解决相遇和追及问题的_万能公式_董彦

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中学物理 V ol . 29 No . 11 2011 年 6 月
再谈一道力学高考题的解法
孔兴隆
( 温州Байду номын сангаас龙湾区教师发展中心 浙江 温州 325011)
看过贵刊 2010 年第 10 期刘坤老师写的《一道力学高考 题的图象解 法》( 后面 简称为原文) 后颇受 启发 , 但发 现原文 的图 2 、图 3 和图 5 存在一定的问题 , 原文把 F 合 - x 、摩擦力 f - x 图象划成直线是有前提的 , 这 个前提就 是小物 块与木 板间的动摩擦因数应该是线性变化的 !但题目并 没有说明动 摩擦因数是线性变化的 , 可见动摩擦因 数更为一 般的情况是 非线性变化的 , 所以笔者认为原文提供 的解法也 只是一种特 殊情况 , 更一般的情况是动摩擦因数是非线性 变化的 . 那么 F 合 - x 、摩擦力 f - x 的图象可以分别是图 1 、图 2 . 当然 , 细究“ 动摩擦因数 逐渐 减少” , 不仅 有图 1 、2 这 类动摩 擦因数随位移的变化率逐渐减少的情况 , 还有动 摩擦因数随 位移的变化率逐渐增大的情况 , 还有动 摩擦因数 随位移的变 化率先减少后增大或先增大后减少的情况 等等 . 但动摩擦因 数为非线性变化时 , 根据图象都可以得到相同 的结论 . C . 物块滑到底端的速度 , 前一过程较大 D. 物块从顶端滑到底端的时间 , 前一过程较长 分析 既然动摩擦因数当成线性 变化和非线 性变化得 到的结论是一样的 , 那 么还可 以采 用极 端假设 法 , 假设 板上 的 P 点距 A 端 很近 , 把 AP 段小物块与木板间的动摩擦因数 设为 μ, PB 段小物块与木板间的动摩擦因数设为零 . 则前一过程跟后一过程摩擦力做的功都为 W f =-(μ mg cos θ )l AP , 因摩 擦产生的热量可以相同 , 则 B 错误 . 由动能定理可得 , 1 W G + W f = 2 mv 2 - 0 , 由于前后过 程 W G 和 W f 相等 , 则 物块 滑到底端的 速度一样大 . 由 v - t 图象( 如图 4 所示)可 知 , 物块 从顶端滑到底 端的时间 , 前一 过程 所 用的时间 t 1 显然大 于后一过程 , 故 D 正确 . 同时 , 由 图 3 还可 以得 到 , 物块经 过 P 点时 , 前 一过 程速 度较小 , 则动能 也较 小 , 所 以 A 正 确. 故 A 、D 正确 . 那么这种极端假设法能不能由特殊推广 到一般情况( 动 摩擦 因数由 A 到 B 逐渐减小)呢 ?不难发现 , 这种极端假设法 跟学生平常接 触到的化变力为恒力的思想是 一样的 . 笔者只 不过 是取了动摩擦因数非 线性 变化 过程中 的两 个特殊 值作 为研 究对象 , 是化变力为恒力 . 反过来 , 可以推广到 动摩擦因 数非线性变化的全过 程 , 即化 恒力 为变 力 , 也能 得到相 同的 结论 . 总结 不 少选择 题除了 有常规 解法外 , 还 有非常 规解 法. 在时间就是分数的 高考考 场上 , 考生要 想做 到小题 小做 ( 即做选择题这类小题时用尽可能少的 时间做对), 就需要教 师在日常选择 题的教学不仅要注重常规解法 , 还要 注重渗透 各种 思想方法 . 车减 速运动 , 自 行车 又在 汽 车运 动 231 m 时从 后面 追 上汽 车. ( 2)将 v 10 = 20 m s , v 20 = 15 m s , a 1 =- 0 . 5 m s2 , a 2 = 0 , 代入上述( 2)式 v 10 + a 1 t = v 20 + a 2 t , 20 - 0 . 5 t = 15 , t = 10 s ; 1 由 Δ s = v 10 t + a 1 t 2 + s 0 - v 20 t , 2 得 Δ s = 4 m. 但考虑到汽车刚开始减 速时 , 两 车相距 21 m , 所 以当 t = 0 时汽车与 自行车有最大距离 , 最大距离是 21 m . 得 解得
( 6)
对( 2)、 ( 6)两式 , 根据实际物理意义 , t 只取正值 . 若t为 负值 , 仅表示“ 曾经” 相遇或“ 曾经” 相距最远( 或最近). 因为将上 述题目中各量赋予不同的具体 数值 , 就可以衍 生为 相遇和追及 问题的 各种题 型 , 所以我 们可以 把( 1)、( 2) 式及 由此二式得到的( 3)、 ( 4)、 ( 5)、 ( 6)式叫做解决相遇和追 及问 题的“ 万能公式” . 上面诸式中各量的符号规定 : 取 t = 0 时刻物 体甲运动 方向 为正方向 , t = 0 时甲所处位置为位移起点 , 则 > 0 , 初速不为零 v 10 = 0 , 初速为零 =0, 匀速 a > 0 , 与 v 10 同向 < 0 , 与 v 10 反向 = 0 , 甲乙在同一处 s0 > 0 , 乙在甲的前方 < 0 , 甲在乙的前方 3 题目示例 例 1 A 、B 两质点在同一直线上做匀变速直线运 动 , 初 始位置如 图 1 所 示 . A 、B 的 初 速 度 大小 分 别 为 2 . 5 m s 、5 m s , 方向分别向左 、向右 ; A 、B 的加速度大 小分别为 1 m s2 、 2 m s2 , 方向均向左 . 开始时 A 、B 相距 50 m . 求:
2. 2 在 Δ ≥ 0 的前提下 , 经时间 t 相遇 , 由求根公式得 : t = ( v 10 - v 20)± ( v 20 - v 10 ) - 2( a 2 - a 1) s0 ( 4) a2 - a1
2
2. 3 在 Δ ≥ 0 的前提下 , 相遇地点与 t = 0 时刻甲的位置相距 1 s 1 = v 10 t + a 1 t 2 ( 5) 2
如图3所示平直木板ab倾斜放置端较近小物块与木板间的动摩擦因数由a逐渐减小先让物块从着地抬高使木板的倾角与前一过程相同再让物块从点的动能前一过程较小物块从顶端滑到p点的过程中因摩擦产生的热量物块滑到底端的速度前一过程较大物块从顶端滑到底端的时间前一过程较长分析既然动摩擦因数当成线性变化和非线性变化得到的结论是一样的那么还可以采用极端假设法假设板上ap段小物块与木板间的动摩擦因数设为pb段小物块与木板间的动摩擦因数设为零
2 (v 20 - v 10) , 只相遇一次 , 2( a 2 - a 1) 2 (v 20 - v 10) , 不可能相遇 2( a 2 - a 1)
( 1)A 、B 何时相距最远 ? ( 2)A 、B 何时相遇 ? 解析 ( 1)设 A 、B 分 别对应“ 万 能公 式” 中的 甲 、 乙 , 则有 v 10 = 2 . 5 m s , v 20 =-5 m s , a 1 = 1 m s2 , a 2 = 2 m s2 , s0 =-50 m , 由 上述( 1)式 ( a 2 - a 1) t 2 + 2(v 20 - v 10 ) t +2 s 0 = 0 得 t 2 - 15 t - 100 = 0 , , t = 20 s , 解得 ( 另一根 - 5 s 舍去). ( 2)由上述( 2)式 得
或 ( a 2 - a 1) t 2 + 2(v20
( 1)
相距最远( 或最近)的条件是甲 、乙两物体速度相等 , 即 v 10 + a 1 t = v 20 + a 2 t ( 2) ( 1)、 ( 2)式分别是关于 t 的一元二次和一元一次方程 . 2. 1 两物体能相遇的条件是( 1)式中 t 有正数解 , 由判别式 2 Δ = 4(v 20 - v 10 ) - 8( a 2 - a 1) s0 , 2 (v 20 - v 10) , 可相遇两次 , 当 Δ > 0 , 即 s0 < 2( a 2 - a 1) 得 当 Δ = 0 , 即 s0 = 当 Δ < 0 , 即 s0 >
2011 年 6 月 V ol . 29 N o . 11 中学物 理
·读者·作者·编者·
解决相遇和追及问题的“万能公式”
董 彦
( 重庆育才中学 重庆 400050)
1 提出问题 贵刊在 2010 年第 9 期发表《 用相对运动巧解追及与相遇 问题》 , 值得一学 . 但笔 者以 为该文 意犹 未尽 , 抑 或解 题过程 还较繁杂 . 在此文中笔者将多种涉及相 遇和追及 的问题用单 一方法求解 , 学生更易掌握 . 相遇和追及问题是指两物体( 质点)在同一直线上运动 , 求一个物体与另一物体能否相遇 、相 遇几次 、何时何处 相遇 、 何时相距最远( 或最近)等的问题 . 这类问题具体条件复杂多变 , 但基 本上都可 以概括为以 下“ 母版” 题目 : 甲 、乙两 物体在 同一直 线上同 向运动 , 甲 物体初 速度为 v 10 , 加 速度为 a 1 ; 乙物体初速度这 v 20 , 加速度为 a 2 , 开始时 两者相距 s0 . 试问 : ( 1)两物体能否相遇 ? ( 2)若能相遇 , 相遇在何时 ? ( 3)若能相遇 , 相遇在何处 ? ( 4)何时二者相距最远( 或最近) ? 2 解决问题 相遇 的条件 是甲 、乙 两物体 在同一 时刻处于 同一 位置 . 根据运动 的相对 性 , 乙相 对于甲的 初速度 为(v 20 - v 10), 乙 相对于甲的加速 度为(a 2 - a 1), 乙 相对 于甲 的初 始位 移为 s 0 , 设经时间 t 相遇 , 由 1 s = v 0 t + at 2 2 得 Δ s = 0 - s 0 =(v 20 - v10 ) t + 1 (a 2 - a 1)t 2 2 - v 10)t + 2 s0 = 0 将( 4)式的值代入( 5)式便得具体答案 . 2. 4 由( 2)式得两物体相距最远( 或最近)的时刻 v 20 - v 10 t = a 1 -a 2
( 3)
v 20 + a 1 t = v 20 + a 2 t , t =7. 5 s. 例 2 一 平直公路上有左右两车道 , 左车道上汽车以 20 m s 的速度匀速行驶 , 一自行车 在其前方以 15 m s 的速度在 右车 道上同向匀速行驶 . 当汽车距自行车 21 m 时 , 汽车以大 小为 0 . 5 m s2 的加速度做匀减速运动 . 问汽车开始减速后 : ( 1)汽车与自行车能否相遇 ?若能 , 相遇在何时何处 ?
原题 如图 3 所示 , 平直木板 AB 倾斜 放置 , 板上的 P 点距 A 端较近 , 小物块与木板间的动摩擦因数由 A 到 B 逐渐 减小 , 先让物块 从 A 由静 止开 始滑到 B. 然后 , 将 A 着地 , 抬高 B , 使 木板的 倾角 与前 一过 程相 同 , 再让 物块 从 B 由静止开 始滑 到 A . 上 述 两过 程 相比 较 , 下列说法中一定正确的有 A. 物块经过 P 点 的动能 , 前一过 程较小 B. 物块从 顶端滑到 P 点的过程中因摩擦产生的热量 , 前 一过程较少 ( 2)汽车与自行车何时有最 大距离 , 最大距离是多少 ? 解析 ( 1) 不妨 设 v 10 = 20 m s , v 20 = 15 m s , a 1 = -0 . 5 m s2 , a 2 = 0 , s 0 = 21 m , 代入上述( 1)式 ( a 2 - a 1) t 2 + 2(v 20 - v 10)t + 2 s 0 = 0 , 整理得 t - 20 t + 84 = 0 , 由( 3)知判别式 Δ > 0 , 故能相遇 , 由求根公式( 4)解得 t = 6 s 或 14 s , 可见汽车与自行车能相遇两次 ; 相遇之 地与汽车刚 减速之地的距离由公式( 5) 1 s1 = v 10 t + a 1 t 2 , 2 得 s 1 = 111 m 或 231 m ,
2
其物理意义是汽车在运动 111 m 时追上自行车 , 但因汽
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