2021-2022学年高二数学题型解读练20 双曲线及其标准方程(解析版)

2021-2022学年高二数学题型解读与训练（人教A 版2019选择性必修一）
专题20 双曲线及其标准方程
题型一 利用双曲线定义求方程
1．求适合下列条件的双曲线的标准方程： （1）焦点在x 轴上，4a =，3b =；
（2）焦点在x
轴上，经过点(
，⎝ （3）焦点为(0,6)-，(0,6)，且经过点(2,5)-．
【答案】（1）22
1169x y -=；（2）2
213y x -
=；（3）2
2
12016
y x -= 【解析】（1）因为焦点在x 轴上，设双曲线方程为22
221x y a b
-=，
因为4a =，3b =，所以双曲线方程为22
1169
x y -=；
（2）因为焦点在x 轴上，设双曲线方程为22
221x y a b -=，
因为经过点(
，⎝
，代入可得22
22
231521
3a b a b ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩， 令2211,m n a b ==，可得231
5213m n m n -=⎧⎪⎨-=⎪⎩，
解得1
13m n =⎧⎪
⎨=⎪⎩
，所以22
13a b ⎧=⎨=⎩， 所以双曲线方程为：2
2
13
y x -=； （3）因为焦点为(0,6)-，(0,6)，所以c =6，且交点在y 轴， 因为过点且经过点(2,5)-，
2(0)a a =>，
解得a =
又222362016b c a =-=-=， 所以双曲线方程为：22
12016
y x -=；
2．相距1400m 的A ，B 两个哨所，听到炮弹爆炸声的时间相差3s ，已知声速是340m/s ，问炮弹爆炸点在怎样的曲线上，并求出曲线的方程．
【答案】炮弹爆炸点在双曲线上，方程为22
1260100229900
x y -=.
【解析】以AB 所在直线为x 轴，AB 垂直平分线为y 轴，建立直角坐标系， 则(700,0),(700,0)A B -，设爆炸点为(,)M x y ， 则340310201400MA MB -=⨯=<，
根据双曲线的定义可得，M 在双曲线上，且21020
21400
a c =⎧⎨=⎩，
所以510,700a c ==，
所以22222700510229900b c a =-=-=， 所以点M 的轨迹方程为：
22
1260100229900
x y -=. 3．一块面积为12公顷的三角形形状的农场，如图所示△PEF ，已知1
tan 2
PEF ∠=，tan 2PFE ∠=-，试建立适当直角坐标系，求出分别以E ，F 为左、右焦点且过点P 的双曲线方程.
【答案】22
54
x y -
=1. 【解析】
以EF 所在直线为x 轴，EF 的垂直平分线为y 轴建立直角坐标系，
设以E ，F 为焦点且过点P 的双曲线方程为22
221x y a b -=，
焦点为(,0)E c -，(c,0)F ． 由1
tan 2
PEF ∠=
，tan 2EFP ∠=-，tan tan()2EFP απ=-∠=， 得直线PE 和直线PF 的方程分别为1
()2
y x c =+和2()y x c =-．
将此二方程联立，解得53x c =，4
3y c =，即P 点坐标为5(3c ，4)3c ．
在EFP 中，2EF c =，EF 上的高为点P 的纵坐标， 由题设条件2
4123
EFP
S
c =
=，3c ∴=，即P 点坐标为(5,4)．
由两点间的距离公式PE ==PF ==
a ∴=
又2224b c a =-=，
故所求双曲线的方程为22
154
x y -=．
题型二 双曲线定义的应用
4．已知双曲线22
142
x y -=的右焦点为F ，P
为双曲线左支上一点，点A ，则APF ∆周长的最小值
为 A
．4B
．4(1+ C
． D
【答案】B
【解析】曲线22
142
x y -=右焦点为
F
)
，APF ∆周长2l AF AP PF AF AP a PF =++=++'+ 要使
APF ∆周长最小，只需AP PF +' 最小，如图：
当',,A P F 三点共线时取到,故l =2|AF |+2a
=(41 故选B
5．双曲线16x 2 - 9y 2=144的左､右两焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线上，且|PF 1|·|PF 2|=64，则∠F 1PF 2=________. 【答案】60°
【解析】双曲线方程16x 2
- 9y 2
=144，可化为22
1916
x y -
=， ∴F 1(-5,0)，F 2(5,0).
设|PF 1|=m ，|PF 2|=n ，由双曲线的定义，知|m -n |=2a =6，又m ·n =64， 在△PF 1F 2中，由余弦定理知：
2222222212121212||||||(2)()24361281001
cos 2||||221282PF PF F F m n c m n mn c F PF PF PF mn mn +-+--+-+-∠=====⋅，
∴∠F 1PF 2=60°. 故答案为：60°.
6．已知F 是双曲线22
1412
x y -=的左焦点，()1,4A ，P 是双曲线右支上的动点，则PF PA +的最小值为
________． 【答案】9
【解析】对于双曲线22
1
412
x y -=，则2a =，b =4c =，如下图所示：
设双曲线的右焦点为M ，则()4,0M ，
由双曲线的定义可得4PF PM -=，则4PF PM =+，
所以，4449PF PA PM PA AM +=++≥+==，
当且仅当A 、P 、M 三点共线时，等号成立. 因此，PF PA +的最小值为9. 故答案为：9.
7．如图，若12,F F 是双曲线221916
x y
-=的两个焦点.
（1）若双曲线上一点M 到它的一个焦点的距离等于16，求点M 到另一个焦点的距离； （2）若P 是双曲线左支上的点，且12|||3|2F PF P =⋅，试求12F PF △的面积. 【答案】（1）10或22；（2）1216F PF S =△.
【解析】解：（1）12,F F 是双曲线22
1916
x y -
=的两个焦点，则3,4,5a b c ===， 点M 到它的一个焦点的距离等于16，设点M 到另一个焦点的距离为m ， 则由双曲线定义可知，|16|26m a -==，解得10m =或22m =， 即点M 到另一个焦点的距离为10或22；
（2）P 是双曲线左支上的点，则21||||26PF PF a -==，
则22
1221||2||||||36PF PF PF PF -⋅+=，而12|||3|2F PF P =⋅， 所以22
12||||36232100PF PF +=+⨯=，
即222
1212||||||100PF PF F F +==，
所以12F PF △为直角三角形，1290F PF ∠=︒， 所以12
1211
||||321622
F PF S
PF PF =
⋅=⨯=. 8．已知F 是双曲线22
1412
x y -=的左焦点，(1,4),A P 是双曲线右支上的动点，求||||PF PA +的最小值.
【答案】9
【解析】由题意可知，点A 在双曲线的两支之间，设双曲线的右焦点为F ',则(4,0)F '，由双曲线定义，
得||24PF PF a '
-==，而||5PA PF
AF ''+=，两式相加，得||||9PF PA +，当且仅当,,A P F '三点共
线时等号成立，则||||PF PA +的最小值为9. 题型三 根据方程表示双曲线求参数的范围
9．若方程22
22x y m m
-
+-＝1表示双曲线，则m 的取值范围是（ ） A ．(－2，2) B ．(0，＋∞)
C ．[0，＋∞)
D ．(－∞，－2]∪[2，＋∞)
【答案】A
【解析】由题意，方程22
22x y m m
-
+-＝1表示双曲线，则满足(2)(2)0m m +->， 解得22m -<<，即实数m 的取值范围是()2,2-. 故选：A.
10．方程22
141
x y k k +=--表示的曲线为C ，下列正确的命题是（ ）
A ．曲线C 不可能是圆；
B ．若14k <<，则曲线
C 为椭圆； C ．若曲线C 为双曲线，则1k <或4k >；
D ．若曲线C 表示焦点在x 轴上的椭圆，则5
12
k <<. 【答案】CD
【解析】①
22
+=141
x y k k --，当541,2k k k -=-=时为曲线C 为圆,故A 错误； ②若C 为椭圆得：40
1041
k k k k ->⎧⎪
->⎨⎪-≠-⎩解得： 14k <<且52k ≠，故B 错误；
③若C 为双曲线(4)(1)0k k --<，解得；1k <或4k >，故C 正确； ④C 表示焦点在x 轴上的椭圆，得 41
4010
k k k k ->-⎧⎪
->⎨⎪->⎩
解得512k <<，故D 正确．
故选：CD .
11．已知方程22
121
x y m m -=++表示焦点在y 轴上的双曲线，则m 的取值范围是________.
【答案】(,2)-∞-
【解析】根据双曲线标准方程且焦点在y 轴上，
∴2010m m +<⎧⎨+<⎩
，解得2m <-，即m 的范围为(,2)-∞-.
故答案为：(,2)-∞-. 题型四 双曲线的轨迹问题
12．已知定点F 1(－2，0)，F 2(2，0)，N 是圆O ：x 2＋y 2＝1上任意一点，点F 1关于点N 的对称点为M ，线段F 1M 的中垂线与直线F 2M 相交于点P ，则点P 的轨迹是（ ） A ．椭圆 B ．双曲线 C ．抛物线 D ．圆
【答案】B
【解析】
连接ON ，如图，
由题意可得|ON |＝1，且N 为线段MF 1的中点，∴|MF 2|＝2，
∵点F 1关于点N 的对称点为M ，线段F 1M 的中垂线与直线F 2M 相交于点P ， ∴由垂直平分线的性质可得|PM |＝|PF 1|， ∴||PF 2|－|PF 1||＝||PF 2|－|PM ||＝|MF 2|＝2<|F 1F 2|，
∴由双曲线的定义可得点P 的轨迹是以F 1，F 2为焦点的双曲线，故选：B
13．已知双曲线221416
x y -=与直线:(2)l y kx m k =+≠±有唯一的公共点M ，过点M 且与l 垂直的直线分别
交x 轴、y 轴于(,0)A x ，(0,)B y 两点．当点M 运动时，求点(,)P x y 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线．如果推广到一般双曲线，能得到什么相应的结论？ 【答案】答案见解析
【解析】联立方程22
1416x y y kx m ⎧-=⎪⎨⎪=+⎩
可得()222
42160k x kmx m ----=，
因为有唯一公共点且2k ≠±，则()()2222
444160k m k m ∆=----=，
整理得()22
44m k =-，可解得点M 坐标为22
4,44km m k k ⎛⎫ ⎪--⎝⎭
，即416,k m m ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，其中0km ≠，
于是，过点M 且与l 垂直的直线为1614k y x m k m ⎛⎫+
=-+ ⎪⎝⎭
， 可得20202020,0,0,,,k k A B P m m m m ⎛⎫⎛
⎫⎛⎫-
--- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭⎝⎭，即2020,k x y m m =-=-， 则222
2
2224004001600410010044k m x y m m m ⎛⎫=
=+=+=+ ⎪⎝⎭
，即22100125x y -=，其中0y ≠， 所以点(,)P x y 的轨迹方程是
22
100125
x y -=（0y ≠），轨迹是焦点在x 轴上，实轴长为20，虚轴长为10的双曲线（去掉两个顶点），
如果将此题推广到一般双曲线22
221(0,0)x y a b a b -=>>，直线:()b l y kx m k a
=+≠±，其它条件不变，可得点
(,)P x y 的轨迹方程是2
2
2
2
2
2
2
2
1(0)
x y y a b a b a b -
=≠⎛⎫
⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭
，轨迹是焦点在x 轴上，实轴长为
()222a b a
+，虚
轴长为
()222a b b
+的双曲线（去掉两个顶点）.
14．M 是一个动点，MA 与直线y x =垂直，垂足A 位于第一象限，MB 与直线y x =-垂直，垂足B 位于第四象限．若四边形OAMB （O 为原点）的面积为3，求动点M 的轨迹方程．
【答案】()22
60x y x -=>.
【解析】设(),M x y ，根据题意可知点M 在y x =和y x =-相交的右侧区域， 所以点M 到直线y x =
的距离1d ==
，到直线y x =-
的距离2d ==22
1232
OAMB
x y S d d -===
即()22
60x y x -=>
所以动点M 的轨迹方程：()22
60x y x -=>.
15．已知A ，B 两点的坐标分别是(6,0)-，(6,0)，直线AM ，BM 相交于点M ，且它们的斜率之积是
2
9
．求点M 的轨迹方程，并判断轨迹的形状． 【答案】点M 的轨迹方程为()22
16368
x y x -
=≠±，轨迹为焦点在x 轴上的双曲线，不含左右顶点. 【解析】设(),M x y ，因为()()6,0,6,0A B -，
所以()26669AM BM
y y k k x x x ⋅=⋅=≠±+-，整理得()2216368
x y x -=≠±， 故点M 的轨迹方程为()22
16368
x y x -=≠±，轨迹为焦点在x 轴上的双曲线，不含左右顶点.。