(完整版)高中数学不等式归纳讲解
(完整版)高中数学知识汇总——不等式
必修 5 第 3 章不等式知识汇总一、常用的不等式的基天性质：（ 1 ）a b b a （反对称性）（ 2 ）a b,b c a c （传达性）（ 3 ）a b a c b c （可加性,也叫移项法例）（ 4 ）a b,c0ac bc （不等式两边乘同一个正数，不等号方向不变！）a b, c0ac bc （不等式两边乘同一个负数，不等号方向改变！）a ba cb d （同向不等式相加，不等号方向不变！）（ 5 ）cda b0ac bd0 （正数同向不等式相乘，不等号方向不变！）（ 6 ）cd0（ 7 ）a b0, n N , n1a n b n0 （正数乘方法例）（ 8 ）a b0, n N , n1n a n b0 （正数开方法例）二、一元二次不等式及其解法1 、三个“二次”间的关系（以下a> 0）△= b 2 - 4ac△> 0△=0△< 0二次函数y y yy=ax 2+bx+cx0x的图象x1x20x 一元二次方程有两个不等实根x1， x2有两个相等实根b无实根ax2+bx+c= 0的根x1< x2x1= x 2=2a一元二次不等式b{x|x < x1或x> x2 }R{x|x≠}2aax2+bx+c >0的解集一元二次不等式{x|x1< x < x2 }ΦΦax2+bx+c <0的解集2 、一元二次不等式的一般解法：一看二次项的系数，二算△，三绘图并据图写解集；3、含参数不等式的解法：分类议论；4 、不等式恒建立问题的解决：即不等式解集为R；5 、高次不等式的解法：数轴标根法（也叫穿针引线法）用曲线自右往左、自上往下挨次穿过，遇偶次重根穿而可是，遇奇次重根一次穿过。
三、基本不等式1 、关于随意两个正数a bab 。
a, b ，它们的算术均匀数是，几何均匀数是22 、基本不等式：关于随意 a 0, b 0 ，都有a b2 ab ）此中等号建立的条件是 a b 。
(完整版)高考数学-基本不等式(知识点归纳)
高中数学基本不等式的巧用一．基本不等式1.（1）若R b a ∈,，则ab b a 222≥+ (2)若R b a ∈,，则222b a ab +≤（当且仅当b a =时取“=”）2. (1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2(2)若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+（当且仅当b a =时取“=”） (3)若*,R b a ∈，则22⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0x >，则12x x +≥ (当且仅当1x =时取“=”）;若0x <，则12x x+≤- (当且仅当1x =-时取“=”） 若0x ≠，则11122-2x x x x x x +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0>ab ，则2≥+a b b a (当且仅当b a =时取“=”） 若0ab ≠，则22-2a b a b a bb a b a b a+≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 4.若R b a ∈,，则2)2(222b a b a +≤+（当且仅当b a =时取“=”） 注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”． （2）求最值的条件“一正，二定，三取等” (3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用． 应用一：求最值例1：求下列函数的值域 （1）y ＝3x 2＋12x 2 （2）y ＝x ＋1x解：（1）y ＝3x 2＋12x2 ≥23x 2·12x2 ＝ 6 ∴值域为[ 6 ，+∞）（2）当x ＞0时，y ＝x ＋1x≥2x ·1x＝2； 当x ＜0时， y ＝x ＋1x = －（－ x －1x ）≤－2x ·1x=－2∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞）解题技巧： 技巧一：凑项 例1：已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值。
高中数学不等式解题方法全归纳
高中数学不等式解题方法全归纳大家好，今天咱们来聊聊高中数学里的不等式。
这个话题呢，看起来有点吓人，但其实掌握了几个方法，解起来也就像吃饭喝水那么简单了。
我们就像个探险家，一步步揭开不等式的神秘面纱吧！1. 不等式基础知识1.1 不等式的基本概念首先，不等式呢，其实就是用来比较两个数值之间大小关系的。
最常见的有“<”、“>”、“≤”、“≥”这四种符号。
比如，3 < 5，这里表示3小于5。
其实，不等式就像是一道门，我们要找出哪一方在门的左边，哪一方在右边。
1.2 不等式的基本性质要解不等式，得先了解几个基本性质。
比如说，加减乘除这几个操作在不等式中是怎么表现的。
举个简单的例子：加减法：如果你在不等式的两边都加上或减去一个相同的数，结果不等式的方向不会改变。
比如，3 < 5，加2后变成了5 < 7。
乘除法：如果你在不等式的两边都乘以一个正数，结果不等式的方向也不会改变。
但如果你乘或除以负数，不等式的方向就会翻转。
比如，2 < 4，当你乘以1时，就变成了2 > 4。
2. 不等式的常见解法2.1 线性不等式的解法线性不等式是最简单的一类不等式。
比如，2x + 3 < 7。
这种情况，我们可以通过移项和合并同类项来解。
步骤如下：1. 移项：把常数项移到另一边。
2x < 7 3。
2. 化简：化简右边的数值。
2x < 4。
3. 除以系数：最后，除以2，得到x < 2。
这时候，不等式就解出来了。
简单吧？2.2 二次不等式的解法二次不等式可能有点复杂，但不怕，我们一步步来。
假如有一个不等式x^2 4 < 0。
解这个不等式可以分为几个步骤：1. 解对应的方程：先解x^2 4 = 0。
这个方程的解是x = ±2。
2. 画图分析：我们可以把这个方程的解标在数轴上，x = 2和x = 2。
然后就可以用测试点法或者符号法来判断在哪些区间内不等式成立。
完整版)高中数学不等式知识点总结
完整版)高中数学不等式知识点总结1、不等式的基本性质不等式有以下基本性质：①对称性：a>b等价于b<a。
②传递性：a>b。
b>c则a>c。
③可加性：a>b等价于a+c>b+c，其中c为任意实数。
同向可加性：a>b，c>d，则a+c>b+d。
异向可减性：a>b，cb-d。
④可积性：a>b，c>0则ac>bc，a>b，c<0则ac<bc。
⑤同向正数可乘性：a>b>0，c>d>0则ac>bd。
异向正数可除性：a>b>0，0bc。
a>b>0，则a^n>b^n，其中n为正整数且n>1.⑦开方法则：a>b>0，则√a>√b。
⑧倒数法则：a>b>0，则1/a<1/b。
2、几个重要不等式以下是几个重要的不等式：a/b+b/a>=2，当且仅当a=b时取等号。
a^2+b^2>=2ab，当且仅当a=b时取等号。
a+b/2>=√ab，当且仅当a=b时取等号。
a+b+c/3>=∛abc，当且仅当a=b=c时取等号。
a^2+b^2+c^2>=ab+bc+ca，当且仅当a=b=c时取等号。
a+b+c>=3√abc，当且仅当a=b=c时取等号。
a/b+b/c+c/a>=3，当且仅当a=b=c时取等号。
a-b|<=|a-c|+|c-b|，对任意实数a,b,c成立。
3、几个著名不等式以下是几个著名的不等式：a-b|<=√(a^2+b^2)，对任意实数a,b成立。
a+b)/2<=√(a^2+b^2)，对任意实数a,b成立。
a+b/2<=√(a^2+1)√(b^2+1)，对任意实数a,b成立。
a+b)/2<=√(a^2-ab+b^2)，对任意实数a,b成立。
a+b)/2>=√ab，对任意正实数a,b成立。
完整版高中数学不等式知识点总结
完整版高中数学不等式知识点总结高中数学中的不等式是学习数学中非常重要的一部分，在中高考中，不等式占据了较多的分数比重。
本文将对高中数学中的不等式进行全面的总结，内容涵盖了不等式的概念、基础知识、理论与定理、解题思路、常用不等式以及与其他章节的联系等方面。
一、不等式的概念与基础知识不等式是指含有不等关系的算式，一般表示成 a<b 或a>b，其中 a、b 可以是实数、分数或代数式等。
当 a<b 时，称 a 小于 b，也可以写成 b 大于 a；当 a>b 时，称 a 大于b，也可以写成 b 小于 a。
在不等式中，表示关系的符号“<”和“>”称为不等号。
解不等式可以用图像法、正推反证法和直接法等方法。
图像法：绘制不等式所代表的曲线或图形，在图形中表示不等关系所代表的区域，最终得出解不等式的集合。
正推反证法：通过推理判断得出不等式的解，其中正推法是根据不等式的性质进行推导和运算，而反证法则是通过推翻假设得出结论。
直接法：对不等式进行变形、化简和运算，得出解的过程。
不等式的基础知识：1. 加减法原则：若 a<b，则 a+c<b+c，a-c<b-c（c 为任意实数）。
2. 乘除法原则：若 a<b 且 c>0，则 ac<bc，a/c<b/c；若 a<b 且 c<0，则 ac>bc，a/c>b/c。
3. 平均值不等式：对于任意两个正数 a 和 b，有(a+b)/2>=√ab，等号当且仅当 a=b 时取到。
二、不等式的理论与定理1. 不等式传递性：若 a<b，b<c，则 a<c。
2. 柯西-施瓦茨不等式：对于任意两个实数序列a1,a2,...,an 和 b1,b2,...,bn，有(a1b1+a2b2+...+anbn)^2<=((a1^2+a2^2+...+an^2)(b1^2+b2^ 2+...+bn^2))，等号当且仅当 a1/b1=a2/b2=...=an/bn 时取到。
高一数学不等式知识点梳理
高一数学不等式知识点梳理在高中数学中，不等式是一个重要的概念和内容，在各个章节中都会涉及到不等式的相关知识和应用。
下面将对高一数学中的不等式知识点进行梳理和总结，以帮助同学们更好地理解和掌握不等式的相关内容。
一、不等式的基本概念1. 不等式的定义：不等式是数之间的大小关系的一种表示方式，用符号“<”、“>”、“≤”、“≥”等表示。
2. 不等式的解集：不等式的解集是使得不等式成立的所有实数的集合。
二、一元一次不等式1. 一元一次不等式的解法：(1) 通过绘制数轴法确定解集；(2) 利用性质将不等式转化为等价的形式求解。
2. 一元一次不等式的性质：(1) 加减性质：若a<b，则a±c<b±c（其中c为常数）；(2) 倒置性质：若a<b，则-b<-a；(3) 倍增性质：若a<b，则ac<bc（c>0）或ac>bc（c<0）；(4) 倒数性质：若a<b，则1/b<1/a（a>0，b>0）。
三、一元二次不等式1. 一元二次不等式的解法：(1) 使用根的性质来解决一元二次不等式；(2) 利用配方法将一元二次不等式转化成平方完全性质的形式求解。
2. 一元二次不等式的性质：(1) 零点性质：若x1、x2为一元二次不等式的解，则x1+x2=-b/a、x1*x2=c/a；(2) 符号性质：当a>0时，一元二次不等式y=ax²+bx+c的解集随x的增加而递增，当a<0时，解集随x的增加而递减；(3) 洛必达不等式：若0<a<b，则0<ln(a/b)<a/b<1。
四、绝对值不等式1. 绝对值不等式的解法：(1) 利用绝对值的定义进行讨论求解；(2) 利用绝对值的性质化简不等式，并得出解集。
2. 常见的绝对值不等式：(1) |x|<a（a>0）的解集为(-a, a)；(2) |x|>a（a>0）的解集为(-∞, -a)∪(a, +∞)；(3) |x-a|<b（b>0）的解集为(a-b, a+b)；(4) |x-a|>b（b>0）的解集为(-∞, a-b)∪(a+b, +∞)。
高一基本不等式知识点讲解
高一基本不等式知识点讲解在高中数学中，基本不等式是一个重要的知识点。
本文将对高一基本不等式的知识点进行详细的讲解。
一、不等式的定义和性质不等式是数学中用于表示大小关系的符号，包括大于（>）、小于（<）、大于等于（≥）、小于等于（≤）等。
在解不等式问题时，需要根据不等式的性质进行推导和分析。
1.1 大于和小于大于和小于是最基本的不等式关系。
对于两个实数a和b，如果a大于b，可以表示为a > b；如果a小于b，可以表示为a < b。
这种大小关系在数轴上可以直观地表示出来，通过比较两个实数在数轴上的位置来确定大小关系。
1.2 大于等于和小于等于大于等于和小于等于是包含了等于的不等式关系。
对于两个实数a和b，如果a大于等于b，可以表示为a ≥ b；如果a小于等于b，可以表示为a ≤ b。
这种不等式关系意味着两个数相等或者一个数大于另一个数。
在数轴上，可以用实心点表示。
二、基本不等式的证明和应用基本不等式是指一些常见且易证明的不等式，它们在解决实际问题时具有重要的作用。
接下来，我们将介绍几个常见的基本不等式及其应用。
2.1 三角不等式三角不等式是指对于任意实数a、b和c，有以下不等式成立：|a + b| ≤ |a| + |b|、|a - b| ≤ |a| + |b|。
这个不等式在解决绝对值问题和距离问题时特别有用。
2.2 平均不等式平均不等式是指对于任意一组非负实数x1、x2、...、xn，有以下不等式成立：（x1 + x2 + ... + xn）/n ≥ √(x1 * x2 * ... * xn)。
平均不等式在数论、代数等领域中有广泛的应用。
2.3 柯西不等式柯西不等式是指对于任意一组实数a1、a2、...、an和b1、b2、...、bn，有以下不等式成立：(a1 * b1 + a2 * b2 + ... + an * bn)²≤ (a₁² + a₂² + ... + an²)(b₁² + b₂² + ... + bn²)。
(完整版)高中数学不等式知识点总结
选修 4--5 知识点1、不等式的基本性质①（对称性） a b b a同向可加性）a b,c⑧（倒数法则）2、几个重要不等式用基本不等式求最值时（积定和最小，和定积最大） 三相等” .④ （可积性）a b,cac bca b ,c 0 acbc⑤ （同向正数可乘性）a b0,c d 0 acbdb 0,0cdab （异向正数可除性） cd⑥ （平方法则）a bna b n(n N,且n1)异向可减性）a b,c dN,且n b 1)a na n b(n③（三个正数的算术—几何平均不等式） abc33 abc(a 、b 、 cR ）（当且仅当a b c 时取到等号）②（传递性）a b,bc ac③（可加性） a bacbc⑦（开方法则） 11a b ;a22①a 2b 2 2aba ，,（当且仅当b时取 "" 号） . 变形公式：aba2 b22②（基本不等式）aba ，,（当且仅当 a b 时取到等号）变形公式： a 2 ababa b2，要注意满足三个条件“一正、二定、(a 2 b 2)(c 2 d 2) (ac bd ）2 （a,b,c,d R ）.当且仅当 ad bc 时，等号成立2ax⑨绝对值三角不等式3、几个著名不等式②幂平均不等式：④二维形式的柯西不等式：2④ab 22c ab bc ca a ， b R（当且仅当a b c 时取到等号） .3⑤ab33c 3abc(a 0,b 0,c 0)（当且仅当a b c 时取到等号） .若ab⑥0,则ba2ab （当仅当 a=b 时取等号）若ab b 0,则aa 2b (当仅当 a=b 时取等号）b b m1anbn a ⑦aa mb ，（其中a b 0，规律： 小于 1 同加则变大，大于 1 同加则变小 .⑧当a 0时，x22a x a x a 或 x a;m 0， n 0)1（a 1n ③二维形式的三角不等式： 22 a 1 a 2 2 a n a 2a n )2.22 x 1 y 122x 2 y 2(x 1 x 2)2 (y 1 y 2)2(x 1,y 1,x 2,y 2 R).a. b.①平均不等式： 211ababb a 2 b 2，（a,b R ，当且仅当 ab 时取 " "号） . （即调和平均 变形公式：几何平均 算术平均 平方平均） .aba b22abb 2(a b)2 20)⑤ 三维形式的柯西不等式：顺序和)，当且仅当 a1 a2 ... an 或 b1 b2 ... bn 时，反序和等于顺序和 ⑨琴生不等式 : (特例 :凸函数、凹函数)若定义在某区间上的函数f ( x),对于定义域中任意两点 x1,x2(x1 x2),有f(x 1 x 2)f(x 1) f(x 2)或 f(x 1 x 2) f (x 1) f(x 2).f (2 )2或 f (2 )2 .则称 f(x) 为凸(或凹)函数4、不等式证明的几种常用方法常用方法有：比较法(作差，作商法) 、综合法、分析法； 其它方法有：换元法、反证法、放缩法、构造法，函数单调性法，数学归纳法等 一化：化二次项前的系数为正数 二判：判断对应方程的根 . 三求：求对应方程的根 .2 2 2 2 2 2 (a 1 a 2 a3 )(b 1 b 2 b 3) (a 1b 1 a 2b 2⑥一般形式的柯西不等式：(a 12a 22... a n 2)(b 12b 22... b n 2) (a 1b 1⑦向量形式的柯西不等式：ur urur urur ur设 ,是两个向量，则,当且仅当等号成立 .⑧排序不等式( 排序原理)：设a 1 a 2... a n ,b 1 b 2bn为两组实数 a 1b n a 2b n 1... a n b 1a 1c 1 a 2c 2... a n c na 3b 3) .a 2b 2 ... a n b n ) .ur ur ur是零向量，或存在实数 k ，使 k 时， .c 1,c 2,...,c n是b 1,b 2,...,b n的任一排列，则①舍去或加上一些项，如 1(a12)234②将分子或分母放大(缩小) ，11,11如k 2 k(k 1),k 2k(k1),1 2 (k * N *,k1)等.kk k 15、一元二次不等式的解法2求一元二次不等式 ax bx c0(或12(a12)2;22 1 22 k k k k k k 1常见不等式的放缩方法：(a 0,2b 4ac 0)解集的步骤：四画：画出对应函数的图象 . 五解集：根据图象写出不等式的解集 . 规律：当二次项系数为正时，小于取中间，大于取两边 .6、高次不等式的解法：穿根法 . 分解因式，把根标在数轴上，从右上方依次往下穿(奇穿偶切) ，结合原式不等号的方向， 写出不等式的解集 .7、分式不等式的解法：先移项通分标准化，则f(x)0 f (x) g(x) 0 g(x)f(x) 0f (x) g(x) 0g(x) g(x) 0(“ 或 ”时同理)规律：把分式不等式等价转化为整式不等式求解 .8、无理不等式的解法：转化为有理不等式求解⑵当0 a 1时,a f(x) a g(x)f (x) g(x)规律：根据指数函数的性质转化 .10、对数不等式的解法f(x) 0log a f (x) log a g(x) g(x) 0⑴当a 1时,f(x) g(x)f(x)⑴a(a 0)f(x) f(x)f(x)⑵a(a 0)f(x) f(x) f(x) g(x) f(x)g(x) f(x) 0 02 [g(x)]2或f(x) 0 或g(x) 0 f(x)g(x) f(x)g(x) f(x)0 02[g(x)]2f(x)g(x)f (x) g(x) f (x) 0g(x) ⑸ 规律：把无理不等式等价转化为有理不等式，诀窍在于从“小”的一边分析求解 9、指数不等式的解法：⑴当 a 1时 ,af (x) a g(x)f (x) g(x)f (x) 0log a f(x) log a g(x) g(x) 0 .f (x) g(x)⑵当0 a 1时,规律：根据对数函数的性质转化.11、含绝对值不等式的解法：a (a 0)a.⑴定义法： a (a 0)2(x) g2(x).⑵平方法：f(x) g(x) f⑶同解变形法，其同解定理有：①x a a x a(a 0);或x a(a 0);②x a x a③ f (x) g(x) g(x) f (x) g(x) (g(x) 0)或f(x) g(x) (g(x) 0) 规律：关键是去掉绝对值的符号.④f (x) g(x) f(x) g(x)12、含有两个(或两个以上)绝对值的不等式的解法：规律：找零点、划区间、分段讨论去绝对值、每段中取交集，最后取各段的并集.13、含参数的不等式的解法2解形如ax bx c 0 且含参数的不等式时，要对参数进行分类讨论，分类讨论的标准有：⑴讨论a与0的大小；⑵讨论与0 的大小；⑶讨论两根的大小.14、恒成立问题c 0 的解集是全体实数(或恒成立)的条件是⑴不等式ax2 bx0 时b0,c 0;①当aa00.②当a0时⑵不等式ax2 bx c 0 的解集是全体实数(或恒成立)的条件是①当a 0 时b 0,c 0;a0②当a 0 时0.⑶f (x) a恒成立f (x)max a;f(x) a恒成立f(x)max a⑷ f (x) a 恒成立f (x)min a;f(x) a恒成立f(x)min a.15、线性规划问题常见的目标函数的类型：①“截距”型：zAx By;z ②“斜率”型：y z yx 或x b; a③“距离”型：z22x2 y2或z22 xyz (x a)2 (y b)2或z (x a)2(y b)2.在求该“三型” 的目标函数的最值时，可结合线性规划与代数式的几何意义求解，题简单化.从而使问。
高中数学不等式知识点汇总
不等式知识点归纳:一、不等式的概念与性质1、实数的大小顺序与运算性质之间的关系：0>-⇔>b a b a 0<-⇔<b a b a 0=-⇔=b a b a 2、不等式的性质：〔1〕a b b a <⇔> ， a b b a >⇔< 〔反对称性〕 〔2〕c a c b b a >⇒>>, ，c a c b b a <⇒<<, 〔传递性〕 〔3〕c b c a b a +>+⇒>，故b c a c b a ->⇒>+ 〔移项法那么〕 推论：d b c a d c b a +>+⇒>>, 〔同向不等式相加〕 〔4〕bc ac c b a >⇒>>0,，bc ac c b a <⇒<>0, 推论1：bd ac d c b a >⇒>>>>0,0 推论2：n n b a b a >⇒>>0 推论3：n n b a b a >⇒>>0不等式的性质是解、证不等式的根底，对于这些性质，关键是正确理解和熟练运用，要弄清每一个条件和结论，学会对不等式进展条件的放宽和加强。
3、常用的根本不等式和重要的不等式〔1〕0,0,2≥≥∈a a R a 当且仅当”取“==,0a 〔2〕ab b a R b a 2,,22≥+∈则 〔3〕+∈R b a ,，那么ab b a 2≥+〔4〕222)2(2b a b a +≤+4、最值定理:设,0,x y x y >+≥由〔1〕如积P y x P xy 2(有最小值定值），则积+=〔2〕如积22(）有最大值（定值），则积S xy S y x =+即:积定和最小，和定积最大。
运用最值定理求最值的三要素：一正二定三相等 5、均值不等式:两个正数的均值不等式：ab ba ≥+2三个正数的均值不等是：33abc c b a ≥++ n 个正数的均值不等式：nn n a a a na a a 2121≥+++6、四种均值的关系：两个正数b a 、的调和平均数、几何平均数、算术平均数、均方根之间的关系是2211222b a ba ab ba +≤+≤≤+ 小结:在不等式的性质中，要特别注意下面4点：1、不等式的传递性：假设a>b,b>c, 那么a>c,这是放缩法的依据，在运用传递性时，要注意不等式的方向，否那么易产生这样的错误：为证明a>c,选择中间量b,在证出a>b,c>b,后，就误认为能得到a>c 。
高中数学不等式公式总结(一)
高中数学不等式公式总结(一)前言•数学不等式是高中数学中的重要内容•掌握不等式的公式和方法对于解题至关重要•本文将对高中数学不等式公式进行总结和归纳正文一、基本不等式公式•加减法原则：对不等式两边同时加减一个相同的数，不等式方向不变•乘除法原则：对不等式左右两边同时乘除以一个相同的正数，不等式方向不变；当乘除以一个负数时，不等式方向反转•等式性质：如果a=b，则a在不等式中的某两侧存在一一对应关系•平方性质：如果a>b，则a²>b²二、基础不等式公式•比较常见字母大小：对于有a、b两个字母组成的不等式，如果a=，b=，则a>b•平均值不等式：对于n个正数a₁,a₂,…,aₙ，平均值不等式成立：(a₁+a₂+…+aₙ)/n ≥ √(a₁a₂…aₙ)•柯西不等式：对于实数a₁,a₂,…,aₙ和b₁,b₂,…,bₙ，柯西不等式成立：(a₁b₁+a₂b₂+…+aₙbₙ)² ≤(a₁²+a₂²+…+aₙ²)(b₁²+b₂²+…+bₙ²)•差平方不等式：对于任何实数x,y，差平方不等式成立：(x+y)² ≥ 4xy三、特殊不等式公式•AM-GM不等式：对于非负数a₁,a₂,…,aₙ，AM-GM不等式成立：(a₁+a₂+…+aₙ)/n ≥ √(a₁a₂…aₙ)•Schur不等式：对于非负实数a,b,c和非负整数r，Schur不等式成立：aᵣ(a-b)(a-c)+bᵣ(b-a)(b-c)+cᵣ(c-a)(c-b) ≥ 0•Holder不等式：对于p,q>1，1/p+1/q=1，实数a₁,a₂,…,aₙ和b₁,b₂,…,bₙ，Holder不等式成立：(a₁b₁+a₂b₂+…+aₙbₙ) ≤(a₁ᵖ+a₂ᵖ+…+aₙᵖ)¹/p (b₁q+b₂q+…+bₙq)¹/q结尾•本文对高中数学不等式公式进行了总结，并按照基本、基础和特殊不等式的分类进行了阐述•掌握这些不等式公式将为解题提供有力的工具•希望本文能为读者提供有用的数学知识，并提升解题能力。
数学基本不等式知识点(高中数学知识点复习资料归纳整理)
数学基本不等式知识点（高中数学知识点复习资料归纳整理）基本不等式【考纲要求】1. 了解基本不等式的证明过程，理解基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等；2. 会用基本不等式解决最大（小）值问题.3. 会应用基本不等式求某些函数的最值；能够解决一些简单的实际问题【知识网络】【考点梳理】考点一：重要不等式及几何意义1．重要不等式：如果，那么（当且仅当时取等号“=”）.2．基本不等式：如果是正数，那么（当且仅当时取等号“=”）.要点诠释：和两者的异同：（1）成立的条件是不同的：前者只要求都是实数，而后者要求都是正数；（2）取等号“=”的条件在形式上是相同的，都是“当且仅当时取等号”。
（3）可以变形为：，可以变形为：.3. 如图，是圆的直径，点C是AB上的一点，AC=a,BC=b，过点C作交圆于点D，连接AD、BD易证，那么，即.这个圆的半径为，它大于或等于CD，即，其中当且仅当点C与圆心重合，即a=b时，等号成立.要点诠释：1. 在数学中，我们称为a,b的算术平均数，称为a,b 的几何平均数. 因此基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.2. 如果把看作是正数的等差中项，看作是正数的等比中项，那么基本不等式可以叙述为：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项.考点二：基本不等式的证明1. 几何面积法如图，在正方形ABCD中有四个全等的直角三角形。
设直角三角形的两条直角边长为a、b，那么正方形的边长为。
这样，4个直角三角形的面积的和是2ab，正方形ABCD的面积为。
由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积，所以：。
当直角三角形变为等腰直角三角形，即a=b时，正方形EFGH缩为一个点，这时有。
得到结论：如果，那么（当且仅当时取等号“=”）特别的，如果a>0，b>0，我们用、分别代替a、b，可得：如果a>0，b>0，则，（当且仅当a=b时取等号“=”）.通常我们把上式写作：如果a>0，b>0，，（当且仅当a=b时取等号“=”）2. 代数法∵，当时，；当时，.所以，（当且仅当时取等号“=”）.特别的，如果，,我们用、分别代替、，可得：如果，,则，（当且仅当时取等号“=”）.通常我们把上式写作：如果，,，（当且仅当时取等号“=”）.要点三、用基本不等式求最大（小）值在用基本不等式求函数的最值时，应具备三个条件：一正二定三取等。
用数学归纳法证明不等式-高中数学知识点讲解
用数学归纳法证明不等式1．用数学归纳法证明不等式【知识点的认识】1．数学归纳法一般地，当要证明一个命题对于不小于某正整数n0 的所有正整数n 都成立时，可以用以下两个步骤：（1）证明当n＝n0 时命题成立；（2）假设当n＝k（k∈N+，且k≥n0）时命题成立，证明n＝k+1 时命题也成立．在完成了这两个步骤后，就可以断定命题对于不小于n0 的所有正整数都成立．这种证明方法称为数学归纳法．2．用数学归纳法证明时，要分两个步骤，两者缺一不可．（1）证明了第一步，就获得了递推的基础，但仅靠这一步还不能说明结论的正确性．在这一步中，只需验证命题结论成立的最小的正整数就可以了，没有必要验证命题对几个正整数成立．（2）证明了第二步，就获得了推理的依据．仅有第二步而没有第一步，则失去了递推的基础；而只有第一步而没有第二步，就可能得出不正确的结论，因为单靠第一步，我们无法递推下去，所以我们无法判断命题对n0+1，n0+2，…，是否正确．在第二步中，n＝k 命题成立，可以作为条件加以运用，而n＝k+1 时的情况则有待利用命题的已知条件，公理，定理，定义加以证明．完成一，二步后，最后对命题做一个总的结论．3．用数学归纳法证明恒等式的步骤及注意事项：①明确初始值n0 并验证真假．（必不可少）②“假设n＝k 时命题正确”并写出命题形式．③分析“n＝k+1 时”命题是什么，并找出与“n＝k”时命题形式的差别．弄清左端应增加的项．④明确等式左端变形目标，掌握恒等式变形常用的方法：乘法公式、因式分解、添拆项、配方等，并用上假设．1/ 2【解题方法点拨】1、观察、归纳、猜想、证明的方法：这种方法解决的问题主要是归纳型问题或探索性问题，结论如何？命题的成立不成立都预先需要归纳与探索，而归纳与探索多数情况下是从特例、特殊情况下入手，得到一个结论，但这个结论不一定正确，因为这是靠不完全归纳法得出的，因此，需要给出一定的逻辑证明，所以，通过观察、分析、归纳、猜想，探索一般规律，其关键在于正确的归纳猜想，如果归纳不出正确的结论，那么数学归纳法的证明也就无法进行了．在观察与归纳时，n 的取值不能太少，否则将得出错误的结论．例如证明n2＞2n 只观察前 3 项：a1＝1，b1＝2⇒a1＜b1；a2＝4，b2＝4⇒a2＝b2，a3＝9，b3＝8⇒a3＞b3，就此归纳出n2＞2n（n∈N+，n≥3）就是错误的，前n 项的关系可能只是特殊情况，不具有一般性，因而，要从多个特殊事例上探索一般结论．2．从“n＝k”到“n＝k+1”的方法与技巧：在用数学归纳法证明不等式问题中，从“n＝k”到“n＝k+1”的过渡中，利用归纳假设是比较困难的一步，它不像用数学归纳法证明恒等式问题一样，只需拼凑出所需要的结构来，而证明不等式的第二步中，从“n＝k”到“n＝k+1”，只用拼凑的方法，有时也行不通，因为对不等式来说，它还涉及“放缩”的问题，它可能需通过“放大”或“缩小”的过程，才能利用上归纳假设，因此，我们可以利用“比较法”“综合法”“分析法”等来分析从“n＝k”到“n＝k+1”的变化，从中找到“放缩尺度”，准确地拼凑出所需要的结构．2/ 2。
完整版高中数学不等式知识点总结3篇
完整版高中数学不等式知识点总结第一篇：基本不等式和二元平均数不等式一、基本不等式：基本不等式又称柯西不等式，是数学中重要的基本工具，对于解决不等式问题有重大意义。
基本不等式的形式如下：$$(a_1^2 + a_2^2 + … + a_n^2)(b_1^2 + b_2^2 + … + b_n^2) \geqslant (a_1b_1 + a_2b_2 + … + a_nb_n)^2$$其中$a_1,a_2,…,a_n$ 和$b_1,b_2,…,b_n$ 是任意实数。
基本不等式的证明过程多种多样，这里给出一种简单易懂的证明方法：设$x=a_1b_1+a_2b_2+…+a_nb_n$，则 $x^2$ 可以表示为：$$x^2={(a_1b_1+a_2b_2+…+a_nb_n)}^2$$$$={a_1}^2{b_1}^2+{a_2}^2{b_2}^2+…+{a_n}^2{b_n}^ 2+2a_1b_1a_2b_2+2a_1b_1a_3b_3+…+2a_{n-1}b_{n-1}a_nb_n$$又因为：$${a_1}^2+{a_2}^2+…+{a_n}^2\geqslant2a_1a_2+2a_1a_3+…+2a_{n-1}a_n$$$${b_1}^2+{b_2}^2+…+{b_n}^2\geqslant2b_1b_2+2b_1b_3+…+2b_{n-1}b_n$$因此：$${a_1}^2{b_1}^2+{a_2}^2{b_2}^2+…+{a_n}^2{b_n}^2 \geqslant 2a_1b_1a_2b_2+2a_1b_1a_3b_3+…+2a_{n-1}b_{n-1}a_nb_n$$故：$$x^2={a_1}^2{b_1}^2+{a_2}^2{b_2}^2+…+{a_n}^2{b_ n}^2+2a_1b_1a_2b_2+2a_1b_1a_3b_3+…+2a_{n-1}b_{n-1}a_nb_n$$$$\leqslant({a_1}^2+{a_2}^2+…+{a_n}^2)({b_1}^2+{ b_2}^2+…+{b_n}^2)$$即为所求基本不等式。
高中数学知识点归纳不等式的性质与求解方法
高中数学知识点归纳不等式的性质与求解方法高中数学知识点归纳——不等式的性质与求解方法不等式是数学中常见的一种关系表达式，它描述了两个数或者表达式之间大小的关系。
不等式是数学中重要且广泛应用的概念，在高中数学学习中，学生需要掌握不等式的性质及求解方法。
本文将对不等式的性质及求解方法进行归纳总结。
一、不等式的基本性质1. 不等式的传递性不等式的传递性是指如果a>b，b>c，则有a>c。
这个性质在求解不等式问题时经常会使用到。
2. 不等式的加减性对于不等式a>b和一个非负实数c，有以下结论：a+c > b+ca-c > b-c利用这个性质可以对不等式进行加减运算，从而简化不等式的形式。
3. 不等式的乘除性对于不等式a>b和一个正实数c，有以下结论：a*c > b*c (当c>0时)a*c < b*c (当c<0时)同样地，利用这个性质可以对不等式进行乘除运算，从而简化不等式的形式。
4. 不等式的倒置性对于不等式a>b，将不等式两边同时取负，得到-b>-a，即b<a。
这就是不等式的倒置性。
二、不等式的求解方法1. 图像法图像法是一种简单可行的不等式求解方法。
对于一元一次不等式，可以将其转化为一条直线，根据直线在数轴上的位置来判断不等式的解集。
2. 实数集合法通过观察不等式中的变量范围，结合实数集合的性质，可以得到不等式的解集。
例如，对于不等式2x-3<5，可以通过观察得到x的范围应该是(-∞, 4)。
3. 符号法符号法是一种常用的不等式求解方法，通过对不等式两边进行推导和变形，利用不等式的性质进行运算，最终得到不等式的解集。
4. 区间法对于一元一次不等式，可以通过构造不等式的区间来求解。
例如，对于不等式x+2>5，可以通过将不等式两边同时减去2，得到x>3，表示x的取值范围是(3, +∞)。
三、不等式的分类与求解1. 一元一次不等式一元一次不等式是最简单的一类不等式，通常形式为ax+b>c或者ax+b<c，其中a、b和c为已知实数，x为未知数。
(完整版)高中数学不等式知识点总结
(完整版)高中数学不等式知识点总结高中数学中，不等式是一个重要的内容，它是解决数学问题的一种有力工具。
不等式是一种用于描述数值的大小关系的数学语句，它包含“大于”、“小于”、“大于等于”、“小于等于”等符号。
在数学考试中，不等式问题常常出现在基础知识和综合应用的部分，所以对不等式的学习是非常必要的。
下面我将为大家总结一下高中数学中关于不等式的知识点。
一、不等式的基本概念1. 不等式的定义：不等式是数值之间大小关系的表达式，由关系符号和数值构成。
2. 关系符号的含义：- 大于：表示前面的数比后面的数要大，如a>b。
- 小于：表示前面的数比后面的数要小，如a<b。
- 大于等于：表示前面的数比后面的数大或相等，如a≥b。
- 小于等于：表示前面的数比后面的数小或相等，如a≤b。
二、不等式的性质及常用规则1. 不等式的性质：- 若a>b，则-a<-b。
- 若a>b，则a+c>b+c。
- 若a>b，则ac>bc（当c为正数时）。
- 若a>b，则ac<bc（当c为负数时）。
- 若a>b，且c>0，那么a/c>b/c。
- 若a>b，且c<0，那么a/c<b/c。
2. 不等式的常用规则：- 加法规则：若a>b，则a+c>b+c。
- 减法规则：若a>b，则a-c>b-c。
- 乘法规则：若a>b（c>0），则ac>bc；若a<b（c<0），则ac<bc。
- 除法规则：若a>b（c>0），则a/c>b/c；若a<b（c<0），则a/c<b/c。
- 对称性：若a>b，则-b<-a。
三、一元一次不等式1. 一元一次不等式的解集表示法：- 解集用区间表示。
- 开区间：解集中的数不包括端点。
- 闭区间：解集中的数包括端点。
2. 不等式的性质应用举例：- 若a>0，则-1/a<0。
高中数学不等式
高中数学不等式高中数学不等式一:高中数学不等式有哪些学问点不等式是高中数学的重要内容，不等式就是用不等号可以将两个解析式连接起来所成的式子。
下面是我为大家细心推举高中数学不等式学问点总结，盼望能够对您有所关心。
高中数学不等式学问点归纳不等式的含义一般地，用纯粹的大于号“”、小于号“”连接的不等式称为严格不等式，用不小于号(大于或等于号)“≥”、不大于号(小于或等于号)“≤”连接的不等式称为非严格不等式，或称广义不等式。
总的来说，用不等号(,,≥,≤,≠)连接的式子叫做不等式。
通常不等式中的数是实数，字母也代表实数，不等式的一般形式为F(x，y，……，z)≤G(x，y，……，z )(其中不等号也可以为，≤,≥，中某一个)，两边的解析式的公共定义域称为不等式的定义域，不等式既可以表达一个命题，也可以表示一个问题。
1.不等式性质比较大小方法：(1)作差比较法(2)作商比较法不等式的基本性质①对称性：a bb a②传递性: a b, b ca c③可加性: a b a + c b + c④可积性: a b, c 0ac bc⑤加法法则: a b, c d a + c b + d⑥乘法法则：a b 0, c d 0 ac bd⑦乘方法则：a b 0, an bn (n∈N)⑧开方法则：a b 02.算术平均数与几何平均数定理：(1)假如a、b∈R,那么a2 + b2 ≥2ab(当且仅当a=b时等号)(2)假如a、b∈R+,那么(当且仅当a=b时等号)推广：假如为实数，则重要结论(1)假如积xy是定值P，那么当x=y时，和x+y有最小值2;(2)假如和x+y是定值S，那么当x=y时，和xy有最大值S2/4。
3.证明不等式的常用方法：比较法：比较法是最基本、最重要的方法。
当不等式的两边的差能分解因式或能配成平方和的形式，则选择作差比较法;当不等式的两边都是正数且它们的商能与1比较大小，则选择作商比较法;遇到肯定值或根式，我们还可以考虑作平方差。
高中数学基本不等式知识点
高中数学基本不等式知识点1.不等式性质比较大小方法：(1)作差比较法(2)作商比较法不等式的基本性质①对称性：abba②传递性:ab,bcac③可加性:aba+cb+c④可积性:ab,c0acbc⑤加法法则:ab,cda+cb+d⑥乘法法则：ab0,cd0acbd⑦乘方法则：ab0,anbn(nN)⑧开方法则：ab02.算术平均数与几何平均数定理：(1)如果a、bR,那么a2+b22ab(当且仅当a=b时等号)(2)如果a、bR+,那么(当且仅当a=b时等号)推广：如果为实数，则重要结论(1)如果积某y是定值P，那么当某=y时，和某+y有最小值2;(2)如果和某+y是定值S，那么当某=y时，和某y有最大值S2/4。
3.证明不等式的常用方法：比较法：比较法是最基本、最重要的方法。
当不等式的两边的差能分解因式或能配成平方和的形式，则选择作差比较法;当不等式的两边都是正数且它们的商能与1比较大小，则选择作商比较法;碰到绝对值或根式，我们还可以考虑作平方差。
综合法：从已知或已证明过的不等式出发，根据不等式的性质推导出欲证的不等式。
综合法的放缩经常用到均值不等式。
4.不等式的解法(1)不等式的有关概念同解不等式：两个不等式如果解集相同，那么这两个不等式叫做同解不等式。
同解变形：一个不等式变形为另一个不等式时，如果这两个不等式是同解不等式，那么这种变形叫做同解变形。
提问：请说出我们以前解不等式中常用到的同解变形去分母、去括号、移项、合并同类项(2)不等式a某b的解法①当a0时不等式的解集是{某|某b/a}; ②当a0时不等式的解集是{某|某(3)一元二次不等式与一元二次方程、二次函数之间的关系(4)绝对值不等式|某|0)的解集是{某|-aa(a0)的解集是{某|某-a或某a｝，几何表示为：oo-a0a小结：解绝对值不等式的关键是-去绝对值符号(整体思想，分类讨论)转化为不含绝对值的不等式，通常有下列三种解题思路：(1)定义法：利用绝对值的意义，通过分类讨论的方法去掉绝对值符号;(2)公式法：|f(某)|af(某)a或f(某)-a;|f(某)|a-a(3)平方法：|f(某)|a(a0)f2(某)a2;|f(某)|a(a0)f2(某)a2;(4)几何意义(5)分式不等式的解法(6)一元高次不等式的解法数轴标根法把不等式化为f(某)0(或0)的形式(首项系数化为正)，然后分解因式，再把根按照从小到大的顺序在数轴上标出来，从右边入手画线，最后根据曲线写出不等式的解。
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第三章不等式定义：用不等号将两个解析式连结起来所成的式子。
3-1 不等式的最基本性质①对称性：如果x＞y，那么y＜x；如果y＜x，那么x＞y；②传递性：如果x＞y，y＞z；那么x＞z；③加法性质；如果x＞y，而z为任意实数，那么x＋z＞y ＋z；④乘法性质：如果x＞y，z＞0，那么xz＞yz；如果x＞y，z＜0，那么xz＜yz;（符号法则）3-2 不等式的同解原理①不等式F（x）＜G（x）与不等式G（x）＞F（x）同解。
②如果不等式F （x ） ＜ G （x ）的定义域被解析式H （ x ）的定义域所包含，那么不等式 F （x ）＜G （x ）与不等式F （x ）＋H （x ）＜G （x ）＋H （x ）同解。
③如果不等式F （x ）＜G （x ） 的定义域被解析式H （x ）的定义域所包含，并且H （x ）＞0，那么不等式F(x)＜G （x ）与不等式H （x ）F （x ）＜H （ x ）G （x ） 同解；如果H （x ）＜0，那么不等式F （x ）＜G （x ）与不等式H (x)F （x ）＞H （x ）G （x ）同解。
④不等式F （x ）G （x ）＞0与不等式0)x (G 0)x (F >>或0)x (G 0)x (F <<同解不等式解集表示方式F(x)>0的解集为x 大于大的或x 小于小的F(x)<0的解集为x 大于小的或x 小于大的 3-3 重要不等式3-3-1 均值不等式1、调和平均数： )a 1...a 1a 1(nH n21n +++= 2、几何平均数： n 1n 21n )a ...a a (G =3、算术平均数： n)a a a (A n 21n +++= 4、平方平均数： n )a ...a a (Q 2n 2221n +++=这四种平均数满足Hn ≤Gn ≤An ≤Qna1、a2、… 、an ∈R +，当且仅当a1=a2= … =an 时取“=”号3-3-1-1均值不等式的变形(1)对正实数a,b ，有2ab b a22≥+ (当且仅当a=b 时取“=”号)(2)对非负实数a,b ，有ab 2b a ≥+ (6)对非负数a,b ，有ab )2b a (b a 222≥+≥+ (7) 若,,a bc R +∈，有a b c ++≥a b c ==时成立）(8)对非负数a,b,c ，有ac bc ab c b a 222++≥++ (9)对非负数a,b ， 2b a 2b a ab 222b1a 1+≤+≤≤+ 3-3-1-1最值定理当两个正数的和一定时，其乘积有最大值；当两个正数的乘积一定时，其和有最小值。
均值不等式求最值主要方法：1.常见构造条件的变换：加项变换，系数变换，平方变换，拆项变换，常量代换，三角代换等.2.当使用均值定理时等号不能成立时，应考虑函数的单调性（例如“对号”函数，导数法）.3-3-2 权方和不等式 m n3211m n 321m n 1m n m 31m 3m 21m 2m 11m 1)b ...b b (b )a ...a a a (b a ....b a b a b a ++++++++>+++++++++ a,b,n 为正整数。
m 为正数。
3-4绝对值不等式|a +b |≤|a |+|b |||||||a b a b -≤+3-5 不等式例题解析3-5-1 绝对值不等式1、求2|55|1x x -+<的解2、右边的常数变为代数式(1)|x +1|>2－x ；(2)|2x －2x －6|<3x形如|()f x|>()g x型不等式f x|<()g x，|()这类不等式的简捷解法是等价命题法，即：①|()f x<()g xg x<()f x|<()g x⇔－()②|()f x<－()g x或()g xg x⇔()f x>()f x|>()3、两个绝对值不等式解不等式（1）|x－1|<|x+a|；（2）｜x-2｜+｜x+3｜>5.形如|()g x|型不等式f x|<|()1）此类不等式的简捷解法是利用平方法，即：|()g x|⇔22f x|<|()<⇔[()()][()()]f xg x()()+-<0f xg x f x g x2）所谓零点分段法，是指：若数x，2x，……，n x分别使含有1|x－x|，|x－2x|，……，|x－n x|的代数式中相应绝对值为零，称1x，1x，……，n x为相应绝对值的零点，零点1x，2x，……，n x将数轴分2为m+1段，利用绝对值的意义化去绝对值符号，得到代数式在各段上的简化式，从而化为不含绝对值符号的一般不等式来解，即令每项等于零，得到的值作为讨论的分区点，然后再分区间讨论绝对值不等式，最后应求出解集的并集。
零点分段法是解含绝对值符号的不等式的常用解法，这种方法主要体现了化归、分类讨论等数学思想方法，它可以把求解条理化、思路直观化。
例题．不等式|x+3|-|2x-1|<2x +1的解集为 。
解：|x+3|-|2x-1|=⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-≤-<<-+≥-)3(4)213(24)21(4x x x x x x 4、含参数绝对值不等式解关于x 的不等式 34422+>+-m m mx x［解题］原不等式等价于 3|2|+>-m m x当03>+m 即3->m 时， )3(232+-<-+>-m m x m m x 或∴3mx或x>m3<3-+当0m时，0|6m即3-=3=++x∴x≠-6|>当0m时，x∈Rm即3-<+3<方法归纳：形如|()f x|>a(a R∈)型不等式f x|<a，|()此类不等式的简捷解法是等价命题法，即：①当a>0时，|()f x>af x|<a⇔－a<()f x|>a⇔()f x<a；|()或()f x<－a；②当a=0时，|()f x≠0f x|>a⇔()f x|<a无解，|()③当a<0时，|()f x有意义。
f x|<a无解，|()f x|>a⇔()4、含参数绝对值不等式有解、解集为空和恒成立的问题若不等式|x－4|+|3－x|<a的解集为空集，求a的取值范围。
［思路］此不等式左边含有两个绝对值符号，可考虑采用零点分段法，即令每一项都等于0，得到的值作为讨论的分区点，然后再分区间讨论绝对值不等式，最后应求出解集的并集，这是按常规去掉绝对值符号的方法求解，运算量较大。
若仔细观察不等式左边的结构，利用绝对值的几何意义用数形结合方法或联想到绝对值不等式|a +b |≤|a |+|b |，便把问题简化。
［解题］解法一 (1)当a ≤0时，不等式的解集是空集。
(2)当a >0时，先求不等式|x －4|+|3－x |<a 有解时a 的取值范围。
令x －4=0得x =4，令3－x =0得x =3① 当x ≥4时，原不等式化为x －4+x －3<a ，即2x －7<a 解不等式组474272x a x x a≥⎧+⇒≤<⎨-<⎩，∴a >1 ② 当3<x <4时，原不等式化为4－x +x －3<a 得a >1 ③ 当x ≤3时，原不等式化为4－x +3－x <a 即7－2x <a解不等式377337222x a a x x a≤⎧--⇒<≤⇒<⎨-<⎩，∴a >1 综合①②③可知，当a >1时，原不等式有解，从而当0<a ≤1时，原不等式解集为空集。
由(1)(2)知所求a 取值范围是a ≤1解法二由|x －4|+|3－x |的最小值为1得当a >1时，|x －4|+|3－x |<a 有解从而当a ≤1时，原不等式解集为空集。
解法三： ∵a >|x －4|+|3－x |≥|x －4+3－x |=1 ∴当a >1时，|x －4|+|3－x |<a 有解 从而当a ≤1时，原不等式解集为空集。
方法总结：1）一题有多法，解题时需学会寻找最优解法。
2）()f x a ≤有解()min a f x ⇒≥；()f x a ≤解集为空集()min a f x ⇒<；这两者互补。
()f x a ≤恒成立()max a f x ⇒≥。
()f x a <有解()min a f x ⇒>；()f x a <解集为空集()min a f x ⇒≤；这两者互补。
()f x a <恒成立()max a f x ⇒>。
()f x a ≥有解()max a f x ⇒≤；()f x a ≥解集为空集()max a f x ⇒>；这两者互补。
()f x a ≥恒成立()min a f x ⇒≤。
()f x a >有解()max a f x ⇒<；()f x a >解集为空集()max a f x ⇒≤；这两者互补。
()f x a >恒成立()min a f x ⇒≤。
6、绝对值三参数不等式问题已知函数2()(,,)f x ax bx c a b c R =++∈，当[1,1]x ∈-时|()|1f x ≤，求证：(1)||1b ≤；(2)若2()(,,)g x bx ax c a b c R =++∈，则当[1,1]x ∈-时，求证：|()|2g x ≤。
［思路］本题中所给条件并不足以确定参数a,b,c 的值，但应该注意到：所要求的结论不是()b g x 或的确定值，而是与条件相对应的“取值范围”，因此，我们可以用()1-f 、(0)f 、()1f 来表示b a ,,c 。
因为由已知条件得|(1)|1f -≤，|(0)|1f ≤，|(1)|1f ≤。
［解题］证明：(1)由()()()()11,1[11]2f a b c f a b c b f f =++-=-+⇒=--，从而有11||[(1)(1)](|(1)||(1)|),|(1)|1,|(1)|1,221||(|(1)||(1)|) 1.2b f f f f f f b f f =--≤+-≤-≤∴≤+-≤ (2)由()()()()()()111,1[11],[11],(0),22f a b c f a b c b f f a c f f c f =++-=-+⇒=--+=+-= 从而 ()()1[11](0)2a f f f =+-- 将以上三式代入2()(,,)g x bx ax c abc R =++∈，并整理得22222211|()||(0)(1)(1)(1)(1)(1)|2211|(0)(1)||(1)(1)||(1)(1)|2211|(0)|1||(1)||1||(1)||1|221111|1||1||1|1(1)(1)222222g x f x f x f x f x f x f x f x f x f x x x x x x x x =-+++--≤-+++--=-+++--≤-+++-=-+++-=-≤ 收获1） 二次函数的一般式c bx ax y ++=2)0(≠c 中有三个参数c b a ,,. 解题的关键在于：通过三个独立条件“确定”这三个参数.2）本题变形技巧性强，同时运用公式||||||a b a b +≤+，||||||a b a b -≤+及已知条件进行适当的放大。