南京市、盐城市2013届高三第三次模拟考试数学参考答案及评分标准(定稿)

南京市、盐城市2013届高三第三次模拟考试
数学参考答案及评分标准 2013.05
说明：
1．本解答给出的解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．
2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．
3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数，填空题不给中间分数．
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．
1．(1，3] 2．5 3．8 4．127 5． 2
3
6．710 7．2 8．①④ 9．56
2
10．2 11．2 12．2x ＋y －2＝0 13．(12，17) 14．332
二、解答题：本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．解（1）方法一：
因为tan α＝2，所以sin α
cos α＝2，即sin α＝2cos α． ………………………… 2分
又sin 2α＋cos 2α＝1，解得sin 2α＝45，cos 2α＝1
5． ………………………… 4分
所以cos2α＝cos 2α－sin 2α＝－3
5． ………………………… 6分
方法二：
因为cos2α＝cos 2α－sin 2α ………………………… 2分
＝cos 2α－sin 2αsin 2α＋cos 2α ＝1－tan 2αtan 2α＋1
， ………………………… 4分 又tan α＝2，所以cos2α＝1－2222＋1＝－3
5． ………………………… 6分
（2）方法一：
因为α∈(0，π)，且tan α＝2，所以α∈(0，π
2
)．
又cos2α＝－35＜0，故2α∈(π2，π) ，sin2α＝4
5
． ………………………… 8分
由cos β＝－7210，β∈(0，π)，得sin β＝210，β∈(π
2，π)． ………………………… 10分
所以sin(2α－β)＝sin2αcos β－cos2αsin β＝45×(－7210)－(－35)×210＝－2
2． ………… 12分
又2α－β∈(－π2，π2)，所以2α－β＝－π
4． ………………………… 14分
方法二：
因为α∈(0，π)，且tan α＝2，所以α∈(0，π2)，tan2α＝2tan α1－tan 2α
＝－4
3． 从而2α∈(π
2，π)． ………………………… 8分
由cos β＝－7210，β∈(0，π)，得sin β＝210，β∈(π
2
，π)，
因此tan β＝－1
7． ………………………… 10分
所以tan(2α－β)＝tan2α－tan β
1＋tan2αtan β
＝－43＋171＋(－43)×(－17)
＝－1． ………………………… 12分
又2α－β∈(－π2，π2)，所以2α－β＝－π
4． ………………………… 14分
16．证明（1）如图，取BC 的中点G ，连结AG ，FG ．
因为F 为C 1B 的中点，所以FG ＝
∥12
C 1C ． 在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，A 1A ＝
∥C 1C ，且E 为A 1A 的中点， 所以FG ＝
∥EA ． 所以四边形AEFG 是平行四边形． 所以EF ∥AG ． ………………………… 4分 因为EF ⊄平面ABC ，AG ⊂平面ABC ，
所以EF ∥平面ABC ． ………………………… 6分 （2）因为在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，A 1A ⊥平面ABC ，BD ⊂平面ABC ，
所以A 1A ⊥BD ．
因为D 为AC 的中点，BA ＝BC ，所以BD ⊥AC ．
因为A 1A ∩AC ＝A ，A 1A ⊂平面A 1ACC 1，AC ⊂平面A 1ACC 1，所以BD ⊥平面A 1ACC 1． 因为C 1E ⊂平面A 1ACC 1，所以BD ⊥C 1E ． ………………………… 9分
（第16题）
A
B
C D E
C 1
A 1
B 1
F
G
根据题意，可得EB ＝C 1E ＝
6
2
AB ，C 1B ＝3AB ， 所以EB 2＋C 1E 2＝C 1B 2．从而∠C 1EB ＝90°，即C 1E ⊥EB ．……………………… 12分 因为BD ∩EB ＝B ，BD ⊂平面BDE ， EB ⊂平面BDE ，
所以C 1E ⊥平面BDE ． ………………………… 14分
17．解（1）由题意知，f (x )＝－2x ＋3＋ln x ，
所以f ′(x )＝－2＋1x ＝－2x ＋1x (x ＞0)． ……………………… 2分
由f ′(x )＞0得x ∈(0，1
2
) ．
所以函数f (x )的单调增区间为(0，1
2)． ……………………… 4分
（2）由f ′(x )＝mx －m －2＋1
x
，得f ′(1)＝－1，
所以曲线y ＝f (x )在点P (1，1)处的切线l 的方程为y ＝－x ＋2．…………………… 6分 由题意得，关于x 的方程f (x )＝－x ＋2有且只有一个解， 即关于x 的方程1
2m (x －1)2－x ＋1＋ln x ＝0有且只有一个解．
令g (x )＝1
2
m (x －1)2－x ＋1＋ln x (x ＞0)．
则g ′(x )＝m (x －1)－1＋1x ＝mx 2
－(m ＋1)x ＋1x ＝(x －1)(mx －1)
x
(x ＞0)． …………… 8分
①当0＜m ＜1时，由g ′(x )＞0得0＜x ＜1或x ＞1m ，由g ′(x )＜0得1＜x ＜1
m ，
所以函数g (x )在(0，1)为增函数，在(1，1m )上为减函数，在(1
m ，＋∞)上为增函数．
又g (1)＝0，且当x →∞时，g (x )→∞，此时曲线y ＝g (x )与x 轴有两个交点．
故0＜m ＜1不合题意． ……………………… 10分 ②当m ＝1时，g ′(x )≥0，g (x )在(0，＋∞)上为增函数，且g (1)＝0，故m ＝1符合题意． ③当m ＞1时，由g ′(x )＞0得0＜x ＜1m 或x ＞1，由g ′(x )＜0得1
m
＜x ＜1，
所以函数g (x )在(0，1m ) 为增函数，在(1
m ，1)上为减函数，在(1，＋∞)上为增函数．
又g (1)＝0，且当x →0时，g (x )→－∞，此时曲线y ＝g (x )与x 轴有两个交点． 故m ＞1不合题意．
综上，实数m 的值为m ＝1． ……………………… 14分
18．解 如图所示，不妨设纸片为长方形ABCD ，AB ＝8cm ，AD ＝6cm ，其中点A 在面积为S 1的部分内．
折痕有下列三种情形：
①折痕的端点M ，N 分别在边AB ，AD 上； ②折痕的端点M ，N 分别在边AB ，CD 上； ③折痕的端点M ，N 分别在边AD ，BC 上．
（1）在情形②、③中MN ≥6，故当l ＝4时，折痕必定是情形①．
设AM ＝x cm ，AN ＝y cm ，则x 2＋y 2＝16． ……………………… 2分 因为x 2＋y 2≥2xy ，当且仅当x ＝y 时取等号， 所以S 1＝1
2
xy ≤4，当且仅当x ＝y ＝22时取等号．
即S 1的最大值为4． ……………………… 5分 （2）由题意知，长方形的面积为S ＝6×8＝48．
因为S 1∶S 2＝1∶2，S 1≤S 2，所以S 1＝16，S 2＝32．
当折痕是情形①时，设AM ＝x cm ，AN ＝y cm ，则12xy ＝16，即y ＝32
x
．
由⎩
⎪⎨⎪⎧0≤x ≤8，0≤32x ≤6，得16
3≤x ≤8．
所以l ＝x 2
＋y 2
＝
x 2
＋322x 2，16
3
≤x ≤8． ……………………… 8分
设f (x )＝x 2＋322
x 2，x ＞0，则f ′(x )＝2x －2×322x 3＝2(x 2＋32)(x ＋42)(x －42)x 3
，x ＞0．故
所以f (x )的取值范围为[64，80]，从而l 的范围是[8，45]； ……………… 11分 当折痕是情形②时，设AM ＝x cm ，DN ＝y cm ，则12(x ＋y )×6＝16，即y ＝16
3
－x ．
由⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤8，0≤163－x ≤8，
得0≤x ≤16
3
．
A
B
C
D （情形①）
M
N
A
B
C
D （情形②）
M
N
A
B
C
D （情形③）
M
N
所以l ＝62＋(x －y )2＝
62＋4(x －83)2，0≤x ≤16
3
．
所以l 的范围为[6，2145
3]； ……………………… 13分
当折痕是情形③时，设BN ＝x cm ，AM ＝y cm ，则1
2
(x ＋y )×8＝16，即y ＝4－x ．
由⎩⎨⎧0≤x ≤6，0≤4－x ≤6，
得0≤x ≤4． 所以l ＝82＋(x －y )2＝82＋4(x －2)2，0≤x ≤4． 所以l 的取值范围为[8，45]．
综上，l 的取值范围为[6，45]． ……………………… 16分
19．解（1）由题意得，m ＞8－m ＞0，解得4＜m ＜8．
即实数m 的取值范围是(4，8)． ……………………… 2分 （2）因为m ＝6，所以椭圆C 的方程为x 26＋y 2
2
＝1．
①设点P 坐标为（x ，y ），则x 26＋y 2
2＝1．
因为点M 的坐标为（1，0），所以
PM 2
＝(x －1)2
＋y 2
＝x 2
－2x ＋1＋2－x 23＝2x 2
3
－2x ＋3
＝23(x －32)2＋3
2
，x ∈[－6，6]． ……………………… 4分 所以当x ＝32时，PM 的最小值为62，此时对应的点P 坐标为（32，±5
2
）．
……………………… 6分
②由a 2＝6，b 2＝2，得c 2＝4，即c ＝2，
从而椭圆C 的右焦点F 的坐标为(2，0)，右准线方程为x ＝3，离心率e ＝6
3
． 设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），AB 的中点H （x 0，y 0），则
x 126＋y 122＝1，x 226＋y 22
2
＝1， 所以x 12－x 226＋y 12－y 222＝0，即k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－x 0
3y 0． ……………………… 9分
令k ＝k AB ，则线段AB 的垂直平分线l 的方程为y －y 0＝－1
k (x －x 0)．
令y ＝0，则x N ＝ky 0＋x 0＝2
3
x 0．
因为F (2，0)，所以FN ＝|x N －2|＝2
3
|x 0－3|． ……………………… 12分
因为AB ＝AF ＋BF ＝e (3－x 1)＋e (3－x 2)＝26
3
|x 0－3|．
故AB FN ＝263×32
＝6． 即AB
FN
为定值6． ……………………… 16分
20．解（1）设等差数列{a n }的公差为d ，则S n ＝na 1＋
n (n －1)2d ，从而S n
n ＝a 1＋n －12
d ． 所以当n ≥2时，S n n －S n －1n －1＝(a 1＋n －12d )－(a 1＋n －22d )＝d
2
．
即数列{S n
n }是等差数列． ……………………… 2分
（2）因为对任意正整数n ，k (n ＞k )，都有S n ＋k ＋S n －k ＝2S n 成立，
所以S n ＋1＋S n －1＝2S n ，即数列{S n }是等差数列． ……………………… 4分 设数列{S n }的公差为d 1，则S n ＝S 1＋(n －1)d 1＝1＋(n －1)d 1， 所以S n ＝[1＋(n －1)d 1]2，所以当n ≥2时，
a n ＝S n －S n －1＝[1＋(n －1)d 1]2－[1＋(n －2)d 1]2＝2d 21n －3d 2
1＋2d 1，
因为{a n }是等差数列，所以a 2－a 1＝a 3－a 2，即
(4d 21－3d 21＋2d 1)－1＝(6d 21－3d 21＋2d 1)－(4d 21－3d 2
1＋2d 1)，
所以d 1＝1，即a n ＝2n －1．
又当a n ＝2n －1时，S n ＝n 2，S n ＋k ＋S n －k ＝2S n 对任意正整数n ，k (n ＞k )都成立， 因此a n ＝2n －1． ……………………… 7分 （3）设等差数列{a n }的公差为d ，则a n ＝a 1＋(n －1)d ，b n ＝a a n ，
所以b n b n －1
＝a a n －
a n －
1＝a d ，
即数列{b n }是公比大于0，首项大于0的等比数列． ……………………… 9分 记公比为q (q ＞0)．
以下证明：b 1＋b n ≥b p ＋b k ，其中p ，k 为正整数，且p ＋k ＝1＋n ． 因为(b 1＋b n )－(b p ＋b k )＝b 1＋b 1q n －
1－b 1q p －
1－b 1q k －
1＝b 1(q p －
1－1)( q k －
1－1)．
当q ＞1时，因为y ＝q x 为增函数，p －1≥0，k －1≥0， 所以q p －
1－1≥0，q k －
1－1≥0，所以b 1＋b n ≥b p ＋b k ．
当q ＝1时，b 1＋b n ＝b p ＋b k ．
当0＜q ＜1时，因为y ＝q x 为减函数，p －1≥0，k －1≥0， 所以q p －
1－1≤0，q k －
1－1≤0，所以b 1＋b n ≥b p ＋b k ．
综上，b 1＋b n ≥b p ＋b k ，其中p ，k 为正整数，且p ＋k ＝1＋n ．………………… 14分 所以n (b 1＋b n )＝(b 1＋b n )＋(b 1＋b n )＋…＋(b 1＋b n )
≥(b 1＋b n )＋(b 2＋b n －1)＋(b 3＋b n －2)＋…＋(b n ＋b 1)
＝(b 1＋b 2＋…＋b n )＋(b n ＋b n －1＋…＋b 1)， 即
b 1＋b 2＋…＋b n n ≤b 1＋b n
2
． …………………… 16分
南京市、盐城市2013届高三第三次模拟考试
数学附加题参考答案及评分标准 2013.05
21．【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共20分． A ．选修4—1：几何证明选讲
证明 如图，延长PO 交⊙O 于D ，连结AO ，BO ．AB 交OP 于点E ．
因为P A 与⊙O 相切， 所以P A 2＝PC ·PD ．
设⊙O 的半径为R ，因为P A ＝12，PC ＝6，
所以122＝6(2R ＋6)，解得R ＝9． …………………… 4分 因为P A ，PB 与⊙O 均相切，所以P A ＝PB ．
又OA ＝OB ，所以OP 是线段AB 的垂直平分线． …………………… 7分 即AB ⊥OP ，且AB ＝2AE ． 在Rt △OAP 中，AE ＝OA ·P A OP ＝36
5
．
所以AB ＝72
5． …………………… 10分
B ．选修4—2：矩阵与变换 解 （1）由题知，⎣⎢
⎡⎦⎥⎤1 a b 1 ⎣⎡⎦⎤11＝⎣⎡⎦
⎤02，即⎩⎨⎧1＋a ＝0，b ＋1＝2，
解得⎩⎨⎧a ＝－1，
b ＝1．
…………………… 4分
（2）设P' (x ，y )是曲线C'上任意一点，P' 由曲线C 上的点P (x 0，y 0) 经矩阵M 所表示的变换得到，
所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －11 1 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤
x y ，即⎩⎨⎧x 0－y 0＝x ，x 0＋y 0
＝y ，解得
⎩
⎨⎧x 0＝
y ＋x
2，y 0＝y －x 2
．
…………………… 7分 A
B
O
C （第21题A ）
D
E
因为x 0y 0＝1，所以y ＋x 2·y －x 2＝1，即y 24－x 2
4
＝1．
即曲线C' 的方程为y 24－x 2
4＝1． …………………… 10分
C ．选修4—4：坐标系与参数方程
解 以极点为原点，极轴为x 轴正半轴建立平面直角坐标系，
则圆C 的直角坐标方程为(x －3)2＋(y －1)2＝4，
点M 的直角坐标为(33，3)． …………………… 3分
当直线l 的斜率不存在时，不合题意． 设直线l 的方程为y －3＝k (x －33)，
由圆心C (3，1)到直线l 的距离等于半径2．
故|23k －2|k 2＋1
＝2． …………………… 6分
解得k ＝0或k ＝3．
所以所求的直线l 的直角坐标方程为y ＝3或3x －y －6＝0． ………………… 8分
所以所求直线l 的极坐标方程为ρsin θ＝3或ρsin(π
3－θ)＝3． …………………… 10分
D ．选修4—5：不等式选讲
解 原不等式等价于 ⎩⎨⎧x ≥4，x 2－4x －3＜0，或⎩⎨⎧x ＜4，
－x 2＋4x －3＜0． …………………… 5分
解得⎩⎨⎧x ≥4，2－7＜x ＜2＋7，或⎩⎨⎧x ＜4，
x ＜1或x ＞3．
即4≤x ＜2＋7或3＜x ＜4或x ＜1．
综上，原不等式的解集为{x | x ＜1或3＜x ＜2＋7}． …………………… 10分
【必做题】第22题、第23题，每题10分，共20分．
22．解（1）如图，取AC 的中点F ，连接BF ，则BF ⊥AC ．以A 为坐标原点，过A 且与FB 平行的直线为
x 轴，AC 为y 轴，AP 为z 轴，建立空间直角坐标系． 则A (0，0，0)，B (3，1，0)， C (0，2，0)，P (0，0，2)，E (0，1，1)，
从而→PB ＝(3，1，－2)， →
AE ＝(0，1，1)． 设直线AE 与PB 所成角为θ， 则cos θ＝|→PB ·→
AE
|→PB |×|→AE |
|＝1
4．
（第22题）
即直线AE 与PB 所成角的余弦值为1
4 ． …………………… 4分
（2）设P A 的长为a ，则P (0，0，a )，从而→PB ＝(3，1，－a )，→
PC ＝(0，2，－a )．
设平面PBC 的法向量为n 1＝(x ，y ，z )，则n 1·→PB ＝0，n 1·→
PC ＝0， 所以3x ＋y －az ＝0，2y －az ＝0． 令z ＝2，则y ＝a ，x ＝3
3
a ． 所以n 1＝(
3
3
a ，a ，2)是平面PBC 的一个法向量． 因为D ，E 分别为PB ，PC 中点，所以D (32，12，a 2)，E (0，1，a
2
)， 则→
AD ＝(
32，12，a 2)，→AE ＝(0，1，a
2
)． 设平面ADE 的法向量为n 2＝(x ，y ，z )，则n 2·→AD ＝0，n 2·→
AE ＝0． 所以
32x ＋12y ＋a 2z ＝0，y ＋a
2
z ＝0． 令z ＝2，则y ＝－a ，x ＝－3
3
a ． 所以n 2＝(－
3
3
a ，－a ，2)是平面ADE 的一个法向量． …………………… 8分 因为面ADE ⊥面PBC ， 所以n 1⊥n 2，即n 1·n 2＝(
33a ，a ，2)·(－ 33a ，－a ，2)＝－1
3
a 2－a 2＋4＝0， 解得a ＝3，即P A 的长为3． …………………… 10分 23．解（1）p 1＝2
3
，
p 2＝23×23＋13×(1－23)＝5
9． …………………… 2分
（2）因为移了n 次后棋子落在上底面顶点的概率为p n ，故落在下底面顶点的概率为1－p n ．
于是移了n ＋1次后棋子落在上底面顶点的概率为p n +1＝23p n ＋13(1－p n )＝13p n ＋13
．
…………………… 4分
从而p n +1－12＝13(p n －1
2
)．
所以数列{p n －12}是等比数列，其首项为16，公比为1
3
．
所以p n －12＝16×(13)n －1．即p n ＝12＋12×1
3n ． …………………… 6分
用数学归纳法证明：
①当n ＝1时，左式＝14×23
－1＝35，右式＝12，因为35＞1
2，所以不等式成立．
当n ＝2时，左式＝14×23－1＋14×59－1＝7855，右式＝43，因为7855＞4
3，所以不等式成立．
②假设n ＝k (k ≥2)时，不等式成立，即i =1∑k
14P i －1
＞k 2
k ＋1．
则n ＝k ＋1时，左式＝i =1∑k
14P i －1＋14P k +1－1＞k 2k ＋1＋14(12＋12×13
k +1)－1＝k 2k ＋1＋3k +1
3k +1＋2．
要证k 2k ＋1＋3k +1
3k +1＋2≥(k ＋1)2k ＋2，
只要证3k +1 3k +1＋2≥(k ＋1)2k ＋2－k 2
k ＋1．
只要证3k +1
3k +1＋2≥k 2＋3k ＋1 k 2＋3k ＋2．
只要证2 3k +1≤1
k 2＋3k ＋1．
只要证3k +1≥2k 2＋6k ＋2． 因为k ≥2，
所以3k +1＝3(1＋2)k ≥3(1＋2k ＋4C 2k )＝6k 2＋3＝2k 2＋6k ＋2＋2k (2k －3)＋1＞2k 2
＋6k ＋2，
所以k 2k ＋1＋3k +1 3k +1＋2≥(k ＋1)2k ＋2．
即n ＝k ＋1时，不等式也成立．
由①②可知，不等式i =1∑n
14P i －1＞n 2
n ＋1
对任意的n ∈N *都成立． ……………………10分。