2019年高考数学 母题题源系列 专题10 几何体的表面积与体积 理

专题10 几何体的表面积与体积

【母题原题1】【2018江苏，理10】如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为 ▲ ．

点睛：解决本类题目的关键是准确理解几何体的定义，真正把握几何体的结构特征，可以根据条件构建几何模型，在几何模型中进行判断；求一些不规则几何体的体积时，常用割补法转化成已知体积公式的几何体进行解决．

【母题原题2】【2017江苏，理6】如图,在圆柱12,O O 内有一个球O ,该球与圆柱的上、下面及母线均相切.

记圆柱12,O O 的体积为1V ,球O 的体积为2V ,则1

2

V V 的值是 ▲ .

【答案】

32

【考点】圆柱体积

【名师点睛】空间几何体体积问题的常见类型及解题策略

(1)若所给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解． (2)若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法、分割法、补形法等方法进行求解．

【母题原题3】【2015江苏，理9】现有橡皮泥制作的底面半径为5、高为4的圆锥和底面半径为2、高为8的圆柱各一个。若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥与圆柱各一个，则新的底面半径为

【解析】由体积相等得：2222

1145+28=4833r r r ππππ⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⇒【考点定位】圆柱及圆锥体积

【命题意图】 高考主要考查几何体的表面积和体积，考查基本求解能力.

【命题规律】1. 高考对立体几何的计算，主要是能利用公式求常见几何体(柱体、锥体、台体和球)的表面积与体积．同时还能解决距离、翻折、存在性等比较综合性的问题．2. 高考中常见的题型：(1) 常见几何体的表面积与体积的计算；(2) 利用等积变换求距离问题；(3) 通过计算证明平行与垂直等问题． 【方法总结】

1. 几何体的表面积的求法

(1)求表面积问题的思路是将立体几何问题转化为平面问题，即空间图形平面化，这是解决立体几何的主要出发点．

(2)求不规则几何体的表面积时，通常将所给几何体分割成基本的柱、锥、台体，先求这些柱、锥、台体的表面积，再通过求和或作差求得几何体的表面积． 2. 有关几何体体积的类型及解题策略

1．【江苏省南通市2018届高三最后一卷 --- 备用题数学试题】已知边长为2的等边三角形中，

、分

别为

、边上的点，

且

，将

沿

折成

，使平面

平面

，则几何体

的体积的最大值为__________．

【答案】

.

点睛：求最值问题往往先将所求问题转化为函数问题，然后根据:配方法、换元法、不等式法、三角函数法、图象法、函数单调性法求解，利用函数的单调性求最值，首先确定函数的定义域，然后准确地找出其单调区间，最后再根据其单调性求凼数的最值即可.

2．【江苏省南通市2018届高三最后一卷 --- 备用题数学试题】如图，已知圆锥的高是底面半径的倍，侧面积为，若正方形内接于底面圆，则四棱锥侧面积为__________．

【答案】.

【解析】分析：设圆锥底面半径为，则高为，母线长为，

由圆锥侧面积为，可得，结合，利用三角形面积公式可得结果.

详解：设圆锥底面半径为，则高为，母线长为，

因为圆锥侧面积为，

，，

设正方形边长为，则，

正四棱锥的斜高为，

正四棱锥的侧面积为，

故答案为.

点睛：本题主要考查圆锥的性质、正四棱锥的性质，以及圆锥的侧面积、正四棱锥的侧面积，属于中档题，解答本题的关键是求得正四棱锥底面棱长与圆锥底面半径之间的关系.

3．【江苏省苏州市2018届高三调研测试（三）数学试题】现用一半径为，面积为的扇形铁皮制作一个无盖的圆锥形容器（假定衔接部分及铁皮厚度忽略不计，且无损耗），则该容器的容积为

__________.

【答案】

点睛：涉及弧长和扇形面积的计算时，可用的公式有角度表示和弧度表示两种，其中弧度表示的公式结构简单，易记好用，在使用前，应将圆心角用弧度表示．

4．【江苏省南京师大附中2018届高三高考考前模拟考试数学试题】如图，直三棱柱ABC－A1B1C1的各条棱长均为2，D为棱B1C1上任意一点，则三棱锥D－A1BC的体积是______．

【答案】

点睛：本题考查三棱锥体积的计算，正确转换底面是关键．

5．【江苏省海门中学2018届高三5月考试（最后一卷）数学试题】如图，四棱锥P-ABCD，PA⊥底ABCD,底面ABCD是矩形，AB=2， AD=3，点E为棱CD上一点，若三棱锥E-PAB的体积为4，则PA的长为______.

【答案】4.

【解析】分析：由题意结合三棱锥的体积公式求解PA的长度即可.

详解：由题意可知，

点E到平面的距离为，

由三棱锥的体积公式可得：，即：.

点睛：本题主要考查三棱锥的体积公式及其应用，方程的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

6．【江苏省扬州树人学校2018届高三模拟考试（四）数学试题】记棱长为1的正三棱锥的体积为，棱长都为1的正三棱柱的体积为，则__________．

【答案】.

点睛：求椎体、柱体的体积时要按照体积公式分别求出底面面积和高，解题时注意一些中间结论的运用，

如等边三角形的边长为时，则它的高为，面积为等，以提高运算的速度．

7．【江苏省苏州市第五中学校2018届高三上学期期初考试数学（文）试题】已知圆锥和圆柱的底面半径均

为，高均为，则圆锥和圆柱的表面积之比是______．

【答案】

【解析】

【分析】

分别求出圆锥和圆柱的表面积.

【详解】

圆锥的母线长，

，，

.

故答案为：.

【点睛】