双曲线的定义及标准方程1ppt课件

故顶点A的轨迹是以B, C为焦点的双
曲线的左支 又因c 5, a 3,则wk.baidu.com 4
定义法
则顶点A的轨迹方程为
x2 y2 1(x 3) 9 16
例： 一炮弹在某处爆炸，在A处听到爆炸声
的时间比在B处晚2s.已知A、B两地相距
800m，并且此时声速为340m/s,求炮炸点的
轨迹方程?
y
分析：由声速及A、B两处
听到爆炸声的时间差，可知A、
B两处与爆炸点的距离的差，因
此爆炸点应位于以A、B为焦点 A
O
的双曲线上 因为爆炸点离A处比B处更远，
所以爆炸点应在靠近B处的一支上．
P Bx
解：以AB所在直线为x轴，AB中垂线为y轴建
立直角坐标系，如图
设爆炸点P的坐标为P(x,y),则 定义法
|PA|-|PB|=340×2=680
y
标准方程：
FF21•
y2 a2
x2 b2
1
(a>0,b>0)
O
x
•M
•
F1
F2
焦点： F1(0, —c)， F2(0,c)
思考：a, b, c有何关系？
c2=a2+b2 c最大，a与b的大小无规定
定义 MF1 MF2 2a，0 2a F1F2
图象
方程 焦点
x2 a2
y2 b2
1
F c,0
说明: 2a<2c
思考：为什么要满足2a<2c呢？
（1）若2a=2c=|F1F2|, 又||MF1|–|MF2||=2a(a是常数)
F1
F2
则M的轨迹是两条射线.
（2）若2a>2c呢？
由三角形知识有这样的点M不存在
（3）若2a=0呢？
|MF1|–|MF2|= 0
F1
F2
则M的轨迹是F1F2的垂直平分线
因为P,Q在双曲线上
所以 32 m +27 n =1
48 m +36 n=1
解得 m = - 1 n= 1
16
9
所以双曲线的方程为 y2 - x2 = 1 9 16
利用双曲线的定义解题
例：已知双曲线
x2 9
y2 4
1，A、B为过左焦点
F1的直线与双曲线左支的两个交点，|AB|=9，
F2为右焦点，则△AF2B的周长为＿30＿＿.
y2 a2
+
x2 b2
= 1(a
>
b > 0)
y2 x2 a2 - b2 = 1(a > 0,b > 0)
焦 点 F（±c，0） F（0，±c）
F（±c，0） F（0，±c）
a.b.c a>b>0，a2=b2+c2 a>0，b>0，但a不一
的关系
定大于b，c2=a2+b2
根据方程，写出焦点坐标及 a, b的值:
2a=680,a=340
y
又|AB|=800 ∴2c=800,c=400
P
∴∵b|P2A=c|-2|-PaB2=|=4648400>00
∴x>0
∴所求双曲线方程为 A
O
Bx
x2 y2 1(x 0) 115600 44400
x2 a2
y2 b2
1
因为2a=6 , 2c=10. 所以a=3 , c=5,
b2=52-32=16.
待定系数法
所以双曲线的标准方程为 x2 y2 1 9 16
用待定系数法求双曲线方程的方法 和步骤：
①根据题意，设出标准方程；根据焦点的
位置设出标准方程）x2 a2
y2 b2
1或
y2 a2
x2 b2
（二）双曲线方程的推导
基本步骤：
（1）建系 （2）设点 （3）限式
M
F1
F2
（4）代换
（5）化简、证明
双曲线方程的推导
1. 建系:如图建立直角坐标xOy,使
x轴经过点F1, F2,
yM
并且点O与线段
x
F1, F2中点重合.
F1 O
F2
2. 设点:设M (x, y),双曲线的焦距 为2c(c 0), F1(c,0), F2(c,0).
就画出一条曲线C.
M
F1
F2
F
①如图(A)，
|MF1|-|MF2|=2a(a>0) ②如图(B)，
|MF2|-|MF1|=2a (a>0)
由①②可得：
| |MF1|-|MF2| | = 2a
（差的绝对值）
上面两条曲线合起来叫做 双曲线
想一想
1.试用集合的形式表述双曲线的定义.
P={M|||MF1|–|MF2||=2a，a为常数 }
则mn<0; 若表示在x轴上的双曲线，则m>0, n<0;若表示在y轴上的双曲线，则m<0,n>0.
例2： 已知双曲线两个焦点分别为F1
(－5，0)，F2(5，0)，双曲线上一点P 到点F1，F2的距离之差的绝对值等于6， 求双曲线的标准方程.
解：因为双曲线的焦点在X轴上，所以
它的标准方程可设为
2.如果去掉绝对值结果如何？
若|MF1|–|MF2|=2a，则表示双曲线的右支 若|MF2|–|MF1|=2a，则表示双曲线的左支
双曲线的定义: 平面内到两定点F1 F2的距离
差的绝对值等于常数（小于 F1F2 ）的点的
轨迹叫做双曲线。
两个定点F1，F2 叫做双曲线的焦点.
焦距: F1F2 2c
M
焦
点
跟
y2 x2 1
a2 b2
着 正
的
F 0,c
跑
a.b.c的 关系
c2 a2 b2
谁正谁是a
双曲线与椭圆之间的区别与联系
定义 方程
椭圆
双曲线
|MF1|+|MF2|=2a ||MF1|－|MF2||=2a
x2 y2 + = 1(a > b > 0)
a2 b2
x2 - y2 = 1(a > 0,b > 0) a2 b2
1(a 0, b 0)
若焦点位置不确定时设一般方程为mx2+ny2=1 (mn<0)
②根据条件确定a,b的值；
③写出双曲线的方程.
求不能确定焦点所在的轴的双曲线方程
例： 求中心在原点，对称轴为坐标 轴，且经过P(4 2 , 3 3 )和Q(4 3 , 6 ) 两点的双曲线方程
解：设双曲线的一般方程为mx2+ny2=1, 其中mn<0.
a2＝b2＋c2
3.我们已经知道了平面内与两个定点 的距离之和为常数（大于两定点的距离） 的点的轨迹是椭圆，那么，平面内与两 个定点的距离之差为常数的点的轨迹是 什么？就成为一个新的研究课题.
探究（一）：双曲线的概念
实验：取一条两边等长的拉链，拉开它的一 部分，在拉开的两边上各选择一点，分别固 定在点F1，F2上，把笔尖放在拉头点M处，随 着拉链逐渐拉开或者闭拢，笔尖所经过的点
1(a
0,b
0)
令 c2 -a2 =b2
x2 a2
y2 b2
1(a
0, b
0)
双曲线的标准方程
y
F1
O
M
x
F2
x2 a2
y2 b2
1
(a>0,b>0)
称为双曲线的标准方程,它表示中心 在原点，焦点在x轴上的双曲线.
焦点： F1(–c,0)， F2(c,0) 焦距: F1F2 2c
思考：中心在原点，焦点在y轴 上的双曲线的标准方程是什么？
问题提出
t
p
1 2
5730
1.椭圆的定义是什么？椭圆的标准 方程是什么？
定义：平面内与两个定点 F1，F2 的距 离的和等于常数（大于|F1F2| ）的点的 轨迹．
标准方程:
x2 a2
y2 b2
1a b 0
x2 b2
y2 a2
1a
b
0
2. 在椭圆中，参数a，b，c的相互关 系是什么？
3.限式 :|| MF1 | | MF2 || 2a即
4.代换 (x c)2 y2 (x c)2 +y2 2a.
5. 化简 : ( (x c)2 y2 )2 (2a (x c)2 y2 )2
(c2 a2 )x2 a2 y2 a2 (c2 a2 )
x2 a2
y2 c2 -a2
9 16
例.已知在ABC中, B(5,0),C(5,0),点A运动
时满足sin B sin C 3 sin A,求点A的轨迹方程.
5
[解]
在ABC中,| BC | 10,
sin B sin C 3 sin A, 5
由正弦定理得 | AC | | AB | 3 | BC | 5
3 10 6 10 5
Ay
F1 O B
F2 x
练一练
2.若双曲线
x2 y2
1 25 9
上的一点P到
一个焦点的距离为12，则它到另一个焦
点的距离是＿2＿或＿2＿2 ＿.
yP
F1 O
F2 x
题型二：利用双曲线的定义求方程
求与两个定圆C1：x2＋y2＋10x－24＝0和 C2：x2＋y2－10x＋24＝0都外切或者都内 切的动圆的圆心的轨迹方程． x2 y2 1
(1) y2 x2 1 34
F1(0, 7), F2 (0, 7)
a 3,b 2
(2)16x2 9 y2 144
F1(-5，0), F2 (5, 0)
a 3,b 4
例1： 若方程 x2 y2 1 表示的曲线
k 5 k 2
是双曲线，求k的取值范围.
{k|-2<k< 5}
[题后感悟]若方程 mx2 ny2 1,表示双曲线