(最新)张宇高数18讲数学二知识点总结笔记

张宇高数18讲数学二知识点总结笔记
●1.函数极限与连续
1)函数极限的定义及使用
●定义
●使用
●是常数、唯一性、局部有界性、局部保号性
●等式脱帽法
2)函数极限的计算
●化简先行
●等价无穷小替换
●恒等变形
●及时提出极限存在且不为0的因式
●洛必达法则
●泰勒公式
●熟记常用公式
●展开原则
●无穷小比阶
●函数极限的存在性
●具体性
●若洛必达失效，用夹逼准则
●抽象性
●单调有界准则
●连续与间断
●研究位置
●无定义点、分段函数的分段点
●连续
●内点处、端点处
●间断
●2.数列极限
1)数列极限的定义及使用
●定义
●使用
●是常数、唯一性、有界性、保号性
●收敛的充要条件
2)数列极限的存在性与计算
●海涅定理的使用
●直接计算法
●定义法（先斩后奏法）
●单调有界准则
●用已知不等式
●题设给出条件来推证
●夹逼准则
●用基本放缩法
●题设给出条件来推证
●综合题总结
●用导数、积分、中值定理综合
●用方程列、区间列综合
●用极限综合
●3.一元微分的概念
1)导数定义（导数在一点的问题）
●分段函数（或含绝对值函数）在分段点
●抽象函数在一点
●特指点x_0
●泛指点x
●四则运算中的特殊点
●太复杂的函数
●f=f_1+f_2
●f=f_1* f_2* f_3* ...*
●求导公式无定义的点
2)微分定义
●4.一元微分的计算
1)复合函数求导
2)隐函数求导
3)反函数求导
4)分段函数求导（含绝对值）
●在分段点用导数定义
●在非分段点用导数公式
●对数求导法
●幂指函数求导法
●参数方程确定的函数求导
●高阶导数
●归纳法（记公式）
●莱布尼茨公式
●展开式（记公式）
5)难点
●计算量大
●含参数的讨论
●高阶导数
●5.一元微分的几何应用
1)研究对象
●“祖孙三代”
●f(x)
●具体
●抽象
●f_n(x) 函数族
●f_1·f_2·...·f_n
● f'(x) ； \frac{\mathrm{d}[f(x)]}{\mathrm{d}{(x^2)}} ; {f}^{(n)}(x)
●\int_{a}^{x}f(x)dx
●分段函数（含绝对值）
●参数方程
●x=x(t), y=y(t)
●x=r(\theta)cos\theta,y=r(\theta)sin\theta
●隐函数F(x,y)=0
2)研究内容
●切线、法线、截距
●极值、单调性
●单调性的判别
●一阶可导点是极值点的必要条件
●判别极值的第1,2,3充分条件
●拐点、凹凸性
●凹凸性的定义
●拐点定义
●凹凸性与拐点的判别
●判别凹凸性的充分必要条件
●二阶可导点是拐点的必要条件
●判别拐点的第1,2,3充分条件
●6.中值定理、微分等式与微分不等式
1)中值定理
●确定区间
●确定辅助函数
●确定使用的定理
●零点定理
●介值定理
●费马定理
●罗尔定理
●拉格朗日中值定理
●泰勒公式
●柯西中值定理
2)微分等式问题
●理论依据
●考法
3)微分不等式问题
●用单调性
●用最值
●用凹凸性
●用拉格朗日中值定理
●用柯西中值定理
●用带有拉格朗日余项的泰勒公式
●7.一元微分物理应用
1)物理应用
●以“A对B的变化率”为核心写\frac{\mathrm{d}A}{\mathrm{d}B}
●8.一元积分的概念与性质
1)祖孙三代
●\int_{a}^{x}f(x)dx ，f(x)，{ f^{'}(x) } 的奇偶性，周期性
2)积分比大小
●用几何意义
●看面积大小
●用保号性
●做差
●看正负
3)定积分定义
●基本形（能凑成\frac{i}{n}）
●\lim_{n \to \infty}\sum_{i=1}^n f(0+\frac{1-0}{n}i)\frac{1-0}{n} =
\int_{0}^{1}f(x)dx
●\lim_{n \to \infty}\sum_{i=0}^{n-1} f(0+\frac{1-0}{n}i)\frac{1-0}{n} =
\int_{0}^{1}f(x)dx
●放缩形（凑不成\frac{i}{n}）
●夹逼准则
●放缩后再凑\frac{i}{n}
●变量形
●\lim_{n \to \infty}\sum_{i=1}^n f(0+\frac{x-0}{n}i)\frac{x-0}{n} =
\int_{0}^{x}f(x)dx
4)反常积分的判敛
●概念
●判别
●9.一元积分的计算
1)基本积分公式
2)不定积分的计算
●凑微分法
●思想
●方法
●常用的凑微分公式
●程序
●换元法
●思想
●方法
●三角函数代换
●恒等变形后作三角代换
●跟式代换
●倒代换
●复杂函数的直接带换
●思想
●方法
●u,v的选取原则
●推广公式（表格法）
●有理函数的积分
●定义
●思想
●方法
3)定积分的计算
●区间再现公式
●华里士公式
●其他常用含三角函数的积分等式
●区间简化公式
●对称性下的积分问题
●定积分分部积分法中的“升阶”降阶“”公式
●分段函数的定积分
●10.一元积分几何应用
1)研究对象
●f(x)
●f_n(x)
●参数方程
●x=x(t)
●y=y(t)
●\frac{\partial f}{\partial x}
●\int_{a}^{x}f(x)dx
●微分方程的解函数f(x)
2)研究内容
●面积、旋转体体积、平均值
●平面曲线的弧长、旋转曲面的面积（侧面积）
●“平面上的曲边梯形”的形心坐标公式
●平行截面面积为已知的立体体积
●11.积分等式与积分不等式
1)积分等式
●通过证明某特殊积分等式求某特殊积分
●积分形式的中值定理
2)积分不等式
●用函数的单调性
●处理被积函数
●已知f(x) \leq g(x)，用积分保号性证得\int_{a}^{b}f(x)dx \leq
\int_{a}^{b}g(x)dx，a<b
●用拉格朗日中值定理
●用泰勒公式
●用放缩法
●用分部积分法
●用换元法
●用夹逼准则求解一类积分的极限问题
●曲边梯形面积的连续化与离散化问题
●12.一元积分的物理应用
1)位移大小与总路程
●位移大小
●\int_{t_1}^{t_2}v(t)dt
●总路程
●\int_{t_1}^{t_2}|v(t)|dt
2)变力沿直线做功
●W=\int_{a}^{b}F(x)dx
3)提取物体做功
●W=\rho g\int_{a}^{b}xA(x)dx
4)静水压力
●P=\rho g\int_{a}^{b}x[f(x)-h(x)]dx
5)细杆质心
●\bar x=\frac{\int_{a}^{b}x\rho (x)dx}{\int_{a}^{b}\rho (x)dx}
6)其他重要应用（微元法总结）
●13.多元函数微分学
1)概念
●极限、连续、偏导数、可微
2)复合函数求导法
●链式求导规则
●全导数
●全微分形式不变
3)隐函数求导
●隐函数存在定理
●一个方程的情形
●方程组的情形
4)多元函数的极值、最值
●无条件极值
●取极值的必要条件
●取极值的充分条件
●条件极值与拉氏乘数法
5)偏微分方程
●已知偏导数（或偏增量）的表达式，求z=f(x,y)
●给出变换，化已知偏微分方程为常微分方程，求f(u)
●给出变换，化已知偏微分方程为指定偏微分方程及其反问题
●14.二重积分
1)概念
●和式极限
●普通对称性
●轮换对称性
●二重积分比大小
●用对称性
●用保号性
●二重积分中值定理
●周期性
2)计算
●直角坐标系与换序
●极坐标系与换序
●直极互化
3)应用
●面积
●\iint_{D}dxdy
●15.微分方程
1)一阶微分方程的求解
●能写成 y'=f(x)·g(x)
●能写成 y'=f(ax+by+c)
●能写成 y'=f(\frac{y}{x})
●能写成 \frac{1}{y'}=f(\frac{x}{y})
●能写成 y'+p(x)y=q(x)
2)二阶可降阶微分方程的求解
●能写成 y''=f(x,y')
●能写成 y''=f(y,y')
3)高阶常系数线性微分方程的求解
●能写成 y''+py'+qy=f(x)
●能写成 y''+py'+qy=f_1(x)+f_2(x)
4)用换元法求解微分方程
●用求导公式逆用来换元
●用自变量来换元
●用因变量来换元
●用x,y地位互换来换元
5)应用题
●用极限、导数定义或积分等式建方程
●用几何应用建方程
●用曲线切线斜率
●用两曲线f(x)与g(x)的公切线斜率
●用截距
●用面积
●用体积
●用平均值
●用弧长
●用侧面积
●用曲率
●用形心。