2021-2022学年浙教版九年级数学上册《第1章二次函数》期末综合复习训练(附答案)

2021-2022学年浙教版九年级数学上册《第1章二次函数》期末综合复习训练（附答案）1．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的最大值为0，则（）
A．a＞0，b2﹣4ac＝0B．a＜0，b2﹣4ac＞0
C．a＞0，b2﹣4ac＜0D．a＜0，b2﹣4ac＝0
2．已知抛物线C：y＝x2+3x﹣10，将抛物线C平移得到抛物线C′，若两条抛物线C和C′关于直线x＝1对称，则下列平移方法中，正确的是（）
A．将抛物线C向右平移个单位B．将抛物线C向右平移3个单位
C．将抛物线C向右平移5个单位D．将抛物线C向右平移6个单位
3．将抛物线C1：y＝x2﹣2x+3向左平移1个单位长度，得到抛物线C2，抛物线C2与抛物线C3关于x轴对称，则抛物线C3的解析式为（）
A．y＝﹣x2﹣2B．y＝﹣x2+2C．y＝x2﹣2D．y＝x2+2
4．已知二次函数y＝﹣（x﹣k+2）（x+k）+m，其中k，m为常数．下列说法正确的是（）A．若k≠1，m≠0，则二次函数y的最大值小于0
B．若k＜1，m＞0，则二次函数y的最大值大于0
C．若k＝1，m≠0，则二次函数y的最大值小于0
D．若k＞1，m＜0，则二次函数y的最大值大于0
5．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，且对称轴为x＝1，点B坐标为（﹣1，0）．则下面的四个结论：①2a+b＝0；②4a﹣2b+c＜0；③b2﹣4ac＞0；④当y＜0时，x＜﹣1或x＞2．其中正确的有（）
A．4个B．3个C．2个D．1个
6．已知直线x＝1是二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是实数，且a≠0）的图象的对称轴，点A（x1，y1）和点B（x2，y2）为其图象上的两点，且y1＜y2，（）
A．若x1＜x2，则x1+x2﹣2＜0B．若x1＜x2，则x1+x2﹣2＞0
C．若x1＞x2，则a（x1+x2﹣2）＞0D．若x1＞x2，则a（x1+x2﹣2）＜0
7．在同一坐标系中，函数y＝ax2+b与y＝bx2+ax的图象只可能是（）
A．B．C．D．
8．如图是抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0），其顶点坐标为（1，n），且与x轴的一个交点在点（3，0）和（4，0）之间，下列结论：
①b＞0；
②2a+b＝0；
③4a﹣2b+c＜0；
④a+b+c＞0；
⑤关于x的方程0＝ax2+bx+c的另一个解在﹣2和﹣3之间，
其中正确结论的个数是（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
9．如图抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过点（3，0）且对称轴为直线x＝1．有四个结论：
①ac＜0；②b2﹣4ac＝0；③a﹣b+c＝0；④若m＞n＞0，则x＝1﹣m时的函数值小于x
＝1+n时的函数值，其中正确的结论个数是（）
A．1B．2C．3D．4
10．如图，直线y1＝kx与抛物线y2＝ax2+bx+c交于A、B两点，则y＝ax2+（b﹣k）x+c的图象可能是（）
A．B．C．D．
11．把二次函数y＝﹣x2+3x+3化成y＝a（x+m）2+k的形式为．12．已知二次函数的图象经过原点及点（﹣3，﹣2），且图象与x轴的另一交点到原点的距离为1，则该二次函数的解析式为．
13．已知函数y＝x2﹣2mx+2015（m为常数）的图象上有三点：A（x1，y1），B（x2，y2），C （x3，y3），其中x1＝m﹣，x2＝m+，x3＝m﹣1，则y1、y2、y3的大小关系是．
14．抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，其与x轴的一个交点坐标为（﹣3，0），对称轴为x＝﹣1，则当y＜0时，x的取值范围是．
15．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝a（x+1）2+b与y＝a（x﹣2）2+b+1交于点A．过点A作y轴的垂线，分别交两条抛物线于点B、C（点B在点A左侧，点C在点A右侧），则线段BC的长为．
16．对于二次函数y＝x2﹣2mx﹣3，下列正确的说法是．
①它的图象与x轴有两个公共点；
②如果当x≤1时，y随x的增大而减小，则m＝1；
③如果将它的图象向左平移3个单位后过原点，则m＝﹣1；
④如果当x＝﹣2时的函数值与x＝2022时的函数值相等，则当x＝2020时的函数值为﹣
3．
17．已知抛物线y＝﹣x2+ax+b经过点A（1，0），B（0，﹣4）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求此抛物线的顶点坐标．
18．如图是某个二次函数的图象．
（1）求该二次函数关系式；
（2）补全函数图象；
（3）若抛物线上点P（m，n）到y轴的距离不大于2，请根据图象直接写出n的取值范围．
19．已知二次函数y＝ax2+bx﹣6（a≠0）的图象经过点A（4，﹣6），与y轴交于点B，顶点为C（m，n）．
（1）求点B的坐标；
（2）求证：4a+b＝0；
（3）当a＞0时，判断n+6＜0是否成立？并说明理由．
20．已知二次函数y＝﹣x2+6x﹣5．
（1）求二次函数图象的顶点坐标；
（2）当1≤x≤4时，函数的最大值和最小值分别为多少？
（3）当t≤x≤t+3时，函数的最大值为m，最小值为n，若m﹣n＝3，求t的值．
21．如图，直线y＝﹣x+4与抛物线y＝﹣x2+bx+c交于A，B两点，点A在y轴上，点B 在x轴上．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在第三象限的抛物线上存在一点P，使得△PBO的面积是△ABO面积的两倍，求P 点的坐标以及△ABP的面积．
22．已知抛物线y＝x2+bx+a﹣1过点（2+a，m），（2﹣a，m），（a，n）．（1）求b的值；
（2）当0＜a＜2时，请确定m，n的大小关系；
（3）若当0＜a≤x≤2+a时，y有最小值3，求a的值．
23．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c（b＞0），交x轴于点A、B，交y轴于点C，已知A的横坐标为﹣1．
（1）求点B的坐标．（用含b的代数式表示）
（2）抛物线的对称轴交x轴于点D，连结BC，平移线段CB，使点C与D重合，此时点B恰好落在抛物线上，求b的值．
参考答案
1．解：∵二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的最大值为0，
∴a＜0，＝0即b2﹣4ac＝0．
故选：D．
2．解：∵抛物线C：y＝x2+3x﹣10＝（x+）2﹣，
∴抛物线对称轴为x＝﹣．
∴抛物线与y轴的交点为A（0，﹣10）．
则与A点以对称轴对称的点是B（﹣3，﹣10）．
若将抛物线C平移到C′，并且C，C′关于直线x＝1对称，就是要将B点平移后以对称轴x＝1与A点对称．
则B点平移后坐标应为（2，﹣10）．
因此将抛物线C向右平移5个单位．
故选：C．
3．解：∵抛物线C1：y＝x2﹣2x+3＝（x﹣1）2+2，
∴抛物线C1的顶点为（1，2），
∵向左平移1个单位长度，得到抛物线C2，
∴抛物线C2的顶点坐标为（0，2），
∵抛物线C2与抛物线C3关于x轴对称，
∴抛物线C3的开口方向相反，顶点为（0，﹣2），
∴抛物线C3的解析式为y＝﹣x2﹣2，
故选：A．
4．解∵y＝﹣（x﹣k+2）（x+k）+m＝﹣（x+1）2+（k﹣1）2+m，
∴当x＝﹣1时，函数最大值为y＝（k﹣1）2+m，
则当k＜1，m＞0时，则二次函数y的最大值大于0．
故选：B．
5．解：∵二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为x＝1，
∴﹣＝1，得2a+b＝0，故①正确；
当x＝﹣2时，y＝4a﹣2b+c＜0，故②正确；
该函数图象与x轴有两个交点，则b2﹣4ac＞0，故③正确；
∵二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为x＝1，点B坐标为（﹣1，0），
∴点A（3，0），
∴当y＜0时，x＜﹣1或x＞3，故④错误；
故选：B．
6．解：∵直线x＝1是二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是实数，且a≠0）的图象的对称轴，∴x＝﹣＝1，
∴b＝﹣2a，
∴y＝ax2﹣2ax+c，
∵点A（x1，y1）和点B（x2，y2）为其图象上的两点，
∴y1＝ax12﹣2ax1+c，y2＝ax22﹣2ax2+c，
当x1＜x2，y1＜y2即y1﹣y2＜0，
∴ax12﹣2ax1+c﹣（ax22﹣2ax2+c）＜0，
整理得：a（x1﹣x2）（x1+x2﹣2）＜0，
∵x1﹣x2＜0，
∴a（x1+x2﹣2）＞0，故A，B不符合题意；
当x1＞x2，y1＜y2即y1﹣y2＜0，
∴ax12﹣2ax1+c﹣（ax22﹣2ax2+c）＜0，
整理得：a（x1﹣x2）（x1+x2﹣2）＜0，
∵x1﹣x2＞0，
∴a（x1+x2﹣2）＜0，故C不符合题意，D符合题意；
故选：D．
7．解：A、两个函数的开口方向都向上，那么a＞0，b＞0，可得第一个函数的对称轴是y 轴，与y轴交于正半轴，第二个函数的对称轴在y轴的左侧，故本选项错误；
B、两个函数的开口方向都向下，那么a＜0，b＜0，可得第一个函数的对称轴是y轴，
与y轴交于负半轴，第二个函数的对称轴在y轴的左侧，故本选项错误；
C、D、两个函数一个开口向上，一个开口向下，那么a，b同号，可得第二个函数的对
称轴在y轴的右侧，故C错误，D正确，
故选：D．
8．解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵对称轴直线x＝﹣＝1，
∴b＝﹣2a＞0，
∴2a+b＝0，
故①②正确；
∵抛物线的对称轴为直线x＝1，
∴点（4，y）与（﹣2，y）关于直线x＝1对称，
∵x＝4时，y＜0，
∴x＝﹣2时，y＜0，即4a﹣2b+c＜0，
故③正确；
∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0），其顶点坐标为（1，n），
∴n＝a+b+c＞0，
故④正确；
∵抛物线的对称轴为直线x＝1，抛物线与x轴的一个交点在（3，0）和（4，0）之间，∴抛物线与x轴的另一个交点在（﹣2，0）和（﹣1，0）之间，
∴关于x的方程0＝ax2+bx+c的另一个解在﹣2和﹣1之间，
故⑤错误；
∴正确结论的有①②③④共4个，
故选：D．
9．解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线交y轴的正半轴，
∴c＞0，
∴ac＜0，故①正确；
∵抛物线与x轴有两个交点，
∴b2﹣4ac＞0，故②错误；
∵抛物线的对称轴为直线x＝1，
而点（3，0）关于直线x＝1的对称点的坐标为（﹣1，0），
∴a﹣b+c＝0，故③正确；
∵抛物线开口向下，对称轴为直线x＝1，
∴横坐标是1﹣m的点的对称点的横坐标为1+m，
∵若m＞n＞0，
∴1+m＞1+n，
∴x＝1﹣m时的函数值小于x＝1+n时的函数值，故④正确．
故选：C．
10．解：设y＝y2﹣y1，
∵y1＝kx，y2＝ax2+bx+c，
∴y＝ax2+（b﹣k）x+c，
由图象可知，在点A和点B之间，y＞0，在点A的左侧或点B的右侧，y＜0，故选项B符合题意，选项A、C、D不符合题意；
故选：B．
11．解：y＝﹣x2+3x+3＝﹣（x2﹣12x+36）+9+3＝﹣（x﹣6）2+12．故答案为y＝﹣（x﹣6）2+12．
12．解：∵二次函数图象与x轴的另一交点到原点的距离为1，
∴这个点的坐标为（﹣1，0）或（1，0），
设该二次函数的解析式为y＝ax2+bx+c，
当该函数过原点、（﹣3，﹣2），（﹣1，0）时，
，
解得，，
即该二次函数的解析式为y＝x2x；
当该函数过原点、（﹣3，﹣2），（1，0）时，
，
解得，，
即该二次函数的解析式为y＝x2+x；
由上可得，该二次函数的解析式为y＝x2x或y＝x2+x，
故答案为：y＝x2x或y＝x2+x．
13．解：在二次函数y＝x2﹣2mx+2015，对称轴x＝m，
在图象上的三点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），
|m﹣1﹣m|＜|m﹣﹣m|＜|m+﹣m|，
则y1、y2、y3的大小关系为y3＜y1＜y2．
故答案为y3＜y1＜y2．
14．解：∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴的一个交点坐标为（﹣3，0），对称轴为直线x＝﹣1，
∴抛物线与x轴的另一个交点为（1，0），
由图象可知，当y＜0时，x的取值范围是﹣3＜x＜1．
故答案为：﹣3＜x＜1．
15．解：设抛物线y＝a（x+1）2+b的对称轴与线段BC交于点E，抛物线y＝a（x﹣2）2+b+1的对称轴与线段BC交于点F，如图所示．
由抛物线的对称性，可知：BE＝AE，CF＝AF，
∴BC＝BE+AE+AF+CF＝2（AE+AF）＝2×[2﹣（﹣1）]＝6．
故答案为：6．
16．解：①由于△＝4m2+12＞0，它的图象与x轴有两个公共点，故①符合题意；
②由于对称轴是直线x＝m，抛物线开口方向向上，所以当x≤1时，y随x的增大而减小，
此时m≤1，故②不符合题意；
③如果将y＝x2﹣2mx﹣3＝（x﹣m）2﹣3﹣m2的图象向左平移3个单位后的抛物线解析
式是：y＝（x﹣m+3）2﹣3﹣m2，将（0，0）代入，得到（0﹣m+3）2﹣3﹣m2＝0．解得m＝1，故③不符合题意；
④如果当x＝﹣2时的函数值与x＝2022时的函数值相等，则该抛物线对称轴是直线x＝
m＝1010，所以当x＝2020时，y＝x2﹣2mx﹣3＝20202﹣20202﹣3＝﹣3，即该函数的函数值为﹣3，故④符合题意．
故答案是：①④．
17．解：（1）根据题意得到：，
解得，
因而抛物线的解析式是：y＝﹣x2+5x﹣4．
（2）∵y＝﹣x2+5x﹣4＝﹣（x﹣）2+，
∴抛物线的顶点坐标为（，）．
18．解：（1）根据图象知，抛物线的顶点坐标为（1,4），
∴设二次函数关系式为y＝a(x﹣1)²+4，
又∵函数图象过（3,0），
∴0＝4a+4，
解得a＝﹣1，
∴函数解析式为：y＝﹣(x﹣1)²+4；
（2）由（1）函数解析式知，函数与y轴的交点为（0,3），
函数与x轴的另一交点为（﹣1,0），
∴图象补全如右图所示；
（3）由图知，当x＝1时函数有最大值为4，
∴n≤4，
当x＝﹣2时P（m，n）到y轴的距离等于2，
此时n有最小值，n＝﹣(﹣2﹣1)²+4＝﹣5，
综上所述，n的取值为﹣5≤n≤4．
19．解：（1）∵x＝0时，y＝﹣6
∴点B坐标为（0，﹣6）
（2）证明：∵二次函数的图象经过点A（4，﹣6）∴16a+4b﹣6＝﹣6
∴4a+b＝0
（3）当a＞0时，n+6＜0成立，理由如下：
∵n＝
∴n+6＝
∵a＞0，4a+b＝0即b≠0
∴b2＞0
∴＜0
∴n+6＜0成立
20．解：（1）∵y＝﹣x2+6x﹣5＝﹣（x﹣3）2+4，∴顶点坐标为（3，4）；
（2）∵a＝﹣1＜0，
∴抛物线开口向下，
∵顶点坐标为（3，4），
∴当x＝3时，y最大值＝4，
∵当1≤x≤3时，y随着x的增大而增大，
∴当x＝1时，y最小值＝0，
∵当3＜x≤4时，y随着x的增大而减小，
∴当x＝4时，y最小值＝3．
∴当1≤x≤4时，函数的最大值为4，最小值为0；
（3）当t≤x≤t+3时，对t进行分类讨论，
①当t+3＜3时，即t＜0，y随着x的增大而增大，
当x＝t+3时，m＝﹣（t+3）2+6（t+3）﹣5＝﹣t2+4，
当x＝t时，n＝﹣t2+6t﹣5，
∴m﹣n＝﹣t2+4﹣（﹣t2+6t﹣5）＝﹣6t+9，
∴﹣6t+9＝3，解得t＝1（不合题意，舍去），
②当0≤t＜3时，顶点的横坐标在取值范围内，
∴m＝4，
i）当0≤t≤时，在x＝t时，n＝﹣t2+6t﹣5，
∴m﹣n＝4﹣（﹣t2+6t﹣5）＝t2﹣6t+9，
∴t2﹣6t+9＝3，解得t1＝3﹣，t2＝3+（不合题意，舍去）；
ii）当＜t＜3时，在x＝t+3时，n＝﹣t2+4，
∴m﹣n＝4﹣（﹣t2+4）＝t2，
∴t2＝3，解得t1＝，t2＝﹣（不合题意，舍去），
③当t≥3时，y随着x的增大而减小，
当x＝t时，m＝﹣t2+6t﹣5，
当x＝t+3时，n＝﹣（t+3）2+6（t+3）﹣5＝﹣t2+4，
.m﹣n＝﹣t2+6t﹣5﹣（﹣t2+4）＝6t﹣9，
∴6t﹣9＝3，解得t＝2（不合题意，舍去），
综上所述，t＝3﹣或．
21．解：（1）在直线y＝﹣x+4中，
当x＝0时，y＝4，
当y＝0时，x＝4，
∴A（0，4），B（4，0），
将A（0，4），B（4，0）代入y＝﹣x2+bx+c中，
可得，
解得：，
∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+x+4；
（2）设P点坐标为（x，﹣x2+x+4），
∵△PBO的面积是△ABO面积的两倍，
∴×4×丨﹣x2+x+4丨＝2××4×4，
解得：x1＝6，x2＝﹣4，
又∵点P位于第三象限，
∴x＝6舍去，
当x＝﹣4时，y＝﹣x2+x+4＝﹣8，
∴P点坐标为（﹣4，﹣8），
设直线PB的解析式为y＝kx+b1，将P（﹣4，﹣8），B（4，0）代入，可得，
解得：，
∴直线PB的解析式为y＝x﹣4，
在y＝x﹣4中，当x＝0时，y＝﹣4，
∴直线PB与y轴交于点（0，﹣4），
如图，过点P作PM⊥y轴，连接PB交y轴于点N，连接AP，
∴△ABP的面积＝AN•（PM+OB）＝×8×8＝32．
22．解：（1）∵（2+a，m），（2﹣a，m）是抛物线上的两点，
∴对称轴为直线x＝＝2，
∴＝2，
∴b＝﹣4；
（2）如图，∵（2+a，m），（a，n）是抛物线上两点，∴当a＝1，2+a＝3时，m＝n，
由图可知，①当0＜a≤1时，m≤n；
②当1＜a＜2时，m＞n；
（3）如图，①当0＜a≤2时，在x＝2时y取最小值，此时y最小值＝a﹣5，
令a﹣5＝3，
则a＝8（不合题意，舍），
②当a＞2时，在x＝a时y取最小值，
此时y＝x2+4x+a﹣1＝a2﹣4a+a﹣1＝a2﹣3a﹣1，
令a2﹣3a﹣1＝3，
解得：a＝4或a＝﹣1（舍去），
综上所述：a＝4．
23．（1）∵y＝﹣x2+bx+c，
∴对称轴为直线，
∴，
∵A点横坐标为﹣1，
∴B（b+1，0）．
（2）对称轴直线x＝与x轴交点为（，0），把A（﹣1，0）代入y＝﹣x2+bx+c，
得：﹣1﹣b+c＝0，即c＝b+1，
∵平移线段CB，使C与D重合点，
∴B平移后得点，
∵点B在抛物线上，
∴，
解得，
∵b＞0，
∴．。