高三平面向量练习题

高三平面向量练习题
平面向量是高中数学中的重要内容，它具有广泛的应用和深厚的理论基础。

在高三阶段，我们需要熟练掌握平面向量的运算规则，并能够应用到实际问题中。

本篇文章将为大家提供一些高三平面向量练习题，希望能够对大家的学习有所帮助。

练习题一：已知向量 a = (3, 5) 和向量 b = (-2, 7)，求向量 a + b 和 2a - 3b。

解答：向量 a + b = (3, 5) + (-2, 7) = (1, 12)；2a - 3b = 2(3, 5) - 3(-2, 7) = (12, -1)。

练习题二：已知平面上三点 A(-1, 2)，B(3, -4)和 C(5, 6)，求向量
AB 和向量 AC。

解答：向量 AB = (3, -4) - (-1, 2) = (4, -6)；向量 AC = (5, 6) - (-1, 2) = (6, 4)。

练习题三：已知向量 a = (-2, 3) 和向量 b = (4, 7)，求它们的数量积和夹角余弦。

解答：向量 a · b = (-2, 3) · (4, 7) = -8 + 21 = 13；|a| = √((-2)^2 + 3^2) = √13，|b| = √(4^2 + 7^2) = √65。

所以夹角余弦为cosθ = (a · b) / (|a|·|b|) = 13 / (√13·√65)。

练习题四：已知平面向量 a = (2, 4) 和向量 b = (3, -1)，求它们的叉积和叉积的模长。

解答：向量 a × b = 2*(-1) - 4*3 = -14；|a × b| = |ab|·sinθ = |(2, 4)×(3, -1)| = |-14| = 14。

练习题五：已知平面上一点 A(-3, 4)和向量 a = (5, 2)，求点 A 关于向量 a 的对称点 B 的坐标，并计算向量 AB。

解答：点 A 关于向量 a 的对称点 B 的坐标可以通过公式 B = A + 2a 得到，代入数据可得 B = (-3, 4) + 2(5, 2) = (7, 8)。

向量 AB = (7, 8) - (-3, 4) = (10, 4)。

练习题六：已知平面上四点 A(1, 2)，B(3, 4)，C(5, 6)和 D(7, 8)，判断四边形 ABCD 是否为平行四边形，并说明理由。

解答：首先我们可以计算出向量 AB = (3, 4) - (1, 2) = (2, 2) 和向量CD = (7, 8) - (5, 6) = (2, 2)。

由于向量 AB = 向量 CD，所以四边形ABCD 是平行四边形。

练习题七：已知平面向量 a = (1, -2) 和向量 b = (3, 4)，求向量 a 在
向量 b 上的投影长度。

解答：向量 a 在向量 b 上的投影长度可以通过公式 projb a = (a · b) / |b| 计算得到。

其中，a · b = (1, -2) · (3, 4) = 1*3 + (-2)*4 = -5，|b| = √(3^2 + 4^2) = 5。

所以投影长度为 projb a = -5 / 5 = -1。

通过以上的练习题，我们可以巩固和应用高三平面向量的知识，提高解题能力。

在平面向量的学习中，理论与实践相结合，通过大量的练习和思考，我们能够深入理解平面向量的性质和运算规则，为解决
更复杂的问题打下坚实的基础。

希望大家在高三数学的学习中能够充分发挥自己的思维能力，不断进步和提高。