晋中市榆社中学2017届高三月考数学文试题 含答案

高三数学试卷（文科）
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分,共60分。

在每小题给
出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的.） 1。

设全集{}{}{}0,1,2,3,4,1,2,1,3U
U C A B ===,则A B 等于（ ）．
A ．{}2
B ． {}1,2,3
C ． {}0,1,3,4
D ．{}0,1,2,3,4
2。

在等比数列{}n
a 中，1
241
,23
a
a a ==,则5a 等于( ) A ．43
B ． 63
C ． 83
D ．16
3
3。

在ABC ∆中,03,120a A ==，则角B 的大小为（ ）．
A ． 30°
B ．45°
C ．60°
D ．90°
4.已知命题2:4,log
2p x x ∀≥≥；命题:q 在ABC ∆中，若3
A π
>
,则3
sin 2
A >
．则下
列命题为真命题的是（ )． A ．p q ∧ B ．()p q ∧⌝ C ．()()p q ⌝∧⌝
D ．()p q ⌝∨ 5.已知曲线 ()2
1
ax f x x =+在点()()1,1f 处切线的斜率为
1,则实数a 的值为
（ ）．
A ．32
B ．32
- C ．34
- D ．43
6。

已知非零向量,a b 满足23,2a b a b a b =-=+,则a 与b 的夹角的余弦值为
（ ）．
A ．23
B ． 34
C ．13
D ．14
7。

实数,x y 满足
1030270x y x y x y -+≥⎧⎪
+-≥⎨⎪+-≤⎩
，则2z x y =-的最小值是( )．
A ．—3
B ． -4
C ．6
D ．—6 8.若13tan ,,tan 242ππααα⎛⎫
-
=∈ ⎪⎝⎭
，则cos 2α的值为（ )．
A ．45
B ． 4
5
- C ．35
D ．35
-
9.已知函数()()sin ,08f x x x R πωω⎛⎫
=+∈> ⎪⎝
⎭
的最小正周期为π,为了得到函数
()cos g x x
ω=的图象,只要将()y f x =的图象（ )
A ．向左平移34
π个单位长度 B ．向右平移34π个单位长度 C ．向左平移316
π个单位长度 D ．向右平移
316
π个单位长度
10。

函数()3
2
x
y x
x =-的图象大致是（ ）．
A ．
B ．
C ．
D ．
11. 如图，在ABC ∆中，,3,1AD AB BC BD AD ⊥==，则AC AD
的值为（ ）．
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
12。

设函数()f x 在R 上存在导函数()f x ',对于任意的实数x ，都有
()()
23f x x f x =-，当(),0x ∈-∞时,()132
f x x '+<，若()()27392
f m f m m +--≤+，则实
数m 的取值范围是（ ）．
A ．3,2
⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭
B ．1,2
⎡⎫-+∞⎪⎢
⎣⎭
C ．[)1,-+∞
D ．[)2,-+∞
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分,共20分．将答案填在答题卡中的横线上） 13。

已知函数
()3
sin ,02
1log ,0
6
x x f x x x π⎧
≤⎪⎪=⎨
⎪->⎪⎩
，则(f f ⎡⎤=⎣⎦
____________．
14.设,x y R ∈，向量()()(),2,1,,2,6a x b y c ===-,且,//a c b c ⊥，则a b +=__________． 15.若实数,m n
满足64m
n
+=
mn 的最小值为 ____________．
16。

已知数列{}n
a 的通项公式()(),14182,2n
n
a n a
n a n =⎧⎪
=⎨+--≥⎪⎩
，若对任意
1
,n n n N a a ++∈<恒成立，则a 的取值范围是____________．
三、解答题 （本大题共6小题，共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17。

（本小题满分10分） 设数列{}n
a 满足1
4n n
a
a +=+，且1
1
a
=．
（1)求数列{}n
a 的通项公式;
(2）若n
b 为n
a 与1
n a +的等比中项,求数列2
1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭
的前n 项和n
T .
18。

（本小题满分12分）
在ABC ∆中，角,,A B C 所对边分别为,,a b c ，已知向量()()
2
,,,1m b c a bc n b c =++=+-,
且0m n =．
（1）求角A 的大小；
（2）若3a =，求ABC ∆的周长的最大值． 19.(本小题满分12分） 已知函数()2
cos 22sin
2sin f x x x x
=++．
（1)将函数()2f x 的图像向右平移6
π个单位得到函数()g x 的图像，若
,122x ππ⎡⎤∈⎢⎥
⎣⎦
，求函数()g x 的值域；
（2）已知,,a b c ，分别为ABC ∆中角,,A B C 的对边，且满足
()2,2sin b f A b A
==
+=，求ABC ∆的面积．
20.（本小题满分12分) 设数列{}n
a 的前n 项和为1
,1
n S a
=，且对任意正整数n ，满足1
220n n a
S ++-=．
(1)求数列{}n
a 的通项公式．
（2）设2
n
n
b
na =，求数列{}n
b 的前n 项和n
T ．
21.（本小题满分12分）
设():1p f x ax =+在区间(]0,2上恒成立；:q 函数()2ln a g x ax x x
=-+在其定义域
上存在极值．
（1）若p 为真命题，求实数a 的取值范围;
（2）如果“p 或q ”为真命题，“p 且q ”为假命题，求实数a 的取值范围．
22.（本小题满分12分）
已知曲线()x
ax f x e =在0x =处的切线方程为y x b =+．
（1)求,a b 的值；
（2）若对任意()2
131
,,2263x f x m x x ⎛⎫∈<
⎪+-⎝⎭
恒成立，求m 的取值范围．
参考答案
一、
选择题
二、
填空题
13.
14.
15.
16。

()3,5
三、解答题 17.解：(1）由1
4n n
a a +=+可得1
4
n n a
a +-=，所以数列{}n
a 是公差为4的等差
数列， 又1
1
a
=，所以()11443
n
a
n n =+-⨯=-．．．．．．．．．．．．．．．4分
()()12
11
1111
11111
1111559913
43414559
434111144141
n n n T a a a a n n n n n n n +⎛⎫
=++
=++++
=-+-+
+
- ⎪⨯⨯⨯-⨯+-+⎝⎭
⎛⎫=
-= ⎪++⎝⎭．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分 18。

解：(1）因为0m n =，所以()2
20
b c a bc +--=，
即2
22b c a bc
+-=-,．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分
故2221cos 222
b c a bc A bc bc +-==-=-
．．．．．．．．．．．．．．．．．4分
又
()0,A π∈,所以
23
A π
=
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分
（2）由（1）及3a =，得()()
()2
22
22
2
2
324b c a b c bc b c bc b c b c +⎛⎫
=++=+-≥+-=+ ⎪
⎝⎭
,所
以()
2
12
b c +≤，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分
所以23,323
b c a b c +≤++≤+,．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．11分
故ABC ∆的周长的最大值323+．．．．．．．．．．．．．．．．．12分
19。

解：
()2cos 22sin 2sin f x x x x =++
()cos 21cos 22sin x x x
=+-+．．．．．．．．．．1分
=12sin x +．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分
(1）平移可得()2sin 213g x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝
⎭
，
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分
∵,
122x ππ⎡
⎤∈⎢
⎥⎣⎦，∴
22,
363x π
ππ⎡⎤
-
∈-⎢⎥⎣⎦
，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分 当12
x π=时，()min
g x =；当5
12
x π=
时,()
max
3
g x =．．．．．．．．．．．．．．．．6分
∴所求值域为[]0,3．．．．．．．．．．．．．．．7分
（2
2sin b A
=及正弦定理
得
2sin sin A B A
=．．．．．．．．．．．．．．．．．． 8分
∴
sin B =
,∵02
B π<<,∴3
B π=，由()1
f A =+得sin A =
从而
4
A π
=
，………………………………………10分
由正弦定理得：
a =
,．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．11分
∴
11sin 222ABC
S
ab C ∆=
==．．．．．．．．．．．．．．． 12分
20。

解：（1)因为1
220
n n a S ++-=，
所以,当2n ≥时，1220
n
n a S -+-=，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．1分
两式相减得1
1220n n n n a
a S S +--+-=，即111220,2
n n n n n a a a a a ++-+==
．．．．．．．．．．．．．．．．3分
又当1n =时，1
1220
n n n n a a S S +--+-=，即1
11
220,2
n n n n n a
a a a a ++-+==
．．．．．．．．．．4
分
所以{}n
a 是以首项1
1
a
=,公比12q =的等比数列，
所以数列{}n
a 的通项公式为1
12n n a -⎛⎫
= ⎪
⎝⎭
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分
(2）由(1)知，2
1
4n
n n n
b
na -==
，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分
则22123114444n
n n n n T
---=+
++++,①
32
31442444
n n n n n
T ---=+++++，②．．．．．．．．．．．．．．．．．8分
②—①得
321111354444
n n n n n T ---=+
+++-，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分
1
1634334n n -+=-
⨯，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．11分 所以,数列{}n
b 的前n 项和为
1
1634
994n n n T -+=
-
⨯．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分
21。

解:（1）因为10ax +≥对(]0,2x ∈恒成立,所以1a x
≥-，
所以max
11
2
a x ⎛⎫≥-=-
⎪
⎝⎭，即a 的取值范围为1,2
⎡⎫-+∞⎪⎢
⎣⎭
．．．．．．．．．．．．．．．．．4分 (2）对于()()222
22,2lnx,g a a ax x a
q g x ax x a x x x x ++'=-+=++=
，
若()()0,0,a g x g x '≥>在定义域单调递增,在其定义域上不存在极值，不符合题意;
若0a <,则10a
->，由2
440
a
∆=->，解得10a -<<,
所以，若q 为真命题,则10a -<<,．．．．．．．．．．．．．．8分
因为“p 或q ”为真命题，“p 且q "为假命题，所以命题p 与q 一真一假， ①p 真q 假时，1201
a a a ⎧
≥-
⎪⎨
⎪≥≤-⎩或，解得0a ≥,
②p 假q 真时，
1210
a a ⎧
<-
⎪⎨
⎪-<<⎩，解得112
a -<<-
综上所述，a 的取值范围为[)11,0,2⎛⎫
--+∞ ⎪⎝
⎭．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 22。

解：（1）由题意得()()1x
a x f x e -'=，因曲线()y f x =在0x =处的切线方
程为y x b =+，
所以，得()011
a f '==，即1a =,又()00f =，从而0
b =．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4
分
（2)由（1）知()2
163x x f x e m x x =<
+-对任意13,22x ⎛⎫∈ ⎪
⎝⎭
恒成立,
所以2
630
m x x
+->，即2
36m x
x
>-，对任意13,22x ⎛⎫∈ ⎪
⎝⎭
恒成立,从而94
m ≥-
．．．．．．．．．6分
又不等式整理可得236x
e m x x
x
<+-，令
()236x
e g x x x
x
=+-，
所以()()()()2
216
116x
x e x e g x x x x
x -⎛⎫
'=+-=-+ ⎪
⎝⎭
，令()0g x '=得1x =，．．．．．．．．．．．．9
分
当31,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
时，()0g x '>，函数()g x 在31,2⎛⎫ ⎪
⎝⎭
上单调递增， 同理，函数()g x 在1,12
⎛⎫
⎪⎝⎭
上单调递减,所以
()()min 13
m g x g e <==-,．．．．．．．．．．．．11分
综上所述，实数m 的取值范围是
9,34e ⎡⎫--⎪⎢⎣⎭
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分。