矩阵AB与BA 的相关性质及其应用

矩阵AB 与BA 的相关性质及其应用
***
(**********)
[摘 要]给出矩阵AB 与BA 的有关命题和推论及其若干种证明，并举例说明它们在求矩阵特征值和有关证明题中的应用。

[关键词] 矩阵；特征多项式；应用。

一、矩阵AB 与BA 的相关命题
命题1 当A 、B 均为n 阶方阵时，AB 与BA 有相同的特征值。

命题2 设A 是m n ⨯矩阵，B 是n m ⨯矩阵。

证明：AB 的特征多项式()AB f λ与BA 的特征多项式()BA f λ有如下关系：
()()n m AB BA f f λλλλ=
二、以上命题的若干种证明方法：
1.命题1的证明：
证明1 因为有等式00
00E E B E E A E E
λ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭=E A B
E λ⎛⎫ ⎪⎝⎭
两边取行列式得
E B A E λ2
E E
=
E B A E λ=
E
A B E
λ 而
E B
E AB A E
λλ=-，
E
A E BA B
E
λλ=-
所以
E AB E BA λλ-=-，即AB 与BA 有相同的特征值。

证明2 设λ是AB 的一个特征值，X 是对应于λ的一个特征向量 则()AB X X λ=，等式两边左乘B ，得到
()()BA BX BX λ= ⑴ （ⅰ）当0BX =时，()0X A BX λ==，而0X ≠，则0λ=，于是 000AB E AB BA BA E -===-=所以0λ=是BA 的特征值。

（ⅱ）当0BX ≠时，由⑴式根据定义，有非零向量BX 就是BA 对应于特
征值λ的特征向量,所以λ也是BA 的特征值。

证明3 设()R A r =，则存在可逆阵P 、Q 使000r A E PAQ I ⎛⎫== ⎪⎝⎭
于是1PABP -=1
1
PAQQ BP --=A I C 1
Q BAQ -=1
1Q BP PAQ --=A CI 其中记C =1
1
Q BP --=()ij C
又A I C =11121212221
2.....................00...0............0000n n r r rn c c c c c c c c c ⎛⎫
⎪
⎪
⎪
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
，A CI =
1112
12122212
...0...0...0...0......
..................0...0r
r n n nr
c c c c c c c c c ⎛⎫
⎪
⎪
⎪
⎪
⎝⎭
︱A I C E λ-︱=0
T
π⎛⎫
⎪
Λ⎝⎭
=()n r
T λ-- 其中T=11121212221
2...
..................r r r r rr c c c c c c c c c λ
λ
λ-⎛⎫ ⎪
-
⎪
⎪
⎪
-⎝⎭，1112
12122212.....................r r n r r n rr rr rn c c c c c c c c c π++++++⎛⎫
⎪
⎪
= ⎪ ⎪⎝⎭
()n r -阶对角阵...
......
...λλλ-⎛⎫
⎪
-
⎪Λ= ⎪ ⎪-⎝
⎭
︱A CI E λ-︱=0T
δ
⎛⎫
⎪Λ⎝⎭
=()n r
λ--︱T ︱ 其中1,11,21,2,12,2
2,,1,2,.....................r r r r r r r r n n n r c c c c c c c c c δ++++++⎛⎫
⎪
⎪
= ⎪
⎪
⎪⎝⎭
A I C 与A CI 有相同的特征多项式，而
︱A I C E λ-︱=︱1PABP E λ--︱=︱11()PABP P E P λ---︱
=︱P ︱︱AB E λ-︱︱1
P -︱=︱AB E λ-︱
同理可得= A CI E BA E λλ--
于是AB 与BA 有相同的特征多项式，因此AB 与BA 有相同的特征值。

小 结 证明1巧妙构造了矩阵，证明2使用了特征值的定义，都使得证明过程显得
较为简单。

证明3使用了矩阵的相似标准型的相关定理进行证明，使得证明过程显得较为复杂。

2.命题2的证明：
证明1 不妨设m n ≥，作1()1()(,0),0m m n m n m B
A A
B ⨯--⨯⎛
⎫
==
⎪⎝⎭
，于是11,A B 为m 阶
方阵，由命题1知，︱m E λ-11A B ︱=︱m E λ-11B A ︱
但11A B AB =，而11B A =000BA ⎛⎫
⎪⎝⎭
所以︱m E λ-AB ︱=︱n E λ-BA ︱︱m n E λ-︱=m n
λ
-︱n E λ-BA ︱
于是n
λ︱m E λ-AB ︱=m
λ︱n E λ-BA ︱，即()()n
m
AB BA f f λλλλ=。

证明2 结论等价于AB 与BA 有相同的非零特征值。

设λ是AB 的一个非零特征值，X 是对应于λ的一个特征向量 则()AB X X λ=。

显然0BX ≠。

否则，若()AB X =0，即0X λ= 于是0λ=或0X =，矛盾。

所以()()BA BX BX λ=即λ为BA 的特征值。

同理可证BA 的非零特征值是AB 的特征值。

小 结 证明1将命题2巧妙地转换到了已证明的命题1。

证明2将命题2等价为一
个较易证明的命题，然后从定义出发进行了证明。

三、以上命题的若干个推论及其证明：
推论1 设A 是m n ⨯矩阵，B 是n m ⨯矩阵，则()()tr AB tr BA =.
证 明 由命题2知，AB 与BA 具有相同的非零特征值，而矩阵的迹等于全体特征
值之和，即等于全体非零特征值之和．因此，()()tr AB tr BA =。

推论2 如果矩阵C 可以分解为一个列向量12(,,
,)T n A a a a =和一个行向量
12(,,
,)n B b b b =的乘积，则矩阵C 的特征值为
1211
0,n
n n i i i a b λλλλ-===
===∑
证 明 由命题2知，AB 与BA 得特征多项式仅差一个因子1
n λ
-，而1
n
i i i BA a b ==
∑ 为
一阶矩阵，其特征多项式为1
n
i i i E BA a b λλ=-=-
∑，因此C AB =的特征多
项式为1
1
()n
n i i i E C E AB a b λλλ
λ-=-=-=-∑，所以矩阵C 的特征值为
1211
0,n
n n i i i a b λλλλ-===
===∑
四、相关应用举例： 1.在计算特征值中的应用：
例1 求矩阵11
122
2C n n
n ⎛⎫
⎪
⎪
= ⎪
⎪⎝⎭
的特征值。

解 令(1,2,
),(1,1,
,1)T A n B ==，由推论2知，C 的特征值为
121(1)
0,2
n n n n λλλλ-+=====
例2 已知1
0n
i i a ==∑，求n 阶实对称矩阵21121221222
1
211111111
1n n n n n a a a a a a a a a a C a a a a a ⎛⎫
+++ ⎪
+++ ⎪
= ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭
的n 个特征值。

解 令121211,1111n n a a a a a A B a ⎛⎫ ⎪⎛⎫
⎪== ⎪ ⎪⎝⎭
⎪⎝⎭
，则C AB =，由命题2知，2
n E C E AB E BA λλλ
λ--=-=-
而221
11
1
00n
n
n
i i i i i i n
i i a a a E BA a n n λλλλλ====⎛⎫--⎛
⎫
⎪- ⎪
⎪-== ⎪ ⎪ ⎪--⎝
⎭
⎪⎝⎭
∑∑∑∑ 所以，C 的n 个特征值为212211
0,,n
n n i n i a n λλλλλ--=======∑
注 本题若利用
0E C λ-=直接求矩阵C 的特征值，则非常麻烦。

但是，通过
巧设矩阵A ，B ，使C AB =，由已知条件，BA 变成二阶对角矩阵．然后根据命题2，很容易就能求出C 的特征值．
2.在证明题中的应用：
例3 设A ，B 是两个n 阶矩阵．证明：方阵AB A +与BA A +有相同的特征多项
式。

解 由于()AB A A B E +=+，()BA A B E A +=+，由命题1知()A B E +与
()B E A + 有相同的特征多项式，所以AB A +与BA A +有相同的特征多项
式。

注 两个有相同特征多项式的方阵，分别加上同一个方阵后，在一般情况下不再有
相同的特征多项式，例如，1011,0101A B ⎛⎫⎛⎫
== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，有相同的特征多项式
2()(1)f λλ=-，但是同时加上同一个方阵0010C ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
后，A C +与B C +的
特征多项式分别为2
(1)λ-和(2)λλ-。

例4 设,A B 均为n 阶方阵，E 为n 阶单位矩阵，证明：（1）若E AB -可逆则
E BA -可逆。

（2）E AB -与E BA -有相同的特征值。

证明 （1）由命题1知
E AB E BA λλ-=-，若E AB -可逆则0E AB -≠，说
明1不是AB 的特征值，所以1也不是BA 的特征值，所以0E BA λ-≠，所以
E BA -可逆。

（2）因为 A 与B -都是n 阶方阵，由命题1知E AB E BA λλ+=+，
又有
()(1)E E AB E AB λλ--=-+，()(1)E E BA E BA λλ--=-+，
由于(1)(1)E AB E BA λλ-+=-+，故()()E E AB E E BA λλ--=--
即E AB -与E BA -有相同的特征值。

五、全文小结：
本文的命题1是课堂上的一道复习题，而命题2是其推广。

本文在作者力所能及的范围内对命题2 有价值的地方进行了推广，给出了推论1和2，并且给出了其在实际习题中的具体应用。

鉴于作者水平所限，本文的不当之处敬请老师不吝指教，从而使作者有所长进。

[参考文献][1]杨子胥，高等代数习题解（下册），济南：山东科技出版社，2001.
[2]孟道骥，高等代数与解析几何（下册），北京：科学出版社，2007.。