费米狄拉克统计

费⽶狄拉克统计

费⽶–狄拉克统计[编辑]

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费⽶–狄拉克统计（英语：Fermi–Dirac statistics），有时也简称费⽶统计、FD统计，在统计⼒学中⽤来描述由⼤量满⾜泡利不相容原理的费⽶⼦组成的系统中，粒⼦处在不同量⼦态上的统计规律。

这个统计规律的命名来源于恩⾥科·费⽶和保罗·狄拉克，他们分别独⽴地发现了这⼀统计规律。不过费⽶在数据定义⽐狄拉克稍早。[1][2]

费⽶–狄拉克统计的适⽤对象是，热平衡时⾃旋量⼦数为半奇数的粒⼦。除此之外，应⽤此统计规律的前提是，系统中各粒⼦之间的相互作⽤可以忽略不计。这样，就可以⽤粒⼦在不同定态的分布状况来描述⼤量微观粒⼦组成的宏观系统。不同的粒⼦分处于不同的能态上，这⼀特点对系统许多性质会产⽣影响。费⽶–狄拉克统计适⽤于⾃旋量⼦数为半奇数的粒⼦，这些粒⼦也被称为费⽶⼦。由于电⼦的⾃旋量⼦数为1/2，因此它是费⽶–狄拉克统计最普遍的应⽤对象。费⽶–狄拉克统计是统计⼒学的重要组成部分，它利⽤了量⼦⼒学的⼀些原理。

⽬录

[隐藏]

1 概述

2 历史

3 费⽶–狄拉克分布

o 3.1 粒⼦的能量分布

4 量⼦范畴和经典范畴

5 参考⽂献

6 相关条⽬

概述[编辑]

函数反对称，在费⽶⼦的某⼀个能级上，最多只能容纳⼀

个粒⼦。因⽽符合费⽶–狄拉克统计分布的粒⼦，当他们

处于某⼀分布（“某⼀分布”指这样⼀种状态：即

在能量为的能级上同时有个粒⼦存在着，不难

想象，当从宏观观察体系能量⼀定的时候，从微观⾓度观察体系可能有很多种不同的分布状态，⽽且在这些不同的分布状态中，总有⼀些状态出现的⼏率特别的⼤，⽽其中出现⼏率最⼤的分布状态被称

为最可⼏分布）时，体系总状态数为：

费⽶–狄拉克统计的最可⼏分布的数学表达式为：

由于费⽶-狄拉克统计在数学处理上⾮常困难，因此在处理实际问题时经常引⼊⼀些近似条件，使费⽶-狄拉克统计退化成为经典的麦克斯韦-玻尔兹曼统计。此外，对于玻⾊⼦，也有对应的玻⾊-爱因斯坦统计予以处理。

历史[编辑]

1926年发现费⽶–狄拉克统计之前，要理解电⼦的某些性质尚较为困难。例如，在常温下，未施加电流的⾦属内部的热容⽐施

加电流的⾦属少了⼤约100倍。此外，在常温下给⾦属施加⼀强电场，将造成场致电⼦发射（Field electron emission）现象，从⽽产⽣电流流经⾦属。研究发现，这个电流与温度⼏乎⽆关。当时的理论难以解释这个现象。[3]

当时，由于⼈们主要根据的是经典静电学理论，因此在诸如⾦属电⼦理论等⽅⾯遇到的困难，⽆法得到令⼈满意的解答。他们认为，⾦属中所有电⼦都是等效的。也就是说，⾦属中的每个电⼦都以相同的程度对⾦属的热量做出贡献（这个量是波尔兹曼常数的⼀次项）。上述问题⼀直困扰着科学家，直到费⽶–狄拉克统计的发现，才得到较好地解释。

1926年，恩⾥科·费⽶、保罗·狄拉克各⾃独⽴地在发表了有关这⼀统计规律的两篇学术论⽂。[1][2]。另有来源显⽰，P·乔丹（Pascual Jordan）在1925年也对这项统计规律进⾏了研究，他称之为“泡利统计”，不过他并未及时地发表他的研究成果。[4]狄拉克称此项研究是费⽶完成的，他称之为“费⽶统计”，并将对应的粒⼦称为“费⽶⼦”。

1926年，拉尔夫·福勒在描述恒星向⽩矮星的转变过程中，⾸次应⽤了费⽶–狄拉克统计的原理。[5]1927年，阿诺·索末菲将费⽶–狄拉克统计应⽤到他对于⾦属电⼦的研究中。[6]。

1928年，福勒和L·W·诺德汉（Lothar Wolfgang Nordheim）在场致电⼦发射的研究中，也采⽤了这⼀统计规律。[7]直⾄今⽇，费⽶–狄拉克统计仍然是物理学的⼀个重要部分。

费⽶–狄拉克分布[编辑]

根据费⽶–狄拉克分布，给定费⽶⼦组成的系统中处于量⼦态上的平均粒⼦数可以通过下⾯的式⼦计算[8]

其中是波尔兹曼常数，为绝对温度（热⼒学温标），为量⼦态上单个粒⼦的能量，是化学势。当时，化学势就是系统的费⽶能。半导体中电⼦的费⽶能，也被被称为费⽶能级。[9][10]

要应⽤费⽶–狄拉克统计，系统必须满⾜⼀定的条件：系统的费⽶⼦数量必须⾜够⼤，以⾄于再加⼊⼀个费⽶⼦所引起化学势的变化可以忽略不计。[11]由于费⽶–狄拉克统计的推导过程中利⽤了泡利不相容原理，即单个量⼦态上最多能有⼀个粒⼦，这样的结果就是某个量⼦态上的平均量⼦数满⾜。[12]

费⽶–狄拉克分布

平均粒⼦数和能量的关系，当温度较⾼时，平均粒⼦数的变化更加平缓。当，。

不过，图中未能展现，当温度更⾼时，会下降。[13]

平均粒⼦数和温度的关系（当）

（点击图⽚可以获得完整尺⼨）

粒⼦的能量分布[编辑]

当，温度在50开尔⽂与375开尔⽂之间取离散值时，费⽶函数）和能量值之间的关系曲线。

前⾯的章节叙述了给定费⽶⼦系统在不同量⼦态上的分布，⼀个量⼦态上最多只能具有⼀个费⽶⼦。利⽤费⽶–狄拉克统计，还可以获得费⽶⼦系统不同能量值上的分布情况，这与分析量⼦态的原理略有不同，因为可能出现多个定态具有同⼀能量值，即出现所谓的简并能量态情况。

将费⽶–狄拉克统计中某个量⼦态上的平均粒⼦数与简并度（即能量值为的量⼦态数）相乘，就可以得到能量为的平均费⽶⼦数。[14]

当时，可能出现。导致这个现象的原因前⾯提到过，即具有同⼀个能量值的粒⼦可能处于不同的定态，也就是说完全可能出现多个粒⼦处于同⼀能量值。

当⼀个系统的能量是准连续（quasi-continuum）的，定义其单位体积内单位能量域的量⼦态数为状态密度。[14]，单位能量域的平均费⽶⼦数为