江西省临川一中南昌二中2019届高三数学5月联考试题理2

江西省临川一中、南昌二中2019届高三数学5月联考试题 理
注意事项：
1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分,满分150分，考试时间120分
钟
2. 答题前，考生务必将自己的姓名，准考证号填图在答题卡相应的位置。

第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知集合，则（ ）
{
}
{
}
2,0322
<=≤-+=x x
B x x x A =⋂B A A ． B ．
C ．
D ． {}13≤≤-x x {}10≤≤x x {}13<≤-x x {}
1≤≤-x x 2．复数，若复数， 在复平面内的对应点关于虚轴对称，则（ ）12z i =+1z 2z 12z z =A ． B ． C ． D ．5-534i -+34i
-3．某调查机构对全国互联网行业进行调查统计，得到整个互联网行业从业者年龄分布饼状图、90后从事互联网行业者岗位分布条形图，则下列结论中不正确的是（ ）
注：90后指1990年及以后出生，80后指1980-1989年之间出生，80前指1979年及以前出生.
A ．互联网行业从业人员中90后占一半以上
B ．互联网行业中从事技术岗位的人数超过总人数的20%
C ．互联网行业中从事产品岗位的90后人数超过总人数的5%
D ．互联网行业中从事运营岗位的90后人数比80前人数多
4．已知数列为各项均为正数的等比数列，是它的前项和，若{}n a n S n ，且，则=（ ）471=a a 2
5
274=
+a a 5S A ． 32 B ． 31 C ． 30 D ． 29
5.执行如图的程序框图，则输出的值是（ ）
x A ． B ． C ． D ．2018201912
2
6．在△ABC 中，，则 （ ）→
→
→
→
→
→
→
+===AC AB BP PD AP DC BD μλ,2,=+μλA ． B ． C ． D ． 31-3121-2
17.我国古代《九章算术》将上下两个平行平面为矩形的六面体称为刍童.如图是一个刍童的三视图，其中正视图及侧视图均为等腰梯形，两底的长分别为2和6，高为2，则该刍童的体积为（ ）A ．
B ．
C ．27
D ．1831003
1048．2019年4月25日-27日，北京召开第二届“一带一路”国际高峰论坛，组委会要从6个国内媒体团和3个国外媒体团中选出3个媒体团进行提问，要求这三个媒体团中既有国内媒体团又有国外媒体团，且国内媒体团不能连续提问，则不同的提问方式的种数为 ( )A. 198 B. 268 C. 306 D. 3789．已知x∈[－π，π]，则“x∈”是“sin （sinx ）＜cos （cosx ）成立”的（
]22[π
π，-）
A ．充要条件 B.必要不充分条件 C.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件
10．在中，
，则（ ）ABC ∆3
45→
→→→→→∙=
∙=∙AB
CA CA BC BC AB =C B A sin :sin :sin A ． B ． C ． D ．
8:7:98:7:97:8:67:8:611．过双曲线的右支上一点，分别向圆和圆
22
115
y x -=P ()22
1:44C x y ++=作切线，切点分别为，则的最小值为（ ）
()2
22:41C x y -+=,M N 2
2
PM
PN -A ．10 B ．13 C ．16 D ．19
12．不等式对任意x ∈（1，+∞）恒成立，则实数a 的取值范围（ ）1ln 3+≥--x x
a e x x
A ．（﹣∞，1﹣e ]
B ．（﹣∞，2﹣e 2]
C ．（﹣∞，﹣2]
D ．（﹣∞，﹣3]
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在题中的横线上.
13．若，的展开式中常数项为________．⎰=π
0sin 4dx x n n
x x ⎪⎭⎫ ⎝⎛
-3
1214．已知实数满足则的最大值为________．
y x ,⎪⎩
⎪
⎨⎧≤≤--≥-+x y y x y x 0220
22y x z +=15．设，将的图像向右平移个单位长度，得到
x x x f 2cos 32sin )(+=)(x f ）（0>ϕϕ的图像，若是偶函数，则的最小值为________．
)(x g )(x g ϕ16．设函数，若方程有12个不同的根，则()3
2133
f x x x x =
+-()()2||10f x t f x ++=实数的取值范围为________．
t 三.解答题：(本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分12分) 已知数列有，是它的前项和，且{
}n a 0≠n a n S n 31=a ．2,32
122
≥+=-n S a n S n n n （1）求证：数列为等差数列.{}1++n n a a （2）求的前项和.{
}n a n n S 18．(本小题满分12分) 已知空间几何体中，与均为边长为的等ABCDE BCD ∆CDE ∆2边三角形，为腰长为的等腰三角形，平面平面，ABC ∆13⊥CDE BCD 平面平面.
⊥ABC BCD （1）试在平面内作一条直线，使直线上任意一点与的连线
BCD F A 均与平面平行，并给出详细证明
AF CDE （2）求直线与平面所成角的正弦值
BE AEC
19． (本小题满分12分)
每年七月份，我国J 地区有25天左右的降雨时间，如图是J 地区S 镇2000-2018年降雨量
（单位：mm ）的频率分布直方图，试用样本频率估计总体概率，解答下列问题：
（1）假设每年的降雨天气相互独立，求S 镇未来三年里至少有两年的降雨量不超过350mm 的概率；
（2）在S 镇承包了20亩土地种植水果的老李过去种植的
甲品种水果，平均每年的总利润为31.1万元．而乙品种水果的亩产量m （kg /亩）与降雨量之间的关系如下面统计表所示，又知乙品种水果的单位利润为32-0.01×m （元/kg ），请帮助老李排解忧愁，他来年应该种植哪个品种的水果可以使利润ξ（万元）的期望更大？（需说明理由）；
降雨量[100，200）
[200，300）
[300，400）
[400，500）
亩产量
500700600400
20．(本小题满分12分)
已知两定点，点是平面内的动点，且,记
)0,3
1
(),0,31(B A -M 4=+++→→→→BM BA AM AB 的轨迹是M C
（1）求曲线的方程；
C （2）过点引直线交曲线于两点，设，点关)0,1(1F l C N Q ,)10(≠>=λλλ且Q 于轴的对称点为，证明直线过定点.
x R NR
21．(本小题满分12分)
x
e x x
f 32)(=已知函数（1）若，求证：0<x ;9
1)(<
x f （2）若，恒有，求实数的取值范围.
0>x 1ln 2)3()(+++≥x x k x f k 22．[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）
在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1过点P (a ，1)，其参数方程为Error!(t 为参数，a ∈R )，以O 为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为
ρcos 2θ＋4cos θ－ρ＝0．
(1)求曲线C 1的普通方程和曲线C 2的直角坐标方程；
(2)已知曲线C 1和曲线C 2交于A ，B 两点，且|PA |＝2|PB |，求实数a 的值．
23．[选修4—5：不等式选讲]（10分） 已知函数13)(----=m x m x x f （1）若，求不等式的解集.
1=m 1)(<x f （2）对任意的，有，求实数的取值范围.
R x ∈)2()(f x f ≤m
联考试卷答案：
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.二、填空题:本大题共4小题,每小题5分，满分20分．
13．112 14. 4 15. 16. 125π
34
(,2)
15
--小题详解：
1.B 解析：{}{}
2
0,13<≤=≤≤-=x x B x x A 2.A 于虚轴对称，在复平面内的对应点关21,z z ,
22i z +-=则有 ，故选A.
()()12z z 22i i =+-+245i =-=-3．C 解析：产品岗位90后人数：05.00364.0065.0*56.0<=4. B 解析：31,2
1
,41,2574====S q a a 5．D 解答略
6．A 解析：P 为的重心，ABC ∆,12
3
)1(23,)1(32=++++=→→→
μλμλAC AB AD 31-
=+μλ7.B 解析：原图为正四棱台，3
104
2*)36*4364(31=++=
V 8．A 分两种情况，若选两个国内媒体一个国外媒体，有 种不同提问方式；212
63290C C A =若选两个外国媒体一个国内媒体，有种不同提问方式，所以共有
123633108C C A =种提问方式，故选A.
90+108=198题号
11
22
23
34
45
46
77
88
99
1101111
12答案
B B
A A D C
B B D D A A B B
C A C C B B
B B
D D
9. C 当x∈时，sinx 所以0≤sinx＜－cosx≤
]22[π
π，-2π<2π2π
于是sin （sinx ）＜sin （
－cosx ）＝cos （cosx ），充分性成立.
2
π
取x ＝－
，有sin （sinx ）＝sin ）＝－＜023πcos （cosx ）＝cos （－）＝cos ＞0所以sin （sinx ）＜0＜cos （cosx ）也成立，必要性121
2
不成立 故选C.
10．B 解析：t
AB CA t CA BC t BC AB t AB
CA CA BC BC AB 3,4,5,3
45=∙=∙=∙=∙=∙=∙→→→→→→→
→
→
→
→
→，得
t a b c t c a b t b a c 6,8,10222222222=-+=-+=-+==c b a C B A ::sin :sin :sin 8
:7:911．B 如图所示，根据切线，可有2
2
2
2
1241
PM PN PO PO -=--+，，所
()()()12
1
212323PO PO PO
PO PO PO =+--=+-12128PO PO O O +≥=以最小值为.
2
2
PM
PN -1512.D 不等式x ﹣3e x ﹣alnx ≥x +1，∴alnx ≤x ﹣3e x ﹣x ﹣1；又x ∈（1，+∞），lnx ＞0，∴a ≤
对∀x ∈（1，+∞）恒成立；设f （x ）＝
，x ∈（1，+∞），则
x ﹣3•e x ＝•e x ＝e x ﹣3lnx ≥x ﹣3lnx +1，∴x ﹣3e x ﹣x ﹣1≥x ﹣3lnx +1﹣x ﹣1＝﹣3lnx ，∴f
（x ）＝≥＝﹣3，当x ﹣3lnx ＝0时等号成立；又方程x ﹣3lnx ＝0在
（1，+∞）内有解，∴f （x ）min ＝﹣3，即a 的范围是（﹣∞，﹣3]．故选：D ．
13. 112 解析：，的展开式中常数项为1128sin 40
==⎰π
dx x n 8
3
12⎪⎭⎫ ⎝⎛
-x x 14.4 解答略
15. 解析：，将的图像向右平移
125π
)3
2sin(22cos 32sin )(π
+=+=x x x x f )(x f 个单位长度，，
）（0>ϕϕ)3
22sin(2)(π
ϕ+-=x x g ，Z k k k g ∈+-=+=+-±=+-=,212,232,232sin(2)0(ππϕπππϕπϕ）（0>ϕ12
5π
ϕ=
16.
由函数的解析式可知f ′(x )=x 2+2x −3=0，得x =−3，x =1，
34(,2)15--由f ′(x )>0得x >1或x <−3,即函数在(−∞,−3),(1,+∞)单调递增,由f ′(x )<0得−3<x <1,则函数在(−3,1)单调递减，则函数的极大值为f (−3)=9,函数的极小值为，()5
13
f =-
根据函数的图象可知，设|f (x )|=m ,可知m 2+tm +1=0，原方程有12个不同的根，则m 2+tm +1=0方程应在内有两个不同的根，设h (m )
50,3⎛⎫ ⎪⎝
⎭
=m 2+tm +1，则，求解可得实数t 的取值范围是.
25035{023
40
h t t ⎛⎫> ⎪⎝⎭
<-<∆=->34
215t -<<-17.解：（1）当时，2≥n 0
,3))((32
112
12
2
≠=+-+=---n n n n n n n n n a a n S S S S S a n S ，，，，
213)(n S S n n =+-21)1(3)(+=++n S S n n )12(31+=++n a a n n 当时，成立。

…………5分1=n 921=+a a （2），693121=-==a a a ，当为偶数，
n )
(2
3
2)
123(23))12(73(3)()()(214321n n n n
n a a a a a a S n n n +=-+=-+++=++++++=- 当为奇数，n )
()(1321n n n a a a a a S +++++=- 3
)2(2
32)
125(21
33))12(95(332+-+=-+-+=-++++=n n n n n 综上：Sn=3/2（n^2+n ）…………12分
18.解：(1)如图所示:取BC 和BD 的中点H 、
G
，连接HG 。

HG 为所求直
线。

,平面平面，平面平面.,得
CD HG //⊥CDE BCD ⊥ABC BCD BC AH ⊥，。

则，所以直线HG 上任意一
BCD AH 平面⊥CDE AH 平面//CDE AHG 平面平面//点与的连线均与平面平行. …………4分
F A AF CDE (2)以CD 中点O 为坐标原点，OD 所在直线为x 轴，OB 所在直线为Y 轴，OE 所在直线为Z 轴,建立空间直角坐标系。

,设
)3,3,0(),32,2
3
,21(),0,3,0(),3,0,0(),0,0,1(-=--→BE A B E C ⎪⎩
⎪
⎨⎧=-=-=⎪⎩
⎪⎨⎧=++-=∙=+=∙⊥=→
→→
→→133
323
2103,),,(z y x z y x EA n z x CE n AEC z y x n 平面.
…………12分
1326
213634cos sin ===θα19.解：（1）频率分布直方图中第四组的频率为1-100×（0.002+0.004+0.003）=0.1，则J 地区S 镇每年的降雨量超过350mm 的概率为50×0.003+0.1=0.25，所以J 地区S 镇每年的降雨量不超过350mm 的概率为：
1-0.25=0.75；所以J 地区S 镇未来三年里至少有两年的降雨量不超过350mm 的概率为
P =××+×=；…………5分
（2）根据题意，总利润为20m （32-0.01m ）（元），其中m =500，700，600，400；所以随机变量ξ（万元）的分布列如下图所示；
ξ
273531.222.4P
0.2
0.4
0.3
0.1
则总利润ξ（万元）的数学期望为
E （ξ）=27×0.2+35×0.4+31.2×0.3+22.4×0.1=5.4+14.0+9.36+2.24=31（万元），
因为31.1＞31，所以老李来年应该种植甲种水果，可使总利润的期望更大．…………12分
20．
21.证明：（1）∵函数f（x）＝x2e3x，∴f′（x）＝2xe3x+3x2e3x＝x（3x+2）e3x．由f′（x）＞0，得x＜﹣或x＞0；由f′（x）＜0，得﹣，
∴f （x ）在（﹣∞，﹣）内递增，在（﹣，0）内递减，在（0，+∞）内递增，∴f （x ）的极大值为f （﹣）＝
，∴当x ＜0时，f （x ）≤f （﹣）＝＜＝．………… 4分
解：（2）∵x 2e 3x ≥（k +3）x +2lnx +1，∴k ≤
，x ＞0，令g （x ）＝，x ＞0，则g ′（x ）＝，令h （x ）＝x 2（1+3x ）e 3x +2lnx ﹣1，则h （x ）在（0，+∞）上单调递增，且x →0+时，h （x ）→﹣∞，h （1）＝4e 3+2lnx ﹣1，
∴存在x 0∈（0，1），使得h （x 0）＝0，
∴当x ∈（0，x 0）时，g ′（x ）＜0，g （x ）单调递减，
当x ∈（x 0，+∞）时，g ′（x ）＞0，g （x ）单调递增，
∴g （x ）在（0，+∞）上的最小值是g （x 0）＝，
∵h （x 0）＝+2lnx 0﹣1，得＝，令＝t 0，则2lnx 0+3x 0＝lnx 0，且φ（1）＝0，∴t ＝1，∴g （x 0）＝＝，
∴实数k 的取值范围是（﹣∞，0]．…………12分
22.解　(1)C 1的参数方程为Error!消参得普通方程为x －y －a ＋1＝0，C 2的极坐标方程为ρcos 2θ＋4cos θ－ρ＝0，两边同乘ρ得ρ2cos 2θ＋4ρcos θ－ρ2＝0，得y 2＝4x ．
所以曲线C 2的直角坐标方程为y 2＝4x ．…………5分
(2)曲线C 1的参数方程可转化为Error!(t 为参数，a ∈R )，代入曲线C 2：y 2＝4x ，得t 2－t ＋1－4a ＝0，由Δ＝(－)2－4××(1－4a )>0，得a >0，
12221
2设A ，B 对应的参数分别为t 1，t 2，
由|PA |＝2|PB |得|t 1|＝2|t 2|，即t 1＝2t 2或t 1＝－2t 2，
当t 1＝2t 2时，Error!解得a ＝；
1
36
当t 1＝－2t 2时，Error!解得a ＝，
94综上，a ＝或．…………10分
1369423.（1），解得 …………5分
41)(---=x x x f )3,(-∞(2)当时，，，2
1,13->>+m m m 31,132≤+≥m m 3121≤<-m 当时，成立
21,13-==+m m m 当时，，不合21,13-<<+m m m 31,1
32≥+≤m m 综上， …………10分31
21
≤≤-m。