ln )1ln()(ln θθθ
0ln 1ln 1
=++=∑=n
i i x n d L d θθ令，
得θ的极大似然估计为：∑=--=n
i i
L
X
n
1
ln 1ˆθ （5分）
2
1
2
1)1()(10
2
1
++=
++=+==+∞+∞
-⎰
⎰
θθθθθθθ
x
dx x x dx x xf EX 由X =++2ˆ1ˆθθ得θ的矩估计为：X X --=112ˆθ（其中，∑==n i i X n X 11） （5分）
6．（12分）随机地挑选20位失眠者，平分成两组，分别服用甲、乙两种安眠药，
记录下他们睡眠的延长时间（单位：小时），测得甲药的平均延长时间为
34.21=x ，
样本的修正标准差为02.2*
1=s ；乙药的平均延长时间为75.02=x ，样本的修正标准差为79.1*
2
=s 。

假定甲、乙两种安眠药的睡眠延长时间分别服从),(211σμN 和),(2
2
2σμN ，取05.0=α。

试问： （1）求1μ的95%的置信区间；
（2）假设2
221σσ=，则能否认为甲药与乙药的疗效有显著差异？
（7341.1)18(95.0=t ，1009.2)18(975.0=t ，2622.2)9(975.0=t ，2281.2)10(975.0=t ） 解：（1）置信下限：895.010
02.22622.234.2)
9(1*1975.01=⨯
-=-n s t x
置信上限：785.310
02.22622.234.2)
9(1
*1975.01=⨯
+=+n s t x
则1μ的95%的置信区间为)785.3,895.0(。

（6分） （2）:0H 21μμ=，:1H 21μμ≠
统计量)18(~1
102
121t n n s x x T H w
真
+-=
，临界值1009.2)18(975.0=t
1021==n n ，91.1=w s
计算86.110
110191.175.034.2=+⨯
-=
T 1009.2)18(975.0=<t ，故接受原假设，
即认为甲药与乙药的疗效无显著差异。

（6分）。