第五屇数学吧吧赛——大学组

满足初始条件 φ1(0) =
3，φ′1(0) = 2，φ2(0) = 0 的解．
20.（蕾米莉亚 bug）设 A = 3 5 , f (t) = e−t，求方程 x′ = Ax + f (t)
−5 3
0
在初始条件 φ(0) = 0 的解 φ(t)．
1
四、抽象代数：本大题共 5 小题，每小题 4选考题（共 60 分）
选考题共分为六个题组，分别为常微分方程、抽象代数、复分析、实 分析、数理统计与随机过程和搞积．考生需在六个题组中任选三个作 答．如果多做，按所选的前三个题组记分．
三、常微分方程：本大共 5 小题，每小题 4 分，共 20 分．
16.（蕾米莉亚 bug）求解 Riccati 方程：y′e−x + y2 − 2yex Ʒ.（散影千载亦悠悠）设 f : R → R 是偶函数, 满足 supp(f ) ⊆ [−A, A], 且 f 在 [−A, A] 上 Riemann 可积. 设 fˆ(ξ) 是 f (x) 的 Fourier 变换. 求证： (i) fˆ(ξ) 是一个光滑函数; (ii) fˆ(ξ) 可在 ξ = 0 处展开为收敛半径为无穷大的 Taylor 级数.
1
0.5
0 5
0
−5
0
5
−5
考试说明
大学组
1. 考试时间：8 月 1 日（星期日）上午 10:00 至 8 月 2 日上午 10:00，共计 24 小时．逾期不予处理．
2. 提交方式：方式不限，（如果是手写拍照）请在光线明亮的地方正面拍照并 裁剪去无用地方，答案上必须标记题目编号并按顺序作答，如有不能解决 的题目，请空两行并写下题号，字迹清晰不潦草，最好可使用扫描全能王 扫描为纯黑白以便于改卷．其他方式大同小异．最好将文件统一打包成压 缩包形式，并以组别-作者形式命名（如：高中组-张三），完成后以邮件形 式发送到 3339829816@．
36.（N_a_O_H ）令 B(t) 为均值为 0，方差为 σ2 的布朗运动．
(1) 考虑如下的伊藤积分：
t
X(t) = f (B (t)) dB(t), t > 0
0
其中 f 是适应过程，且在 [0, T ] 上平方可积．用随机积分的定义证明
E (X (t)) = 0．
(2) 设 X(t) 是随机过程，定义如下：
11.（张宁宁）设
A
=
(aij )n×n ，aij
=
(1
−
δij
)
1 j2
，求证方程
AX
=
2X
只有零
解．（X 为 n 阶矩阵）
12.（蕾米莉亚 bug）将下列实二次型变为标准型：
n
f = n x2i −
i=1
n
2
xi
i=1
13.（蕾米莉亚 bug）在 Kn 中，W1 是其次线性方程组 x1 + x2 + · · · + xn = 0
t
X(t) = eα(t−u)dB(u),
0
其中 α 是实数，B(t) 定义同上．
t>0
证明 E (X (t)) = 0；
求 X(t) 的协八、搞积：本大题共 5 小题，每小题 4 分，共 20 分．
30.（散影千载亦悠悠）请证明：如果
Re(z)
=
1 ，则
π
−
z 2
Γ
1 z
ζ(z) 是一个
2
2
实数.
六、实分析：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分． 31.（散影千载亦悠悠）假设 A, B ⊂ Rd. 请证明： m∗(A B) + m∗(A B) ≤ m∗(A) + m∗(B).
32.（散影千载亦悠悠）已知 m(E) < +∞, lim k→+∞
24.（散影千载亦悠悠）Q 中 f (x) = x4 − 5 的分裂域是什么？并写出它的 载亦悠悠）这个问题是从由（无刻度）直尺和圆规引申出的. 在数 吧的初中题目的讨论中，有一位大神给出了许多尺规作图的问题，你已经 知道了很多抽象代数的知识，那么请告诉我，一个正 n 边形可以用直尺和 圆规画出来的充要条件是什么？证明你的答案．
21.（散影千载亦悠悠）G 是一个群. 假定 H = {h ∈ G|hg = g, ∀g ∈ G}. 证明 H 是 G 的正规子群.
22.（散影千载亦悠悠）是否存在阶为 p2q 的单群，其中 p, q 为素数. 验证你的 答案．
23.（散影千载亦悠悠）假定 R 是一个至少有 2 个元素的有限除环，请证明 R 是域．
28.（散影千载亦悠悠）请问方程 ez − z = 0 在 C 中有多少个解？验证你的答 案.
29.（散影千载亦悠悠）请写出一个从 {z ∈ C||Re(z)| < 1, |Im(z)| < 1} 到圆盘 D 上的共形映射 f ，满足 f (0) = 0，f ′(0) > 0．并证明此映射是唯一的.
x2 + y2 + z2 = 1 x2 + y2 − z2 ≥ 0
计算第二型曲面积分（定向由外法向量确定)：
x dy ∧ dz + y dz ∧ dx + z dx ∧ dy
M
(x2 + y2 + z2)3/2
7.（散影千载亦悠悠）设 D 是 Rn 中的区域，f : D → Rm 是 C∞ 函数，q ∈ Rm 是 f 的正则值，M = f −1(q). 求证：M 是可定向流形.
程，多元一次不等式组（线性规划）时必须写全步骤．若方程无解（而且有
证明的需求），则需要写全步骤. 如无特别说明，方程的解都是解析解（精
确解）．数值求解需要精确到小数点后四位．
6. 本卷题型分为必做题和选做题，满分 160 分．主观题必须写出完整过程，只 写答案的只得 1 分．选做题部分，请考生在所给的题组中选出三个题组作 答．有多选的，按所选的前三个题组给分．
u2keu2k = 0. 请证明：
E
lim eu2k = m(E).
33.（散影千载亦悠悠）已知 f ∈ L∞(E). 请证明：
f L∞ = sup ||g||L1 =1
fg .
E
34.（散影千载亦悠悠）已知映射 Fn : [a, b] → R 是绝对连续的. 且 Z ⊆ [a, b] ， m(Z) = 0. 0 ≤ Fn′ (x) ≤ Fn′ +1(x) ∀x ∈ [a, b] \ Z, n ∈ N
10.（散影千载亦悠悠）设 X ⊆ Rn, Y ⊆ Rm 是两个非退化有界闭区间, f 是 X × Y 上的连续可微函数, x0 ∈ X. 求证：当 x → x0 时，函数 f (x, y) 对 于 y ∈ Y 一致收敛于极限函数 f (x0, y) .
二、线性代数：本大题共 5 小题，每小题 8 分，共 40 分．
17.（蕾米莉亚 bug）求方程 x2y′′ + xy′ + 4x2 − 25 y = 0 的通解． 36
18.（蕾米莉亚 bug）求方程 x′′′ + 3x′′ + 3x′ + x = 1 在初始条件 x(0) = x′(0) =
x′′(0) = 0 下的解．
19.（蕾米莉亚 bug）求方程组 x′1′ − 2x′1 − x′2 + 2x2 = 0 x′1 − 2x1 + x′2 = −2e−t
的解空间；W2
是其次线性方程组
x1 x2
− xn − xn
= =
0 0
··· xn−1
− xn
=
0
的解空间，证明：Kn = W1 W2．
14.（张宁宁）设 A 为 n 阶非异阵，将 A−1 表示为 g(A)，deg g < n，求证：g 的唯一性等价于 A 的特征多项式与极小多项式相同．
15.（北境信仰）在三维欧式空间中建立直角坐标系，设 Aθ 是绕 x 轴的旋转， 自 y 轴向 z 轴方向旋转 θ 角度；设 Bω 是绕 y 轴的旋转，自 z 轴向 x 轴 方向旋转 ω 角度. (1). 写出旋转变换 Aθ, Bω 在标准基（由 x, y, z 轴单位向量构成）下的矩阵； (2). 复合变换 AθBω 是绕哪条直线的旋转，转角又是多少？
大学组
五、复分析：本大题共 5 小题，每小题 4 分，共 20 分．
26.（散影千载亦悠悠）请证明：
+∞ −∞
cos x x2 + a2
dx
=
π
e−a a
.
27.（散影千载亦悠悠）写出所有圆盘 D 上满足以下条件的所有全纯函数
|f (z)| ≤ |z5||Re(z)3| ∀z ∈ D.
并验证你的答案.
8.（散影千载亦悠悠）设 S 是 Schwartz 速降函数空间，F : S → S 是其上的 Fourier 变换. 定义运算 P : S → S,
f
→
P(f )
=
1 (f
·
F 2(f )
+
F(f )
∗ F 3(f )),
2
其中 · 表示乘法，∗ 表示卷积. (1). 试证：对于任意的 f ∈ S，F(P(f )) = P(f )； (2). 对于 g(x) = e−πx2，试求一个 f ∈ S 使得ics Olympiad 2021
试题 大学组
吧赛命题组：（顺序不分先后）N_a_O_H、蕾米莉亚 bug、散影千 载亦悠悠、北境信仰、精神明亮的人（海尘）、赛罗本人、GIAO
诘、霜夏、YX-hueimie、73 大师、张宁宁
8 月 1 日 10:00——8 月 2 日 10:00
3. 报名方式：吧赛无需报名，在规定时间内以正常方式提交答卷即可．
4. 关于计算：
初中组及以下必须无省略写出所有计算步骤．
高中组可以省略一切不涉及三角函数，对数，指数的运算，而涉及上述几
种运算的化简过程必须全部写出.
大学组可以省略一切可以用科学计算器（不含微积分功能）计算的运算过
程，但不能省略组合数的运算. 涉及微分，积分，向量，矩阵的运算必须完
N+)，将数列
{an}
中含有数字
9
的项全部
删除，得到数列 {bn}，请证明： ∞
(1). 级数 bn 收敛；
n=1 ∞
(2). 级数 bn < 30.
n=1
3.（蕾米莉亚 bug）求多元函数微分： ∂m+nz ，其中 z = (x2 + y2) ex+y. ∂xm∂yn
4.（蕾米莉亚 bug）计算由曲面 (x2 + y2 + z2)2 = 2e2x00 分）
大学组
一、数学分析：本大题共 10 小题，每小题 6 分，共 60 分．
1.（蕾米莉亚 bug）计算极限: lim 2021 (x + 1) (x + 2) · · · (x + 2021) − x . x→∞
2.（赛罗本人）数列
an
=
1 n
(n
∈
整写出步骤.
示例：
d(x ln dx
x)
=
x·
d(ln x) dx
+
dx dx
·
ln x
=
ln x +
1.
5. 关于解方程：
初中组可以省略一元一次方程（不等式）的步骤．解方程组，不等式组，一
元二次方程时必须写全步骤. 高中组及以上可以省略一元二次方程，一
元一次不等式组，含具体系数方程组的运算．解一元三次（或更高次）方
5.（蕾米莉亚 bug）证明 divf⃗ (p) = lim
f⃗ · ⃗ndS, 其中 S 为围绕点 P 和
d(S)→0 S
有界体积 V 的封闭曲面，⃗n 为曲面 S 之外法线，d(S) 为曲面 S 的直径.
6.（散影千载亦悠悠）设 M 是由如下定义的曲面：
M = (x, y, z) ∈ R3
lim Fn(a) = C < ∞, sup Fn(b) < ∞.
n→∞
n∈N
证明：对于任意的 x，F (x) = lim Fn(x) 是良定的，并且 F (x) 也是绝对连 n→∞
续的.
七、数理统计与随机过程：本大题共 2 小题，每小题 10 分，共 20 分．
35.（N_a_O_H ）设 X1, · · · , Xn 是独立的相同分布 N (µ, σ2)，Y1, · · · , Ym 是 独立的相同分布 N (γ, σ2)．令 U = Σ(Xi − X)2，V = Σ(Yi − Y )2． (1) 令 D = X − Y ，求 D 的分布． (2) 求 (U + V )/σ2 的分布． (3) 求 σ2 的一个无偏估计．（提示：结果应该与 U 、V 相关）． (4) 令 W 为 σ2 的一个无偏估计（上一问答案）．求一个与 D, W, n, m, µ 和 γ 相关的函数 T ，使得 T 满足 student T 分布．