学案2：1.2 命题及其关系、充分条件与必要条件

1.2 命题及其关系、充分条件与必要条件
【高考新动向】 一、考纲点击 1、理解命题的概念；
2、了解“若p ，则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系；
3、理解必要条件、充分条件与充要条件的意义。

二、热点、难点提示
1、充分必要条件的判断和四种命题及其关系是本节考查的热点；
2、多以选择题、填空题的形式出现，由于知识载体丰富，具有较强的综合性，属于中、低档题目；有时也在解答题中出现，考查对概念的理解与应用，难度不会太大。

【考纲全景透析】 1、命题
定义：用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题，其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题。

2、四种命题及其关系 （1）四种命题 命题 表述形式 原命题 若p ，则q 逆命题 若q ，则p 否命题 若，则 逆否命题
若
，则
（2）四种命题间的相互关系
p ⌝q ⌝q ⌝p ⌝
（3）四种命题的真假关系
①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；
②两个命题互为逆命题或互为命题，它们的真假性没有关系；
注：否命题是命题的否定吗？答：不是。

命题的否命题既否定命题的条件，又否定命题的结论，而命题的否定只否定命题的结论。

3、充分条件与必要条件
（1）“若p ，则q”为真命题，记，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件。

（2）如果既有，又有，记作，则p 是q 的充要条件，q 也是p 的充要条件。

【热点难点全析】
一、命题的关系与真假的判断 1、相关链接
（1）对于命题真假的判定，关键是分清命题的条件与结论，只有将条件与结论分清，再结合所涉及的知识才能正确地判断命题的真假。

（2）四种命题的关系的应用
掌握原命题和逆否命题，否命题和逆命题的等价性，当一个命题直接判断它的真假不易进行时，可以转而判断其逆否命题的真假。

注：当一个命题有大前提而写出其他三种命题时，必须保留大前提，大前提不动。

2、例题解析
〖例1〗(1)(2012·苏州模拟)命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是______. (2)(2012·岳阳模拟)命题“若a ＞b ，则a -1＞b -1”的否命题是______.
(3)给出命题：若函数y=f(x)是幂函数，则函数y=f(x)的图象不过第四象限.在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是______.
p q ⇒p q ⇒q p ⇒p q ⇔
〖例2〗以下列命题为原命题，分别写出它们的逆命题，否命题和逆否命题．
①内接于圆的四边形的对角互补；
②已知a、b、c、d是实数，若a＝b，c＝d，则a＋c＝b＋d；
二、充分条件与必要条件的判定
1、相关链接
（1）利用定义判断
①若，则p是q的充分条件；
注：“p是q的充分条件”是指有p就有q，但无p也可能有q．如“两个三角形全等”是“两个三角形面积相等”的一个充分(不必要)条件，但无“两个三角形全等”也可推出“两个三角形面积相等”，如“两个三角形同底等高”就又是“两个三角形面积相等”的另一个充分(不必要)条件．②若，则p是q的必要条件；
注：ⅰ“q是p的必要条件”是指有q才能有p，但有q未必有p．如，一个偶数未必能被6整除(q：为偶数，p：能被6整除)．
ⅱ⇔q p
⌝⇒⌝，即无q必然无p，可见q对于p来说必不可少。

③若且，p是q的充要条件；
④
⑤p是q的必要而不充分条件．
⑥
（2）利用集合判断
记条件p、q对应的集合分别为A、B，则：
若
若，则p是q的充分不必要条件；
若
若，则p是q的必要不充分条件；
若A=B，则p是q的充要条件；
若，且，则p
是
q
的既不充分也不必要条件。

p q
⇒
q p
⇒
p q
⇒
p q
⇒q p
⇒
,
A B
⊆则p是q的充分条件;
A B
,
A B p q
⊇则是的必要条件；
B A
A B
注：p 与q 之间的关系的方向性，充分条件与必要条件方向正好相反，不要混淆。

2、例题解析
〖例1〗(1)设集合A={x ∈R|x -2>0}, B={x ∈R|x<0},C={x ∈R|x(x -2)>0},则“x ∈A ∪B”是“x ∈C”的( )
(A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件 (C)充分必要条件
(D)既不充分也不必要条件
(2012·驻马店模拟)已知条件p:(1-x)(x+1)＞0，条件
:()++-2
q lg 1x 1x 有意义，则⌝⌝p q 是的( )
(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充要条件
(D)既不充分也不必要条件
〖例2〗已知p ：x1，x2是方程x2＋5x －6＝0的两根，q ：x1＋x2＝－5，则p 是q 的（ ） A ．充分但不必要条件 B ．必要但不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 三、充要条件的证明
〖例1〗（12分）求证方程ax2+2x+1=0有且只有一个负数根的充要条件为a≤0或a=1. 〖例〗给出下列各组条件： (1)p ：ab ＝0，q ：a2＋b2＝0； (2)p ：xy≥0，q ：|x|＋|y|＝|x ＋y|；
(3)p ：m ＞0，q ：方程x2－x －m ＝0有实根； (4)p ：|x －1|＞2，q ：x ＜－1． 其中p 是q 的充要条件的有（ ） A ．1组 B ．2组 C ．3组 D ．4组 【高考零距离】
〖例1〗（2012·浙江高考文科·Ｔ4）设a ∈R ，则“a ＝1”是“直线l1：ax+2y -1=0与直线l2 ：x+2y+4=0平行的（ ）
A 充分不必要条件
B 必要不充分条件
C 充分必要条件
D 既不充分也不必要条件
〖例2〗（2012·湖南高考文科·Ｔ3）命题“若α=4，则tanα=1”的逆否命题是（ ）
A.若α≠4，则tanα≠1
B. 若α=4，则tanα≠1
C. 若tanα≠1，则α≠4
D. 若tanα≠1，则α=4 〖例3〗（2011·江西高考理科·Ｔ8） 已知是三个相互平行的平面，平面
之
间的距离为，平面
之前的距离为
，直线与
分别相交于
.那么
“
1223
P P P P =”是“
”的( )
A 、充分不必要条件
B 、必要不充分条件
C 、充分必要条件
D 、既不充分也不必要条件
〖例4〗（2011·福建卷理科·Ｔ2）若a ∈R ，则“a=2”是“（a -1）（a -2）”=0的( ) (A).充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件 (C).充要条件 (D).既不充分又不必要条件
〖例5〗（2011·安徽高考理科·Ｔ7）命题“所有能被2整除的整数都是偶数”的否定是（ ） （A ）所有不能被2整除的整数都是偶数 （B ）所有能被2整除的整数都不是偶数 （C ）存在一个不能被2整除的整数是偶数 （D ）存在一个不能被2整除的整数不是偶数
〖例6〗（2011·山东高考理科·Ｔ5）对于函数y=f （x ），x ∈R ，“y=|f(x)|的图像关于y 轴对称”是“y=f （x ）是奇函数”的
（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件 【考点提升训练】
一、选择题(每小题6分，共36分)
1.命题“若x,y 都是偶数，则x+y 也是偶数”的否命题是( )
123
,,ααα12
,αα1
d 23
,a α2
d l 123
,,ααα123
,,P P P 12
d d =
(A)若x,y都是偶数，则x+y不是偶数
(B)若x,y都不是偶数，则x+y不是偶数
(C)若x,y都不是偶数，则x+y是偶数
(D)若x,y不都是偶数，则x+y不是偶数
2.(2012·信阳模拟)已知函数y=f(x)的定义域为D，且D关于坐标原点对称，则“f(0)=0”是“y=f(x)为奇函数”的( )
(A)充要条件
(B)充分不必要条件
(C)必要不充分条件
(D)既不充分也不必要条件
3.（2012·莆田模拟）下列说法错误的是（）
(A)命题“若x2-4x+3=0则x=3”的逆否命题是“若x≠3则x2-4x+3≠0”
(B)“x>1”是“｜x｜>0”的充分不必要条件
(C)若p且q为假命题，则p、q均为假命题
(D)命题p：“∃x∈R使得x2+x+1<0”,则⌝p：“∀x∈R均有x2+x+1≥0”
4.（预测题）若集合A={x|2＜x＜3}，B={x|(x+2)(x-a)＜0}，则“a=1”是
“A∩B=Ø”的( )
(A)充分不必要条件
(B)必要不充分条件
(C)充要条件
(D)既不充分也不必要条件
5.已知条件p:x≤1，条件q:1
x＜1，则p是⌝q成立的( )
(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件
(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件
6.(2012·郑州模拟)若a1x2+b1x+c1＜0和a2x2+b2x+c2＜0的解集分别为集合M和N，(ai,bi,ci(i=1，2)均不为零)，那么“a1b2=a2b1且a1c2=a2c1”是“M=N”的( )
(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件
(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件
二、填空题(每小题6分，共18分)
7.有三个命题：
(1)“若x+y=0，则x,y互为相反数”的逆命题；
(2)“若a＞b，则a2＞b2”的逆否命题；
(3)“若x≤-3，则x2+x-6＞0”的否命题.
其中真命题的个数为_______.
8.（2012·南平模拟）设命题甲为：0<x<5,命题乙为|x-2|<3,则甲是乙的________条件（充分不必要、必要不充分、充要、既不充分又不必要）
9.(2012·安庆模拟)若“x2＞1”是“x＜a”的必要不充分条件，则a的最大值为______.
三、解答题(每小题15分，共30分)
10.设p:2x2-3x+1≤0,q:x2-(2a+1)x+a(a+1)≤0，若⌝p是⌝q的必要不充分条件，求实数a的取值范围.
11.求证：关于x的方程ax2+bx+c=0有一个根为1的充要条件是a+b+c=0.
【探究创新】
(16分)已知集合A={y|y=x2-3
2x+1,x∈［
3
4,2］},B={x|x+m2≥1}.若“x∈A”是“x∈B”的充分条
件,求实数m的取值范围.
答案
2、例题解析 〖例1〗
【答案】(1)若一个数的平方是正数，则它是负数 (2)若a≤b ，则a -1≤b -1 (3)1 〖例2〗
【答案】对①：原命题：“若四边形内接于圆，则它的对角互补”； 逆命题：“若四边形对角互补，则它必内接于某圆”； 否命题：“若四边形不内接于圆，则它的对角不互补”； 逆否命题：“若四边形的对角不互补，则它不内接于圆”．
对②：原命题：“已知a 、b 、c 、d 是实数，若a ＝b ，c ＝d ，则a ＋c ＝b ＋d”，其中“已知a 、b 、c 、d 是实数”是大前提，“a ＝b ，c ＝d”是条件，“a ＋c ＝b ＋d”是结论．所以： 逆命题：“已知a 、b 、c 、d 是实数，若a ＋c ＝b ＋d ，则a ＝b ，c ＝d”；
否命题：“已知a 、b 、c 、d 是实数，若a≠b 或c≠d ，则a ＋c≠b ＋d”(注意“a ＝b ，c ＝d”的否定是“a≠b 或c≠d”只需要至少有一个不等即可)；
逆否命题：“已知a 、b 、c 、d 是实数，若a ＋c≠b ＋d 则a≠b 或c≠d”．
逆否命题还可以写成：“已知a 、b 、c 、d 是实数，若a ＋c≠b ＋d 则a ＝b ，c ＝d 两个等式至少有一个不成立”
二、充分条件与必要条件的判定 2、例题解析 〖例1〗
【答案】(1)选C.集合C 的解集是{x|x<0或x>2}, ∵A ∪B={x|x<0或x>2},∴A ∪B=C ，故选C.
(2)选B.由(1-x)(x+1)＞0,得-1＜x ＜1，即条件p:-1＜x ＜1，则
或x≥1.
由得-1＜x≤1.
:⌝≤-p x 1⎧+≥⎪-≥⎨⎪
++->⎩2
21x 01x 01x 1x 0
即条件q:-1＜x≤1，则或x ＞1.
但
∴是的必要不充分条件，故选B. 〖例2〗
【答案】∵x1，x2是方程x2＋5x －6＝0的两根， ∴x1，x2的值分别为1，－6， ∴x1＋x2＝1－6＝－5．
因此选A ．
三、充要条件的证明 〖例1〗
【答案】充分性：当a=0时，方程变为2x+1=0,其根为x=,方程只有一个负根；
当a=1时，方程为x2+2x+1=0.其根为x=-1, 方程只有一个负根。

当a<0时，Δ=4（1-a ）>0,方程有两个不相等的根，且<0,方程有一正一负根。

必要性：若方程ax2+2x+1=0有且仅有一个负根。

当a=0时，适合条件。

当a≠0时，方程ax2+2x+1=0有实根， 则Δ=4（1-a ）≥0，∴a≤1, 当a=1时，方程有一个负根x=-1.
若方程有且仅有一负根，则 ∴a<0
综上方程ax2+2x+1=0有且仅有一负根的充要条件为a≤0或a=1 〖例〗
【答案】 (1)p 是q 的必要条件
:⌝≤-p x 1⌝p
⌝q ，.⌝⇒⌝q p ⌝p ⌝q
，1
2-
1
a 110a a <⎧⎪⎨<⎪⎩
(2)p 是q 充要条件 (3)p 是q 的充分条件 (4)p 是q 的必要条件．选A ． 【高考零距离】 〖例1〗
【解析】选C. “a ＝1”是“直线l1：ax+2y -1=0与直线l2 ：x+2y+4=0平行”的充要条件是：
由
解得 故“a ＝1”是“直线l1：ax+2y -1=0与直线l2 ：x+(a+1)y+4=0平行”的充要条件。

〖例2〗
【解析】选C. 原命题的逆否命题是“则
”，故选C 。

〖例3〗
【精讲精析】选C. 〖例4〗
【精讲精析】选A .由得或，所以
而
=0 ，故是的充分而不必要条件.
〖例5〗
【精讲精析】选D. 全称命题的否定为相应的特称命题，即将所有变为存在，并且将结论进行否定. 〖例6〗
【精讲精析】选B.“y=f （x ）是奇函数”，图象关于原点对称，所以“y=|f(x)|的图像关于y 轴对称”
“y=|f(x)|的图像关于y 轴对称”， y=f （x ）的图象关于y 轴对称或者关于原点对称，所以y=f （x ）不一定为奇函数 【考点提升训练】
1.【解析】选D.“都是”的否定是“不都是”，故其否命题是：“若x,y 不都是偶数，则x+y 不是偶数”.
21124a -=≠a =1tan 1,4(1)(2)0a a --=1a =2a =2(1)(2)0a a a =⇒--=(1)(2)a a --⇒2a =2a =(1)(2)0a a --=
2.【解析】选D.若f(x)=x2，则满足f(0)=0，但f(x)是偶函数；若f(x)=，则函数f(x)是奇函数，但f(0)没有意义，故选D.
3.【解析】选C.∵若p 且q 为假命题，则p 与q 至少有一个为假命题.
4.【解析】选A.当a=1时，B={x|-2＜x ＜1}，满足A∩B=Ø，反之若A∩B=Ø，只需a≤2即可，故“a=1”是“A∩B=Ø”的充分不必要条件.
5.【解析】选B.由＜1得＜0,
∴x ＜0或x ＞1,∴q:0≤x≤1.
∵{x|0≤x≤1}{x|x≤1},
∴p 是q 的必要不充分条件.
【变式备选】已知p:x2-x ＜0，那么p 的一个必要不充分条件是( )
(A)0＜x ＜1 (B)-1＜x ＜1
(C)＜x ＜ (D)＜x ＜2
【解析】选B.由x2-x ＜0得0＜x ＜1,
当{x|0＜x ＜1}A 时，x ∈A 是p 的必要不充分条件，故选B.
6.【解题指南】“a1b2=a2b1且a1c2=a2c1”等价于“=k”，当k ＞0时，M=N ，当k ＜0时，M≠N ；若M=N ，则a1b2=a2b1且a1c2=a2c1不一定成立.
【解析】选D.若a1b2=a2b1且a1c2=a2c1，则有
=k ，
当k ＜0时，M≠N;
反之，若M=N,
则a1b2=a2b1且a1c2=a2c1不一定成立,
故“a1b2=a2b1且a1c2=a2c1”是“M=N”的既不充分也不必要条件.
7.【解析】命题(1)为“若x,y 互为相反数，则x+y=0”是真命题；因为命题“若a ＞b ，则a2＞b2”是假命题，故命题(2)是假命题；命题(3)为“若x ＞-3，则x2+x -6≤0”，因为x2+x -6≤0⇔-3≤x≤2，1x 1x 1x
x -⌝⌝122312222111a b c a b c ==222111a b c a b c ==
故命题(3)是假命题，综上知真命题只有1个.
【答案】1
8.【解析】由｜x -2｜<3解得-1<x<5,
∴由x ∈(0,5)知x ∈(-1,5),反之不成立，
∴0<x<5是|x -2|<3的充分不必要条件.
【答案】充分不必要
【变式备选】一元二次方程ax2+2x+1=0有一个正根和一个负根的充分必要条件是__________.
【解题指南】先由方程有一个正根和一个负根求出a 满足的条件，再根据充分必要条件确定a 的范围.
【解析】若方程有一个正根和一个负根，
则＜0，得a ＜0，故充分必要条件是a ＜0.
【答案】a ＜0
9.【解题指南】把必要不充分条件转化为集合间的关系，再根据集合间的关系求a 的最大值.
【解析】由x2＞1，得x ＜-1或x ＞1，由题意知
{x|x ＜-1或x ＞1}{x|x ＜a},
∴a≤-1，即a 的最大值为-1.
【答案】-1
10.【解题指南】先求出p 、q ，再写出p 、q.将必要不充分条件转化为集合间的关系，再根据集合间的关系求a 的取值范围.
【解析】p 为：{x|≤x≤1},q 为： {x|a≤x≤a+1}，
p 对应的集合A={x|x ＞1或x ＜},q 对应的集合B={x|x ＞a+1或x ＜a},
∵p 是q 的必要不充分条件，∴B A ，
∴a+1>1且a≤或a+1≥1且a<.
1a ⌝⌝1
2⌝1
2⌝⌝⌝121
2
∴0≤a≤.
11.【证明】必要性:
若方程ax2+bx+c=0有一个根为1,
则x=1满足方程ax2+bx+c=0,
∴a+b+c=0.
充分性：
若a+b+c=0,则b=-a -c,
∴ax2+bx+c=0可化为ax2-(a+c)x+c=0,
∴(ax -c)(x -1)=0,
∴当x=1时，ax2+bx+c=0,
∴x=1是方程ax2+bx+c=0的一个根.
【方法技巧】充要条件的证明技巧：
(1)充要条件的证明分为两个环节，一是充分性；二是必要性.证明时，不要认为它是推理过程的“双向书写”，而是应该进行条件到结论，结论到条件的证明.
(2)证明时易出现充分性和必要性混淆的情形，这就要求我们分清哪是条件，哪是结论.
【探究创新】
【解析】y=x2-x+1=(x -)2+,
∵x ∈［,2］,∴≤y≤2,
∴A={y|≤y≤2},
由x+m2≥1，得x≥1-m2,
∴B={x|x≥1-m2},
∵“x ∈A”是“x ∈B”的充分条件，∴A ⊆B,
∴1-m2≤,解得m≥或m≤-,
故实数m 的取值范围是(-∞,- ］∪［,+∞).
123234716347167167163434343
4。