初中所学的数学概念——统计与机率

初中所学的数学概念——统计与机率

◎次数分配与资料展示（3下3-1）

▽①次數分配表、累積次數分配表、相對次數分配表與累積相對次數分配表：

(1)將資料適當分組，並統計次數，所得的統計表稱為次數分配表。利用次數分配表，

可以繪製次數分配直方圖與折線圖。

(2)將各組次數依序累加，所得的統計表稱為累積次數分配表。利用累積次數分配表，

可以繪製累積次數分配折線圖。

(3)將各組資料的次數與全部資料的比值用百分比表示，所得的統計表稱為相對次數分

配表。利用相對次數分配表，可以繪製相對次數分配直方圖與折線圖。

(4)將各組相對次數依序累加，所得的統計表稱為累積相對次數分配表。利用累積相對

次數分配表，可以繪製累積相對次數分配折線圖。

下表是三年甲班40位學生，數學成績的累積相對次數分配表，則

(1)明華的成績是70分，落在70～80分這一組。

(2)成績低於60分的有10人。

(3)成績在80～90分的人數占全班的20％。

(4)成績低於80分的人數占全班的70％。

製作次數分配折線圖、相對次數分配折線圖時，以各組的組中點來取折點。

製作累積次數分配折線圖、累積相對次數分配折線圖時，以各組的右端來取

折點，這樣才符合累積的意義。

▽②統計圖表：

(1)长条图(2)圆形图

(3)直方图 (4)折线图

◎资料的分析（3下3-2）

▽① 平均數：

將所有資料的總和除以總次數，稱為平均數（或算術平均數），即有n 筆資料， 分別是x 1、x 2、x 3、……、x n ，則這組資料的平均數為n x x x x n 321++++ΛΛ。 有一組資料20、22、28、31、35、37、42、49，則其平均數為

（20＋22＋28＋31＋35＋37＋42＋49）÷8＝33。

▽② 中位數：

(1)中位數是一組由小排到大的資料中，最中間位置的數值。

(2)中位數的求法如下：將n 筆資料由小到大依序排列，

○1若n 是奇數，則中位數是「第2

1＋n 筆資料」。 將13筆資料由小排到大，其中位數為「第7筆資料」。 ○

2若n 是偶數，則中位數是「第2n 筆與第（2n ＋1）筆資料的平均」。 將24筆資料由小排到大，其中位數為「第12筆與第13筆資料的平均」。

▽③ 眾數：

一組資料中，出現次數最多的資料，稱為這組資料的眾數。

有一組資料15、21、24、24、24、30、30、33、34，則其眾數為24。

▽④ 資料值的調整：

(1)將一組資料中的每一個數值都加m （m ≠0），則所得到新資料的平均數、中位數與 眾數是原資料的平均數、中位數與眾數分別再加m 。

某次考試，全班最高分為70分，平均數為58分，中位數為55分，眾數為50分，

有一題的題目出錯，老師決定每人的分數加10分，則調整後全班的平均數、

中位數與眾數是多少？

調整後平均數為58＋10＝68分，

調整後中位數為55＋10＝65分，

調整後眾數為50＋10＝60分。

(2)將一組資料中的每一個數值都乘以k倍（k≠0），則所得到新資料的平均數、中位數

與眾數是原資料的平均數、中位數與眾數分別再乘以k倍。

某次考試，全班最高分為60分，平均數為54分，中位數為50分，眾數為48分，

老師覺得成績不太理想，決定每人的分數乘以1.5，則調整後全班的平均數、

中位數與眾數是多少？

調整後平均數為54×1.5＝81分，

調整後中位數為50×1.5＝75分，

調整後眾數為48×1.5＝72分。

▽⑤第m百分位數的算法：

將n筆資料由小到大依序排列，並計算n×m％的值，

(1)如果n×m％不是整數，令T是大於n×m％的最小正整數，則第m百分位數P m

是「第T筆資料」。

將110筆資料由小排到大，其第25百分位數為「第28筆資料」。

(2)如果n×m％是整數，令T＝n×m％，則第m百分位數P m是「第T筆與第（T＋1）

筆資料的平均」。

將110筆資料由小排到大，其第60百分位數為「第66筆與第67筆資料的平均」。▽⑥四分位數：

(1)第25百分位數P25稱為第1四分位數，以Q1表示。

(2)第50百分位數P50稱為第2四分位數，以Q2表示，也就是中位數。

(3)第75百分位數P75稱為第3四分位數，以Q3表示。

有一組18筆資料由小排到大為4、6、8、10、12、14、16、18、20、22、24、

26、28、30、32、34、36、38，則第1四分位數、第2四分位數、第3四分位數

是多少？

18×0.25＝4.5，18×0.5＝9，18×0.75＝13.5，

第1四分位數為由小排到大的第5筆資料，即為12，

第2四分位數為由小排到大的第9筆與第10筆資料的平均，即為2022

2

＋

＝21，

第3四分位數為由小排到大的第14筆資料，即為30。▽⑦全距、四分位距與盒狀圖：

(1)全部資料中，最大數值與最小數值的差稱為全距。

(2)第3四分位數與第1四分位數的差（Q 3－Q 1）稱為四分位距。

(3)將整體資料中最小數值、第1四分位數、中位數、第3四分位數與最大數值， 這五個資料繪製成長方形盒子圖，稱為盒狀圖。

右圖是游泳社40位成員身高的盒狀圖，則 (1)該社成員身高的全距是

195－150＝45公分。

(2)該社成員身高的四分位距是

180－155＝25公分。

◎機率（3下3-3）

▽① 機率：

假設一個試驗所有可能的結果有n 種，若每一種結果發生的機會都相等，我們就說 每一種結果發生的機率都是n 1。 投擲一顆公正的骰子一次，可能出現的情形有1、2、3、4、5、6，若每種結果

發生的機會都相等，則每一種結果發生的機率都是16

。 ▽② 某事件發生的機率：

如果一個試驗所有可能的結果有n 種，這n 種結果發生的機會都相等，若A 事件包含 了其中m 種（m ≤n ）可能的結果，我們就說A 事件發生的機率是

n m ，且0≤n m ≤1。 (1) A 事件發生的機率＝

數試驗所有可能結果的個數事件所含可能結果的個 A ，且發生的機率都是一個 從0到1的數值。

(2)若事件的機率是1，表示此事件一定會發生。

(3)若事件的機率是0，表示此事件肯定不會發生。

投擲一顆公正的骰子一次，若每種結果發生的機會都相等，則

(1)出現奇數點的機率是36＝12

。 (2)出現點數小於7點的機率是66

＝1。 (3)出現8點的機率是0。