浙江省考试院高三数学测试卷试题 理 新人教A版

测试卷 数学(理科)
姓名_____________ 准考证号__________________
本试题卷分选择题和非选择题两部分。

全卷共5页，选择题部分1至3页，非选择题部分4至5页。

满分150分，考试时间120分钟。

请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上。

选择题部分 (共50分)
注意事项:
1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试卷和答题纸规定的位置上。

2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

不能答在试题卷上。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的。

1．已知集合A ＝{y | y ＝2x
，x ∈R }，则 R A ＝
A ．∅
B ． (－∞，0]
C ．(0，＋∞)
D ．R 2．已知a ，b 是实数，则“| a ＋b |＝| a |＋| b |”是“ab ＞0”的
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件 3．若函数f (x ) (x ∈R )是奇函数，函数g (x ) (x ∈R )是偶函数，则
A ．函数f [g (x )]是奇函数
B ．函数g [f (x )]是奇函数
C ．函数f (x )⋅g (x )是奇函数
D ．函数f (x )＋g (x )是奇函数
4．设函数f (x )＝x 3
－4x ＋a ，0＜a ＜2．若f (x )的三个零点为x 1，x 2，x 3，且x 1＜x 2＜x 3，则
A ．x 1＞－1
B ．x 2＜0
C ．x 2＞0
D ．x 3＞2
5．如图，在四边形ABCD 中，AB ⊥BC ，AD ⊥DC ．若|AB |＝a ，|AD |＝b ，则AC BD ⋅＝
A ．b 2
－a 2
B ．a 2
－b 2
C ．a 2
＋b 2
D ．ab 6．设数列{a n }．
A ．若2
n a ＝4n
，n ∈N *，则{a n }为等比数列 B ．若a n ⋅a n +2＝21n a +，n ∈N *，则{a n }为等比数列
C ．若a m ⋅a n ＝2m +n
，m ，n ∈N *，则{a n }为等比数列 D ．若a n ⋅a n +3＝a n +1⋅a n +2，n ∈N *，则{a n }为等比数列
7．已知以下三视图中有三个同时表示某一个三棱锥，则不是．．该三棱锥的三视图是
A
B
．
C
．
D ．
8．若整数x ，y 满足不等式组
0,2100,
0,
x y x y y ⎧->⎪
--<⎨+- 则2x ＋y 的最大值是
(第6题图)
侧视图
正视图
俯视图
侧视图
俯视图
侧视图
正视图 俯视图
侧视图
俯视图
A ．11
B ．
D ．30
9．如图，F 1，F 2是双曲线C ：22
221x y a b
-=(的左、右焦点，过F 1的直线l 与C 交于A ，B 两点．若 | AB | : | BF 2 3:4 : 5，则双曲线的离心率为
A B C ．2 D 10．如图，函数y ＝f (x )的图象为折线f n +1 (x )＝f [f n (x )]，n ∈N *
A ．B
C ．D
非选择题部分 (共100分)
注意事项：
1．用黑色字迹的签字笔或钢笔将答案写在答题纸上，不能答在试题卷上。

2．在答题纸上作图，可先使用2B 铅笔，确定后必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔描黑。

二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分。

11．已知i 是虚数单位，a ∈R ．若复数2i
2i
a a +-的虚部
为1，则a ＝ ．
12．设公差不为零的等差数列{a n }的前n 项和为S n ．若
a 22＋a 32＝a 42＋a 52，则S 6＝ ．
13
．若)2
n x
(n 为正偶数)的展开式中第5项的二
项式系数最大，则第5项是 ．
14．若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值
是 ．
15．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，
已知C ＝2A ，cos A ＝3
4
，b ＝5，则△ABC 的面积为
．
16．在△ABC 中，B (10，0)，直线BC 与圆Γ：x 2
＋(y －5)2
＝25相切，切点为线段BC 的中点．若△ABC 的重心恰好为圆Γ的圆心，则点A 的坐标为 ．
17．在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝1，AD ＝2．若存在各棱
长均相等的四面体P 1P 2P 3P 4，其中P 1，P 2，P 3，P 4分别在棱
AB ，A 1B 1，C 1D 1，CD 所在的直线上，则此长方体的体积
为 ．
(第14题图)
A
B
C
D A 1
B 1
C 1
D 1 (第17题图)
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

18．(本题满分14分) 已知函数f (x )＝3 sin 2
ax
ax cos ax ＋2 cos 2
ax 的周期
为π，其中a ＞0． (Ⅰ) 求a 的值； (Ⅱ) 求f (x )的值域．
19．(本题满分14分) 已知A ，B ，C ，D ，E ，F 是边长为1的正六边形的6个顶点，在顶
点取自A ，B ，C ，D ，E ，F 的所有三角形中，随机(等可能)取一个三角形．设随机变量
X 为取出三角形的面积．
(Ⅰ) 求概率P ( X
)； (Ⅱ) 求数学期望E ( X )．
20．(本题满分15分) 如图，平面ABCD ⊥平面ADEF ，其中
ABCD 为矩形，ADEF 为梯形， AF ∥DE ，AF ⊥FE ，AF ＝AD ＝2 DE ＝2．
(Ⅰ) 求异面直线EF 与BC 所成角的大小；
(Ⅱ) 若二面角A －BF －D 的平面角的余弦值为13，求AB 的长．
21．(本题满分15分) 如图，F 1，F 2
C ：22221x y a b +=(a ＞b ＞0)的左、右焦点，直线l ：x ＝－
12
将线段F 1F 2分成两段，其长度之比为1 : 3．设A ，B 是C 上的两个动点，线段AB 的中垂线与C 交于P ，Q 两点，线段AB 的中点M 在直线l 上． (Ⅰ) 求椭圆C 的方程； (Ⅱ) 求22F P F Q ⋅的取值范围． 22．(本题满分14分) 已知函数f (x )＝x 3
＋
32
(1－a )x 2
－3ax ＋1，a ＞0． (Ⅰ) 证明：对于正数a ，存在正数p ，使得当x ∈[0，p ]时，有－1≤f (x )≤1； (Ⅱ) 设(Ⅰ)中的p 的最大值为g (a )，求g (a )的最大值．
(第20题图) (第21题图)
数学测试题(理科)答案及评分参考
说明:
一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则。

二、对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后续部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分。

三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数。

四、只给整数分数。

选择题和填空题不给中间分。

五、未在规定区域内答题，每错一个区域扣卷面总分1分。

一、选择题：本题考查基本知识和基本运算。

每小题5分，满分50分。

1．B 2．B 3．C 4．C 5．A 6．C
7．D
8．B
9．A
10．D
二、填空题：本题考查基本知识和基本运算。

每小题4分，满分28分。

11．2 12．0
13．
358
x 6
14．10
1516．(0，15) 或 (－8，－1) 17．4 三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

18．本题主要考查三角函数的图象与性质、三角变换等基础知识，同时考查运算求解能力。

满分14分。

(Ⅰ) 由题意得
f (x )＝3
(1－cos 2ax )sin 2ax ＋(1＋cos 2ax )
ax －12cos 2ax ＋52
＝sin (2ax －π
6
)＋52．
因为f (x )的周期为π，a ＞0，所以
a ＝1．
………… 7分
(Ⅱ) 由(Ⅰ)得
f (x )＝sin (2x －
π
6
)＋52，
所以f (x )的值域为[
32，7
2
]． ………… 14分
19．本题主要考查随机事件的概率和随机变量的分布列、数学期望等概念，同时考查抽象
概括、运算求解能力和应用意识。

满分14分。

(Ⅰ)
的概率 P ( X
)＝366C ＝310
． ………… 7分
(Ⅱ) 随机变量X 的分布列为
所以 E ( X )310＋×610×110
． ………… 14分
20．本题主要考查空间点、线、面位置关系，异面直线所成角、二面角等基础知识，空间
向量的应用，同时考查空间想象能力和运算求解能力。

满分15分。

(Ⅰ) 延长AD ，FE 交于Q ． 因为ABCD 是矩形，所以
BC ∥
AD ，
所以∠AQF 是异面直线EF 与B C 所成的角． 在梯形ADEF 中，因为DE ∥AF ，AF ⊥FE ，AF ＝2，DE ＝1得
∠AQF ＝30°．
………… 7分
(Ⅱ) 方法一：
设AB ＝x ．取AF 的中点G ．由题意得
(第20题图)
Q
DG⊥AF．因为平面ABCD⊥平面ADEF，A B⊥AD，所以
AB⊥平面ADEF，所以
AB⊥DG．所以
DG⊥平面ABF．过G作GH⊥BF，垂足为H，连结DH，则DH⊥BF，所以∠DHG为二面角A－BF－D的平面角．
在直角△AGD中，AD＝2，AG＝1，得
DG
在直角△BAF中，由AB
BF
＝sin∠AFB＝
GH
FG
，得
GH
x
，
所以
GH
．
在直角△DGH中，DG GH
，得
DH＝
因为cos∠DHG＝GH
DH
＝
1
3
，得
x
所以
AB
………… 15分方法二：设AB＝x．
以F为原点，AF，FQ所在的直线分别为x轴，y轴建立空间直角坐标系Fxyz．则
F(0，0，0)，A(－2，0，0)，E0，0)，D(－10)，B(－2，0，x)，
所以
DF ＝(1
0)，BF ＝(2，0，－x )．
因为EF ⊥平面ABF ，所以平面ABF 的法向量可取1n ＝(0，1，0)． 设2n ＝(x 1，y 1，z 1)为平面BFD 的法向量，则
111120,
0,
x z x x -=⎧⎪⎨
=⎪⎩ 所以，可取2n ＝
1
． 因为cos<1n ，2n >＝1212||||n n n n ⋅
⋅＝1
3
，得
x
所以
AB ………… 15分
21．本题主要考查椭圆的几何性质，直线与椭圆的位置关系等基础知识，同时考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力。

满分15分。

(Ⅰ) 设F 2(c ，0)，则
1212
c c -
+＝13，
所以
c ＝1．
因为离心率e
2
，所以
a
所以椭圆C 的方程为
2
212
x y +=． ………… 6分 (Ⅱ) 当直线AB 垂直于x 轴时，直线AB 方程为x ＝－1
2
，此时P(2-，0)、Q(2,0)
221F P F Q ⋅=-．
(第20题图)
(第21题图)
当直线AB 不垂直于x 轴时，设直线AB 的斜率为k ，M (－
1
2
，m ) (m ≠0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．
由 2
21122221,21,
2
x y x y ⎧+=⎪⎪
⎨⎪+=⎪⎩ 得
(x 1＋x 2)＋2(y 1＋y 2)12
12
y y x x -⋅
-＝0， 则
－1＋4mk ＝0，
故
k ＝
1
4m
． 此时，直线PQ 斜率为m k 41-=，PQ 的直线方程为
)2
1
(4+-=-x m m y ．
即 m mx y --=4．
联立⎪⎩⎪⎨⎧=+--=12
42
2y x m mx y 消去y ，整理得 2222
(321)16220m x m x m +++-=．
所以
2122
16321
m x x m +=-+，212222
321m x x m -=+． 于是
=⋅F F 22(x 1－1)(x 2－1)＋y 1y 2
)4)(4(1)(212121m mx m mx x x x x +++++-=
22122121))(14()161(m x x m x x m +++-++=
2222222(116)(22)(41)(16)1321321
m m m m m m m +---=+++++ 22191321
m m -=+． 令t ＝1＋32m 2
，1＜t ＜29，则 t
F F 3251321922-=
⋅． 又1＜t ＜29，所以 221251232F P F Q -<⋅<
． 综上，F F 22⋅的取值范围为[1-，125232
）． ………… 15分
22．本题主要考查利用导数研究函数的性质等基础知识，同时考查推理论证能力，分类讨
论等综合解题能力和创新意识。

满分14分。

(Ⅰ) 由于 f ′(x )＝3x 2
＋3(1－a )x －3a ＝3(x ＋1)(x －a )，且a ＞0，
故f (x )在[0，a ]上单调递减，在[a ，＋∞)上单调递增．
又 f (0)＝1， f (a )＝－12a 3－32a 2＋1＝12
(1－a )(a ＋2) 2－1． 当f (a )≥－1时，取p ＝a ．
此时，当x ∈[0，p ]时有－1≤f (x )≤1成立．
当f (a )＜－1时，由于f (0)＋1＝2＞0，f (a )＋1＜0，
故存在p ∈(0，a )使得f (p )＋1＝0．
此时，当x ∈[0，p ]时有－1≤f (x )≤1成立．
综上，对于正数a ，存在正数p ，使得当x ∈[0，p ]时，有－1≤f (x )≤1．
………… 7分
(Ⅱ) 由(Ⅰ)知f (x )在[0，＋∞)上的最小值为f (a )．
当0＜a ≤1时，f (a )≥－1，则g (a )是方程f (p )＝1满足p ＞a 的实根，
即2p 2
+3(1－a )p －6a ＝0满足p ＞a 的实根，所以
g(a)
又g(a)在(0，1]上单调递增，故
g(a)max＝g(1)当a＞1时，f (a)＜－1．
由于f (0)＝1，f (1)＝9
2
(1－a)－1＜－1，故
[0，p]⊂ [0，1]．
此时，g(a)≤1．
综上所述，g(a)
………… 14分。