2019届福建省东山县第二中学高三上学期第三次月考数学(文)试题

东山二中2019届高三（上）文科数学月考3试卷
一、选择题：（本大题共12小题，每小题只有一个正确选项，每小题5分，共60分） 1、已知集合，，则
（ ）
A.
B.
C.
D.
2、某校初三年级有400名学生，随机抽查了40名学生，测试1分钟仰卧 起坐的成绩（次数），将数据整理后绘制成如图所示的频率分布直方图. 用样本估计总体，下列结论正确的是（ ） A. 该校初三年级学生1分钟仰卧起坐 的次数的中位数为25次
B. 该校初三年级学生1分钟仰卧起坐 的次数的众数为25次
C. 该校初三年级学生1分钟仰卧起坐的 次数少于20次的人数约为8人.
D. 该校初三年级学生1分钟仰卧起坐的次数超过30次的人数约有80人
3、设S n 是数列{a n }的前n 项和，若S n ＝2a n －3，则S n ＝( )
A ．2n
＋1 B ．2
n ＋1
－1 C ．3·2n －3 D ．3·2n
－1
4、已知双曲线的离心率为，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A. B.
C. D.
5、某几何体的三视图如图，则几何体的体积为( ) A. 8π+16 B. 8π-16 C. 16π﹣8 D. 8π+8
6、执行如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的的值为（ ）
A. B. C. D.
7、已知函数
的图象向
右平移个单位长度后，得到函数的图象，
则下列是函数的图象的对称轴方程的为( )
A. B.
C.
D.
8、已知函数
的最小正周期为，
则当时，函数的值域是（ ）
A.
B.
C.
D.
9、已知正四棱锥的顶点均在球上，且该正四棱锥的各条棱长均为，
则球的表面积为( )
A. B. C. D.
10、已知命题：椭圆与双曲线
有相同的焦点；
命题：函数的最小值为. 下列命题为真命题的是( )
A. B.
C.
D.
11、已知三角形中，
，
，连接并取线段的中点，
则的值为（ ）
A.
B. 15
-
4
C. D. 12、已知函数
若函数
有个零点，
则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C.
D.
二、填空题：(本大题共4小题，每小题5分，共20分
)
13、在复平面内，复数和对应的点分别是和
，则
12
1
1z z -=- 14、设，满足约束条件，则的最小值为__________．
15、在半径为的圆内任取一点，以点为中点的弦的弦长小于的概率为________.
16、△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知．
若c=
，则△ABC 的周长的最大值是 ．
三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17、（本小题满分12分）
已知等差数列{a n }满足：a 3＝7，a 5＋a 7＝26，{a n }的前n 项和为S n .
(1)求a n 及S n ； (2)令b n ＝1a 2
n －1
(n ∈N *
)，求数列{b n }的前n 项和T n .
18、（本小题满分12分） 在多面体中，
为等边三角形，四边形
为菱形，
平面
平面
，，
.
（1）求证：； （2）求点到平面距离.
19、（本小题满分12分）
为了解少年儿童的肥胖是否与常喝碳酸饮料有关,现对30名小学六年级学生进行了问卷调查,并得到如下列联表.平均每天喝500ml 以上为“常喝”,体重超过50kg 为“肥胖”.
已知在全部30人中随机抽取1人,抽到肥胖的学生的概率为4
15
. 1.请将上面的列联表补充完整
2.是否有99.5%的把握认为肥胖与常喝碳酸饮料有关?请说明你的理由
3.已知常喝碳酸饮料且肥胖的学生中恰有2名女生,现从常喝碳酸饮料且肥胖的学生中随机抽取2人参加一个有关健康饮食的电视节目,求恰好抽到一名男生和一名女生的概率.
参考数据:
＝
n ad－bc2
a＋b c＋d a＋c b＋d
，其中
20、（本小题满分12分）
已知椭圆:的一个焦点与抛物线的焦点重合，且过点.过点的直
线交椭圆于，两点，为椭圆的左顶点.
(Ⅰ)求椭圆的标准方程；
(Ⅱ)求面积的最大值，并求此时直线的方程.
21、（本小题满分12分）
已知函数，曲线在点处的切线方程为.
（1）求，的值；
（2）当时，恒成立，求实数的取值范围.
请考生在22、23、二题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22、（本小题满分10分）[选修4-4：坐标系与参数方程]
在平面直角坐标系中，曲线的参数方程是(为参数)，以原点为极点，轴正半轴为极轴，建立极坐标系，直线的极坐标方程为.
(Ⅰ)求曲线的普通方程与直线的直角坐标方程；
(Ⅱ)已知直线与曲线交于，两点，与轴交于点，求.
23．（本小题满分10分）[选修4-5：不等式选讲]
已知，.
（1）若，求不等式的解集；
（2）若时，的解集为空集，求的取值范围.
2019届高三（上）文月考3数学参考答案
DDCA BCBD CBBA
13、i 14、
13 15、3
4
16、17. 解 (1)设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d .
因为a 3＝7，a 5＋a 7＝26，
所以⎩
⎪⎨
⎪⎧
a 1＋2d ＝7，
2a 1＋10d ＝26， 解得⎩
⎪⎨
⎪⎧
a 1＝3，
d ＝2.
所以a n ＝3＋2(n －1)＝2n ＋1， S n ＝3n ＋n n －1
2
×2＝n 2
＋2n .
(2)由(1)知a n ＝2n ＋1， 所以b n ＝
1
a 2
n －1
＝12n ＋1
2
－1＝14·1n
n ＋1＝14·⎝ ⎛⎭
⎪⎫1
n －1n ＋1， 所以T n ＝14·(1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1)＝14·(1－1
n ＋1)＝
n
4n ＋1
， 即数列{b n }的前n 项和T n ＝n
4n ＋1
.
18、【答案】(1)见解析；（2）. 【解析】：（1）取中点，连接，
,由正三角形的性质可得，由线面垂直的判定定理可得
面
，，从而可得；（2）由面面
，面
，从而得
，
由勾股定理可得
，从而求得，设点到面
的距离为，由
即
，从而可得结果.
试题解析：（1）证明：取中点，连接
，
.∵
为等边三角形，∴
，
∵四边形为菱形， ∴为等边三角形，∴，
又∵，∴面，∵面
，∴.
（2）∵面面，，面面，面
，
∴面
，∵面，∴
.
∵在中，
，
由（1）得，因为
，
且，∵
，
设点到面的距离为.
∵
即
.
即，∴.
19、答案：1.设全部30人中的肥胖学生共x名,则
24
3015
x+
=,解得6
x=.
∴常喝碳酸饮料且肥胖的学生有6名.列联表如下:
2.有;
理由:由已知数据可求得
()2
2
3061824
8.5227.879
1020822
K
⨯⨯-⨯
=≈>
⨯⨯⨯
,
因此有99.5%的把握认为肥胖与常喝碳酸饮料有关.
3.根据题意,可设常喝碳酸饮料的肥胖男生为,,,
A B C D,女生为,E F,则任取两人,
可能的结果有,,,,,,,?,,?,?,?,?,,?,?
AB AC AD AE AF BC BD BE BF CD CE CF DE DF EF共15种,其中一男一女有,,,,,,,
AE AF BE BF CE CF DE DF, 共8种.
故正好抽到一男一女的概率为
8 15
20、【答案】（1）；（2）直线l的方程为x＝1.
【解析】试题：(1)利用椭圆和抛物线有一个公共焦点和点在椭圆上进行求解；(2) 联立直线和椭圆的方程，得到关于的一元二次方程，再利用根与系数的关系、弦长公式和基本不等式进行求解.
试题解析：(1)因为抛物线y2＝4x的焦点为(，0)，所以椭圆C的半焦距c＝，
即a2－b2＝3. ①
把点Q代入＋＝1，得＋＝1. ②
由①②解得a2＝4，b2＝1.所以椭圆C的标准方程为＋y2＝1.
(2)设直线l的方程为x＝ty＋1，代入＋y2＝1，
得(t2＋4)y2＋2ty－3＝0.
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则有y1＋y2＝－，y1y2＝－.
则|y1－y2|＝＝＝＝＝.令
＝m(m≥)．易知函数y＝m＋在[，＋∞)上单调递增，
则＋≥＋＝，当且仅当m＝，即t＝0时，取等号．
所以|y1－y2|≤.所以△AMN的面积S＝|AP||y1－y2|≤×3×＝，
所以S m a x＝，此时直线l的方程为x＝1.
21、【答案】(1) ,;(2) 实数的取值范围是.
【解析】：（1）求出，由，可求得，的值；（2）恒成立等价
于. 设，利用导数研究函数的单调性，讨论可证明证明当时，恒成立，当时，不合题意，从而可得结果.
试题解析：（1）函的定义域为，，
把代入方程中，得，即，∴，
又因为，∴，故.
（2）由（1）可知，当时，
恒成立等价于.
设，则，
由于，
当时，，则在上单调递增，恒成立.
当时，设,则.则为上单调递增函数，
又由.即在上存在，使得，
当时，单调递减，
当时，单调递增；
则，不合题意，舍去.
综上所述，实数的取值范围是.
22、【答案】（1）直线l的直角坐标方程为x－y－2＝0；（2）3.
【解析】试题：(1)消参得到曲线的普通方程，利用极坐标和直角坐标方程的互化公式求得直线的直角坐标方程；(2)先得到直线的参数方程，将直线的参数方程代入到圆的方程，得到关于的一元二次方程，由根
与系数的关系、参数的几何意义进行求解.
试题解析：(1)由曲线C 的参数方程
(α为参数)
(α为参数)，
两式平方相加，得曲线C 的普通方程为(x －1)2＋y 2＝4； 由直线l 的极坐标方程可得ρcos θcos －ρsi n θsi n ＝
ρcos θ－ρsi n θ＝2，
即直线l 的直角坐标方程为x －y －2＝0.
(2)由题意可得P(2，0)，则直线l 的参数方程为 (t 为参数)．
设A ，B 两点对应的参数分别为t 1，t 2，则|PA|·|PB|＝|t 1|·|t 2|，
将 (t 为参数)代入(x －1)2＋y 2＝4，得t 2
＋
t －3＝0，
则Δ>0，由韦达定理可得t 1·t 2＝－3，所以|PA|·|PB|＝|－3|＝3. 23、试题解析：(1)当时，
化为 ， 当，不等式化为，解得或，故；
当时，不等式化为，解得或，故
；
当，不等式化为
，解得或 故[)3,x ∈+∞
所以
解集为
或． (2) 由题意可知，即为时，
恒成立． 当时，，得
；
当
时，
，得
，综上，(]
,4a ∈-∞-．。