山东省巨野县第一中学高二数学上学期第一次月考试题

山东省巨野县第一中学2017-2018学年高二数学上学期第一次月考试
题
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的.
1.已知πn a n cos =，则数列{}n a 是（ ）
A ．递增数列
B ．递减数列
C ．常数列
D ．摆动数列 2.已知锐角ABC ∆的面积为33，3,4==CA BC ，则角C 的大小为（ ） A ． 75 B ． 60 C ． 45 D ． 30 3.已知△ABC 中，a=4， 30,34==A b ，则B 等于（ ） A ． 30 B ． 30 或 150 C ． 60 D ． 60或 120 4.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若10,242==S S ，则6S 等于（ ） A ．12 B ．18 C ．24 D ．42 5.在ABC ∆中，B A B A sin sin cos cos >，则ABC ∆是（ ）
A ．钝角三角形
B ．锐角三角形
C ．直角三角形
D ．等边三角形
6． 《九章算术》有这样一个问题：今有男子善走，日增等里，九日走一千二百六十里，第
一日、第四日、第七日所走之和为三百九十里，问第八日所走里数为 （ ）
A ．150
B ．160
C ．170
D ．180
7.已知三角形的三边长分别为22,,b ab a b a ++，则三角形的最大内角是（ ） A ． 135 B ． 120 C ． 60 D ． 90
8.已知{}n a 为等差数列，99,105
642531=++=++a a a a a a .以n S 表示{}n a 的前n 项和，则使得n S 达到最大值的n 是（ ）
A ．18
B ．19
C ．20
D ．21
9.已知数列{}n a 满足)(1
33
,011*+∈+-=
=N n a a a a n n n ，则=20a （ ）
A ．0
B ．3-
C ．3
D ．
2
3 10.设c b a ,,为ABC ∆的三边，且关于x 的方程012)(2222=++++x c b x bc a 有两个相等的实数根，则A 的度数是（ ）
A ． 60
B ． 90
C ． 120
D ． 30
11.已知等差数列{a n }的公差为2，项数是偶数，所有奇数项之和为15，所有偶数项之和为25，则这个数列的项数为( ) A ．10
B ．20
C ．30
D ．40
12．数列{a n }的通项a n ＝n
n 2
＋90，则数列{a n }中的最大项是( )
A ．310
B ．19 C.1
19 D.1060
第Ⅱ卷
二、填空题（每题4分，满分16分，将答案填在答题纸上） 13.在ABC ∆中，8,105,30===b C A ，则=a ______.
14.若两个等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为S n 和T n ，已知S n T n ＝7n n ＋3，则a 5
b 5等于( )
15.若数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足32
3
-=
n n a S ，则数列{}n a 的通项公式是______. 16.（如图）甲、乙两楼相距m 20，从乙楼底望甲楼顶的仰角为 60，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为 30，则乙楼高为______m .
三、解答题 （本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.（本小题满分12分） 解答下列各题：
（1）在ABC ∆中，已知2,60,45===b A C ，求此三角形最小边的长及a 与B 的值； （2）在ABC ∆中，已知5,120,30===b B A ，求C 及a 与c 的值.
18.（本小题满分12分） 在等差数列{a n }中，
(1)已知a 15＝33，a 45＝153，求a n ； (2)已知a 6＝10，S 5＝5，求S n ；
(3)已知前3项和为12，前3项积为48，且d ＞0，求a 1.
19.（本小题满分12分）
ABC ∆中，3
1sin ,2
=
=
-B A C π
. （1）求A sin 的值；
（2）设6=AC ，求ABC ∆的面积.
20.（本小题满分12分）
已知数列{}n a 的各项为正数，其前n 项和为n S 满足2
1(
)2
n n a S +=，设10()n n b a n N =-∈. （1）求证：数列{}n a 是等差数列，并求{}n a 的通项公式； （2）设数列{}n b 的前n 项和为n T ，求n T 的最大值.
21.（本小题满分13分）
已知ABC ∆顶点的直角坐标分别为)0,(),0,0(),4,3(c C B A （1）若5=c ，求A sin 的值； （2）若A ∠是钝角，求c 的取值范围.
22．（文科做）（本小题满分13分）
在公差为d 的等差数列}{n a 中,已知101=a ,且3215,22,a a a +成等比数列. (1)求n a d ,;
(2)若0<d ,求.||||||||321n a a a a ++++
（理科做）（本小题满分13分）
已知函数f (x )＝x 2－2(n ＋1)x ＋n 2＋5n －7.
(1)设函数y ＝f (x )的图象的顶点的纵坐标构成数列{a n }，求证：{a n }为等差数列； (2)设函数y ＝f (x )的图象的顶点到x 轴的距离构成数列{b n }，求{b n }的前n 项和S n .
高二第一学期第一次（九月份）月考试题数学（参考答案） 一、选择题：DBDCA CBCBA AC
二、填空题：13.24 14. 214 15.n
n a 32⋅= 16.3
340
三、解答题17.解：（1） 75)(180,45,60=+-=∴==C A B C A ,
b a
c B A C <<∴<<∴,，即C 边最小.---- ----------------------2分
由正弦定理可得62375sin 60sin 2sin sin -===
B A b a ，----------------3分 23275sin 45sin 2sin sin -===
B C b c .--------------------------------4分
综上可知，最小边c 的长为232-，623-=a ， 75=B .----6分 （2）∵c a C A B A C B A =∴=∴=+-=∴==,,30)(180,120,30 .—8分
由正弦定理可得3
35120sin 30sin 5sin sin ===
B A b a .-------- ---------11分 综上可知， 30=
C ，3
3
5=
=c a .--------------------------12分 18.解：解：(1)解法一：设首项为a 1，公差为d ，依条件得
⎩⎪⎨⎪⎧33＝a 1＋14d ，153＝a 1＋44d ， 解得⎩
⎪⎨
⎪⎧a 1＝－23，d ＝4.----------------------- --2分 ∴a n ＝－23＋(n －1)×4＝4n －27.----------------------4分
解法二：由d ＝a n －a m n －m ，得d ＝a 45－a 1545－15＝153－33
30＝4，---2分
由a n ＝a 15＋(n －15)d ，得a n ＝4n －27.-------------------------4分
(2)∵a 6＝10，S 5＝5，∴⎩
⎪⎨⎪⎧a 1＋5d ＝10，
5a 1＋10d ＝5. 解得a 1＝－5，d ＝3.--------------- ---------------------6分
∴S n ＝－5n ＋
n （n －1）
2·3＝32n 2
－13
2n .--------------------8分
(3)设数列的前三项分别为a 2－d ，a 2，a 2＋d ，依题意有：
⎩⎪⎨
⎪⎧（a 2－d ）＋a 2＋（a 2＋d ）＝12，（a 2－d ）·a 2·（a 2＋d ）＝48，
即⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，
a 2（a 22－d 2）＝48， ------------------------------------10分 解得⎩⎪⎨⎪
⎧a 2＝4，d ＝±2.
∵d ＞0，∴d ＝2，∴a 1＝a 2－d ＝2.--------------------------12分 19.（1）由2
π
=-A C 和π=++C B A ，得4
0,2
2π
π
<
<-=
A B A . -----2分
故cos2A=sinB ，即
3
3
sin ,31sin 212=
=-A A .---------------------------------------4分 （2）由（1）得3
6
cos =A .----------------------------------------------------6分 又由正弦定理，得B
AC
A BC sin sin =，23sin sin ==
AC B A BC ，--------------9分 所以23cos 2
1
sin 21=⋅⋅=⋅⋅=∆A BC AC C BC AC S ABC .-----------------12分
20.解：（1）当1n =时，
2
1111()2
a a S +==，∴11a =------------------------------------2分
当2n ≥时，22
1111()()22
n n n n n a a a S S --++=-=-， 即
22
11220n n n n a a a a -----=---------------------------------------------------------
--------------4分
∴2
2
112121n n n n a a a a ---+=++，∴2
2
1(1)(1)n n a a --=+，∴111n n a a --=+ ∴12n n a a --=，所以{}n a 是等差数列，
21n a n =---------------------------------------6分
（2）10211n n b a n =-=-+，19b =，∵12n n b b --=-，∴{}n b 是等差数列—8分 ∴21()
102
n n n b b T n n +=
=-+，------------------------------------- --------------------------10分
当5n =时，2
max 510525n T =-+⨯=-----------------------------------
-----------------------12
21.解：（1）∵)0,0(),4,3(B A ，∴5
4
sin ,5==B AB .----------------3分 当5=c 时，52)40()35(,522=-+-=
=AC BC .----------------5分
根据正弦定理，得
B
AC A
BC sin sin =
，∴5
5
2sin sin =
=
B AC
BC A .----7分 （2）已知ABC ∆顶点坐标为)0,(),0,0(),4,3(c C B A ，
根据余弦定理，得AC
AB BC
AC AB A 2cos 2
22-+=
，----------------9分
若A ∠是钝角，则00cos 2
2
2
<-+⇒<BC AC AB A ，----------11分
即0650]4)3[(52222<-=-+-+c c c ，解得3
25
>c .-------------13分
22.（文科）解:(Ⅰ)由已知得到:
22221311(22)54(1)50(2)(11)25(5)
a a a a d a d d d +=⇒++=+⇒+=+
--6分
(Ⅱ)由(1)知,当0d
<时,11n a n =-, ------------------------------7分
①当111n ≤≤时,
123123(1011)(21)
0||||||||22
n n n n n n n a a a a a a a a a +--≥∴++++=++++=
=
---------------------------------------------------------------8分 ②当12n ≤
时,
1231231112132123111230||||||||()
11(2111)(21)212202()()2222
n n n n a a a a a a a a a a a a n n n n a a a a a a a a ≤∴++++=++++-+++---+=++++-++++=⨯-=
--------------------------------------------------------------11分
所以,综上所述:1232
(21)
,(111)2||||||||21220,(12)2
n n n n a a a a n n n -⎧≤≤⎪⎪
++++=⎨-+⎪≥⎪⎩;
--------------------------------------------------------------13分
（理科）解：(1)证明：∵f (x )＝x 2
－2(n ＋1)x ＋n 2
＋5n －7
＝[x －(n ＋1)]2＋3n －8，- ------------------------------------3分 ∴a n ＝3n －8，∵a n ＋1－a n ＝3(n ＋1)－8－(3n －8)＝3，-------------5分 ∴数列{a n }为等差数列．---------------------------------------6分 (2)由题意知，b n ＝|a n |＝|3n －8|，-----------------------------8分 ∴当1≤n ≤2时，b n ＝8－3n ，
S n ＝b 1＋…＋b n ＝
n （b 1＋b n ）2
＝
n [5＋（8－3n ）]2
＝
13n －3n 2
2
；------10分
当n ≥3时，b n ＝3n －8，
S n ＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n ＝5＋2＋1＋…＋(3n －8)
＝7＋（n －2）[1＋（3n －8）]2＝3n 2－13n ＋282
. ∴S n
＝⎩⎪⎨⎪
⎧13n －3n
2
2
，1≤n ≤2，3n 2
－13n ＋282
，n ≥3.----------------------------------------------13分。