华罗庚学校数学课本（6年级下册）第07讲整数的分拆

华罗庚学校数学课本（6年级下册）第07讲整数的分拆
第七讲整数的分拆
整数分拆是数论中⼀个既古⽼⼜活跃的问题.把⾃然数n分成为不计顺序的若⼲个⾃然数之和
n=n1+n2+…＋n m（n1≥n2≥…≥n m≥1）的⼀种表⽰法，叫做n的⼀种分拆.对被加项及项数m加以⼀些限制条件，就得到某种特殊类型的分拆.早在中世纪，就有关于特殊的整数分拆问题的研究.1742年德国的哥德巴赫提出“每个不⼩于6的偶数都可以写成两个奇质数的和”，这就是著名的哥德巴赫猜想，中国数学家陈景润在研究中取得了突出的成果.下⾯我们通过⼀些例题，简单介绍有关整数分拆的基本知识.
⼀、整数分拆中的计数问题
例1有多少种⽅法可以把6表⽰为若⼲个⾃然数之和？
解：根据分拆的项数分别讨论如下：
①把6分拆成⼀个⾃然数之和只有1种⽅式；
②把6分拆成两个⾃然数之和有3种⽅式
6=5+1=4+2=3+3；
③把6分拆成3个⾃然数之和有3种⽅式
6=4+1+1=3+2+1=2+2+2；
④把6分拆成4个⾃然数之和有2种⽅式
6＝3＋1＋1＋1=2+2+1+1；
⑤把6分拆成5个⾃然数之和只有1种⽅式
6=2+1+1＋1＋1；
⑥把6分拆成6个⾃然数之和只有1种⽅式
6＝1+1+1+1+1+1.因此，把6分拆成若⼲个⾃然数之和共有
1+3+3＋2+1+1=11种不同的⽅法.
说明：本例是不加限制条件的分拆，称为⽆限制分拆，它是⼀类重要的分拆.
例2有多少种⽅法可以把1994表⽰为两个⾃然数之和？
解法1：采⽤有限穷举法并考虑到加法交换律：
1994=1993+1=1＋1993
=1992+2=2＋1992
=…
=998＋996=996+998
=997+997
因此，⼀共有997种⽅法可以把1994写成两个⾃然数之和.
解法2：构造加法算式：
于是，只须考虑从上式右边的1993个加号“+”中每次确定⼀个，并把其前、后的1分别相加，就可以得到⼀种分拆⽅法；再考虑到加法交换律，因此共有997种不同的分拆⽅式.
说明：应⽤本例的解法，可以得到⼀般性结论：把⾃然数n≥2表⽰为两个⾃然数之和，⼀共有k种不同的⽅式，其中
例3有多少种⽅法可以把100表⽰为（有顺序的）3个⾃然数之和？（例如，把3+5＋92与5+3+92看作为100的不同的表⽰法）
分析本题仍可运⽤例1的解法2中的处理办法.
解：构造加法算式
于是，考虑从上式右边的99个加号“+”中每次选定两个，并把它们所隔开的前、中、后三段的1分别相加，就可以得到⼀种分拆⽅法.因此，
把100表⽰为3个⾃然数之和有种不同的⽅式.
说明：本例可以推⼴为⼀般性结论：“把⾃然数n≥3表⽰为（有顺序
科奥林匹克数学竞赛第10题）.
例4⽤1分、2分和5分的硬币凑成⼀元钱，共有多少种不同的凑法？（第⼆届“华罗庚⾦杯”少年数学邀请赛决赛第⼆试第4题）
分析⽤1分、2分和5分硬币凑成⼀元钱与⽤2分和5分硬币凑成不超过⼀元钱的凑法数是⼀样的.于是，本题转化为：“有2分硬币50个，5分硬币20个，凑成不超过⼀元钱的不同凑法有多少种？
解：按5分硬币的个数分21类计数；
假若5分硬币有20个，显然只有⼀种凑法；
假若5分硬币有19个，则2分硬币的币值不超过100-5×19=5（分），于是2分硬币可取0个、1个、或 2个，即有3种不同的凑法；
假若5分硬币有18个，则2分硬币的币值不超过100-5×18=10（分），于是2分硬币可取0个、1个、2个、3个、4个、或5个，即有6种不同的凑法；
…如此继续下去，可以得到不同的凑法共有：
1+3+6+8+11＋13+16+18+21+…+48+51
=5×（1+3+6+8）+4×（10+20＋30+40）+51
=90＋400＋51
=541（种）.
说明：本例实际上是求三元⼀次不定⽅程x+2y+5z=100的⾮负整数解的组数.
上述例2、例3、例4都是有限制条件的特殊的整数分拆问题.
⼆、整数分拆中的最值问题
在国内外的数学竞赛试题中经常出现与整数分拆有关的最⼤值或最⼩值的问题.
例5试把14分拆为两个⾃然数之和，使它们的乘积最⼤.
解：由例2可知，把14分拆成两个⾃然数之和，共有7种不同的⽅式.对每⼀种分拆计算相应的乘积：
14=1＋13，1×13＝13；
14=2+12，2×12=24；
14=3＋11，3×11=33；
14=4＋10，4×10=40；
14=5＋9，5×9=45；
14=6+8，6×8=48；
14=7+7，7×7=49.
因此，当把14分拆为两个7之和的时候，乘积（7×7=49）最⼤.
说明：本例可以推⼴为⼀般性结论：“把⾃然数n≥2分拆为两个⾃然数a与b（a≥b）之和，使其积a×b取最⼤值的条件是a=b或a-b=1（a＞b）”.事实上，假设a-b=1＋m（其中m是⼀个⾃然数），显然n=a ＋b=（a-1）+（b＋1），⽽有（a-1）×（b＋1）＝a×b＋a-b-1＝a×b ＋m＞a×b.
换句话说，假设n=a+b且a-b＞1，那么乘积a×b不是最⼤的.这样，
例6试把14分拆为3个⾃然数之和，使它们的乘积最⼤.
分析由例5的说明可知，假设n＝a+b＋c（a≥b≥c）且a-c＞1时，乘积a×b×c不是最⼤的.换句话说，若n=a+b＋c（a≥b≥c），当a、b、c中的任意两数相等或差为1时，乘积a×b×c取最⼤值.
解：因为14=3×4＋2，由分析可知：当a=b=5且c=4时，乘积
a×b×c=5×5×4＝100为最⼤值.
说明：本题可以推⼴为⼀般结论：把⾃然数n≥3分拆为3个⾃然数a、
下⾯我们再研究⼀个难度更⼤的拆数问题.
问题：给定⼀个⾃然数N，把它拆成若⼲个⾃然数的和，使它们的积最⼤.
这个问题与前⾯研究的两个拆数问题的不同点是：问题中没有规定把N拆成⼏个⾃然数的和.这也正是这题的难点，使分拆的种类要增加许多.我们仍旧⾛实验-观察-归纳结论这条路.先选择较⼩的⾃然数5开始实验.并把数据列表以便⽐较.
实验表1：
结果：5拆成2＋3时，其积6最⼤.
你注意到了吗？我们的实验结果是按把5拆分数的个数多少，由多到少的次序进⾏的.再注意，当被拆数n＞3时（这⾥n=5），为了使拆分数的乘积最⼤，拆分数中不能有1.因为当n＞3，n=1+（n-1）=2+（n-2），且2×（n-2）＞1×（n-1）.
结果：7拆分成2＋2+3时.其积12最⼤.
注意，分拆数中有4时，总可把4再分拆成2与2之和⽽不改变分拆的乘积.
实验结果4：8拆分成2＋3+3时，其积最⼤.
实验结果5：9拆分成3+3+3时，其积最⼤.
实验结果6：10拆分成3+3+2＋2时，其积最⼤.
观察分析实验结果，要使拆分数的乘积最⼤，拆分数都由2与3组成，其形式有三种：
①⾃然数=（若⼲个3的和）；
②⾃然数=（若⼲个3的和）+2；
③⾃然数=（若⼲个3的和）+2＋2.
因此，我们得到结论：把⼀个⾃然数N拆分成若⼲个⾃然数的和，只有当这些分拆数由2或3组成，其中2最多为2个时，这些分拆数的乘积最⼤.（因为2+2+2=3+3，2×2×2＜3×3，所以分拆数中2的个数不能多于2个.）
例分别拆分1993、1994、2001三个数，使分拆后的积最⼤.
解：∵1993=664×3＋1.
∵1994=664×3＋2
∴1994分拆成（664个3的和）＋2时，其积最⼤.
∵2001=667×3∴2001分拆成（667个3的和）时，其积最⼤.
我们以上采⽤的“实验-观察-归纳总结”⽅法，在数学上叫做不完全归纳法.我国著名数学家华罗庚讲过：难处不在于有了公式去证明，⽽在于没有公式之前怎么去找出公式.不完全归纳法正是⼈们寻找公式的重要⽅法之⼀.但是这种⽅法得出的结论有时会不正确，所以所得结论还需要严格证明.这⼀步⼯作要等到学习了中学的课程才能进⾏.
习题七
1.两个⼗位数1111111111和9999999999的乘积中有⼏个数字是奇
数？
2.计算：
3.计算：9999×2222+3333×333
4.
4.在周长为18，边长为整数的长⽅形中，⾯积最⼤的长⽅形的长和
宽各是多少？
5.⽤6⽶长的篱笆材料在围墙⾓修建如下图所⽰的鸡圈.问鸡圈的长
与宽分别是多少时，鸡圈的⾯积最⼤？
6.把17、18两个⾃然数拆成若⼲个⾃然数的和，并分别求这些分拆的⾃然数的乘积的最⼤值.
DAAN
习题七解答
1.解：1111111111×9999999999
因此，这两个⼗位数的乘积中有10个数字是奇数.
2.1.
3.33330000.
4.长为5，宽为4.
5.当鸡圈的长=宽=3⽶时，鸡圈的⾯积最⼤.
6.17分拆成3＋3＋3＋3＋3＋2时，其乘积最⼤，最⼤值是35×2=486. 18分拆成6个3的和时，其积最⼤，最⼤值是36=729.。