2023-2024学年广东省揭阳市揭西县宝塔学校九年级(上)第二次月考数学试卷+答案解析

2023-2024学年广东省揭阳市揭西县宝塔学校九年级（上）第二次月考
数学试卷
一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.如图是由5个相同的小正方体组成的立体图形，它的左视图是()
A. B. C. D.
2.把同一副扑克牌中的红桃2、红桃3、红桃4三张牌背面朝上放在桌子上，从中随机抽取两张，牌面的数字之和为奇数的概率为()
A. B. C. D.
3.在中，，，，则的值为()
A. B. C. D.
4.已知反比例函数的图象经过点，则下列各点也在这个函数图象的是()
A. B. C. D.
5.已知：如图，，BD：：5，，，则()
A.
B.5
C.
D.7
6.在元旦庆祝活动中，参加活动的同学互赠贺卡，共送贺卡90张，则参加活动的有人．()
A.9
B.10
C.12
D.15
7.已知一个直角三角形的两条直角边的长恰好是方程的两个实数根，则该直角三角形斜边上的中线长是()
A.3
B.4
C.6
D.
8.如图，一科珍贵的乌稔树被台风“山竹”吹歪了，处于对它的保护，需要测量它
的高度．现采取以下措施：在地面选取一点C，测得，米，
，则这棵乌稔树的高AB约为参考数据：，()
A.7米
B.14米
C.20米
D.40米
9.如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子AC斜靠在右墙，测得梯子顶端距离地面
米，梯子与地面夹角的正弦值梯子底端位置不动，将梯子斜靠在
左墙时，顶端距离地面米，则小巷的宽度为()
A.米
B.米
C.米
D.米
10.如图，在矩形ABCD中，E是AD边的中点，，垂足为点F，分析下列四
个结论：①∽；②；③：：4；
④其中正确的结论有()
A.4个
B.3个
C.2个
D.1个
11.在矩形ABCD中，，，M是对角线BD上的动点，过点M作于点E，连接AM，当是等腰三角形时，ME的长为()
A. B. C.或 D.或
12.如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形AOBC的一个顶点O在坐标原点，一边OB在x轴的正半轴上，
，反比例函数在第一象限内的图象经过点A，与BC交于点F，则的面积等于()
A.30
B.40
C.60
D.80
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。

13.计算：______.
14.一个暗箱中放有除颜色外其他完全相同的n个红球，18个黄球，9个白球，现将球搅匀后，任意摸出1个球记下颜色，再放回暗箱，通过大量重复试验后发现，摸到黄球的频率稳定在附近，由此可以估算的n值是______.
15.已知4是方程的一个根，则方程的另一个根是______.
16.如图，在正方形ABCD中，点E为AD的中点，连接EC，过点E作，交
AB于点F，则______.
17.在中，E、F分别为AB，AC的中点，则与的面积之比为______.
18.如图，直线与x轴交于点B，与双曲线交于点A，过点B
作x轴的垂线，与双曲线交于点且，则k的值为______.
三、计算题：本大题共1小题，共8分。

19.如图，学校的实验楼对面是一幢教学楼，小敏在实验楼的窗口C测得教学楼顶部D的仰角为，教学
楼底部B的俯角为，量得实验楼与教学楼之间的距离
求的度数．
求教学楼的高结果精确到，参考数据：，
四、解答题：本题共6小题，共52分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

20.本小题8分
如图正方形ABCD的边长为4，E、F分别为DC、BC中点．
求证：≌
求的面积．
21.本小题8分
某电脑销售商试销某一品牌电脑出厂为3000元/台以4000元/台销售时，平均每月可销售100台，现为了扩大销售，销售商决定降价销售，在原来1月份平均销售量的基础上，经2月份的市场调查，3月份调整价格后，月销售额达到576000元．已知电脑价格每台下降100元，月销售量将上升10台．求1月份到3月份销售额的月平均增长率；
求3月份时该电脑的销售价格．
22.本小题8分
居民区内的“广场舞”引起媒体关注，小王想了解本小区居民对“广场舞”的看法，进行一次分四个层次的抽样调查四个层次为：A，非常赞同；赞同但要有时间限制；无所谓；不赞同，并把调查结
果绘制成如下两幅不完整的统计图，请根据统计图中的信息解答下列问题：
本次被抽查的居民人数是______人，将条形统计图补充完整．
图中的度数是______度；该小区有3000名居民，请估计对“广场舞”表示赞同包括A层次和B层
次的大约有_________人
据了解，甲、乙、丙、丁四位居民投不赞同票，小王想从这四位居民中随机选择两位了解具体情况，请
用列表或画树状图的方法求出恰好选中甲和乙的概率．
23.本小题8分
如图，已知和，点
D在BC边上，，，边DE与AC相交于点求证：；
如果，求证：
24.本小题10分
如图，在矩形ABCD中，点E是BC边上的一个动点，沿着AE翻折矩形，使点B落在点F处，若，，解答下列问题：
当点E是BC的中点时，试判断FC与AE的位置关系，并说明你的理由；
当点F在矩形ABCD内部且时，求BE的长.
25.本小题10分
如图，直线与反比例函数的图象交于，两点，过点A作轴于点
C，过点B作轴于点
求a，b的值及反比例函数的解析式；
若点P在直线上，且，请求出此时点P的坐标；
在x轴正半轴上是否存在点M，使得为等腰三角形？若存在，请直接写出M点的坐标；若不存在，说明理由．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：从左面看到应该有2列，正方形的个数分别为2，1，
故选：
左视图是从组合体的左面看到的，应该是两列，个数分别是2，1，据此求解．
本题考查了简单几何体的三视图的知识，解题的关键是了解左视图是从左面看到的，难度不大．
2.【答案】D
【解析】解：根据题意画树状图如下：
共有6种等可能的结果，从中随机抽取两张，牌面的数字之和为奇数的有4种情况，
从中随机抽取两张，牌面的数字之和为奇数的概率为：；
故选：
首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与从中随机抽取两张，牌面的数字之和为奇数的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．
本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．注意概率=所求情况数与总情况数之比．
3.【答案】A
【解析】解：根据题意画出图形如图所示：
在中，，，，
则
故选：
根据三角函数的定义就可以求解．
本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比边．
4.【答案】C
【解析】解：反比例函数的图象经过点，
A、；
B、；
C、；
D、
故选：
由点P在反比例函数图象上可求出k的值，再求出四个选项中点的横纵坐标之积，比照后即可得出结论．本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是求出本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据点的坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征求出反比例函数系数k的值是关键．5.【答案】A
【解析】解：连接AF，交CD于点H，
，
：：：
5，∽，∽，
，，
，，
，
；
故选：
连接AF，交CD于点H，利用平行线分线段对应成比例，得到AC：：：5，分别证明
∽，∽，利用相似比求出CH，DH，再将它们相加，即可得解．
本题考查平行线分线段成比例，以及相似三角形的判定和性质．熟练掌握平行线分线段成比例，是解题的关键．
6.【答案】B
【解析】解：设参加此次活动的人数有x人，
由题意得：，
解得：，不合题意，舍去
即参加此次活动的人数是10人．
故选：
每个人都要送给他自己以外的其余人，等量关系为：人数人数，把相关数值代入计算即可．本题考查一元二次方程的应用，得到互送贺卡总张数的等量关系是解决本题的关键．
7.【答案】D
【解析】解：，
，
或，
所以，，
则直角三角形两直角边分别为3、4，
所以斜边，
所以该直角三角形斜边上的中线长
故选：
先利用提公因式法解方程得到直角三角形两直角边分别为3、4，再利用勾股定理计算出斜边，然后根据直角三角形斜边上的中线性质求解．
本题考查了解一元二次方程-提公因式法，也考查了直角三角形斜边上的中线性质．
8.【答案】B
【解析】解：如图，作于
，，
，
，设，
，
，
，
，
故选：
如图，作于设，构建方程即可解决问题．
本题考查解直角三角形的应用，勾股定理的应用等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．
9.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
分别在，中求出AC，BC，CD即可．
【解答】
解：在中，，米，
，
，
米，米，
在中，，米，米，
米，
米，
故选：
10.【答案】B
【解析】解：四边形ABCD是矩形，
，，
，
，
，
∽，故①正确；
，
∽，
，
，
，
，故②正确；
∽，
：：
2，
，，
：：6，故③错误；
∽，
，
，
∽，
，
，故④正确．
故选：
①根据四边形ABCD是矩形，，可得，又，于是
∽，故①正确；
②根据点E是AD边的中点，以及，得出∽，根据相似三角形对应边成比例，可得，故②正确；
③根据∽得到EF与BF的比值，据此求出，，可得
：：6，故③错误；
④根据AA可得∽，根据相似三角形的性质可得，故④正确．
本题属于四边形综合题，主要考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，图形面积的计算的综合应用，正确作出辅助线是解题的关键．解题时注意，相似三角形的对应边成比例．
11.【答案】C
【解析】解：①当时．
四边形ABCD是矩形，
，，，
，
，
，，
，
，
，
；
②当时，易证ME是的中位线，
；
当时不合题意，
所以当是等腰三角形时，ME的长为或，
故选：
分两种情形：①②分别求解即可．
本题考查矩形的性质，等腰三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
12.【答案】B
【解析】解：过点A作轴于点M，如图所示．
设，
在中，，，，
，，
点A的坐标为
点A在反比例函数的图象上，
，
解得：，或舍去
，，
四边形OACB是菱形，点F在边BC上，
故选：
过点A作轴于点M，设，通过解直角三角形找出点A的坐标，结合反比例函数图象上点的坐标特征即可求出a的值，再根据四边形OACB是菱形、点F在边BC上，即可得出，结合菱形的面积公式即可得出结论．
本题考查了菱形的性质、解直角三角形以及反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是找出
13.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了特殊角的三角函数值，属于基础题，解答本题的关键是熟练掌握几个特殊角的三角函数值．
将特殊角的三角函数值代入计算即可．
【解答】
解：原式
故答案为：
14.【答案】33
【解析】解：由题意可得：，
解得：，
故答案为：
直接利用频率估计概率，进而得出关于n的等式求出答案．
此题主要考查了用频率估计概率，正确得出关于n的等式是解题关键．
15.【答案】
【解析】解：设方程的另一个根为，
则，
解得：，
故答案为：
可将该方程的已知根4代入两根之和公式列出方程，解方程即可求出方程的另一根．
本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，
16.【答案】
【解析】解：四边形ABCD是正方形，
，，
，
，
，
，
，
，，
∽，
，
故答案为
由∽，得，由此即可解决问题．
本题考查正方形的性质、相似三角形的判定和性质、三角函数的定义等知识，解题的关键是灵活应用相似三角形的性质解决问题，属于中考常考题型．
17.【答案】1：4
【解析】解：、F分别为AB、AC的中点，
，，
∽，
，
故答案为：
1：
根据三角形的中位线得出，，推出∽，根据相似三角形的性质得出即可．
本题考查了三角形的性质和判定，三角形的中位线的应用，注意：相似三角形的面积比等于相似比的平方．18.【答案】4
【解析】解：直线与x轴交于点B，
当时，，
点B的坐标为，
又过点B作x轴的垂线，与双曲线交于点C，
点C的坐标为，
，
点A在线段BC的垂直平分线上，
点A的纵坐标为，
点A在双曲线上，
，得，
又点在直线上，
解得
故答案为：
根据题目中的信息，可以用含k的式子表示点C的坐标，由，可知点A在线段BC的垂直平分线上，从而可以得到点A的纵坐标，从而可以表示出点A的坐标，又由点A在直线上，可以得到k的值，本题得以解决．
本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，灵活变化，认真推导．
19.【答案】解：过点C作，则有，，
；
由题意得：，
在中，，
在中，，
教学楼的高，
则教学楼的高约为
【解析】过点C作CE与BD垂直，根据题意确定出所求角度数即可；
在直角三角形CBE中，利用锐角三角函数定义求出BE的长，在直角三角形CDE中，利用锐角三角函数定义求出DE的长，由求出BD的长，即为教学楼的高．
此题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数定义是解本题的关键．
20.【答案】证明：四边形ABCD为正方形，
，，，
、
F为DC、BC中点，
，，
，
在和中，
，
≌；
解：由题知、、均为直角三角形，
且，，，
【解析】由四边形ABCD为正方形，得到，，，由E、F分别为DC、BC中点，得出，进而证明出两三角形全等；
首先求出DE和CE的长度，再根据得出结果．
本题主要考查正方形的性质和全等三角形的证明，解答本题的关键是熟练掌握正方形的性质以及全等三角形的判定定理，此题难度不大．
21.【答案】解：设1月份到3月份销售额的月平均增长率为x，
由题意得：，
，，舍去
月份到3月份销售额的月平均增长率为；
设3月份电脑的销售价格在每台4000元的基础上下降y元，
由题意得：，
，，
或，
当时，3月份该电脑的销售价格为不合题意舍去．
，3月份该电脑的销售价格为元．
月份时该电脑的销售价格为3200元．
【解析】由题意可得，1月份的销售额为：400000元；设1月份到3月份销售额的月平均增长率，则二月份的销售额为：；三月份的销售额为：，又知三月份的销售额为：576000元，由此等量关系列出方程求出x的值，即求出了平均增长率；
已知电脑价格每台下降100元，月销售量将上升10台，所以设3月份电脑的销售价格在每台4000元的基础上下降y元，那么三月份销售量为：台．即：此时，三月份的销售额为：
，又知三月份的销售额为：576000元，由此等量关系列出方程求出y的值，所以三
月份的销售价格为：元．
本题的关键在于理解题意，找出等量关系，列出方程；判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解．找到关键描述语，找到等量关系准确的列出方程是解决问题的关键．
22.【答案】4054
【解析】解：，
所以本次被抽查的居民人数是40人，
C层次的人数为人，
条形统计图补充为：
，
，
所以估计对“广场舞”表示赞同包括A层次和B层次的大约有1350人；
故答案为40；54；
画树状图为：
共有12种等可能的结果数，其中恰好选中甲和乙的结果数为2，
所以恰好选中甲和乙的概率
用A层次的人数除以它所占的百分比得到调查的总人数，再计算出C层次的人数，然后补全条形统计图；
用A层次的人数所占的百分比乘以得到的度数；用3000分别乘以样本中A、B层次的人数所占的百分比，用它们的和可估计出小区对“广场舞”表示赞同包括A层次和B层次的人数；
画树状图展示所有12种等可能的结果数，找出恰好选中甲和乙的结果数，然后根据概率公式求解．
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A
或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．也考查了统计图．
23.【答案】证明：，
，
又，
∽，
，
；
证明：，，
，
，
，，
，
又，
∽，
，
，
，
，即AC平分，
作于
M，于N，
则，
，
【解析】本题考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、三角形的外角性质、平行线的性质、角平分线的性质等知识；证明三角形相似是解题的关键．
由等腰三角形的性质得出，由已知，证明∽，得出，即可得出结论；
由三角形的外角性质得出，由平行线的性质得出，，证
出，证明∽，得出，证出，即AC平分，
作于M，于N，则，求出，即可得出结论．24.【答案】解：，理由如下：
连接BF交AB于点H，如图所示：
沿着AE翻折矩形，使点B落在点F处，
，
是
BC的中点，
，
，
，，
，
，即，
由折叠的性质得：，
，
，
；
解：过点
D作于点M，延长MF交BC于点N，
，，
，
四边形ABCD是矩形，
，，
由折叠的性质得：，
，
，
，
在中，，
，，
四边形ABNM是矩形，
，，，
设，则，
由折叠的性质得：，
在中，，
即，
解得：，
的长为
【解析】连接BF交AB于点H，利用折叠的性质得到：，，利用中点得到：，进而得到：，从而得到，，利用三角形的内角和，推
出：，即可得证；
过点D作于点M，延长MF交BC于点N，根据矩形的性质和折叠的性质，推出MF，FN，
AM的长，设，则：，用，表示出EN，在中，，列式求解即可．
本题考查矩形中的折叠问题．熟练掌握矩形的性质，以及折叠的性质，是解题的关键．
25.【答案】解：直线与反比例函数的图象交于，两点，
，，
，，
，，
点在反比例函数上，
，
反比例函数解析式为；
设点，
，
，
，
，
，，
，
，
或，
或；
设，
，，
，，，
是等腰三角形，
①当时，
，
，舍
②当时，
，
或舍，
③当时，，
或舍，
即：满足条件的或
【解析】利用点在直线上，将点的坐标代入直线解析式中求解即可求出a，b，最后用待定系数法求出反比例函数解析式；
设出点P坐标，用三角形的面积公式求出，，进而建立方程求解即可得出结论；
设出点M坐标，表示出，，，再三种情况建立方程求解即可得出结论．
此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，三角形的面积的求法，等腰三角形的性质，用方程的思想解决问题是解本题的关键．。