二倍角的正弦、余弦、正切公式 课件

意向转换，逆用公式，应用时要对公式特点有一个整体
感知．主要逆用形式：2sinαcosα＝sin2α；cosα＝s2isni2nαα；
cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α＝cos2α；
2tanα 1－tan2α
＝tan2α.
[例2] 求下列各式的值：
(1)cosπ5cos25π；
＝1＋c2os2β－cos2β[sin2α＋12(1－2sin2α)]
＝1＋c2os2β－12cos2β＝12.
解法三：(从“幂”入手，利用降幂公式先降次)
原式＝
1－cos2α 2
1－cos2β ·2
＋
1＋cos2α 2
1＋cos2β ·2
－
1 2
cos2α·cos2β
＝
1 4
(1＋cos2α·cos2β－cos2α－cos2β)＋
[例3] 化简：sin2α·sin2β＋cos2α·cos2β－12cos2αcos2β.
[解析] 解法一：(从“角”入手，复角化单角) 原式＝sin2α·sin2β＋cos2α·cos2β－12(2cos2α－1)(2cos2β－1) ＝sin2α·sin2β＋cos2α·cos2β－12(4cos2α·cos2β－2cos2α－2cos2β ＋1) ＝sin2α·sin2β－cos2α·cos2β＋cos2α＋cos2β－12
自主预习 阅读教材P132－135回答下列问题． 二倍角的正弦、余弦、正切公式如下表
三角函数
公式
正弦 in2α＝ 2sinαcosα
余弦
cos2α＝cos2α－sin2α ＝ 2cos2α－1 ＝ 1－2sin2α
正切
2tanα tan2α＝ 1－tan2α
简记 S(α＋β) S2α C(α＋β) C2α
＝sin2α·sin2β＋cos2α(1－cos2β)＋cos2β－12 ＝sin2α·sin2β＋cos2αsin2β＋cos2β－12 ＝sin2β(sin2α＋cos2α)＋cos2β－12 ＝sin2β＋cos2β－12＝1－12＝12.
解法二：(从“名”入手，异名化同名) 原式＝sin2α·sin2β＋(1－sin2α)·cos2β－12cos2α·cos2β ＝sin2α·sin2β＋cos2β－sin2α·cos2β－12cos2α·cos2β ＝cos2β－sin2α(cos2β－sin2β)－12cos2α·cos2β ＝cos2β－sin2α·cos2β－12cos2α·cos2β ＝cos2β－cos2β·(sin2α＋12cos2α)
1 4
(1＋cos2α·cos2β＋
cos2α＋cos2β)－12cos2α·cos2β
＝14＋14＝12.
命题方向 倍角公式的变形应用
要求思考问题时要因势利导，融会贯通，有目的地活用
公式．变形用公式形式：
1±sin2α＝sin2α＋cos2α±2sinαcosα＝(sinα±cosα)2；1＋
cos2α＝2cos2α；1－cos2α＝2sin2α；cos2α＝
1＋cos2α 2
；sin2α
＝1－c2os2α.
5
cos π
5
sin ＝
5π＝
sin5π＝14.
2sin5 4sin5 4sin5
(2)原式＝1－22cos28π＝－2cos228π－1
＝－12cos4π＝－
2 4.
(3)原式＝tan21π2π－1 tan12
＝－2×1－tanπ21π2 2tan12
＝－2×ta1nπ6＝－332＝－2 3.
规律总结：解决此类题目时，应善于观察三角函数式的 特点，常变形后正用或逆用公式来解决．本题中，若求出 cos5π、cos25π、cosπ8、tan1π2的值，则会使问题复杂化．
从题设出发，顺着问题的线索，符合公式的特点，直接 应用倍角公式．
[例1] 已知sinα＝45，求sin2α、cos2α、tan2α的值．
[分析] 已知sinα，则cos2α＝1－2sin2α可直接求得，欲求 sin2α，须先求cosα，从而可知tanα，进而求出tan2α，因此关 键是求cosα，应注意开方时符号的选取．
(2)12－cos28π；
(3)tan1π2－
1 π.
tan12
[分析]
第(1)题可根据
2π 5
是
π 5
的2倍构造二倍角的公式求
值；第(2)(3)题需将所求的式子变形，逆用二倍角公式化简求
值．
[解析]
π π 2π (1)原式＝2sin5cos5πcos 5
2sin5
2π 2π 4π π
sin ＝
T(α＋β) T2α
[总结]对倍角公式的理解： ①成立的条件：在公式S2α，C2α中，角α可以为任意角， T2α则只有当α≠k2π＋π4(k∈Z)时才成立． ②倍角公式不仅限于2α是α的二倍形式，其他如4α是2α的 二倍、α是α2的二倍、3α是32α的二倍等等都是适用的．
命题方向 倍角公式的正用
[解析] ∵sinα＝45，∴α为第一或第二象限角． (1)当α为第一象限角时， cosα＝ 1－sin2α＝35，tanα＝43， sin2α＝2sinαcosα＝2×45×35＝2245， cos2α＝1－2sin2α＝－275，
tan2α＝1－2tatannα2α＝12－×43432＝－274
24 或tan2α＝csoins22αα＝－25275＝－274.
(2)当α为第二象限角时， cosα＝－ 1－sin2α＝－35， sin2α＝2sinαcosα＝2×45×(－35)＝－2245， cos2α＝1－2sin2α＝－275，tan2α＝csoins22αα＝274.
命题方向 倍角公式的逆用
二倍角的正弦、余弦、正切公式
新课引入 如下图(甲)所示，已知弓弦的长度AB＝2a，弓箭的长度 MN＝2b(其中MA＝MB，MN⊥AB)．假设拉满弓时，箭头和箭 尾到A、B的连线的距离相等(如下图(乙)所示)，设∠AMN＝ α，你能用a，b表示∠AMB的正切值即tan2α的值吗？
tan2α与tanα之间存在怎样的关系呢？