利用圆锥曲线的定义解题
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= z - 5 . 又依题意可得 | z + 5| + | z - 5| = 6 . 由椭圆的定义知 , 复数 z 对应的点的轨迹是一 个椭圆 , 其直角坐标方程为 = 1. 6 2 6 9 4 ) ( ) 2 - ( 5) 2 2 2 θ, y = 2sinθ ( 0 ≤ θ< 2 π ) ,则 设 x = 3cos θ- sinθ- 2| | 2 x - 3 y - 12| = 6| cos π = 6| 2cos (θ+ ) - 2| , 4
( A) ( C)
x2
25
x
2
+
y2
9
y
2
= 1 . (B)
x2
9
x
2
+
y2
25
y
2
= 1.
( D) + = 1. + = 1. 16 25 25 16 2 2 过抛物线 y = 4 x 的焦点作直线 交 抛 物 线 于 A ( x 1 , y1 ) , B ( x 2 , y2 ) 两 点 , 若 x 1 + x 2 = 6 , 则
( ) | AB| = ( A) 10 . (B) 8 . ( C) 6 . ( D) 4 . 3 △A B C 中底边 B C = 12 , 其它两边 A B 和 A C 上 中线的和为 30 , 求此三角形重心 G 的轨迹方程 . 答案
1 ( D) . 2 ( B ) . 3 + = 1. 以 B C 100 64 所在直线为 x 轴 , B C 中垂线为 y 轴建立坐标系 .
n
n →∞
2 - 3
n
(
2 n ) - 3 3
n
= -
1 . 3
2n+1
lim
a + 2
n
2n+1
n →∞
2n - 3n+1
不存在 .
综上所述 ,
0 , 当 0 < | a| < 3 时 , = lim
an + 2
2n+1
n →∞
③ 当
( - 1) (
n n
a
=
n
-
3
时,
n
a + 2
2n - 3n+1
| PF1 | = a + ex 0 = 3 +
5 x , | PF2 | = a - ex 0 = 3 3 0
5 x , | F1 F2 | = 2 5 . 3 0 当 ∠F1 PF2 为钝角时 , cos ∠F1 PF2 = | PF1 | 2 + | PF2 | 2 - | F1 F2 | 2| PF1 | ・ | PF2 |
② 当 a =3 时,
lim
a + 2
n
1 3 因分 子 的 极 限 存 在 而 分 母 的 极 限 为 0 , 因 而
( a )
n
④ 当 | a| > 3 ,
an + 2
2n+1
( 1 + 2・
2
a
)
n
2n - 3n+1
=
2
- (
3
a
) n・
2n+1
n+1
1 + 2( = lim
n →∞
2 ) 3
.
1 1 , 即 | M F| = , 2 2 3x 1 ∴( - 1) 2 + ( y - 2) 2 = . 2 4 2 2 (x) ( y - 2) 2 3 整理得 + = 1. 1 1 9 4 即为所求 . 例 6 过椭圆左焦点 F 且倾斜角为 60° 的直线交 椭圆于 A , B 两点 , 若 | FA | = 2| FB | , 则椭圆的离心率 ( ) 为 1 2 ( A) . (B) . 2 3
( x
2
+
y
2
= 1 ,即
x
2
+
y
2
| GF1 | - | GF2 | = | HF1 | - | KF2 |
图1 例1图
故其最大值为 6| - 2 - 2| = 12 + 6 2 , 最小值为 12
- 6 2.
(
a
lim
3
) (
n
( + 2・
2 ) 3
n
n →∞
2 n ) - 3 3
= 0.
| M F|
例 4 ( 2000 年高考理 ( 14 ) 题 ) 椭圆
x
2
y
2
( C)
分析 :本题的解法很多 , 但如利用椭圆的第二定 义来解 , 则相当简捷 .
5 . 3 设 P ( x 0 , y 0 ) , 由椭圆的第二定义易知焦半径
解 显然 a = 3 , b = 2 , c = 5 , e =
( ) 圆与边 F1 F2 的切点位置是 ( A) 在线段 M N 内部 . (B) 在线段 F1 M 内部或线段 N F2 内部 . ( C) 点 M 或点 N . ( D) 不能确定的 . 分析 :若建立直角坐标系 , 利用代数的方法进行 求解 ,则相当繁琐困难 , 考虑利用曲线的定义来 解题 . 解 如 图 1 , 设 内 切圆 切 F1 F2 于 G , 切 PF1 于 H , 切 PF2 于 K. 当 P 在右支上时 , 得
( 收稿日期 :2001 - 09 - 21)
x2
y2
© 1994-2006 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved.
不存在 .
© 1994-2006 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved.
2001 年第 24 期 数学通讯
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=
例3 方程 ( x - 1) 2 + ( y - 2) 2 = | x - y + 5| ( ) 所表示的曲线为 (A) 圆. (B) 椭圆. (C) 抛物线. (D) 双曲线. 分析 :若直接将方程两边平方 , 展开变形可得 2 xy - 12 x + 6 y = 20 , 对于中学生来说无法判断曲线 类型 . 观察方程的特点 , 可从曲线的定义出发解题 . 解 将方程变形得 | x - y + 5| ( x - 1 ) 2 + ( y - 2) 2 = 2 ・ . 2 等式左边表示点 P ( x , y) 到定点 ( 1 , 2 ) 的距离 , 等式 右边为点 P ( x , y) 到定直线 x - y + 5 = 0 的距离的
2
<0,
∴ | PF1 | 2 + | PF2 | 2 < | F1 F2 | 2 ,
5 5 即 (3 + x ) 2 + (3 x ) 2 < 20 , 3 0 3 0 3 3 ∴< x0 < , 即为所求 . 5 5 例 5 ( 1984 年全国高 考题 ) 求 经 过 定 点 M ( 1 , 2) , 以 y 轴为准线 , 离心率 1 为 的椭圆左顶点的轨迹 2 方程 . 解 设椭圆左顶点为 ( P x , y ) , ∵椭圆以 y 轴为 图2 例5图 1 准线 , 离心率为 , 由椭圆 2 3x 第二定义易知左焦点为 F ( , y) . 2 M 到准线 ( y 轴) 的距离 d = 1 , 再由第二定义知
6
数 学 通 讯 2001 年第 24 期
利用圆锥曲线的定义解题
吴爱国
( 武汉三中 , 湖北 武汉 430050)
杜大权
( 石牌岭职业高中 , 湖北 武汉 430070)
定义是反映数学对象的本质属性和特征的思维 形式 . 对定义的深刻理解是提高解题能力的坚实基 础 , 但不少学生对圆锥曲线的定义的应用缺乏自觉 性 . 其实在处理某些解析几何问题时 , 若能结合圆锥 曲线的定义来考虑 , 可避免繁琐的计算过程 , 从而显 得简洁 、 明快 . 以下略举几例 , 说明圆锥曲线的定义 在解题中的应用 . 例 1 ( 1990 年全国高中数学联赛试题 ) 设双 曲线的左 、 右焦点是 F1 , F2 , 左 、 右顶点是 M , N , 若 △PF1 F2 的顶点 P 在双曲线上 , 则 △PF1 F2 的内切
+ 2(
2 ) 3
2n - 3n+1
=
-
1 ,当 a = 3 时 , 3
2 n ) - 3 3
2n+1
, 因 lim ( - 1 )
n →∞
不存在, 因而
不存在 , 当 a = - 3 或| a| > 3 时 .
( 收稿日期 :2001 - 06 - 10)
lim
a + 2
n →∞
2n - 3n+1
d
图3 例6图 2 2 . ( D) . 3 2 分析 :本题如果建立直角坐标系 , 引入椭圆方程 和直线方程再来计算 , 则过程复杂 . 解 作椭圆左准线 l , 过 A , B 分别作 l 的垂线 , 垂足分别为 M , N . 直线 A B 交 l 于点 P ( 如图 3) . 依椭圆第二定义知 | FA | | FB | = = e.FB | , ∴ | A N | = 2| B M | , ∴ B M 为 △PA N 的中位线 , ∴ | B P| = | A B | = 3| FB | , | A P| = 6| FB | . 又 ∵ ∠A FO = 60° , ∴ ∠A PN = 30° , 1 ∴ | A N | = | A P| = 3| FB | , 2 | FA | 2| FB | 2 故 e= = = . 故选 (B) . | A N | 3| FB | 3 下面提供几道题目 , 同学们不妨一试身手 , 体会 一下用定义法解题的乐趣 . 1 经过定点 F ( - 3 , 0 ) 且与圆 ( x - 3 ) 2 + y 2 = 100 ( ) 相切的动圆圆心 P 的轨迹方程是
= ( | HF1 | + | HP| ) - ( | KF2 | + | KP| ) = | PF1 | - | PF2 | , 由双曲线定义知 , G 在双曲线上 ,于是 G 与 N 重合. 同理 ,若点 P 在双曲线左支上 ,则 G 与 M 重合. 故选 ( C) .
例2 已知复数 z 1 = x + 5 + yi , z 2 = x - 5 + yi ( x , y ∈R) 且| z 1 | + | z 2 | = 6 , 求| 2 x - 3 y - 12| 的 最大值和最小值 . 分析 :若直接把 z 1 , z 2 代入等式再化简 , 过程比 较复杂 , 观察等式的特点后 , 可考虑利用曲线的定义 来解题 . 解 设 z = x + yi , x , y ∈R. 则 z 1 = z + 5 , z 2
2倍 . 等式说明点 P 到定点的距离与到定直线的距
离之比为 2 , 而 2 > 1 , 由曲线的定义可知点 P 的轨 迹是双曲线 . 故选 ( D) .
+ 9 4 = 1 的 焦 点 为 F1 , F2 , 点 P 为 其 上 的 动 点 , 当 ∠F1 PF2 为 钝 角 时 , 点 P 横 坐 标 的 取 值 范 围 是
( A) ( C)
x2
25
x
2
+
y2
9
y
2
= 1 . (B)
x2
9
x
2
+
y2
25
y
2
= 1.
( D) + = 1. + = 1. 16 25 25 16 2 2 过抛物线 y = 4 x 的焦点作直线 交 抛 物 线 于 A ( x 1 , y1 ) , B ( x 2 , y2 ) 两 点 , 若 x 1 + x 2 = 6 , 则
( ) | AB| = ( A) 10 . (B) 8 . ( C) 6 . ( D) 4 . 3 △A B C 中底边 B C = 12 , 其它两边 A B 和 A C 上 中线的和为 30 , 求此三角形重心 G 的轨迹方程 . 答案
1 ( D) . 2 ( B ) . 3 + = 1. 以 B C 100 64 所在直线为 x 轴 , B C 中垂线为 y 轴建立坐标系 .
n
n →∞
2 - 3
n
(
2 n ) - 3 3
n
= -
1 . 3
2n+1
lim
a + 2
n
2n+1
n →∞
2n - 3n+1
不存在 .
综上所述 ,
0 , 当 0 < | a| < 3 时 , = lim
an + 2
2n+1
n →∞
③ 当
( - 1) (
n n
a
=
n
-
3
时,
n
a + 2
2n - 3n+1
| PF1 | = a + ex 0 = 3 +
5 x , | PF2 | = a - ex 0 = 3 3 0
5 x , | F1 F2 | = 2 5 . 3 0 当 ∠F1 PF2 为钝角时 , cos ∠F1 PF2 = | PF1 | 2 + | PF2 | 2 - | F1 F2 | 2| PF1 | ・ | PF2 |
② 当 a =3 时,
lim
a + 2
n
1 3 因分 子 的 极 限 存 在 而 分 母 的 极 限 为 0 , 因 而
( a )
n
④ 当 | a| > 3 ,
an + 2
2n+1
( 1 + 2・
2
a
)
n
2n - 3n+1
=
2
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n →∞
2 ) 3
.
1 1 , 即 | M F| = , 2 2 3x 1 ∴( - 1) 2 + ( y - 2) 2 = . 2 4 2 2 (x) ( y - 2) 2 3 整理得 + = 1. 1 1 9 4 即为所求 . 例 6 过椭圆左焦点 F 且倾斜角为 60° 的直线交 椭圆于 A , B 两点 , 若 | FA | = 2| FB | , 则椭圆的离心率 ( ) 为 1 2 ( A) . (B) . 2 3
( x
2
+
y
2
= 1 ,即
x
2
+
y
2
| GF1 | - | GF2 | = | HF1 | - | KF2 |
图1 例1图
故其最大值为 6| - 2 - 2| = 12 + 6 2 , 最小值为 12
- 6 2.
(
a
lim
3
) (
n
( + 2・
2 ) 3
n
n →∞
2 n ) - 3 3
= 0.
| M F|
例 4 ( 2000 年高考理 ( 14 ) 题 ) 椭圆
x
2
y
2
( C)
分析 :本题的解法很多 , 但如利用椭圆的第二定 义来解 , 则相当简捷 .
5 . 3 设 P ( x 0 , y 0 ) , 由椭圆的第二定义易知焦半径
解 显然 a = 3 , b = 2 , c = 5 , e =
( ) 圆与边 F1 F2 的切点位置是 ( A) 在线段 M N 内部 . (B) 在线段 F1 M 内部或线段 N F2 内部 . ( C) 点 M 或点 N . ( D) 不能确定的 . 分析 :若建立直角坐标系 , 利用代数的方法进行 求解 ,则相当繁琐困难 , 考虑利用曲线的定义来 解题 . 解 如 图 1 , 设 内 切圆 切 F1 F2 于 G , 切 PF1 于 H , 切 PF2 于 K. 当 P 在右支上时 , 得
( 收稿日期 :2001 - 09 - 21)
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© 1994-2006 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved.
不存在 .
© 1994-2006 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved.
2001 年第 24 期 数学通讯
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例3 方程 ( x - 1) 2 + ( y - 2) 2 = | x - y + 5| ( ) 所表示的曲线为 (A) 圆. (B) 椭圆. (C) 抛物线. (D) 双曲线. 分析 :若直接将方程两边平方 , 展开变形可得 2 xy - 12 x + 6 y = 20 , 对于中学生来说无法判断曲线 类型 . 观察方程的特点 , 可从曲线的定义出发解题 . 解 将方程变形得 | x - y + 5| ( x - 1 ) 2 + ( y - 2) 2 = 2 ・ . 2 等式左边表示点 P ( x , y) 到定点 ( 1 , 2 ) 的距离 , 等式 右边为点 P ( x , y) 到定直线 x - y + 5 = 0 的距离的
2
<0,
∴ | PF1 | 2 + | PF2 | 2 < | F1 F2 | 2 ,
5 5 即 (3 + x ) 2 + (3 x ) 2 < 20 , 3 0 3 0 3 3 ∴< x0 < , 即为所求 . 5 5 例 5 ( 1984 年全国高 考题 ) 求 经 过 定 点 M ( 1 , 2) , 以 y 轴为准线 , 离心率 1 为 的椭圆左顶点的轨迹 2 方程 . 解 设椭圆左顶点为 ( P x , y ) , ∵椭圆以 y 轴为 图2 例5图 1 准线 , 离心率为 , 由椭圆 2 3x 第二定义易知左焦点为 F ( , y) . 2 M 到准线 ( y 轴) 的距离 d = 1 , 再由第二定义知
6
数 学 通 讯 2001 年第 24 期
利用圆锥曲线的定义解题
吴爱国
( 武汉三中 , 湖北 武汉 430050)
杜大权
( 石牌岭职业高中 , 湖北 武汉 430070)
定义是反映数学对象的本质属性和特征的思维 形式 . 对定义的深刻理解是提高解题能力的坚实基 础 , 但不少学生对圆锥曲线的定义的应用缺乏自觉 性 . 其实在处理某些解析几何问题时 , 若能结合圆锥 曲线的定义来考虑 , 可避免繁琐的计算过程 , 从而显 得简洁 、 明快 . 以下略举几例 , 说明圆锥曲线的定义 在解题中的应用 . 例 1 ( 1990 年全国高中数学联赛试题 ) 设双 曲线的左 、 右焦点是 F1 , F2 , 左 、 右顶点是 M , N , 若 △PF1 F2 的顶点 P 在双曲线上 , 则 △PF1 F2 的内切
+ 2(
2 ) 3
2n - 3n+1
=
-
1 ,当 a = 3 时 , 3
2 n ) - 3 3
2n+1
, 因 lim ( - 1 )
n →∞
不存在, 因而
不存在 , 当 a = - 3 或| a| > 3 时 .
( 收稿日期 :2001 - 06 - 10)
lim
a + 2
n →∞
2n - 3n+1
d
图3 例6图 2 2 . ( D) . 3 2 分析 :本题如果建立直角坐标系 , 引入椭圆方程 和直线方程再来计算 , 则过程复杂 . 解 作椭圆左准线 l , 过 A , B 分别作 l 的垂线 , 垂足分别为 M , N . 直线 A B 交 l 于点 P ( 如图 3) . 依椭圆第二定义知 | FA | | FB | = = e.FB | , ∴ | A N | = 2| B M | , ∴ B M 为 △PA N 的中位线 , ∴ | B P| = | A B | = 3| FB | , | A P| = 6| FB | . 又 ∵ ∠A FO = 60° , ∴ ∠A PN = 30° , 1 ∴ | A N | = | A P| = 3| FB | , 2 | FA | 2| FB | 2 故 e= = = . 故选 (B) . | A N | 3| FB | 3 下面提供几道题目 , 同学们不妨一试身手 , 体会 一下用定义法解题的乐趣 . 1 经过定点 F ( - 3 , 0 ) 且与圆 ( x - 3 ) 2 + y 2 = 100 ( ) 相切的动圆圆心 P 的轨迹方程是
= ( | HF1 | + | HP| ) - ( | KF2 | + | KP| ) = | PF1 | - | PF2 | , 由双曲线定义知 , G 在双曲线上 ,于是 G 与 N 重合. 同理 ,若点 P 在双曲线左支上 ,则 G 与 M 重合. 故选 ( C) .
例2 已知复数 z 1 = x + 5 + yi , z 2 = x - 5 + yi ( x , y ∈R) 且| z 1 | + | z 2 | = 6 , 求| 2 x - 3 y - 12| 的 最大值和最小值 . 分析 :若直接把 z 1 , z 2 代入等式再化简 , 过程比 较复杂 , 观察等式的特点后 , 可考虑利用曲线的定义 来解题 . 解 设 z = x + yi , x , y ∈R. 则 z 1 = z + 5 , z 2
2倍 . 等式说明点 P 到定点的距离与到定直线的距
离之比为 2 , 而 2 > 1 , 由曲线的定义可知点 P 的轨 迹是双曲线 . 故选 ( D) .
+ 9 4 = 1 的 焦 点 为 F1 , F2 , 点 P 为 其 上 的 动 点 , 当 ∠F1 PF2 为 钝 角 时 , 点 P 横 坐 标 的 取 值 范 围 是