2017年江苏省高数复习资料第二单元 导数与微分
高等数学第二章导数与微分
tan lim y lim f (x0 x) f (x0 )
其中 (
2
x x0
t 0
x
) 是切线M0T与x轴正向的夹角。
2 求变速直线运动的瞬时速度
用s表示质点运动的路程，以O为原点，沿质点运动的方向建
立数轴—s轴，如图2.1，显然路程s是时间t的函数，记作 s=f (t),
t∈[0,T]，现求t0时刻的瞬时速度v0=v(t0).
dx
x
例5. 设
存在, 求极限 lim f (x0 h) f (x0 h).
h0
2h
是否可按下述方法作:
解: 令原式t x0hlim0h,则
f (x0 )
f (x00)hf)(x0f (xh0))
2(2hh)
原式
1 2
f (x0 )
1 2
f (x0 )
f (x0 )
内容小结
1. 导数的实质: 增量比的极限;
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2.2
第二章
导数的运算法则
一、四则运算求导法则 二、反函数的求导法则 三、复合函数求导法则 四、初等函数的求导问题
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思路:
( 构造性定义 )
本节内容
(C ) 0
(sin x ) cos x 证明中利用了
( ln x ) 1
两个重要极限
例3. 求反三角函数及指数函数的导数.
解: 1) 设
cos y 0 , 则
则
y ( , ) ,
22
(sin y)
1 cos y
1 1 sin2 y
类似可求得
利用
arccos
x
大学高数 第二章 导数与微分
定义 2.1 设函数 f ( x) 在 x0 点及其附近有定义，若 x 在在 x0 点处有增量
第 二 章 导 数 与 微 分
x （ f ( x0 x) 仍有定义） ，函数取得增量 y f ( x0 x) f ( x0 ) ；
f ( x0 x) f ( x0 ) lim 若 存在，则称函数在 x0 点可导 x 0 x
且该极限为函数在 x0 点的导数，记为:
dy df ( x ) |x x0 f '( x) 、 y ' |x x0 、 |x x0 、 dx dx
6
关于导数定义的几点说明
y ①若 lim 不存在，则称函数 y f ( x) 在点 x0 处不可导。 x 0 x
f ( x0 x) f ( x0 ) 存在（即左极限存在） ，则称函数在 x0 点左 x 0 x f ( x0 x) f ( x0 ) （即右极限存在） ，则称函数在 x0 点右 导 可导；同理 lim x 0 x 数
1）求增量： y f ( x x) f ( x) C C 0
y f ( x x ) f ( x ) 0 2）算比值： x x f ( x x) f ( x) lim 0 0 3）求极限： f ( x) lim x 0 x 0 x
11
利用导数的定义求导数的一般步骤
（1）计算函数值增量 y f ( x x) f ( x)
y f ( x x ) f ( x ) （2）写比式： x x
y lim （3）求极限： f '( x) y ' x 0 x
12
例 求 f ( x) C ( C 为常数)的导数．
高数 第二单元 导数与微分
第二单元 导数与微分导数与微分是微积分的核心部分，深刻理解概念，熟练掌握方法，有利于后面学好积分，学好多元函数的导数。
[教学基本要求]微积分 理解导数的概念；熟悉导数定义的结构及等价形式；理解导数的几何意义、函数的连续性与可导性之间的关系；熟练掌握基本求导公式，运算法则；掌握复合函数求导的链式法则及隐函数、分段函数、抽象函数的求导法.了解高阶导数的概念；了解微分的概念，微分形式的不变性，导数与微分的关系；掌握可微函数的微分方法。
了解微分在近似计算中的应用。
掌握经济函数与导数有关的内容。
高等数学 增加理解参数方程所确定函数的导数；了解求高阶导数的规律。
[知识要点] 1．xx f x x f xy x f x x ∆-∆+=∆∆='→∆→∆)()(limlim)(00000，等价形式00)()(limx x x f x f x x --→，极限存在时，该极限就是函数)(x f 在0x 点处的导数。
极限存在的充要条件是左极限等于右极限，此时对应的是左导数等于右导数（注意：上一章求函数)(x f 在0x 点的极限，0x 可以没有定义；现在求0x 点处增量比的极限，0x 必须有定义）。
去掉0x 的脚标，得到导函数的定义式xx f x x f y x ∆-∆+='→∆)()(lim，或hx f h x f x f h )()(lim)(0-+='→（注意：对函数而言x 在所论区间中可以任意取值，但是求极限的过程中，x 是常量，x ∆和h 是变量）。
应记住表示导数、导函数的几种符号形式。
2．对照曲线的切线，明了切线的斜率对应导数，描述函数的变化率；图中对应y ∆和dy 的两条线段，说明微分是函数增量的线性主部（近似值）。
虽然有：可导⇔可微，求导公式与微分公式形式相近，可以在一起记忆，但是要区别求导、微分是两个不同的概念。
增量比的极限存在，对应的曲线一定是连续、圆滑的；增量比的极限不存在，（除间断点外）可能是左导数不等于右导数，则曲线在该点不圆滑；也可能是振荡型（切线不唯一的点不可导），或者是无穷大（切线唯一但垂直于X 轴的点也不可导）。
江苏省专转本高数全部知识点第一讲：极限、洛比塔法则第二讲：连续,导数、微分
y sgn x, 在(,)上, ymax 1, ymin 1;
在(0,)上, ymax ymin 1.
定理1(最大值和最小值定理) 在闭区间上连续 的函数一定有最大值和最小值.
若 f ( x ) C [a , b], 则 1 , 2 [a , b], 使得 x [a , b], 有 f ( 1 ) f ( x ), f ( 2 ) f ( x ).
x 0 x 0
lim f ( x ) lim(a x ) a ,
x0 x0
要使 f (0 0) f (0 0) f (0), a 1,
故当且仅当a 1时, 函数 f ( x )在 x 0处连续.
三、小结
1.函数在一点连续必须满足的三个条件;
x 0
或
lim [ f ( x 0 x ) f ( x 0 )] 0 ,那末就称函数
f ( x ) 在点 x 0 连续, x 0 称为 f ( x ) 的连续点.
设 x x0 x,
y f ( x ) f ( x0 ),
x 0 就是 x x0 , y 0 就是 f ( x ) f ( x0 ).
第二讲：连续、导数、微分
1函数的连续性 2 导数的概念 3函数微分
lim f ( x) A f ( x0 0) f ( x0 0) A. (1) x x
0
(2) 函数 f ( x )在 x0 处连续 是函数 f ( x )在 x0
处既左连续又右连续.
(3) 函数 f ( x )在点x 处可导 左导数 f ( x ) 和右 0 0
定义 2
设函数 f ( x ) 在U ( x 0 ) 内有定义, 如果
《高等数学》第2章导数与微分
2.2.2 反函数的求导法则
定理 如果函数x = f ( y )在区间I y内单调、可导且 f ′( y ) ≠ 0,
内可导, 且有 : 1 dy 1 ( x)] = [f 或 = . f ′( y ) dx dx dy
−1
则它的反函数 y = f −1 ( x)在区间I x = {x | x = f ( x), y ∈ I y } ′
0
引例2 求平面曲线切线的斜率. 导数的几何意义 引例 解析： 解析：
曲线C = f ( x)上一点M ( x0 , y0 ), 其中y0 = f ( x0 ).求曲线C 在点M处的切线斜率. , y ), MN的斜率为 在曲线C上另取一点N ( x 则割线MN的斜率为 : y = f (x ) ∆y f ( x) − f ( x0 ) k MN = tan ϕ = = y ∆x x − x0 N 则上 当点N沿曲线C趋向于点M即x → x0 , M 式极限即为切线斜率 : ∆y f ( x 0 + ∆x ) − f ( x 0 ) α ϕ k = tan α = lim = lim . ∆x →0 ∆x → 0 o x ∆x ∆x
f −′( x0 ) = ∆x → 0 lim
−
+
在闭区间 [a , b ]上可导 .
若函数 f ( x )在开区间 (a , b )内可导 , 且 f +′(a )及 f −′(b )都存在 , 则 f ( x )
求导步骤
(1)
求增量 ∆y = f ( x + ∆x) − f ( x)；
(2)
作比值
能力目标
通过导数与微分的学习，进一步培养学生 通过导数与微分的学习， 对比分析的思考能力. 对比分析的思考能力.
经典-高数第2章：导数与微分
1 y 1 x 1 1 x 1 2 x 4 1
y x 1
3(x 1)
x4
y
(x 1) 3 x 1 (x 4)2 ex
1 x 1
1 3(x 1)
x
2
4
1
隐函数的导数
设 y xsinx ( x 0), 求y.
导 即有如下的关系式
可微
可导
连续
有极限
微分与导数间的计算转换方法
重点）
可导是指
lim y x0 x
存在.
说明函数的连续性，因为式中有除以Δ x，
反应的是变化的快慢，几何意义表示切线
的斜率
可微是函数值的变化增量，Δ y可以表达 为A·Δ x+o(Δ x)，解决的是函数的变化 增量，微分表示函数值的增量结果，可间
联系
可微必可导，可导必连续，连续有极限 但是，有极限不一定连续，连续不一定可
x
当Δ x足够小时，dy与Δ y相差很小，切线段MP 可近似的代替曲线段MN（以直代曲）
微分
微分的理解
A是与Δ x无关的常数，但却与f(x)与x0有 关。实际上，A为f(x)在x0处的导数值。
由刚才的几何意义，当Δ x很小时， Δ y≈dy（这样就可以近似计算较复杂函 数的改变量）
可微与可导的区别与联系（理解
注意：此导数为一函数。在某一点的导数 是一个值。
f (x0 )可以看作导函数f (x) 在x0的函数值，
即 f '(x0 ) f '(x) xx0 . 有下标特别指
明在某点x0
导数的几何意义
高等数学-第二章导数与微分-第一节-导数的概念
1 (x ( x0 )
x0 ).
19
例7 求等边双曲线 y 1 在点(1 ,2)处的切线的 x2
斜率,并写出在该点处的切线方程和法线方程.
解 由导数的几何意义, 得切线斜率为
k y x1 2
( 1 ) x
x1 2
1 x2
x1 2
4.
所求切线方程为y 2 4( x 1), 即 4x y 4 0.
(1)
x x0
x0
x
当极限(1)式不存在时, 就说函数 f (x)在x0 处不可导或导数不存在. 特别当(1)式的极限为
正(负)无穷时,有时也说在x0处导数是正(负)无 穷大, 但这时导数不存在.
8
关于导数的说明：
★ 点导数是因变量在点x0处的变化率,它 反映了因变量随自变量的变化而变化的快 慢程度. ★ 如果函数 y f ( x)在开区间I 内的每点 处都可导, 就称函数 f ( x)在开区间I 内可导.
(e x ) e x .
14
例5 求函数 y log a x(a 0, a 1)的导数.
解 y lim loga ( x h) loga x
h0
h
lim
log a
(1
h) x
1
h0
h
x
x
1 x
lim
h0
log
a
(1
h
)
x h
x
1 x
log a
e.
即
(log a
x)
1 x
log a
e.
h0
h
注意: f ( x0 ) f ( x) . xx0
10
2.求导举例
步骤: (1) 求增量 y f (x x) f (x);
第02天 导数(回顾基础篇)-2017年高考数学自由复习系列(江苏版) 含解析
【热点知识再梳理——胸有成竹】1．利用导数研究函数单调性的步骤(1）确定函数y＝f(x)的定义域．（2)求导数y′＝f′(x)．(3）解方程f′（x)＝0在定义域内的所有实根．(4)将函数y＝f（x）的间断点(即函数无定义点）的横坐标和各个实数根按从小到大的顺序排列起来，分成若干个小区间．(5)确定f′（x）在各个小区间内的符号，由此确定每个区间的单调性．特别提醒：（1）多个单调区间不能用“∪”连接；(2)f（x）为减函数时f′（x）≤0恒成立，但要验证f′(x)是否恒等于0。
2．导数为零的点并不一定是极值点，例如：函数f(x)＝x3,有f′（0）＝0,但x＝0不是极值点．3．利用导数解决不等式问题的思想（1）证明不等式f（x）〈g(x)，可构造函数h（x）＝f(x）－g(x），再证明h(x)max<0。
(2)不等式恒成立问题可利用分离参数法或直接求含参数的函数的最值．热点一：导数的几何意义【典例】【2017盐城三模】设函数2()=()xf x xe ax a R -∈.（1）若函数()()x f x g x e=是奇函数，求实数的值； (2)若对任意的实数，函数()h x kx b =+（,k b 为实常数）的图象与函数()f x 的图象总相切于一个定点.① 求与的值;② 对(0,)+∞上的任意实数12,x x ，都有1122[()()][()()]0f x h x f x h x -->，求实数的取值范围.a ∴=。
………………4分 （2）①()(1)2x f x e x ax '=+-，设切点为00(,())x f x ,则切线的斜率为()0000(1)2x f x e x ax '=+-， 据题意()0f x '是与无关的常数，故()000,1x k f x '===,切点为(0,0)，……………6分由点斜式得切线的方程为y x=，即()h x x=，故1,0k b ==.…。
高等数学第二章导数与微分2-资料
1
1 x2
小结
注意: [u (x )v (x )] u (x )v (x );
u(x) v(x)
u(x) v(x)
.
分段函数求导时, 分段点导数用左右导数求.
反函数的求导法则 (注意成立条件);
复合函数的求导法则
注意函数的复合过程,合理分解正确使用链式 法则;
( 1 )y f(x 2 ) (2 )y f(s x 2 ) i n f(c 2 x ) os
(3 )y f2 (x ) g 2 (x ) f2 (x ) g 2 (x ) 0
3 求 函 数 yx x x的 导 数 .
4 求 y a r c t a n ( t a n h x )
解 y n n 1 [ f n (s x n ) if ] n [ n (s x n ) i] n n n 1(sx in )n (sx in )n co xns nn x 1
n3xn1co xns fn1[ n(sx in)n] n1(sx in)n f[ n(sx in)n] (sx in)n.
第3题的解答
解 y 1 (xxx) 2xxx
1 (1 1 (x x )) 2x x x 2x x
1 (1 1 (1 1)) 2x x x 2x x 2x
4x2x x2x1 . 8x x x x2x x
第4题的解答
解 y1t1 an 2xh(tax n)h
解
例 1 5证 明 (lnx)1x 0 . x
解 更一般地， (ln f ( x ) ) f ( x ) . ( f ( x ) 0) f (x)
四、基本求导法则与导数公式
1.常数和基本初等函数的导数公式
()高等数学第二章--导数与微分2-1
limylimf(x0 x)f(x0),
x x0
x0
x
称函f数 (x)在点 x0有无穷.导 (不数 可)导
★ 对于任x 一I,都对应f(着 x)的一个确定的 导数.这 值个函数叫做原 f(x)来 的函 导数 函 . 数
记作 y, f(x),dy或df(x). dx dx
即 ylim f(x x)f(x)
x 0
x
或 f(x ) lif m (x h )f(x ).
h 0
h
注意: 1.f(x0)f(x)xx0.
42
2.物理意义 非均匀变化量的瞬时变化率.
变速直线运动:路程对时间的导数为物体的 瞬时速度.
s ds v(t)lim .
t0t dt
交流电路:电量对时间的导数为电流强度.
q dq i(t)lim .
t0t dt 非均匀的物体:质量对长度(面积,体积)的导 数为物体的线(面,体)密度.
五、可导与连续的关系
四、导数的几何意义与物理意义
1.几何意义
y
f (x0 )表示曲线y f (x) 在点M(x0, f (x0 ))处的 切线的斜率,即
f (x0 ) tan, (为倾角)o
yf(x)
T M
x0
x
切线方程为 y y 0 f( x 0 )x ( x 0 ).
法线方程为
1 yy0f(x0)(xx0).
例7 求等边双y曲 1在 线点 (1,2)处的切线 x2
斜率 ,并写出在该点方 处程 的和 切法 线.线方
解 由导数的几何意义, 得切线斜率为
k y x1 2
( 1 ) x
x1 2
1 x2
x1 2
4.
高等数学第二章导数与微分
割线的极限位置——切线位置
2、曲线的切线斜率
y x f ( x0 x) f ( x0 ) ， x tan
y
y
y f ( x)
P
当 x 0 时，割 线 P0P 的极限位置 即为点 P0 处的切线。
y0
P0
y
x0 x
O
x
割线的斜率 tan , 就会无限接近切线的斜率 tan
y ln u, u sin x .
dy dy du 1 cos x cot x cos x dx du dx u sin x
例4 求函数 y ( x 2 1)10 的导数 .
解
dy 10( x 2 1) 9 ( x 2 1) dx 10( x 2 1) 9 2 x 20 x( x 2 1) 9 .
注：分段函数的求导，是大纲要求，但没考过 例5
x, x0 设 f ( x) , 求f ( x ). ln(1 x ), x 0
解 当x 0时, f ( x) x 1,
当x 0时,
ln(1 x h) ln(1 x) f ( x) lim h 0 h 1 h lim ln 1 h 0 h 1 x
y f ( x0 x) f ( x0 ) tan ， x x
割线的极限位置——切线位置
割线的极限位置——切线位置
割线的极限位置——切线位置
割线的极限位置——切线位置
割线的极限位置——切线位置
割线的极限位置——切线位置
割线的极限位置——切线位置
割线的极限位置——切线位置
s s(t0 t ) s(t0 )，
高等数学下册chap2导数与微分2-1导数概念
如x 0, 平均变化率的极限:
lim y lim f ( x0 x) f ( x0 ) (1)
x0 x x0
x
存在, 则称此极限值为 f ( x)在x0处的导数. 并说f ( x)在x0处可导或有导数. 可用下列记号
y x x0 ,
dy ,
dx x x0
f ( x0 ) 或
df ( x) dx x x0
)
lim
t 0
s t
lim s(t0 t) s(t0 ) ,
t 0
t
并称之为t0时的瞬时速度v(t0). 注
此式既是它的定义式,又指明了它的计算
方法, 瞬时速度是路程对时间的变化率.
P.de Fermat 1601-1665 例2 曲线的切线斜率问题
若已知平面曲线 y f ( x),如何作过 曲线上点 M0 ( x0 , f ( x0 )) 的切线呢.
h0
h
lim[nx n1 n(n 1) x n2h hn1 ] nx n1
h0
2!
即 ( xn ) nxn1
更一般地 ( x ) x1. ( R)
如
(
x )
1
11
x2
1
2
2x
( x 1 )
(1)x 11
1 x2
例 求函数 f ( x) a x (a 0,a 1)的导数.
x
二、导数的定义
定义 设函数 y f ( x)在点 x0的某个邻域内 有定义,当自变量从 x0 变到 x0 x 时,函数 y f ( x)的增量y f ( x0 x) f ( x0 ) 与自
变量的增量x 之比
y f ( x0 x) f ( x0 )
x
高等数学第二章
第2章 导数与微分微分学是微积分的重要组成部分,它是从数量关系上描述物质运动的数学工具.它的基本概念主要包括导数与微分,其中导数反映出函数相对于自变量的变化快慢的程度,而微分则指明当自变量发生微小变化时,函数大体上变化多少.在这一章中,首先介绍导数和微分这两个密切相关的概念及相关运算.另外我们还将介绍一些利用导数和微分的概念解决实际问题的实例，以加强大家对这些概念的理解，提高应用能力.§2.1 导数及其基本概念2.1．1 导数的概念 引例:例1:变速直线运动的瞬时速度问题设一物体作变速直线运动，其运动方程为)(t s s =，求0t 时刻的瞬时速度0()v t ？解：在时刻0t 取增量t ∆，则在0t 到t t ∆+0这段时间内的平均速度为00()()s t t s t s v t t +∆-∆==∆∆显然，这个平均速度v 是随t ∆而变化的，当||t ∆很小时，v 可以作为物体在0t 时刻的速度的近似值，||t ∆越小，近似程度越高；当0→∆t 时，v 的极限就是物体在0t 时刻的瞬时速度，即00000()()()lim limlim t t t s t t s t sv t v t t ∆→∆→∆→+∆-∆===∆∆这就是说，物体运动的瞬时速度是路程的增量与时间的增量之比，当时间的增量趋于零时的极限． 例2:.平面曲线的切线问题(1)曲线的切线定义在平面解析几何中，圆的切线定义为“与圆只有一个交点的直线”，对于一般的平面曲线来说，这个定义并不适用，例如，抛物线2y x =在原点O 处，两个坐标轴都与曲线只有一个交点，但实际上只有x 轴是该抛物线的切线. 问题: 怎样定义平面曲线在一点处的切线呢?一般曲线的切线定义: 曲线C 上点M 附近,再取一点N,当N 沿C 移动而趋向于M 时,割线MN 的极限位置MT 就称为曲线C 在M 处的切线. (2)在直角坐标系下曲线的切线的斜率：例2: 设平面曲线C:()y f x =,求C 上点00(,)M x y 处的切线的斜率. 解:在C上另取一点00(,()),N x x f x x +∆+∆则割线MN 的斜率为x x f x x f x y k ∆-∆+=∆∆==)()(tan 00ϕ当N M →时,MN MT →.当0x ∆→时,k 的极限就为切线MT 的斜率.)()(lim limtan lim tan 0000xx f x x f x yk x x ∆-∆+=∆∆===→∆→∆→ϕααϕ总结: 以上两个问题，虽然它们的实际背景不同，但从数量上看，它们有共同的本质：它们都是当自变量的增量趋于零时，函数的增量与自变量的增量之比的极限．抽去这些问题的不同的实际意义，只考虑它们的共同性质，就可得出函数的导数定义．定义2.1.1设函数()y f x =在点0x 处的某邻域内有定义，当自变量x在0x 处有增量x ∆时，相应地函数y 有增量00()()y f x x f x ∆=+∆-如果当0→∆x 时，x y∆∆的极限存在，这个极限就称为函数()y f x =在点0x 处的导数，记为0()f x '，即xyo()y f x =CαϕNTx Mx x+∆00000()()()limlimx x y f x x f x f x x x ∆→∆→∆+∆-'==∆∆ （1）也可以记作xx y =' ，0x x dxdy=或 0)(xx x f dx d= ．如果（1）式的极限存在，就称函数)(x f 在点0x 处可导．如果（1）式的极限不存在，就说函数)(x f y =在点0x 处不可导． 特别的, 如果（1）式的极限为无穷大，就说函数)(x f y =在点0x 处导数为无穷大．注: （1）令0,x x x =+∆则定义式也可写为0000000()()()()()limlim .x x x f x x f x f x f x f x x x x ∆→→+∆--'==∆-（2）令,x h ∆=-则定义式也可写为 0000000()()()()()limlim .h h f x h f x f x f x h f x h h →→----'==-例如 求x x y =在0=x 处的导数. 解 由导数的定义知0lim 0lim )0()0(lim)0(000=∆=∆-∆∆=∆-∆+='→∆→∆→∆x xx x x f x f f x x x2.1．2 导数的几何意义函数()y f x =在点 0x 的导数0()f x '就是曲线()y f x =在点000(,)M x y 处的切线的斜率．如果()y f x =在点x 处的导数为无穷大，即tan α不存在，这时曲线()y f x =的割线以垂直于x 轴的直线为极限位置，即曲线()y f x =在点0(,)M x y 处具有垂直于x 轴的切线．根据导数的几何意义并应用直线的点斜式方程，可以得到曲线()y f x =在定点0M (0x ,0y )处的切线方程为：00()()y y fx xx '-=-过切点0M 且与该切线垂直的直线叫做曲线()y f x =在点0M 处的法线，如果0()0f x '≠，法线的斜率为01()f x -'，从而法线方程为0001()()y y x x f x -=--'．例3 求曲线.)1,1(2处切线的方程上点x y = 解: 22100(1)(1)(1)1lim lim 2.x x x f x f x k y x x =∆→∆→+∆-+∆-'====∆∆所求的切线方程为: 12(1),21y x y x -=⋅-=-即 2.1.3 单侧导数定义 2.1.2如果当-→∆0x 时，xy∆∆的极限存在，则称此极限为()f x 在即记为处左导数点),(,00x f x -'.)()(lim lim )(00000xx f x x f x yx f x x ∆-∆+=∆∆='--→∆→∆- 定义 2.1.3如果当+→∆0x 时，xy∆∆的极限存在，则称此极限为()f x 在即记为处右导数点),(,00x f x +'.)()(lim lim )(00000xx f x x f x yx f x x ∆-∆+=∆∆='++→∆→∆+ 定理1: 函数()y f x =在点0x 处可导的充分必要条件是左导数,右导数存在且相等. 例4 讨论函数()f x x=在0x =处的可导性.解：0(0)(0)(0)lim lim 11;x x f x f f x+++∆→∆→+∆-'===∆00(0)(0)(0)lim lim (1) 1.x x f x f f x ---∆→∆→+∆-'==-=-∆所以，(0)(0).f f +-''≠即()f x x =在0x =处不可导.2.1.4 可导性与连续性的关系xyoy x=前面我们定义了函数在一点连续的概念,现在又学习了函数在一点可导的概念,它们都是用极限来定义的,那么,这两个概念之间有没有关系呢?我们先看下面这个例子:例5讨论函数1sin ,0()0,0x x f x xx ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩在0x =处的可导性与连续性.解:00001sin(0)(0)1limlim limlim sin x x x x x y f x f x x xx x ∆→∆→∆→∆→∆∆+∆-∆===∆∆∆∆极限不存在,()f x ∴在0x =处不可导.01l i m 0,s i n 1,x x x →=≤001lim ()lim sin 0(0),x x f x x f x →→∴===()f x ∴在0x =处连续.问题:由上例可以看到, 函数在一点连续,则函数在这点不一定可导;那么,函数在一点可导是否一定在该点连续呢? 答案是肯定的.事实上, 设函数()y f x =在点0x 处可导，即极限00lim()x yf x x ∆→∆'=∆存在．由函数极限存在与无穷小的关系知：0()yf x x α∆'=+∆ （α是当0→∆x 时的无穷小）．上式两端同乘以x ∆，得0()y f x x x α'∆=∆+∆．不难看出，当0x ∆→时，0y ∆→．这就是说，函数()y f x =在点0x 处是连续的．定理2: 如果函数()y f x =在点0x 处可导，则函数在该点处必连续． 可见：“函数()y f x =在点0x 处可导”这个条件要比“函数在点0x 处连续”这个条件强．2.1.5导函数函数)(x f y =在区间),(b a 内可导⇔函数)(x f y =在区间),(b a 内的每一点都可导.函数)(x f y =在区间[,]a b 上可导⇔(1) )(x f y =在区间),(b a 内的每一点都可导;(2) ()f x 在x a =处右可导,在x b =处左可导.设函数)(x f y =在区间I 上可导,则对于I 内的每一个x 值，都有唯一确定的导数值与之对应，这就构成了x 的一个新的函数，这个新的函数叫做原来函数)(x f y =的导函数，记为dx dy x f y ),(,''或dx x df )(．在（1）式中，把0x 换成x ，即得()y f x =的导函数公式：00()()()limlimx x y f x x f x f x x x ∆→∆→∆+∆-'==∆∆显然，函数)(x f y =在点0x 处的导数)(0x f '就是导函数)(x f '在0x x =处的函数值，即 0|)()(0x x x f x f ='='注意: 00()[()].f x f x ''≠为方便起见，在不致引起混淆的地方，导函数也简称导数．由此可知,求函数()y f x =的导数可分为以下三个步骤：(1)求增量：()()y f x x f x ∆=+∆-；(2)作比值：()()y f x x f x x x ∆+∆-=∆∆； (3)取极限：0()limx yf x x ∆→∆'=∆．例6 求函数y C =(C 为常数)的导数． 解:0()()limlim 0,x x f x x f x C Cy x x ∆→∆→+∆--'===∆∆即例7 求 ()ln 1()x f x x ⎧+=⎨⎩，，00<≥x x ，的导数.解: 当0>x 时，xx f +='11)( ， 当0<x 时，1)(='x f当0=x 时，xf x f x f x f f x x )0()(lim 0)0()(lim)0(00-=--='→→， 所以 10l i m)0(0=-='-→-xx f x ， ()0C '=1e ln )1ln(lim 0)1ln(lim )0(100==+=-+='++→→+x x x x xx f ， 因此 1)0(='f ，于是 1,()11,f x x ⎧⎪'=+⎨⎪⎩ 00.x x >≤小结:求分段函数的导数时，除了在分界点处的导数用导数定义或导数存在的充分必要条件求之外，其余点可仍按初等函数的求导公式求得.§2.2函数的和、差、积、商求导法则2.2．1导数的四则运算我们知道,根据导数的定义可以求出一些简单函数的导数.但是,对于比较复杂的函数,直接根据定义求它们的导数往往比较困难. 本节将介绍导数的四则运算法则,有了这些运算，求解函数的导数问题就简单多了. 定理1 设函数)(x u ，)(x v 在点x 处可导，则它们的和、差、积与商在x处也可导，且(1)())()()()(x v x u x v x u '±'='±； (2)())()()()()()(x v x u x v x u x v x u '+'='； (3)2()()()()()(()0).()()u x u x v x u x v x v x v x v x '''⎛⎫-=≠ ⎪⎝⎭下面仅对(2)加以证明. 证: 设()()(),f x u x v x =则有0()()()()()()()limlim h h f x h f x u x h v x h u x v x f x h h →→+-++-'==0()()()()l i m ()()h u x hu x v x h v xv x h u x h h →+-+-⎡⎤=++⎢⎥⎣⎦()()()()u x v x u xv x ''=+注意到常数的导数为零，利用上述公式就有推论1．推论1()()()c u x c u x''= （c 为常数）．利用商的导数公式及(1)0'=，即可证得推论2．推论221()()()()u x u x u x ''=- )0)((≠x u ．连续使用乘法的导数公式，即可证得推论3． 推论3[]()()()()()()()()()()()()u x v x w x u x v x w x u x v x w x u x v x w x ''''=++.例1 设,1)(33xx x x x f +--=求)(x f '.解 3161323311)(-+--=+--=x x x xx x x x f ，154363211()363f x x x x ---'=--.例2 已知函数3(4cos sin1),y x x x =--求1.x y y =''及分析:首先把y 看成两个函数3(4cos sin1)u x v x x ==--及的乘积,然后再分别利用和的求导公式.解:33()(4cos sin1)(4cos sin1)y x x x x x x '''=--+--321(4cos sin1)(34sin )2x x x x x x=--++1177(14cos1sin1)(34sin1)sin12cos1.222x y ='=--++=+-注意:这里要注意(sin1)0'=,而不是(sin1)cos1.'=这是初学者常犯的一个小错误.例3 设,1)(33xx x x x f +--=求)(x f '.解: 3161323311)(-+--=+--=x x x xx x x x f ，154363211()363f x x x x ---'=--.例4 求正切函数x y tan =的导数．解:222222sin (sin )cos sin (cos )cos sin 1(tan )()sec .cos cos cos cos x x x x x x x x x x x x x''-+''===== 即类似地，可以推导出例5 求正割函数sec y x=的导数．解: 221(cos )sin (sec )()sec tan .cos cos cos x xx x x x x x '-''====即2(tan )sec x x '=2(cot )csc x x '=-(sec )sec tan x x x '=类似地，可以推导出例6 求函数x x y 2sin sin 12+=的导数． 解: 因为2222221sin sin cos sin sin 2sin 22sin cos 1tan cot 2sin cos 2x x x xy x x x x x xx x +++==+==+所以 xx y 22csc 21sec -=' ．概括: 应当注意：在求导之前尽可能先对函数进行简化，往往能使计算变得简单．上题若直接用商的求导法则，将不会比此法简单,用现有的知识甚至做不出来．原因是题目中涉及到两个函数2sin x 和sin 2x ,它们不是简单函数,而是复合函数.那么,复合函数如何求导呢?§2.3 复合函数的求导法则和反函数的求导法则2.3．1 复合函数的求导法则问题: 求函数sin 2y x =对x 的导数.提问:已知(sin )cos ,x x '=那么(sin 2)x '是否等于cos 2x ?解:22(sin 2)(2sin cos )2(cos cos sin (sin ))2(cos sin )2cos 2cos 2.y x x x x x x x x x x x '''===+-=-=≠启发与思考: sin 2y x =可以看作是由sin y u =，2u x =复合而成的函数，(csc )csc cot x x x '=-由于 cos cos2,(2)2,dyduu x x du dx '====因而 cos222cos2,dy dux x du dx ⋅=⋅=． 于是，在本例中有等式 .d y d y d ud x d u d x=⋅ 一般地，有如下复合函数的求导法则定理1 设函数()u x ϕ=在x 处可导，而)(u f y =在对应的u 处可导,则复合函数[]()y f x ϕ=在x 处可导，且x u x y y u '''=⋅ 或 ()x y f u ''=⋅()x ϕ' 或 dx du du dy dx dy ⋅=． …………链式法则证略。
高等数学 第二部分 导数与微分
x 0
x
都是函数的改变量与自变量的改变量之比，当自变量 改变量趋于零时的极限．在自然科学和工程技术领域 中，甚至在社会科学中，还有许多概念，例如物质比 热、电流强度、线密度等，都可以归结为上述形式的 极限问题．我们撇开这些量的具体意义，抓住它们在 数量关系上的共性，引入导数的概念．
2-1 导数及其基本概念
2-1 导数及其基本概念
注意：这个定理的逆命题不成立,即函数
y f (x) 在点 x0处连续时，在点 x0不一定可导． 例如，函数 y 3 x 在x 0点连续。因为
y 3 0 x 3 0 3 x ，
， y
lim x0 x
3
lim
x
x0 x
lim x0 3
1 (x)2
故，在 x 0处，y 3 x 连续，但不可导．
二、导数及其基本概念
1．函数在一点处的导数
定义2.1 设函数 y f (x) 在 x0点的某 个邻域内有定义， 当自变量在点 x0 处取得 改变量 x(x 0)时，函数 f (x) 取得相应的改
变量 y f (x0 x) f (x0 ) ．如果当x 0 时，
y lim
lim
f
(x 0
x)
x0
x
lim sin(x x) sin x
x0
x
2sin x cos(x x)
lim
2
2
x0
lim
x0
sin
x 2
x
x
cos
x
x 2
cos x 2
这就是正弦函数的导数公式 即 (sin x) cos x
2-1 导数及其基本概念
例 5 求函数 f (x) loga x(a 0且a 1) 的导数．
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第二单元 导数与微分导 数一、导数的概念 1、定义：xy x f xx f x x f x f x x ∆∆='∆-∆+='→∆→∆000000lim)()()(lim)(或2、几何意义：过（x 0,f(x 0)）点的切线的斜率，即αtan )(0=='k x f 。
切线方程：))(()(000x x x f x f y -'=- 法线方程：)()(1)(000x x x f x f y -'-=- 3、可导与连续的关系：可导必连续，连续未必可导。
如y=︱x ︱，在x=0处不可导。
4、左、右导数：xx f x x f x f x ∆-∆+='-→∆-)()(lim )(0000（左导）xx f x x f x f x ∆-∆+='+→∆+)()(lim )(0000（右导）5、导数存在的充要条件：)()(00x f x f +-'=' （分段函数必须用此讨论） 6、极限、连续、可导之间的关系：在x 0处，可导→连续→极限存在，反之不真。
二、导数公式：1.0)(='c ；2.;)(1-='αααx x3.;cos )(sin x x ='4.;sin )(cos x x -=';sec ).(tan 52x x =' 6.;csc )(cot 2x x -='9.;ln )(a a a x x =' 10.;)(xx e e ='11.;ln 1)(log a x x a =' 12.;1)(ln xx =' 13.;11)(arcsin 2xx -=' 14.;11)(arccos 2xx --='15.;11)(arctan 2x x +=' 16..11)cot (2xx arc +-=' 三、导数的四则运算设)(x u u =，)(x v v =都是可导的函数，则有： 和差法则: ;)(v u v u '±'='± 乘法法则： ;)(v u v u v u '+'='⋅特别地，u c u c '⋅='⋅)(（c 是常数）； 除法法则： ).0(,)(2≠'⋅-⋅'='v vv u v u v u四、复合函数微分法设函数)(x u ϕ=在x 处有导数)(x u x ϕ'='，函数)(u f y =在点x 的对应点u 处也有导数)(u f y u'='，则复合函数[])(x f y ϕ=，在点x 处有导数，且 .dxdudu dy dx dy u y y x u x ⋅='⋅'='或五、隐函数求导法设 y = f(x)由方程F(x,y)=0所确定，求y /时，将方程中的y 看作中间变量，先对其求导，再对x 求导，解出y /即可。
六、由参数方程确定的函数的求导法则设y=y(x)由φ(t) 、ψ(t)可导，且φ /(t)≠0，则有：dtdx dy y =='七、对数求导法幂指函数v u y =的导数，可化成隐函数lny = vlnu,按隐函数求导法求其导数。
八、高阶导数1、显函数：一阶一阶的往上求，直至满足要求。
2、隐函数：dx y d y dx y y d '=''''=',3、参数方程所表示的函数：dx y d dxy d y ,(,''=''均是对t 求微分） 或 3)]([)()()()(t t t t t y x ϕψϕψϕ''''-'''=''微 分一、概念：dx x f dy x x A y )(),('=∆+∆=∆ο二、微分与导数的关系：导数 三、微分基本公式：四、微分的四则运算 （1）;)(dv du v u d ±=±（2）udv vdu v u d +=⋅)(，特别地,)(Cdu Cu d =，（C 为常数） （3）).0(,)(2≠-=v vudvvdu v ud五、复合函数的微分法则设 ),(),(x u u f y ϕ==则复合函数[])(x f y ϕ=的微分为：du u f dx x u f dx x y dy )()()('=''='=ϕ六、微分用于近似计算)0)(0()0()(x x x f x f x f -'+≈例1 设f(x)在x = x 0处可导，且f /(x 0)= 2,求hx f h x f h )()(lim000--→。
解：2)()]()([lim )()(lim0000000-='-=----=--→→x f hx f h x f h x f h x f h h 例2 设y=f(x)满足1)2()0(lim0=-→xx f f x ，求f /(0)（求x 0=0时的导数) 解：1)0(22)]0()20([2lim )2()0(lim00='-=-+-=-→→f xf x f x x f f x x 所以 21)0(-='f例3 设f(x)在x=2处可导，且f /(2)=1,求hh f h f h 2)2()2(lim 0--+→ （x 0=2）解：h h f f f h f h h f h f h h 2)2()2()]2()2([lim 2)2()2(lim 00--+-+=--+→→1)]2()2([21)]2()2(lim 21)]2()2(lim2100='+'=---+-+=→→f f h f h f h f h f h h 例4 设f /(x 0)=1,f(x 0)=0,求)1(lim 0hx hf h -∞→ （化成分式，添项）解：1)(1)()1(lim )1(lim 0000-='-=--=-∞→∞→x f hx f h x f hx hf h h例5 设y=f(x)在点x=1处可导，且,2)(lim 1=→x f x 求f(1)。
（利用可导与连续关系求函数值）解： 因y=f(x)在点x=1处可导，可知f(x)在x=1处必连续，由定义知 2)(lim )1(1==→x f f x例6 设f /(1)=1，求1)1()(lim21--→x f x f x （相应于区间[1，x]的增量） 解：21)1(2111lim 1)1()(lim 1)1()(lim 1121='=+⋅--=--→→→f x x f x f x f x f x x x 例7 设)]([,2)(,2)(x g f x x g x x f ''==求)()()]([x g u u f x g f '='=''解：2ln 22ln 2)]([,2)(,2ln 2)(2)(xx g u u x x g f x x g x f ==''='=''=例8 设y x e y '=求),1sin(解：)cos(1)1()()cos()()cos(1121111x x xx x x e e xx e e e e y -='⋅⋅='⋅='例9 求曲线y=1+sinx 在点（0，1）处切线的斜率k 。
解：y /=cosx ，y /(0)=1，所以 k=1.例10 设y=y(x)由方程cos(x+y)+y=1确定，求dxdy 解：等式两端同时求导得：－sin(x+y)(x+y) /+y /=0,即 －sin(x+y)(1+y /)+y /=0，解得)sin(1)sin(y x y x y +-+='例11 求由方程022=+-xy e xy 所确定的隐函数y=y(x)的导数y /。
解：等式两端同时求导得：0)(22='+-'+y x y e y xy y xy所以 )2()(xy xy e y x y e y y --='例12 设函数x x y sin =，求y /(对数求导法)解：等式两端同时取对数得：ln y = sinx lnx 两端关于x 求导得：x xx x y y sin 1ln cos 1+=' 所以 )sin 1ln (cos sin x xx x xy x+='例13设函数y=y(x)由参数方程x=cost,y=sint-tcost 确定，求y /，y //。
解：t t t t t t dtdy t dt dx sin sin cos cos ,sin =+-=-= （参数方程的导数） t t t t dtdx dt dyy x-=-=='sin sin t tdt dt dx y d dx y d dt y d sin 1sin ,22=--='=-=' 例14 设222,,ln 21,1dxy d dx dy t t y tt x 求+=-=解：t t tt t dt dx dt dy dx dy t t t t dt dy tt t dt dx =++==∴+=+=+=+=222222211,11,111 22222211,t t dt tt dt dx y d dx y d dt y d +=+='=='例15 讨论解：0)1lim )(lim 0=--=--→→x x f x x 而 1lim )1ln(lim )0()0(lim )0(000=∆∆=∆∆+=∆-∆+='---→∆→∆→∆-xxx x x f x f f x x x x xx x x f x f x f ∆∆--∆++→∆=∆-∆++→∆=+'110lim)0()0(0lim)0( 1)11(20lim =∆-+∆+∆∆+→∆=x x x xx由)0(-'f =)0(+'f =1，可知1)0(='f ，故f(x)在x=0处可导。
例16 设)(xe f y =，其中f /(x)存在，求y /。
解：)())((])([xxxxxe f e e e f e f y '=''='=' 例17 设)1(),1ln()(2-''+=f x x f 求解：2222222)1()1(2)1(22)1(2)(,12)(x x x x x x x f xxx f +-=+⋅-+=''+=' 所以 f //(-1)=0 例18 设)(,23sin )(x f x e x f '=求解：)2(sin 22sin 23sin 3)23(sin 23sin )('⋅='⋅='x x x e x x ex f x xe x 23sin 2cos 22sin 6⋅=例19 设1111ln-++-=x x e e y ，求y /. (先化简，再求导)解：)11(111])11ln()11[ln('+-+-='-+-+-='x x xx e e e e y11121112)11(111-++-+---='-+-+-xxxxxxxxe ee e ee e e例20 设方程y=sin(x+y)确定了函数y=y(x),求y //(用微分法) 解：dy y x dx y x dy dx y x dy )cos()cos())(cos(+++=++= )(1)(y x cox y x cox dx dy y +-+==' 2)]cos(1[))(sin()cos()]cos(1)[)(sin(y x dy dx y x y x y x dy dx y x y d +-+++-+-++-=' 2)]cos(1[))(sin(y x dy dx y x +-++-=22)]cos(1[))cos(1)cos(1)(sin()]cos(1[)1)(sin(y x y x y x y x y x dx dy y x dx y d y +-+-+++-=+-++-='='' 3)]cos(1[)sin(y x y x +-+-=例21 设函数解：该分段函数在x=0xex x ∆+-→∆→∆1,00时与的极限不同，要分左右导数讨论。