2021年新高考全国Ⅰ卷试题分析之数列

2021年新高考全国Ⅰ卷试题分析之数列

摘要：本文主要分析2021年新高考全国Ⅰ卷第17题数列问题，来获得数学教学及高考备考的启示。新高考全国Ⅰ卷在新高考背景下应运而生，山东省自2020年起进行选课走班使用新全国Ⅰ卷，其不同于以往注重基础的山东卷，也不完全与全国卷相同，其独特的文化体现、素养考察、重思维的特点，引来了众多一线教师的关注与研究，作者对2021年的数列题进行分析，此题难度小但包含的内容与带给日常教学及备考的启示也有深刻意义。

关键词：高中数学、核心素养、新高考全国Ⅰ卷、数列

1.试题再现

2.命题意图分析

该题目的命制很好地体现了降低运算量提高思维活动的新高考命题思想，作为2021新高考一卷的解答题的第一题，难度不能高、计算不能复杂。这道题目命制精简、巧妙，充分地体现了数列是特殊的函数，用分段形式将数列按奇偶项分组，并通过符号语言来考察学生对于符号语言的运用与理解，需要理解bn是an偶数项，并能通过递推公式推导偶数项间的关系，从而得到bn的通项公式。同时第1问也给出了数学归纳的研究思想及方法，让学生列举b1，b2感受bn与an的关系，并体会bn的特点，来降低难度梯度，帮助学生顺利探究递推公式，完成通项公式的求解。第2问是在第1问的基础之上，进行的前n项和的求解，奇偶项通项公式的不同，显然要用到分组求和的方法，分组的方式有不同但求和的本质都是等差数列前n项和，既考察基础知识又需要逻辑推理及符号的理解，考察了学生的数学运算、逻辑推理的核心素养。

3.考察方向分析

该题通过分段的形式将数列的递推公式展现出来，并将数列自然地按奇偶项分组，考察了递推公式的推导，等差数列通项公式的求解，等差数列前n项和公式及分组求和的求和方法，考察等差数列知识，并相当全面，将研究数列的完整脉络贯穿其中。从本道题目来看，数列的考察方向重基础知识、重逻辑思维、重符号理解、重知识的灵活运用，不能再单纯的关注方程思想在数列解题中的应用了，题目偏向灵活性，更体现数学本质，和研究思想及过程的渗透。

4.试题分析

本题第一问通过的关系，得到再利用及递推公式逐个推导出的值，并在推导过程中感受数列呈现出的奇偶项分组的特点，感受计算一项经过的过程及与的关系，从而完成对通项公式的求解，本质是寻找。

第二问则是在第一问已经探究得到数列根据奇偶项进行了分组的前提下，利用分组求和的方法求数列的前20项和的问题。类比偶数项通项公式的求法，探究奇数项通项公式，利用等差数列前n项和公式，将前20项拆成两个数列各前10项的和再求和即可，本质就是等差数列前n项和公式的应用。

5.多种解答

第（1）问

解法一：

解法二：

第（2）问

解法一：按奇偶项分组求和

解法二：按相邻项分组求和

解法三：利用熟悉的正整数列求和

解法四：直接求Sn

解法五：直接求S2n，将n=10代入

6.一题多变

方向一：保持等差数列的考察背景，改变对奇偶项的考察

例：

第一问可以从求偶数项变成求奇数项，难度变化不大；第二问求前偶数项和

其实分组之后，每组球和元素个数相同，当变成奇数后，学生要对奇偶项的个数

有清晰的认识，并且要求学生条理清晰，难度稍增。

方向二：保持递推公式为两项差特点的考察背景，将递推公式变为含有n的式子

例：

这样修改在原先是等差数列的考察背景下，变为了更为复杂的通过累加法求数列通项公式的问题，先找到偶数项的递推公式再进行通项的求解，实则在第一问就进行了等差数列前n项公式的考察，第二问利用等差数列前n项和的公式的特点，构造新数列回归等差数列，继续考察等差数列前n项和；在题干构造良好的情况下，也可构造数列，考察裂项相消法求和。

方向三：改递推公式两项差为两项商，即将背景从等差数列改为等比数列

这样修改就将等差数列的考察背景换成了等比数列，命题的意图及考察的方向相同，知识的考察发生变化，等比数列中的乘除乘方运算较等差数列中的加减乘运算，难度稍有增加。同样的，在递推公式也可继续在原有基础上增加常数，这样可以构造新数列来达到求通项公式的目的，难度更大。

7.高考备考启示

山东省面对新高考，逐年的变革让我们越来越能从高考卷中把握考察方向，更加有效地指导日常教学及高考备考，通过分析2021年新高考全国一卷的数列解答一题，联系19-21三年的山东考察的试卷中数列相关的题目，以下给出3年试卷数列题目考察题目、题型、总分值及考察内容，得到几点高考备考启示：

1.基础知识打得牢，研究方法更本质。数列题目19年重点考察的是等差、等比数列通项、前n项和公式的应用，考察方程思想解决数列问题，重知识重运算；从20年过渡到21年，尤其是今年的题目，体现的是基础知识是解决问题的工具，但是解决问题的通道是数列的研究过程与方法的深刻理解，所以在复习备考过程中不能只将注意力放在知识的记忆与熟练应用上，也应该关注研究思路过程、提升学生的数学素养。

2.加强符号理解，回归数学本质。题目情境无非源自数学情境、科学情景与生活情景，从近3年的题来看，数列大多是纯数学情境，2021年的这道题目，题目多小精悍，纯符号语言，但是想要读懂与理解并且运用实际上对学生的能力是有要求的，学生要能够读懂符号，将符号进行数学逻辑的推理与转化，这是在备考中要加强训练的一部分，同时，看透符号语言背后的数学本质，也是理解题目并接出题目的关键，越来越强调数学本质，弱化公式套用。

3.让学生动起来，提升迁移能力，用数学研究数学。在高考备考过程中，也不能一味地使用题海战术，让学生在题海里畅游，教师应该让学生动起来，引导学生主动学习、主动复习；多多研究各知识模块之间的联系，并让学生进行思考，在课堂中进行渗透，数学是怎么来研究数学的，研究的方式方法过程存在哪

些共性，不同知识模块间又有哪些差异，真正提升学生数学素养，提高学生自主解决、研究数学问题的能力。