解决导函数“隐零点”问题的策略例析

44中学数学研究2019年第9期(下)解决导函数“隐零点”问题的策略例析*
江苏省扬州大学数学科学学院(225002)丁紫妍濮安山
导数是研究函数单调性和切线等问题的有力工具,其中,
零点问题在导函数问题中是至关重要的,很多不等式恒成
立、函数的交点个数问题都是通过对导函数零点的求解解决
的.但是有些零点是不容易求出的,这就需要我们采取特殊
的方法进行求解.本文通过举例说明来给出求解导函数“隐
零点”问题的策略.
例1已知(x−1)ln x−a 0恒成立,求a的取值范围.
由题意a (x−1)ln x恒成立,令f(x)=(x−1)ln x,
对其进行求导f′(x)=x ln x+x−1
x
.我们发现对于f′(x)
这样的超越函数,我们不能直接求出它的零点,我们把这种能判断其存在却不能精确求出的零点叫做“隐零点”.那么,导函数“隐零点”的问题该如何求解?本文以近几年的高考题为例,总结了“隐零点”相关问题的求解策略.
一般来说,不能直接求出数值的零点,即“隐零点”问题常常作为高考的压轴题出现,对学生来说也是一个不易跨过的难点.这样的零点比较“虚无”,存在但又没有具体数值.对于“隐零点”的不同类型的问题,解决策略也是各种各样,下面是几种比较常见的解决策略.
1、先观察,后试值
上述问题,导函数f′(x)=0是一个超越方程,直接求解比较困难,这时可以先观察导函数,然后凭借“直觉”代入几个特殊的值,看它是否恰好为方程的根,这个过程叫做试值.
解析通过试值可以得到f′(1)=0,即x=1是一个零点.当0<x<1时,f′(x)<0;x>1时,f′(x)>0,所以f(x)在(0,1)内单调递减,在(1,+∞)单调递增,所以f(x)min=f(1)=0⇒a 0.
评析可以看出,试值法是一个比较巧妙的方法,没有什么技巧性,更多的是一种基于经验的直觉判断,在难以求出零点时,用看似可能的值代入,也许会带来“惊喜”,问题也会迎刃而解.一般地,当导数含有e x时,用0、1或ln a(这里的a为一个常数)来试值,当导函数含有ln x时,用1或e n(n 为常数)试值.
2二次求导
当试值无果时,我们可以尝试对超越函数进行二次求导,把它化为更简单的形式.
例2已知函数f(x)=ln x+(e−a)x−b,其中e为自然对数的底数,若不等式f(x) 0恒成立,求
b
a
的最小值.
解析f(x) 0恒成立等价于ln x (e−a)x−b恒成立,可以转化为y=lnx的图像恒在直线y=(a−e)x+b下方,设y=ln x的图像与直线y=(a−e)x+b平行的切线的切点为(x0,y0),由y=ln x得y′=
1
x
,则由导数几何意义可得切线方程为y=
1
x0
x+ln x0−1,要使ln x (e−a)x−b 恒成立,则a−e=
1
x0
,b ln x0−1,从而b
a
x0ln x0−x0
1+ex0
,令h(x)=
x0ln x0−x0
1+ex0
,则h′(x)=
ex0+ln x0
(1+ex0)2
.
这里若直接求h′(x)=0的解,发现无法求出,再用试值法也不能解出零点.于是我们可以尝试对它二次求导,令g(x)=ex+ln x,此时g(x)的零点很容易求出,g
(
1
e
)
=0且g(x)在
(
0,
1
e
)
上单调递增,在
(
1
e
,+∞
)
单调递减,所以h(x)min=h
(
1
e
)
=−
1
e
,从而
b
a
−1
e
.
评析二次求导可以让复杂的超越函数变得更容易求出零点,也可以通过二次求导后的导数变化来研究原函数的单调性或者它们的恒正、恒负.
3虚设零点
当导函数经过二次求导也无法判断它的零点时,就可以在一定的范围内假设存在一个零点,当然,这个范围也是要通过零点存在性定理判断的.这个虚设的零点常为x0,使f′(x0)=0.
例3(1)讨论函数f(x)=
x−2
x+2
e x的单调性,并证明当x>0时,(x−2)·e x+x+2>0;
(2)证明:当a∈[0,1)时,函数g(x)=
e x−ax−a
x2 (x>0)有最小值.设g(x)的最小值为h(a),求函数h(a)的值域.
解析这里的第(1)题可以直接通过求解函数f(x)的导数解出.f(x)的定义域为(−∞,−2)∪(−2,+∞),f′(x)= (x−1)(x+2)e x−(x−2)e x
(x+2)2
=
x2e x
(x+2)2
0,求出函数的零点为x=0,且仅当x=0时,f′(x)=0,所以f(x)在(−∞,−2),(−2,+∞)单调递增.因此当x∈(0,+∞)时,f(x)>f(0)=−1.所以(x−2)·e x>−(x+2),
*项目支持:江苏省高等教育教改项目:“综合性大学开展卓越中学数学教师培养的探索与实践(2017JSJG236)”.
2019年第9期(下)中学数学研究45 (x−2)·e x+x+2>0.
第(2)题的求解,首先g′(x)=(x−2)e x+a(x+2)
x3
=
x+2
x3
(f(x)+a),由(1)知,f(x)+a单调递增,对任意a∈[0,1),f(0)+a=a−1<0,f(2)+a=a 0.这里运用了零点存在性定理.因此,存在唯一x0∈(0,2],使得f(x0)+a=0,即g′(x0)=0.这里的x0就是虚设的零点.当0<x<x0时,f(x)+a<0,g′(x)<0,g(x)单调递减;当x>x0时,f(x)+a>0,g′(x)>0,g(x)单调递增.因此g(x)在x=x0处取得最小值,最小值为g(x0)=
e x0−a(x0+1)
x2
0=
e x0+f(x0)(x0+1)
x2
=
e x0
x0+2
.于
是h(a)=
e x0
x0+2
,由
(
e x
x+2
)′
=
(x+1)e x
(x+2)2
>0,得
y=
e x
x0+2
单调递增.所以,由x0∈(0,2],得1
2
=
e0
0+2
<
h(a)=
e x0
x0+2
e
2
2+2
=
e2
4
,所以h(a)的值域是
(
1
2
,
e2
4
]
.
评析这题求零点的式子相当繁琐,零点明显很难直接求出来,用刚刚的两种策略也不能得出,于是就要考虑设一个零点.要注意的是在设零点之前要先证明零点的存在,再把零点的存在范围求出来,才能设一个零点,最后用整体代入的思想进行等量代换.这里采用设而不求的方法可以成功规避零点的求解[1].这也是高考中“隐零点”问题解决的最常用的方法.
4巧用放缩
导函数隐零点问题,特别是关于不等式的问题,若对整理好的不等式设为f(x),对其求导之后仍不能求得它的零点,更不能判断它是大于零还是小于零,这时候,就可以考虑
使用放缩法来判断.
例4求证:xe x−2e ln x e (
x2−2x+2
)
.
解析原不等式⇔xe x−1−2ln x x2−2(x−1)⇔e x−1
x
−1 2ln x−2(x−1)
x2
,此时就可以考虑放缩法,ln x x−1得e x−1 x,故e
x−1
x
−1 0 2ln x−2(x−1)
x2
.
评析如果这道题使用传统的方法先把右边的式子移到左边去,使得f(x)=xe x−2e ln x−e
(
x2−2x+2
)
,再对其求导,通过零点、单调性判断正负,那么肯定是困难重重.使用放缩的方法,不仅可以避免求“隐零点”,还可以让过程更加简便.我们一般利用1−
1
x
ln x x−1,e x x+1, e x ex这些常见不等式进行放缩[2].
5巩固练习
1.求证
ln x
x
x−1.
2.设函数f(x)=e x−ax2−x−1,若当x 0时f(x) 0,求a的取值范围.
3.设f(x)=ax+ln x+1,若对任意的x>0, f(x) xe2x恒成立,求a的范围.
4.已知函数f(x)=x3−2x+e x−1
e x
,若f(a−1)+ f
(
2a2
)
0,求实数a的取值范围.
参考答案: 1.证明略;2.
(
−∞,1
2
]
;3.(−∞,2];4. [
−1,1
2
]
.
导数在高考中有着举足轻重的地位,特别是涉及到“隐零点”的导函数问题又往往会以压轴题的形式出现,一般都比较复杂,要结合多种数学知识才能解答出来.上述求解策略是针对高考中导数“隐零点”问题总结得出的,若能灵活运用,必能突破导数“隐零点”这个难关.
参考文献
[1]高雄英.导函数隐零点问题的处理策略[J].高中数学教与学,2017
(09):15-17.
[2]陈杰.再探函数“隐零点”的处理策略[J].上海中学数学,2018(03):
19-22+46.
(上接第9页)
四、小结
平面几何是初中数学内容的重要主题之一,而从一线教师反馈知学生掌握情况不容乐观.学生缺乏直观想象、逻辑推理等几何学习能力,而由于学习任务繁杂,大多只是了解概念和记住公式,忽略了其中蕴含的数学思想方法,不能做到深度学习.以及现今课堂教学模式形式多样,教学材料丰富.导致一线教师在选择合适的教学方式出现困难,不能进行深度教学.仍有教师以讲授课本上的知识为主,导致学生处于一种机械性的学习当中,课堂气氛也比较沉闷.基于此,以“三角形及其内角和”这一主题为例,印证了几何学习需要经历直观感知,操作确认,推理论证,度量计算四个学习路径,领会几何学习的本质,教师通过进行深度教学,学生才能达到深度学习.
参考文献
[1]曾棉炜,袁柳芳.基于Van Hiele理论的初中生几何推理能力调查
[J].中学数学杂志,2015(06):13-16.
[2]杨传冈,基于范希尔理论的小学数学几何开放题思维评价[J],中小
学教师培训,2018,(6):53-57.
[3]鲍建生,周超,数学学习的心理基础与过程[M],上海:上海教育出
版社,2009.
[4]龚宏波,三角形的认识课堂实录[J],课堂再现,2016.03(37).
[5]江泗洪,丰富实践活动,增强数学感知[J],教例剖析,2015.
[6]汪志华,三角形内角和教学设计[J],教学与管理,2013.04.。