自动控制原理第三章课后习题答案

3-1
（1） )(2)(2.0t r t c
= （2） )()()(24.0)(04.0t r t c t c t c
=++ 试求系统闭环传递函数Φ(s),以及系统的单位脉冲响应g(t)和单位阶跃响应c(t)。

已知全
部初始条件为零。

解：
（1） 因为)(2)(2.0s R s sC =
闭环传递函数s
s R s C s 10
)()()(==
Φ 单位脉冲响应：s s C /10)(= 010
)(≥=t t g
单位阶跃响应c(t) 2
/10)(s s C = 010)(≥=t t t c
（2）)()()124.004.0(2
s R s C s s =++ 1
24.004.0)
()(2
++=s s s R s C 闭环传递函数1
24.004.01
)()()(2
++==
s s s R s C s φ 单位脉冲响应：124.004.01
)(2
++=
s s s C t e t g t 4sin 3
25)(3-= 单位阶跃响应h(t) 16
)3(6
1]16)3[(25)(22+++-=++=
s s s s s s C
t e t e t c t t 4sin 4
3
4cos 1)(33----=
3-2 温度计的传递函数为1
1
+Ts ，用其测量容器内的水温，1min 才能显示出该温度的
98%的数值。

若加热容器使水温按10ºC/min 的速度匀速上升，问温度计的稳态指示误差有多大？
解法一 依题意，温度计闭环传递函数
1
1
)(+=
ΦTs s 由一阶系统阶跃响应特性可知：o o T c 98)4(=，因此有 min 14=T ，得出 min 25.0=T 。

视温度计为单位反馈系统，则开环传递函数为
Ts s s s G 1
)(1)()(=Φ-Φ= ⎩
⎨⎧==11v T K
用静态误差系数法，当t t r ⋅=10)( 时，C T K
e ss ︒===
5.21010。

解法二 依题意，系统误差定义为 )()()(t c t r t e -=，应有 1
111)()(1)()()(+=+-=-==
ΦTs Ts
Ts s R s C s R s E s e C T s Ts Ts s
s R s s e s e s ss ︒==⋅+=Φ=→→5.21010
1lim )()(lim 2
3-3 已知二阶系统的单位阶跃响应为
)1.536.1sin(5.1210)(2.1o t
t e
t c +-=-
试求系统的超调量σ％、峰值时间ｔp 和调节时间ｔs 。

解：)1sin(111)(22
βωζζζω+---
=-t e t c n t n
ζβarccos = 2
1/
%ζπζσ--=e n
p t ωζπ
2
1-=
n
s t ζω5
.3=
6.01.53cos cos 0===βζ
%5.9%2
2
2
6.01/
6.06.01/6.01/
====------ππζπζσe e e
)(96.16
.112
s t n
p ==
-=
π
ωζπ
)(92.22
.15
.35
.3s t n
s ==
=
ζω 或：先根据c(t)求出系统传函，再得到特征参数，带入公式求解指标。

3-4 机器人控制系统结构图如图T3.1所示。

试确定参数21,K K 值，使系统阶跃响应的峰值时间5.0=p t s ，超调量%2%=σ。

图T3.1 习题3-4 图
解 依题，系统传递函数为
2
22
12121211
2)1()1()1(1)
1()(n n n s s K K s K K s K s s s K K s s K s ωζωω++=+++=+++
+=ΦΦ 由 ⎪⎩
⎪⎨⎧=-===--5.0102
.0212n p o
o t e ωζπσζπζ 联立求解得 ⎩⎨⎧==1078.0n ωζ
比较)(s Φ分母系数得
⎪⎩
⎪
⎨⎧=-===146.0121001221K K K n n ζωω 3-5 设图T3.2（a ）所示系统的单位阶跃响应如图T3.2（b ）所示。

试确定系统参数
,1K 2K 和a 。

图T3.2 习题3-5 图
解 由系统阶跃响应曲线有
⎪⎩⎪
⎨⎧=-===∞o
o o o
p t c 3.33)34(1.03)(σ
系统闭环传递函数为
2
2
2
2122
12)(n
n n s s K K as s K K s ωξωω++=++=Φ （1） 由 ⎪⎩⎪⎨⎧
===-=--o o o
o n
p e t 3.331.012
12
ζζπσωζπ 联立求解得 ⎩⎨⎧==28.3333.0n ωζ
由式（1）⎩⎨⎧====22
21108
2
1n n a K ζωω
另外 3lim 1
)(lim )(21
22100
==++=⋅
Φ=∞→→K K as s K K s s s c s s
3-6已知单位反馈随动系统如图T3.3所示，K=16s -1
,T=0.25s,试求： （1）特征参数ζ和n ω； （2）计算σ%和t s ;
（3）若要求σ%=16%，当T 不变时K 应当取何值？
图T3.3 习题3-6 图
【解】：（1）求出系统的闭环传递函数为：
T
K s T s T
K K
s Ts K s /1
/)(22++=
++=
Φ
因此有：
25.021
2/1),(825.0161======
-KT T s T K n n ωζω
（2） %44%100e %2
-1-
=⨯=ζ
ζπ
σ %)
2)((2825.044=∆=⨯=≈s t n s ζω
（3）为了使σ%=16%，由式%16%100e %2
-1-=⨯=ζζπ
σ可得5.0=ζ，当T 不变时，有： )(425.04)(425.05.021
212/11221--=⨯===⨯⨯===s T K s T T n n ωζζω
3-7 系统结构图如图T3.4所示。

已知系统单位阶跃响应的超调量σ%3.16=%，峰值时间1=p t s 。

图T3.4 习题3-7 图
（1） 求系统的开环传递函数)(s G ； （2） 求系统的闭环传递函数)(s Φ；
（3） 根据已知的性能指标σ%、p t 确定系统参数K 及τ； （4） 计算等速输入s t t r )(5.1)(︒=时系统的稳态误差。

解 （1） )110(10)
1(101)1(10
)(++=++
+=ττs s K s s s s s K s G
（2） 2
2
22210)110(10)(1)()(n
n n s s K s s K
s G s G s ωζωωτ++=+++=+=Φ （3）由 ⎪⎩
⎪⎨⎧=-===--113.16212ζωπσζζπn p o o o o t e 联立解出 ⎪⎩⎪⎨⎧===263.063.35.0τωζn 由（2） 18.1363.31022
===n K ω，得出 318.1=K。

（4）
63.31
263.01018
.1311010)(lim 0
=+⨯=+=
=→τK s sG K s v
413.063
.35.1===
v ss
K A e
3-8 已知单位反馈系统的单位阶跃响应为
，求
（1）开环传递函数
； （2）s n %t σως； （3）在
作用下的稳态误差。

3-9 已知系统结构图如图T3.5所示，
)
125.0)(11.0()(++=
s s s K
s G
试确定系统稳定时的增益K 的取值范围。

图T3.5 习题3-9 图
解：
3-10 已知单位反馈系统的开环传递函数为
)
22)(4()
1(7)(2++++=
s s s s s s G
试分别求出当输入信号t t t r ),(1)(=和2
t 时系统的稳态误差。

解 )22)(4()
1(7)(2++++=
s s s s s s G ⎩⎨⎧==1
7v K
由静态误差系数法
)(1)(t t r =时， 0=ss e
t t r =)(时， 14.17
8
===K A e ss
2)(t t r =时， ∞=ss e
3-11 已知单位负反馈系统的开环传递函数为 ()(0.11)(0.21)
K
G S s s s =
++，
若r(t) = 2t ＋2时，要求系统的稳态误差为0.25，试求K 应取何值。

3-12设系统结构图如图T3.6所示，
图T3.6 习题3-12 图
（1） 当025,0f K K ==时，求系统的动态性能指标%σ和s t ； （2） 若使系统ζ=0.5，单位速度误差0.1ss e =时，试确定0K 和f K 值。

（1）
%25.4%
1.75
ts σ== （5分） （2）0100,6f K K ==（5分）
3-13 已知系统的特征方程，试判别系统的稳定性，并确定在右半s 平面根的个数及纯虚根。

（1）01011422)(2
3
4
5
=+++++=s s s s s s D （2）0483224123)(2
3
4
5
=+++++=s s s s s s D （3）022)(4
5
=--+=s s s s D
（4）0502548242)(2
3
4
5
=--+++=s s s s s s D
解（1）1011422)(2
3
4
5
+++++=s s s s s s D =0
Routh ： S 5 1 2 11 S 4 2 4 10 S 3 ε 6 S 2 εε
124- 10
S 6 S 0 10
第一列元素变号两次，有2个正根。

（2）483224123)(2
3
4
5
+++++=s s s s s s D =0 Routh ： S 5 1 12 32
S 4 3 24 48 S 3
3122434⨯-= 32348
3
16⨯-= 0
S 2
424316
4
12⨯-⨯= 48
S 121644812
0⨯-⨯= 0 辅助方程 124802s +=,
S 24 辅助方程求导：024=s
S 0 48
系统没有正根。

对辅助方程求解，得到系统一对虚根 s j 122,=±。

（3）022)(4
5
=--+=s s s s D
Routh ： S 5 1 0 -1
S 4 2 0 -2 辅助方程 0224=-s S 3 8 0 辅助方程求导 083
=s
S 2 ε -2 S ε16
S 0 -2
第一列元素变号一次，有1个正根；由辅助方程0224
=-s 可解出： ))()(1)(1(2224
j s j s s s s -+-+=-
))()(1)(1)(2(22)(4
5
j s j s s s s s s s s D -+-++=--+= （4）0502548242)(2
3
4
5
=--+++=s s s s s s D Routh ： S 5 1 24 -25
S 4 2 48 -50 辅助方程 05048224=-+s s S 3 8 96 辅助方程求导 09683
=+s s
S 2 24 -50 S 338/3
S 0 -50
第一列元素变号一次，有1个正根；由辅助方程0504822
4=-+s s 可解出： )5)(5)(1)(1(2504822
4
j s j s s s s s -+-+=-+
)5)(5)(1)(1)(2(502548242)(2345j s j s s s s s s s s s s D -+-++=--+++=
3-14 某控制系统方块图如图T3.7所示，试确定使系统稳定的K 值范围。

图T3.7 习题3-14 图
解 由结构图，系统开环传递函数为：
)4()124()(232++++=s s s s s K s G ⎩⎨⎧==3
4
v K K k 系统型别开环增益
0244)(2
3
4
5
=+++++=K Ks Ks s s s s D Routh ： S 5 1 4 2K S 4 1 4K K
S 3 )1(4K -- K 1<⇒K
S 2 )
1(4)1615(K K K -- K 067.11516=>⇒
K
S )
1(41647322K K K --+- 933.0536.0<<⇒K
S 0 K 0>⇒K
∴使系统稳定的K 值范围是： 933.0536.0<<K 。

3-15 单位反馈系统的开环传递函数为
)
5)(3()(++=
s s s K
s G
要求系统特征根的实部不大于1-，试确定开环增益的取值范围。

解 系统开环增益 15K K k =。

特征方程为： 0158)(2
3
=+++=K s s s s D 做代换 1-'=s s 有：
0)8(25)1(15)1(8)1()(2323=-+'+'+'=+-'+-+-'='K s s s K s s s s D
Routh ： S 3 1 2 S 2 5 K-8 S 5
18K - 18<⇒
K
S 0 8-K 8>⇒
K
使系统稳定的开环增益范围为： 15
18
15158<=<K K k 。

3-16 单位反馈系统的开环传递函数为
)
12)(1()
1()(+++=
s Ts s s K s G
试确定使系统稳定的T 和K 的取值范围。

解 特征方程为：
0)1()2(2)(2
3
=+++++=K s K s T Ts s D Routh ： S 3 T 2 K +1 0>⇒T
S 2 T +2 K 2->⇒T S T
TK K +-+221 1
4
2-+
<⇒K T S 0 K 0>⇒
K
综合所得，使系统稳定的参数取值1
4
2-+<⇒K T ，k>0
3-17 船舶横摇镇定系统方块图如图T3.8所示，引入内环速度反馈是为了增加船只的阻尼。

图T3.8 习题3-17 图
（1） 求海浪扰动力矩对船只倾斜角的传递函数
)
()
(s M s N Θ；
（2） 为保证N M 为单位阶跃时倾斜角θ的值不超过0.1，且系统的阻尼比为0.5，求2K 、
1K 和3K 应满足的方程；
（3） 取2K =1时，确定满足（2）中指标的1K 和3K 值。

解 （1）
)5.01()5.02.0(5.01
2.05.012.05.0112.05
.0)()(213222
12322K K s K K s s s K K s s s K K s s s M s a
N ++++=++++++++=Θ （2）令： 1.05.015
.0)()(1lim )()
()(lim )(2
100
≤+=⋅⋅=⋅
=∞→→K K s M s s s s M s s M s N s N N s ΘΘθ 得 821≥K K 。

由 )()
(s M s N Θ 有： ⎪⎩
⎪
⎨⎧=+=+=5.025.02.05.013
23
1n n K K K K ωξω， 可得 21325.0125.02.0K K K K +=+
（3）12=K 时，81≥K ，525.02.03≥+K ，可解出 072.43≥K 。

3-18 系统方块图如图T3.9
所示。

试求局部反馈加入前、后系统的静态位置误差系
数、静态速度误差系数和静态加速度误差系数。

图T3.9 习题3-18 图
解：局部反馈加入前，系统开环传递函数为
)
1()
12(10)(2++=
s s s s G
∞==∞
→)(lim s G K s p
∞==→)(lim 0
s sG K s v
10)(lim 20
==→s G s K s a
局部反馈加入后，系统开环传递函数为
)20()12(1012011(10
12)(2+++=++
+⋅+=s s s s s s s s s s G ）
（）
∞==→)(lim 0
s G K s p
5.0)(lim 0
==→s sG K s v
0)(lim 20
==→s G s K s a
3-19 系统方块图如图T3.10所示。

已知)(1)()()
(21t t n t n t r ===，试分别计算
)()(),(21t n t n t r 和作用时的稳态误差，并说明积分环节设置位置对减小输入和干扰作用下
的稳态误差的影响。

图T3.10 习题3-19 图
解 )1)(1()(21++=
s T s T s K
s G ⎩
⎨⎧=1v K
)(1)(t t r =时， 0=ssr e ；
K
s T s T s s T s T s T s K s T s s N s E s en ++++-=+++
+-
==Φ)1)(1()1()
1)(1(1)1(1)()
()(21121211
)(1)(1t t n =时， K
s s s s N s s e en s en s ssn 11)
(lim )()(lim 1110
10
-=Φ=Φ=→→ K
s T s T s s T s s T s T s K s T s N s E s en ++++-=+++
+-
==Φ)1)(1()1()
1)(1(1)1(1
)()
()(21121222
)(1)(2t t n =时， 01
)
(lim )()(lim 2120
20
=Φ=Φ=→→s
s s s N s s e en s en s ssn 在反馈比较点到干扰作用点之间的前向通道中设置积分环节，可以同时减小由输入和干扰因引起的稳态误差。

3-20 系统方块图如图T3.11所示。

图T3.11 习题3-20 图
（1） 为确保系统稳定，如何取K 值？
（2） 为使系统特征根全部位于s 平面1-=s 的左侧，K 应取何值？ （3） 若22)(+=t t r 时，要求系统稳态误差25.0≤ss e ，K 应取何值？ 解 )5)(10(50)(++=
s s s K
s G ⎩⎨⎧=1
v K
（1） K s s s s D 505015)(2
3
+++=
Routh ：
501515)
15(5050155010
1
2
3>→<→-K K
s K K s
K
s s
系统稳定范围： 150<<K
（2）在)(s D 中做平移变换：1-'=s s
K s s s s D 50)1(50)1(15)1()(2
3
+-'+-'+-'='
)3650(231223-+'+'+'=K s s s
Routh ： 72
.050
36
36
5024.650312
125031236
50122310
1
2
3=>→-'=<
→-'-''K K s K K
s K s s 满足要求的范围是： 24.672.0<<K （3）由静态误差系数法
当 22)(+=t t r 时，令 25.02
≤=
K
e ss 得 8≥K 。

综合考虑稳定性与稳态误差要求可得： 158<≤K
3-21 宇航员机动控制系统方块图如图T3.12所示。

其中控制器可以用增益2K 来表
示；宇航员及其装备的总转动惯量2
25m kg I ⋅=。

图T3.12 习题3-21 图
（1） 当输入为斜坡信号t t r =)(m 时，试确定3K 的取值，使系统稳态误差ss
e 1=cm ；
（2） 采用（1）中的3K 值，试确定21,K K 的取值，使系统超调量σ%限制在10%以内。

解 （1）系统开环传递函数为
)()()()()(3212
132121I
K K K s s I K K K K K s I s K K s E s C s G +=+== ⎪⎩⎪⎨⎧
==113v K K
t t r =)(时，令 01.01
3≤==
K K
e ss ， 可取 30.01K =。

（2）系统闭环传递函数为
I K K s I K K K s I K K s R s C s 2
132122
1)()()(++==Φ ⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧==I K K K I K K n 221321ζω
由 o o o
o e
102
1≤=--ξξπ
σ
，可解出 592.0≥ζ。

取 6.0=ζ进行设计。

将25=I ，01.03=K 代入6.022
13==I
K K K ζ表达式，可得
36000021≥K K
3-22 大型天线伺服系统结构图如图T3.13所示，其中ξ=0.707，n ω=15，τ=0.15s 。

（1） 当干扰)(110)(t t n ⋅=，输入0)(=t r 时，为保证系统的稳态误差小于0.01º，试确
定a K 的取值；
（2） 当系统开环工作（a K =0），且输入0)(=t r 时，确定由干扰)(110)(t t n ⋅=引起的系
统响应稳态值。

图T3.13 习题3-22 图
解 （1）干扰作用下系统的误差传递函数为
2
222
)2)(1()1()()
()(n
a n n n en K s s s s s s N s E s ωωξωττω+++++-==Φ )(110)(t t n ⋅=时， 令
a
en s en s ssn K s s s s s N s e 10
)(10lim )()(lim 0
=Φ⋅⋅
=Φ⋅⋅=→→01.0≤ 得： 1000≥a K
（2）此时有
)
2(10)()2()()(22
22222n n n
n n n s s s s N s s s s C s E ωξωωωξωω++-=⋅++-=-= -∞==∞=→)(lim )(0
s sE e e s ss
3-23 控制系统结构图如图T3.14所示。

其中1K ，02>K ，0≥β。

试分析： （1）β值变化(增大)对系统稳定性的影响；
（2）β值变化(增大)对动态性能（%σ，s t ）的影响； （3）β值变化(增大)对t a t r =)(作用下稳态误差的影响。

图T3.14 习题3-23 图
解 系统开环传递函数为
)(1
)(221221
K s s K K s K s K K s G ββ+=⋅+= ⎩
⎨⎧==11v K K β
2
12221)(K K s K s K K s ++=Φβ ⎪⎩
⎪
⎨⎧===1
22122
122K K K K K K K n β
βξω 2122
)(K K s K s s D ++=β
（1）由 )(s D 表达式可知，当0=β时系统不稳定，0>β时系统总是稳定的。

（2）由 βξ1
221K K = 可知， ⎪⎩
⎪
⎨⎧↓==↓
→↑↑275.3K t n s o o βξωσξβ )10(<<ξ （3）↑==
→
↑1
K a K a e ss β
β
3-24 系统方块图如图T3.15所示
（1） 写出闭环传递函数)(s Φ表达式； （2） 要使系统满足条件：707.0=ξ,2=n ω,
试确定相应的参数K 和β； （3） 求此时系统的动态性能指标（s t ,0
0σ
）；
（4） t t r 2)(=时，求系统的稳态误差ss e ；
（5）确定)(s G n ，使干扰)(t n 对系统输出)(t c 无影响。

图T3.15 习题3-24 图
解
（1）闭环传递函数 2
2222
221)()()(n n n s s K s K s K s
K s K s K
s R s C s ωζωωββ++=++=++==Φ （2）对应系数相等得 ⎩⎨⎧=====2
224222
n n K K ζωβω ⎩⎨⎧==707.04
βK
（3） 0010032.42
==--ζζπ
σe
475.22
5.35
.3==
=
n
s t ζω
（4）)(1)(2ββK s s K s
K s K
s G +=+
= ⎩⎨⎧==11v K K β
414.12===
βK
ss K A
e （5）令：0)
()
(11)()()(＝s s G s
s K s N s C s n n ∆-⎪⎭⎫ ⎝⎛+==
Φβ
得：βK s s G n +=)(
3-25 复合控制系统方块图如图T3.16所示，图中1K ，2K ，1T ，2T 均为大于零的常数。

（1） 确定当闭环系统稳定时，参数1K ，2K ，1T ，2T 应满足的条件； （2） 当输入t V t r 0)(=时，选择校正装置)(s G C ，使得系统无稳态误差。

图T3.16 习题3-25 图
解 （1）系统误差传递函数
21211221212
12
2
)1)(1()1)(()1)(1()
1)(1(1)
()1(1)()()(K K s T s T s s T s G K s T s T s s T s T s K K s G s T s K s R s E s c c e ++++-++=
+++
+-
==Φ 212
213
21)()(K K s s T T s T T s D ++++= 列劳斯表
2
10
212
121211212
12
2130
1K K s T T K K T T T T s K K T T s T T s +-++
因 1K 、2K 、1T 、2T 均大于零，所以只要 212121K K T T T T >+ 即可满足稳定条件。

（2）令 212112212
00
)1)(1()1)(()1)(1(lim )()(lim K K s T s T s s T s G K s T s T s s V s s R s s e c s e s ss ++++-++⋅⋅
=⋅Φ=→→
0)(1lim
2210
=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-=→s s G K K K V c s 可得 2)(K s s G c =
Matlab 习题
3-26 设控制系统的方框图如图3.4.2所示，当有单位阶跃信号作用于系统时，试求系统的暂态性能指标t p 、t s 和σ%。

图T3.17 习题3-26 图
【解】：求出系统的闭环传递函数为：
25625
)(2++=
Φs s s
因此有：
)
(93.01.531)(41,6.0),(52
1
121rad tg
s s n
d n ==-==-===--- ζ
ζβζωωζω
上升时间t r ： )(55.0493
.014.3s t d r =-=-=
ωβπ 峰值时间t p ：
)(785.0414.3s t d p ===
ωπ
超调量σ%： %5.9%100095.0%100e %2
-1-
=⨯=⨯=ζζπ
σ
调节时间t s ： %)2)((33.156.04
4
=∆=⨯=
≈
s t n
s ζω
Matlab 程序：chpthree2.m
num=[25];de
n=[1,6,25]; %系统的闭环传递函数 sys=tf[num,den]; %建立系统数学模型 t=0:0.02:4; figure
step(sys,t);grid %系统单位阶跃响应
R(s)
)6(25+s s
C(s)
3-27 单位反馈系统的开环传递函数为
)
5(25
)(+=
s s s G
试用MATLAB 判断系统的稳定性，并求各静态误差系数和2
5.021)(t t t r ++=时的稳态误差
ss e ；
解 （1）)5(25
)(+=s s s G ⎩
⎨⎧==15v K
∞=+==→→)
5(25
lim
)(lim 0
s s s G K s s p
55
25
lim
)(lim 00=+==→→s s G s K s s v
0525lim )(lim 020=+==→→s s
s G s K s s a
)(1)(1t t r =时， 011
1=+=
p
ss K e
t t r 2)(2=时， 4.052
2===
v ss K A e 235.0)(t t r =时，∞===
1
3a ss K A e 由叠加原理 ∞=++=321ss ss ss ss e e e e。