宝鸡文理学院试题参考答案与评分标准-高等代数

宝鸡文理学院试题

课程名称: 高等代数II 适 用 时 间: 2019年1月 试卷类别: A

适用专业、年级、班: 数信院2017级各专业

一、选择题（每小题3分，3×5=15分）

1、n 元二次型AX X f '=的矩阵为A ，正惯性指数为p ，秩为r ，则f 正定的充要条件是 。

A. |A| >0;

B. r p =;

C. n r =;

D. 存在可逆矩阵C ，使C C A '=.

2、在3维线性空间V 中，设由基321,,ααα到基321,,βββ的过渡矩阵为A ，由321,,ααα到基3

21,,γγγ的过渡矩阵为B ，则由基321,,βββ到基321,,γγγ的过渡矩阵为 。

A. AB ；

B. BA ；

C. B A 1-；

D. A B 1- 。

3、设()()()()12(0,1,1,1,0,1),(1,1,0,1,1,1)W L W L ==，则()=+21dim W W . A. 4; B. 3 ; C. 2 ; D. 1 .

4、 设线性变换A 在基21,εε的矩阵为⎪⎪⎭⎫

⎝⎛1011，线性变换B 在基12,,εε下的矩阵为⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛-1101，那么 A +B 在基21,εε下的矩阵为 。 A ．2112⎛⎫

⎪

-⎝⎭

； B ．0211⎛⎫ ⎪⎝⎭ ； C ．1210⎛⎫ ⎪⎝⎭ ； D ．2002⎛⎫

⎪⎝⎭。 5、 设1V 是n 维欧氏空间V 的子空间，1V ⊥

是1V 的正交补，则 。

A. }0{11=⊥V V ； B ．∅=⊥11V V ； C ．V V V =⊥11 ；D ．V V V =⊥11 。 二、填空题(每小题3分，3×5=15分)

1、 二次型3231212

322214427x x x x x x x x x ----+的矩阵为 。

2、设21,W W 都是线性空间6P 的子空间，6

1212,dim 3,dim 4,W W P W W +===则

=)dim (21W W 。

3、 在n 维线性空间V 中，线性变换A

k αα=，则A 的特征值是________。

4、 设3级矩阵A 与B 相似，而B 的特征值为2,3,4,则||A = 。

5、 在欧氏空间3][x R 中，内积定义为:⎰

-=1

1

)()x ())(),((dx x g f x g x f ，则12-x x 与之间的夹角

为 。

三、计算题(每小题各10分，共40分) 1、已知实二次型

2221231122233(,,)224f x x x x x x x x x x =++++。

（1）用非退化线性替换化该二次型为标准形。

（2）说明该二次型的正惯性指数、符号差，并判断该二次型是否正定？

2、在欧氏空间3R 中，已知向量11,1,1α=（），2=1-1-1α（，，），),(21ααL W =，

（1）求W 的一组标准正交基；

（2）求一个单位向量γ，使它与12,αα正交。

3、设V 是数域P 上的是3维线性空间，线性变换A 在基},,{321ααα下的矩阵为

⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛--=300222011A ，

已知11αβ=，222αβ=，333αβ=也是V 的一个基。 （1）求由基},,{321ααα到基},,{321βββ的过渡矩阵； （2）给出A 关于基},,{321βββ的矩阵； 4、（10分）设矩阵

⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛--=011101110A ,

（1）求A 的全部特征值；

（2）对每个特征值，求A 的属于特征值的全部特征向量。 四、证明题（每小题各10分，共30分）

1、如果,A B 都是正定矩阵，证明：B A 2+也是正定矩阵。

2、设A 是线性空间V 上的线性变换，ε是V 中的向量，如果A 2ε≠0,但A 3ε=0， 求证：ε, A ε, A 2ε线性无关。

3、设V 是n 维欧氏空间,0≠α是V 中一固定向量, （1）证明：V },0),(|{1V x a x x ∈==是V 的一个子空间； （2）证明：1dim 1-=n V 。

一、选择题（每小题3分，3×5=15分） 1-5：DCBAA

二、填空题(每小题3分，3×5=15分)

1、⎥⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎢⎣⎡-------722211211； 2、1 ； 3、k ； 4、24 ； 5、2

π 。 三、计算题(每小题10分，共40分)

1、 解 (1)由配方法得 2

2

2

2

2

123112222333(,,)(2)(44)3f x x x x x x x x x x x x =+++++-

22212233()(2)3x x x x x =+++- （5分）

令1122233

32 y x x y x x y x

=+⎧⎪=+⎨⎪=⎩，即112222333+2 2=x y y y x y y x y =-⎧⎪

=-⎨⎪⎩，该线性替换是非退化的，且经此线性替换，得标准形为

222123123(,,)3f x x x y y y =+-。 （7分）

(2) 二次型的正惯性指数2，符号差为1。 从而该二次型不正定。 （10分） 2、解 （1）设)1,1,2(3

2

),(),(,111122211--=-

==ββββααβαβ，再单位化得到W 的标准正交基：

121(1,1,1),1,1)3γγ==--。 （5分）

（2）设12312(,,)x x x ααα=与，正交，则有

123123

0x x x x x x ++=⎧⎨

--=⎩ 解之得解向量：(0,1,1)T

β=-，单位化得1,1)T γ=

-即为所求。 (10分） 3、解 (1) 基},,{321ααα到基},,{321βββ的过渡矩阵

⎪⎪⎪

⎭

⎫ ⎝⎛=300020001T （5分）

（2）A 关于基},,{321βββ的矩阵为

⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⋅⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝

⎛=-30002000130022201100000013121

1AT T ⎪⎪⎪⎭⎫

⎝⎛--=300321021 （10分）

4、解（1）特征多项式为

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