命题及其关系、充分条件与必要条件

高考理数
§1.2 命题及其关系、充分条件与必要条件
知识清单
考点一
四种命题及其关系
(1)四种命题
命题 原命题 逆命题 否命题 表述形式 若p,则q ① 若q,则p 若¬ p,则¬ q
命题及其关系
逆否命题
② 若¬ q,则¬ p
(2)四种命题间的关系
(3)四种命题的真假关系 (i)两个命题互为逆否命题,它们有相同的真假性; (ii)两个命题互为逆命题或互为否命题,它们的真假性没有关系.
词语
否定 词语
(=)
不等于 (≠ )
(>)
不大于
(<)
不小于 不是 不都是 某个 某些
一个
至少有 两个
一个
一个也 没有
方法技巧
方法 1 判断四种命题间关系及真假的方法
1.由原命题写出其他三种命题,关键要分清原命题的条件和结论,将原命 题的条件与结论互换即得逆命题,将原命题的条件与结论同时否定即得 否命题,将原命题的条件与结论互换的同时进行否定即得逆否命题. 2.给出一个命题,要判断它是真命题,需经过严格的推理证明;而要说明 它是假命题,只需举一反例即可.
(4)否命题与命题的否定的区别 否命题是对原命题的条件和结论同时否定;命题的否定仅仅否定原命题 的结论,条件不变.因此否命题与命题的否定是两种不同的命题.
考点二
的真假的确定.
充分条件与必要条件
1.判断“p是q的什么条件”的实质是对命题“若p,则q”与“若q,则p”
2.在判断充分条件与必要条件时,一定要弄清问题的设问方式,“A是B
2.利用集合判断
记法 关系 A={x|p(x)},B={x|q(x)} A⫋B B⫋A A=B A⊈B且
B⊈A
结论 p是q的充分不必要 p是q的必要不充分 p是q的充要条件 条件 条件 p是q的既不充分也 不必要 条件
3.利用等价转化法判断 p ⇒ q 与¬ q ⇒¬ p,q⇒p与¬ p⇒¬ q,p⇔q与¬ q⇔¬ p是等价的,这个方法特别适 合以否定形式给出的条件判断. 例2
的充分不必要条件”与“A的充分不必要条件是B”两种说法的含义不
同,解题时一定要分清哪个是条件,哪个是结论. 3.两个性质:
(1)若p是q的充分条件,则q是p的必要条件.
(2)传递性:若p是q的充分条件,q是r的充分条件,则p是r的充分条件.
4.常用的正面叙述词语和它的否定词语
正面 等于 大于 小于 是 都是 任意的 所有的 至多有 至少有
x2 1 (2017天津部分区一模,5)已知p:x -4x+3≤0,q:f(x)= 存在最大 x
2
值和最小wenku.baidu.com,则p是q的 ( A )
A.充分而不必要条件 C.必要而不充分条件 B.充要条件 D.既不充分也不必要条件
解析 由x2-4x+3≤0,得1≤x≤3,故命题p:1≤x≤3,
x2 1 1 f(x)= =x+ 在[1,+∞)上为增函数,∴由p能推出q. x x x2 1 当x∈[4,5]时,f(x)= 有最大值和最小值,故由q推不出p,∴p是q的充分 x
不必要条件,故选A.
思路分析 ∵a>b,∴关键是c是否为0,等价命题同真同假,故只要判断原 命题和逆命题的真假即可.
点评 熟悉四种命题的概念是正确书写或判断四种命题真假的关键;当 一个命题直接判断不易进行时,可转化为判断其逆否命题的真假.
方法 2 充分条件与必要条件的判断
1.利用定义判断 (1)若p⇒q,则p是q的充分条件; (2)若q⇒p,则p是q的必要条件; (3)若p⇒q且q⇒p,则p是q的充要条件; (4)若p⇒q且q⇒/ p,则p是q的充分不必要条件; (5)若p⇒/ q且q⇒p,则p是q的必要不充分条件; (6)若p⇒/ q且q⇒/ p,则p是q的既不充分也不必要条件.
3.由于原命题与其逆否命题的真假性相同,所以有时可以利用这种等价
性间接地证明命题的真假.
例1 (2017广东肇庆一模,5)原命题:设a、b、c∈R,若“a>b”,则“ac2> bc2”,以及它的逆命题、否命题、逆否命题中,真命题共有 ( C ) A.0个 B.1个 C.2个 D.4个
解析 若c=0,则原命题不成立,由等价命题同真同假知其逆否命题也为 假;逆命题为设a,b,c∈R,若“ac2>bc2”,则“a>b”.由ac2>bc2知c2>0,∴由 不等式的基本性质得a>b,∴逆命题为真,由等价命题同真同假知否命题 也为真,∴真命题共有2个.故选C.