大学物理a习题选解

第六章 真空中的静电场
习题选解
6-1 三个电量为q -的点电荷各放在边
长为r 的等边三角形的三个顶点上，电荷
(0)Q Q >放在三角形的重心上。

为使每
个负电荷受力为零，Q 之值应为多大？
解：以三角形上顶点所置的电荷(q -)为例，其余两个负电荷对其作用力的合力为1f ，方向如图所示，其大小为
题6-1图中心处Q 对上顶点电荷的作用力为2f ，方向与1f 相反，如图所示，其大小为
由12f f =，得
3
Q q =。

6-2 在某一时刻，从238U 的放射性衰变中跑出来的α粒子的中心离残核234Th 的中心为159.010r m -=⨯。

试问：（1）作用在α粒子上的力为多大？（2）α粒子的加速度为多大？
解：（1）由反应238234
492902U Th+He →，可知
α粒子带两个单位正电荷，即 Th 离子带90个单位正电荷，即
它们距离为159.010r m -=⨯
由库仑定律可得它们之间的相互作用力为：
（2）α粒子的质量为：
由牛顿第二定律得：
6-3 如图所示，有四个电量均为C q 610-=的点电荷，分别放置在如图所示的
1，2，3，4点上，点1与点4距离等于点1与点2的距离，长m 1，第3个电荷位于2、4两电荷连线中点。

求作用在第3个点电荷上的力。

解：由图可知，第3个电荷与其它各
电荷等距，均为2
r m =。

各电荷之间均为斥力，且第2、4两电荷对第三电荷的作用力大小相等，方向相反，两力平衡。

由库仑定律，作用于电荷3的力为
题6-3 图
题6-3 图
力的方向沿第1电荷指向第3电荷，与x 轴成45角。

6-4 在直角三角形ABC 的A 点放置点电荷C q 91108.1-⨯=，B 点放置点电荷
C q 92108.4-⨯-=，已知0.04,0.03BC m AC m ==，试求直角顶点C 处的场强E 。

解：A 点电荷在C 点产生的场强为1E ，方向向下
B 点电荷在
C 点产生的场强为2E ，方向向右
题6-4图
根据场强叠加原理，C 点场强
设E 与CB 夹角为θ，2
1tan E E =
θ6-5 如图所示的电荷分布为电四极子，它由两个相同的电偶极子组成。

证明在
电四极子轴线的延长线上，离中心为r （e r r >>）的P 点处的电场强度为4
043r
Q
E πε=
，式中 22e qr Q =，称为这种电荷分
布的电四极矩。

题6-5图
解：由于各电荷在P 点产生的电场方向都在x 轴上，根据场强叠加原理
由于e r r >>，式中2e r 可略去 又电四极矩 22e qr Q =
故 4
043r Q
E P πε=
题6-5图
6-6 如图所示，一根很长的绝缘棒，均匀
带电，单位长度上的电荷量为λ，试求距棒的一端垂直距离为d 的P 点处的电场强度。

解：建立如图所示坐标，在棒上任取一线 元dx 在P 点产生的场强为
dE
题6-6图
场强dE 可分解成沿x 轴、y 轴的分量
题6-6图
P 点场强 d
E E E y x
02242πελ
=+=
方向与Y 轴夹角为ϕ arctan
45x
y
E E ϕ== 6-7 一根带电细棒长为l 2，沿x 轴放置，其一端在原点，电荷线密度Ax =λ（A 为正的常数）。

求x 轴上，l b x 2+=处的电场强度。

解：在坐标为x 处取线元dx ，带电量为Axdx dq =，该线元在P 点的场强为dE ，方向沿x 轴正方向
整个带电细棒在P 点产生的电场为 题6-7图
场强E 方向沿x 轴正方向
6-8 如图所示，一根绝缘细胶棒弯成半径 为R 的半圆形。

其上一半均匀带电荷q +，另一
半均匀带电荷q -。

求圆心O 处的场强。

解：以圆心为原点建立如图所示Oxy 坐标，
题6-8图
在胶棒带正电部分任取一线元dl ，与OA 夹角为θ，线元带电荷量dl R
q
dq π2=
，在O 点产生电场强度
把场强dE 分解成沿x 轴和y 轴的分量 题6-8图
同理，胶棒带负电部分在O 点的场强E '沿x 轴方向的分量'
x E 与x E 大小相等，方
向相同；沿y 轴方向的分量'
y E 与y E 大小相等，方向相反，互相抵消，故点场强为
2
022R
q
E E x επ=
= 方向沿x 轴正向。

6-9 一无限大均匀带电平面，电荷面密度为σ，在平面上开一个半径为R 的圆洞，求在这个圆洞轴线上距洞心r 处一点P 的场强。

解：开了一个圆洞的无限大均匀带电 平面，相当于一个无限大均匀带电平面又
加了一块带异号电荷，面密度σ相同的圆
盘。

距洞心r 处P 点的场强
式中+E 为无限大均匀带电平面在P 点产生的场强 题6-9图 方向垂直于平面向外
-E 为半径为R 的均匀带负电圆盘在其轴线上距中心为r 处的P 产生的场强。

在圆
盘上取半径为r '，宽为r d '的细圆环，在P 点产生场强
0(12σε=
方向垂直圆盘向里
故 2
12
2
0)
(2r R r
E E E P +=
-=-+εσ 方向垂直平面向外
6-10 如图所示，一条长为l 2的均匀带电
直线，所带电量为q ，求带电直线延长线上任一点P 的场强。

解：在坐标为r 处取线元，带电量
该线元在带电直线延长线上距原点为x 的
P 点产生的场强为
题6-10图
题6-10图
整个带电直线在P 点的场强
6-11 用场强叠加原理，求证无限大均匀带平面外任一点的场强大小为0
2εσ
=E （提示：把无限大平面分成一个个圆环或一条条细长线，然后进行积分）。

解：（1）建如图()a xyz 坐标，以板上任一点O 为圆心，取半径为r ，宽度为dr 的环形面积元，带电量为：
rdr dq πσ2=。

由圆环电荷在其轴线上任一点)(x OP P =的场强公式
方向沿x 轴正方向。

P 点总场强
题6-11()a 图
（0σ>，E 的方向沿x 轴正方向）
（2）建如图()b 所示的三维坐标，在与z 轴相距为y 处取一细长线元，沿y 轴方向单位长度带电荷为dy σ，由长直带电直线
场强公式，线元在x 轴距原点O 为a 的点P 的场强
题6-11()b 图
由于对称性，dE 的y 轴分量总和为零
所以 ⎰⎰==θcos dE dE E x
因为0σ>，所以E 的方向沿x 轴正方向。

6-12 如图所示，半径为R 的带电细圆环，线电荷密度θλλcos 0=，0λ为常数，
θ为半径R 与x 轴夹角，求圆环中心O 处的电场强度。

解：在带电圆环上任取一线元θRd dl =，带电量为θθλλRd dl dq cos 0==，线元与原点O 的连线与x 轴夹角为θ，在O 点的场强d E 大小为
题6-12图
d E 沿x 轴和y 轴的分量
整个带电圆环在O 点的场强E 沿x 轴和y 轴的分量
故 0
04x E R
λε==-
E i i E 的方向沿x 轴负方向。

6-13 如图所示，两条平行的无限长均匀带电直线，相距为d ，线电荷密度分别为λ+和λ-，求：
（1）两线构成的平面的中垂面上的场强分布；
（2）两直线单位长度的相互作用力。

解：（1）在两线构成平面的中垂直面上任取一点P 距两线构成平面为y ，到两线
P 点的场强为题6-13图
由于对称性，两线在P 点的场强沿y 轴方向的分量，方向相反，大小相等，
相互抵消
题6-13图
2
202(
)4
d d
y λπε=
+ 方向沿x 轴正方向
（2）两直线相距为d ，带正电直线在带负电直线处的场强为d
E 02πελ
=
+。

由qE F =，带负电直线单位长度的电荷受电场力d
E F 02
2πελλ=
=+-，方向指向带正电直线。

同理，带正电直线单位长度受电场力d
F 02
2πελ=+，方向指向带负电直线。

故有+-=-F F ，两带电直线相互吸引。

6-14 如图所示，长为l 、线电荷密度为λ的两根相同的均匀带电细塑料棒，沿同一直线放置，两棒近端相距为l ，求两棒间
的静电相互作用力。

题6-14图
解：（1）建立如图所示x 坐标，在左棒中坐标为x 处取线元dx ，带电量dx dq λ=，线元dx 在坐标r 处的场强
左棒在坐标r 处点的场强 题6-14图
（2）在右棒中坐标为r 处取线元dr ，带电量dr dq λ=，该线元受电场力
右棒受总电场力为
F 的方向沿x 轴正方向。

两棒间的静电力大小相等，方向相反，互为斥力。

6-15 用细的不导电的塑料棒弯成半径为cm 50的圆弧，棒两端点间的空隙为
cm 2，棒上均匀分布着C 91012.3-⨯的正电荷，求圆心处场强的大小和方向。

解：有微小间隙的带正电圆弧棒，
等效于一个相同半径的带正电圆环加个弧长等于间隙的带负电小圆弧棒。

由场强叠加原理，圆心O 场强
对于均匀带正电的圆环，由于对称性在圆心O 的电场强度为零，0=圆环E 。

上一带负电小圆弧棒相对于圆心O 可近似
题6-15图
看成一个点电荷，电量为：
圆心处场强100.714AB E E V m -==-⋅，方向指向空隙。

6-16 如图所示，一点电荷q 处于边长为的正方形平面中垂线上，q 与平面中心
O 点相距/2a ，求通过正方形平面的电场强度通量e ψ。

解：以点电荷所在处为中心，以图中正方形为一面作一边长为a 的正方体，由高斯定理知：通过正方体表面的电通量为
题6-16图
q
则通过该正方形平面的电通量为
6εq。

6-17 设匀强电场的场强为E ，E 与半径为R 的半球面的轴线平行。

试计算通过此半球面的电场强度通量。

解：方法一：在半球面上取宽为dl 的环状面积元，
通过面元dS 的电场强度通量 通过整个半球面的电场强度通量
题6-17图
方法二：通过半球面的电场强度通量与垂直通过大圆面S 的电场强度通量相等。

通过S 面的电场强度通量：
故通过半球面的电场强度通量亦为E R 2π。

6-18 在量子模型中，中性氢原子具有如下的电荷分布：一个大小为e +的电荷被密度为()02a /r Ce r --=ρ的负电荷所包围，0α是“玻尔半径”，1000.5310m α-=⨯，C 是为了使电荷总量等于e -所需要的常量。

试问在半径为0α的球内净电荷是多少？距核0α远处的电场强度多大？
解：由()02a /r Ce r --=ρ，可得
由
⎰⎰
⎰
∞-∞
-∞
-=⨯==⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=03
03020
3002
020
3
224288228
00a a dx x e a a r d a r e a
dr r e x a /r a /r
原式成为 e a
C -=⨯-4
43
0π
所以 30
a e C π=
要求半径为0a 的球内的静电荷。

应先求半径0a 的球内的负电荷q ' 球内净电荷为
19
0.677 1.0810
q e q e C -'=+==⨯∑
由高斯定律
200
4q
d a E πε⋅==
∑⎰⎰
E S
6-19 在半径分别为1R ,2R 的两个同心球面上，分别均匀带电为1Q 和2Q ，求空间的场强分布，并作出r E -关系曲线。

解：电荷在球面上对称分布，两球面电荷产生的电场也是球对称分布，场强方向沿径向向外。

（1）以球心O 为圆心，r 为半径（10R r >>）作一同心球面，由高斯定理，球面包围电荷量为零，即
因而 I 0
E =（2）以O 为圆心，半径为r （21R r R >>）作一同心球面，由高斯定理
题6-19图
（3）以O 为圆心，半径为r （2R r <）作一同心的球面，由高斯定理
所以 12
III 2
04Q Q E r πε+=
r E -曲线如图6-19所示。

6-20 设均匀带电球壳内、外半径分别为1R 和2R ，带电量为Q 。

分别利用高斯定理与用均匀带电球面的电场叠加求场强分布，并画出r E -图。

解：由于电荷分布具有球对称性，空间电场分布也具有球对称性。

（1）在1r R <的区域，电量为零。

由高斯定理0s
d ⋅=⎰E S ，因而各点场强为零。

（2）在12R r R ≤≤区域，以r 为半径作同心球面。

由高斯定理
由 331332144
()443333
Q
q V r R R R ρππππ==
--
因此 3
13
23
13204R R R r r Q
E --=πε （3）在2r R >区域，以r 为半径作同心球面，由高斯定理
r E -曲线如图6-20所示。

题6-20图
6-21 无限长共轴圆柱面，半径分别为1R 和2R (21R R >)，均匀带电，单位长度上的电量分别为1λ和2λ。

求距轴为r 处的场强(1)1r R <；(2)12R r R <<；(3)2r R >。

解：（1）在半径为1R 的圆柱面内作半径为r (1r R <)，高为l 的同轴圆柱面，作为高斯面。

通过此高斯面的通量
各点E 垂直于轴线，上下底面电通量为零
因而 0=E (1r R <)
（2）在半径为1R 、2R 的两圆柱面间作半径为r (21R r R >>)，高为l 的同轴圆柱面作为高斯面，由高斯定理
可见 r
E 01
2πελ=
（3）同理在2r R >的区域 r
E 0212πελλ+=
6-22 一半径为R 的无限长带电圆柱，
其体电荷密度为r 0ρρ=(R r ≤)，0ρ为常数。

求场强分布。

解：（1）在圆柱体内r 处（R r ≤），取一
点P ，过P 以底面半径为r ，高为l 作闭合同
轴圆柱面。

圆柱面包围的电荷量
题6-22图
通过圆柱侧面的电通量为rlE π2，通过两底面的电通量为零，由高斯定理
可得 0
23ερr E = E 的方向沿矢径r 的方向
（2）在圆柱体外r 处（R r ≥）取一点P ，过P 点以底面半径为r ，高为l 作闭合同轴圆柱面。

圆柱面包围电荷量
由高斯定理
s
q d ε⋅=
∑⎰
E S 得 r
R E 03
03ερ= E 的方向沿矢径r 的方向
6-23 如图所示，一电量为C 7102-⨯的电荷从坐标原点O 运动到点)4,4(。

设电场强度为41)10N C --=-+⨯⋅E i j 。

（1）试计算经下述路径时，电场力做的功
（2）点)4,4(相对坐标原点O 的电势差。

解：（1）电荷在电场中运动时，电场力做功
（a ）路径为)4,4()0,4()0,0(→→ （b ）路径为)4,4()0,0(→ 题6-23图
（c ）路径为 )4,4()4,0()0,0(→→
（2）点(4,4)相对于坐标原点的电势，即它们之间的电势差U ，等于单位正电荷从点(4,4)移到O 时，电场力所做的功。

6-24 如图所示，半径为R 的均匀带电球面，带电量为Q ，沿半径方向有一均匀带电细线，线电荷密度为λ，长度为l ，细线近端离球心的距离为l 。

设球和细线上的电荷分布固定。

求细线在电场中的电势能。

题6-24图
解：以带电球面圆心O 为原点，通过带电直线作x 坐标如图。

带电球面在轴线x 处场强为
2
04x Q E πε=
方向沿x 轴正方向
该点的电势为 2
0044x x
x
Q Q V Edl dx x x
πεπε∞
∞
===
⎰⎰
在带电细线上x 处取线元dx ，带电量为dx dq λ=，线元dx 的电势能为
dx x
Q dq V dW x 04πελ=
=
细线在电场中的电势能 ⎰⎰
====l
l
l
l
Q x Q x dx Q dW W 20
2002ln 4ln 44πελ
πελπελ
6-25 如图所示，试计算线性电四极子
在很远处（e r r >>）的电势。

解：在距电四极子很远处取一点P ， 距q 2-为r ，夹角为θ，由点电荷电场的
电势
题6-25图
由于e r r >> 故 r r r ≈≈21 故
题6-25图
6-26 如图所示，点电荷C q 910-=，与它在同一直线上的C B A 、、三点分别距
q 为cm cm cm 302010、、
，若选B 为电势零点，求C A 、两点的电势C A V V 、。

题6-26图
解：以点电荷q 为原点，沿C B A q ,,,的连线建
x 坐标，在x 坐标轴上，各点场强方向都沿x 轴正
方向。

题6-26图
对于A 、B 两点，电势差
由0=B V ， 故 V V A 45= 对于B 、C 两点，电势差为：
由0=B V ， 故 V V C 15-=
6-27 真空中一均匀带电细圆环，线电荷密度为λ，求其圆心处电势。

解：在细圆环上取长为dl 的线元，带电量为dl
dq λ=在圆心处产生的电势 整个带电圆环在圆心O 的电势
题6-27图
6-28 半径为mm 2的球形水滴具有电势V 300。

求：（1）水滴上所带的电荷量。

（2）如果两个相同的上述水滴结合成一个较大的水滴，其电势值为多少（假定结合时电荷没有漏失）？
解：（1）设水滴所带电荷均匀分布在水滴表面。

水滴内任一点场强为零，电势与水滴表面电势相等。

对于水滴外任一点x R >，电场强度
水滴的电势 ⎰⎰
∞∞
==R
R
dx x Q Edx V 2
04πε
题6-28图
故 pC C RV Q 7.66107.664120=⨯==-πε
（2）两水滴合成一较大水滴，电量Q Q 2='，半径R R R 26.123≈='，水滴外任一点x （ 1.26x R >）的电场强度
大水滴的电势 ⎰⎰
∞
'∞
==R
R dx x Q
Edx V 26.12
42πε
6-29 两个同心的均匀带电球面，半径分别为1 5.0R cm =，220.0R cm =，已知内球面的电势为160V V =，外球面的电势230V V =-。

（1）求内、外球面上所带电量；（2）在两个球面之间何处的电势为零？
解：（1）设内球面带电量为1Q ，外球面带电量为2Q ，由电势叠加原理
12101
02
6044Q Q V V R R πεπε=
+= ①
12202
02
3044Q Q V V R R πεπε=
+
=- ②
由①-② 得：
()9041142
101
122101=-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-R R Q R R R R Q πεπε 将1Q 的数值代入①式可得：
（2）在两球面之间，电势表达式为
令0r V =， 得cm Q R Q r 0.102
2
1=-=
6-30 如图所示，已知长为l ，均匀带电，电量为Q 的细棒，求z 轴上一点),0(a P 的电势P V 及场强P E 的z 轴分量z E （要求用V =-∇E 来求场强）。

解：在细棒某点x 取线元dx ，带电量dx l
Q
dx dq =
=λ 线元在P 点的电势
细棒在P 点的电势
题6-30图
由电场强度与电势梯度的关系 (
)V V V V x y z
∂∂∂=-∇=-++∂∂∂E i j k z 轴上任一点（z ,0）的电势为 z
z l l l Q
V 2
20ln
4++=πε 故 []
)ln ln(4220z z l l z
l Q z V E z -++∂∂
-=∂∂-
=πε 在),0(a P 点，a z =
6-31 两无限长带异号电荷的同轴圆柱面，单位长度上的电量为
18100.3--⋅⨯m C ，内半径为m 2102-⨯，外半径为m 2104-⨯，一电子在两圆柱面间沿半
径为m 2103-⨯的圆周路径匀速转动。

问此电子的动能为多少？
解：设圆柱面单位长度的电量为λ，两同轴圆柱间的场强
电子作匀速圆周运动的向心力由电场力提供 题6-31图
所以电子的动能 2170
1 4.321024k e E m J λπε-=
==⨯v 6-32 一电偶极子放在均匀电场中，其电偶极矩与场强成30角，场强的大小为
13102-⋅⨯m V ，作用在电偶极子上的力偶矩为m N ⋅⨯-2100.5，试计算其电偶极矩和电
势能。

解：电矩e q =P l 与电场夹角为电偶极子受力偶矩θ
e P 的方向由负电荷指向正电荷，与E 成30角。

设电偶极子q q +-，所在点a b ，的电势为
a b U U ，。

q q +-，在b a ,两点的电势能a W qU +=，
b W qU -=-，电偶极子的电势
能
题6-32图
6-33 一带电粒子经过加速电压加速后其速度增大，已知电子的质量为
kg m 311011.9-⨯=，电荷量绝对值为C e 19106.1-⨯=。

（1）假设电子质量与速度无关，把静止电子加速到光速需要多高的电压？
（2）若考虑电子质量随速度而变化，那么静止电子经过上述电压加速后，其速度是多少？它是光速的百分之几？
解：（1）依题意，设电子质量与速度无关
（2）若考虑电子质量随速度而变化，电子运动质量
当静止电子经电压U 加速后，电子动能为
v
可见0.74574.5%
==
c。