2014届中考数学基础复习查漏补缺第一轮：第26讲 矩形、菱形、正方形
2014中考数学复习课件19特殊平行四边形-矩形菱形正方形-第一轮复习第五单元四边形
C D O C
∵四边形ABCD是矩形,AB=BC（或AC⊥DB） ∴四边形ABCD是正方形.
(4)对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形. B
∵四边形ABCD是平行四边形,AC⊥BD,AC=BD ∴四边形ABCD是正方形.
温馨提示 1.正方形的判定： (1)先证明四边形是矩形，再证明有一组邻边相等或对 角线垂直 (2)先证明四边形是菱形，再证明有一个角是直角或对 角线相等. 2.矩形的面积：S＝ab(a，b 表示长和宽)； 菱形的面积等于两条对角线乘积的一半； 正方形的面积等于边长的平方或对角线乘积的一半 .
B A
C D
B
C
∴AC=BD. （3）矩形既是 轴 对称图形又是 中心 对称图形， 两 对角线交点 有 条对称轴，对称中心是 . （4）矩形面积是长乘宽。
3.矩形的判定
(1)定义：有一个角是 直角 的平行四边形是矩形 ∵四边形ABCD是平行四边形，∠A=900 ∴四边形ABCD是矩形. (2)有三个角是直角的四边形是矩形. A D ∵∠A=∠B=∠C=900, ∴四边形ABCD是矩形. (3)对角线相等的平行四边形是矩形. ∵四边形ABCD是平行四边形, AC=DB. A ∴四边形ABCD是矩形.
(1)求证：四边形 BECF 是菱形； (2)若四边形 BECF 为正方形，求∠ A 的度数．
【点拨】本题考查线段垂直平分线的性质、菱形的 判定、正方形的性质等． 解：(1)证明：∵ BC 的垂直平分线 EF 交 BC 于点 D， ∴ BF＝ CF， BE＝ CE. 又∵∠ ACB＝ 90° ，∴ EF∥ AC.
方法总结 对于菱形的判定，若可证出四边形为平行四边形， 则可证一组邻边相等或对角线互相垂直； 若相等的边较 多，则可证四条边都相等.
启东中学2014届中考总复习电子教案 专题13：矩形、菱形和正方形
4．（2013江苏扬州）如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝80°，AB的垂直平分
线交对角线AC于点F，垂足为E，连接DF，则∠CDF等于（ B ）
A．50° B．60°
C．70°
D．80°
5．（2013四川巴中）如图，菱形ABCD的两条对角线相交于O，若AC＝6，BD
＝4，则菱形ABCD的周长是（ C ）
菱形ABCD各边中点，可得四边形A1B1C1D1；顺次连结四边形A1B1C1D1各边中点 ， 可 得 四 边 形 A2B2C2D2 ； 顺 次 连 结 四 边 形 A2B2C2D2 各 边 中 点 ， 可 得 四 边 形
A3B3C3D3；按此规律继续下去…….则四边形A2B2C2D2的周长是 20 ；四边形
A．24
B．16
C．4 13
D．2 3
6． B
7．
1 3 2
考点3 正方形（考查频率：★★★★☆）
命题方向：（1）以填空或者选择的形式考查正方形的判定；（2）正方形的 边角关系；（3）正方形的对称性解决的问题．
8．（2013贵州省六盘水）在平面中，下列命题为真命题的是（ A ）．
A．四个角相等的四边形是矩形 B．对角线垂直的四边形是菱形
55 3
A2013B2013C2013D2013的周长是 22015
.
例1：（2013湖南娄底）某校九年级学习小组在探究学习过程中，用两块完 全 相 同 的 且 含 60° 角 的 直 角 三 角 板 ABC 与 AFE 按 如 图 1 所 示 位 置 放 置 ， 现 将 Rt△AEF绕A点按逆时针方向旋转角α（0°＜α＜90°），如图2，AE与BC交于 点M，AC与EF交于点N，BC与EF交于点P.
（1）求证：AM＝AN； （2）当旋转角α＝30°时，四边 形ABPF是什么样的特殊四边形？ 并说明理由.
中考数学_专项_矩形、菱形、正方形考点及题型
【中考数学】矩形、菱形、正方形的5大考点及题型汇总矩形、菱形、正方形是八年级下册特殊平行四边形这一章节的重要组成部分。
他们都是基于平行四边形的性质衍生出来的其基本的性质都和平行四边形是一样的。
所以大家在进行学习和记忆的时候只需要紧抓其特殊部分，就能把他们都区分出来。
熟练掌握矩形，菱形，正方形的性质，定义和判定是这部分学习的重点，同时这部分也是中考数学几何部分的重要考点。
只有把这些性质和判定融会贯通。
那么在遇到综合题或者是类似题型的几何才能应对自如，尽快的形成自己的解题思路。
今天就给大家分享初中数学矩形、菱形、正方形的5大考点及题型，同学们赶紧来查漏补缺。
一、矩形、菱形、正方形的性质1.矩形的性质①具有平行四边形的一切性质；②矩形的四个角都是直角；③矩形的对角线相等；④矩形是轴对称图形，它有两条对称轴；⑤直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
2.菱形的性质①具有平行四边形的一切性质；②菱形的四条边都相等；③菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；④菱形是轴对称图形，每条对角线所在的直线都是它的对称轴；⑤菱形的面积＝底×高＝对角线乘积的一半。
3.正方形的性质: 正方形具有平行四边形，矩形，菱形的一切性质①边：四边相等，对边平行；②角：四个角都是直角；③对角线：互相平分；相等；且垂直；每一条对角线平分一组对角，即正方形的对角线与边的夹角为45度；④正方形是轴对称图形，有四条对称轴。
例1 矩形ABCD中，DE⊥AC于E，且∠ADE：∠EDC=3：2，则∠BDE的度数为（）A．360 B．90C．270 D．180例2 如图，矩形ABCD中，AE⊥BD于点E，对角线AC与BD相交于点O，BE：ED ＝1：3，AB＝6cm，求AC的长。
例3 如图， O是矩形ABCD 对角线的交点， AE平分∠BAD，∠AOD=120°，求∠AEO 的度数。
例4 菱形的周长为40cm，两邻角的比为1:2，则较短对角线的长________ 。
中考数学一轮复习特殊的平行四边形——矩形、菱形、正方形专题培优、能力提升复习讲义(含答案)
）
A．若 AB⊥ BC，则 ABCD是菱形 B．若 AC⊥ BD，则 ABCD是正方形
C．若 AC=BD，则 ABCD是矩形 D．若 AB=AD，则 ABCD是正方形
【答案】 C.
【解析】
试题分析：根据矩形的判定可得 A、C 项应是矩形；根据菱形的判定可得 B、D 项应是菱形 , 故答案选 C.
考点：矩形、菱形的判定 .
主要考查学生运用定理进行推理的能力．
【举一反三】
如图，正方形 ABCD的边长为 1 , AC、BD是对角线，将 △DCB绕点 D顺时针旋转 450 得到 △DGH，
HG交 AB于点 E ，连接 DE交 AC于点 F ，连接 FG，则下列结论：
①四边形 AEGF是菱形
②△ AED≌△ GED见解析；（ 2）四边形 ABEF是菱形，理由详见解析 . 【解析】
（ 2）四边形 ABEF是菱形；理由如下： ∵四边形 ABCD是平行四边形， ∴ AD∥ BC， ∴∠ DAE=∠ AEB， ∵ AE平分∠ BAD， ∴∠ BAE=∠ DAE， ∴∠ BAE=∠ AEB， ∴ BE=AB， 由（ 1）得： AF=AB， ∴ BE=AF， 又∵ BE∥ AF， ∴四边形 ABEF是平行四边形，
. 对于菱形的判定，若可证出四边形为平行
四边形，则可证一组邻边相等或对角线互相垂直；若相等的边较多，则可证四条边都相等
.
【举一反三】
1. 如图，四边形 ABCD是菱形， AC 8 ， DB 6 ， DH AB 于 H，则 DH等于
A． 24 5
B ． 12 5
C
．5 D ．4
D
C
【答案】 A. 【解析】
【答案】证明见解析 . 【解析】
考点：正方形的判定；全等三角形的判定与性质．
2014中考第一轮复习课件第24课 矩形、菱形和正方形
1．(2012·广州)在平面中，下列命题中为真命题的是 ( A．四条边相等的四边形是正方形 B．对角线相等的四边形是菱形 C ．四个角相等的四边形是矩形 D．对角线互相垂直的四边形是平行四边形
【答案】 C
)
2．(2012·长沙)如图 24－1，在菱形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 交于点 O，OE ∥DC 交 BC 于点 E ，AD＝6 cm ， 则 OE 的长为 ( ) A. 6 cm B. 4 cm C. 3 cm D. 2 cm
【解析】 ∵AE ⊥BP， CF ⊥BP， ∴∠AEB ＝∠BFC＝90°. 又∵∠ABE ＋∠FBC＝∠FBC＋∠BCF ＝90°， ∴∠ABE ＝∠BCF . 又∵AB ＝BC，∴△ABE ≌△BCF (AAS )， ∴AE ＝BF .∴AE 2＋CF 2＝BF 2＋CF 2＝BC2＝42＝16， ∴AE 2＋CF 2 是一个常数．
【解析】 (1)∵DE ⊥AB ，DF ⊥BC， ∴∠AED＝∠CFD＝90°. ∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴∠A ＝∠C. 在△ADE 和△CDF 中， ∠AED＝∠CFD， ∵ ∠A ＝∠C， ∴△AED≌△CFD(AAS )． DE ＝DF ， (2)∵△AED≌△CFD，∴AD＝CD. ∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴□ABCD 是菱形．
福建省2014届中考数学总复习《矩形、菱形、正方形》导学案(无答案) 华东师大版
矩形、菱形、正方形一：【课前预习】（一）：【知识梳理】1.性质：（1）矩形：①矩形的四个角都是直角．②矩形的对角线相等．③矩形具有平行四边形的所有性质．（2）菱形：①菱形的四条边都相等．②菱形的对角线互相垂直，并且每条对角线平分一组对角．③具有平行四边形所有性质．（3）正方形：①正方形的四个角都是直角，四条边都相等．②正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角．2.判定：（1）矩形：①有一个角是直角的平行四边形是矩形．②对角线相等的平行四边形是矩形．③有三个角是直角的四边形是矩形．（2）菱形：①对角线互相垂直的平行四边形是菱形．②一组邻边相等的平行四边形是菱形．③四条边都相等的四边形是菱形．（3）正方形：①有一个角是直角的柳是正方形．②有一组邻边相等的矩形是正方形．③对角线相等的菱形是正方形．④对角线互相垂直的矩形是正方形．3.面积计算：（1）矩形：S=长×宽；（2）菱形：1212S l l =⋅（12l l 、是对角线） （3）正方形：S=边长24.平行四边形与特殊平行四边形的关系（二）：【课前练习】1.下列四个命题中，假命题是（ ）A ．两条对角线互相平分且相等的四边形是正方形B ．菱形的一条对角线平分一组对角C ．顺次连结四边形各边中点所得的四边形是平行四边形D ．等腰梯形的两条对角线相等2.将矩形ABCD 沿AE 折叠，得到如图所示的图形，已知∠CED '=60°，则∠AED 的大小是（ ）A ．60°.B ．50°.C ．75°.D ．55°3.正方形的对角线长为a ，则它的对角线的交点到各边的距离为（ ）A 、22 aB 、24 aC 、a 2D 、2 2 a 4.如图，是根据四边形的不稳定性制作的边长均为15㎝的可活动菱形衣架．若墙上钉子间的距离AB ＝BC ＝15㎝，则∠1＝_____度5.师傅做铝合金窗框，分下面三个步骤进行（1）如图，先裁出两对符合规格的铝合金窗料（如图①），使AB=CD ，EF= GH ；（2）摆放成如图②的四边形，则这时窗框的形状是 ，根据的数学道理是____．（3）将直角尺靠紧窗框的一个角(如图③)调整窗框的边框，当直角尺的两条直角边与窗框无缝隙时(如图④)说明窗框合格，这时窗框是_________，根据的数学道理是______________二：【经典考题剖析】1.下列四边形中，两条对角线一定不相等的是（）A．正方形B．矩形C．等腰梯形D．直角梯形2.周长为68的矩形ABCD被分成7个全等的矩形，则矩形ABCD的面积为（）A．98 B． 96 C．280 D．2843.如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝80 ，AB的垂直平分线EF交对角线A C于点F、E为垂足，连结DF，则∠CDF等于（）A．80° B．70° C．65° D．60°4.如图，小明想把平面镜MN挂在墙上，要使小明能从镜子里看见自己的脚？问平面镜至多离地面多高？（已知小明身高1．60米）5.如图，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，请添加一个条件，使四边形EFGH为菱形，并说明理由，添加的条件__________，理由：三：【课后训练】1.正方形具有而矩形不一定具有的性质是（）A．四个角都是直角；B．对角线相等；C．对角线互相平分；D．对角线互相垂直2.如图，一张矩形纸片，要折叠出一个最大的正方形，小明把矩形的一个角沿折痕AE翻折上去，使AB和AD边上的AF重合，则四边形ABEF就是一个最大的正方形，他的判断方法是________-3.如图，在菱形ABCD中，AC、BD相交于点 O，且CA：BD=l： 3 ,若AB=2，求菱形ABCD的面积．4.如图，以△ABC的三边长为边在 BC的同一侧分别作三个等边三角形，即△ABD、△ACF、△BCE，请回答下列问题：（1）四边形ADEF是什么四边形？（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADEF是矩形？5.在一次数学兴趣小组活动中，组长将两条等宽的长纸条倾斜地重叠着，并问同学，重叠部分是一个什么样的四边形？同学说：这是一个平行四边形．乙同学说：这是一个菱形．请问：你同意谁的看法要解决此题，需建构数学模型，将实际问题转化成数学问题来解决，即已知：如图，四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，边CD与边BC上的高相等，试判断四边形 ABCD的形状．6.检查你家（或教室）的门框（或方桌面）是不是矩形，如果仅有一根较长的绳子，你怎样检查？并解释其中的道理。
2014中考总复习第22讲矩形、菱形、正方形
第二部分
复习目标
知识回顾
重点解析
探究拓展
真题演练
5. (2012·厦门中考)如图, 在菱形 A B C D 中, A C 、B D 是对角线, 若∠B A C = 50°, 则∠A B C 等于( A. 40° C. 80° 【答案】 C B. 50° D. 100° )
6. (2011·龙岩中考)如图, 菱形 A B C D 周长为 8 cm , ∠B A D 则A C = 【答案】 2 3 cm .
复习目标
考向分析
知识回顾
重点解析
探究拓展
真题演练
结合近几年中考试题分析, 矩形、菱形、正方形的内容考查主要有以下特点: 1. 本讲内容涉及特殊平行四边形的概念、性质、判定, 主要考查边长、对角 线长、面积等的计算. 题型有填空题、选择题、但更多的是证明题、求值计算题、 条件探索题, 几何动态问题和与函数结合的问题. 2. 本讲知识与轴对称、旋转及平移等结合考查, 许多有一定难度的新题、活 题、 压轴题将出现于此讲, 试题强调基础, 源于教材, 变中求新, 考查学生的发散思维 能力.
【思路点拨】 (1)证明全等时应避免把对应边找错. (2)因 s i n ∠E D F =
EF DE
, 结合(1)求 E F , D E 的长.
第二部分
复习目标
知识回顾
重点解析
探究拓展
真题演练
【自主解答】 ( 1) 证明: 在矩形 A B C D 中, BC = AD , A D ∥B C , ∠B = 90°. ∴∠D A F = ∠A E B . ∵D F ⊥A E , AE= BC , ∴∠A F D = 90°= ∠B . 又∵A E = A D . ∴△A B E ≌△D F A .
中考数学第一轮总复习矩形、菱形、正方形课件
第7题图(2015昆明卷7题3分)如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O,下列结论：①AC⊥BD；
全∴四国边视②形野EF若G创H新是四考菱法形边． 形ABCD是平行四边形，请添加一个条件_A__C_＝__B_D__或__A_O_＝___B_O_或__C__O_＝__D__O_
8
C.
（写出一个即可）， ∴四边形ABGH是矩形，
依次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫做中点四边形原图形任意四边形矩形菱形正方形对角线相等的四边形对角线垂直的四边形对角线垂直且相等的四边形中点四边形形状平行四边形菱形矩形正方形菱形矩形正方形第二节矩形菱形正方形返回目录重难点突破一矩形的性质与判定例例1已知如图四边形abcd的对角线acbd相交于点o
例2题图
第二节 矩形、菱形、正方形
（2）如图=110°，则∠ACD=___3_5_°___； ②若菱形ABCD的周长为4，∠BCD=60°，那么菱形的
对角线BD的长为____1_____；
③若AC=24,BD=10,则菱形ABCD的周长为_____5_2____
第二节 矩形、菱形、正方形
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第二节 矩形、菱形、正方形
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性质 判定
面积公式
性质 判定
面积公式
矩形
正方形
性质 判定 面积公式
矩形、菱形、 正方形
平行四边形、菱形 矩形、正方形 之间的关系
包含关系 转化关系
菱形
中点四边形
第二节 矩形、菱形、正方形
∵△ABC是以BC为底的等腰三角形，点E、F分别是AB、AC的中点， (2)在△CDF中，∵G是CD的中点，且CF∥EG.
)
第7题图(2015昆明卷7题3分)如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O,下列结论：①AC⊥BD；
2014年中考数学一轮复习学案第19讲 矩形、菱形和正方形
第19讲矩形、菱形和正方形【考纲要求】1．掌握平行四边形与矩形、菱形、正方形之间的关系．2．掌握矩形、菱形、正方形的概念、判定和性质．3．灵活运用特殊平行四边形的判定与性质进行有关的计算和证明.【命题趋势】特殊的平行四边形是中考的重点内容之一，常以选择题、填空题、计算题、证明题的形式出现，也常与折叠、平移和旋转问题相结合，出现在探索性、开放性的题目中.【考点探究】考点一、矩形的性质与判定【例1】如图，在△ABC中，点O是AC边上(端点除外)的一个动点，过点O作直线MN∥BC.设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F，连接AE，AF.那么当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？并证明你的结论．分析：判定一个四边形是矩形，可以先判定四边形是平行四边形，再找一个内角是直角或说明对角线相等．解：当点O运动到AC的中点(或OA＝OC)时，四边形AECF是矩形．证明：∵CE平分∠BCA，∴∠1＝∠2.又∵MN∥BC，∴∠1＝∠3，∴∠3＝∠2，∴EO＝CO.同理，FO＝CO，∴EO＝FO.又OA＝OC，∴四边形AECF是平行四边形．又∵∠1＝∠2，∠4＝∠5，∴∠1＋∠5＝∠2＋∠4.又∵∠1＋∠5＋∠2＋∠4＝180°，∴∠2＋∠4＝90°，即∠ECF＝90°.∴四边形AECF是矩形．方法总结矩形的定义既可以作为性质，也可以作为判定．矩形的性质是求证线段或角相等时常用的知识点．证明一个四边形是矩形的方法：(1)先证明它是平行四边形，再证明它有一个角是直角；(2)先证明它是平行四边形，再证明它的对角线相等；(3)证明有三个内角为90°.触类旁通1 如图，将矩形纸片ABCD 沿对角线BD 折叠，点C 落在点E 处，BE 交AD 于点F ，连接AE .求证：(1)BF ＝DF ； (2)AE ∥BD .考点二、菱形的性质与判定【例2】如图，矩形ABCD 的对角线相交于点O ，DE ∥AC ，CE ∥BD .(1)求证：四边形OCED 是菱形；(2)若∠ACB ＝30°，菱形OCED 的面积为83，求AC 的长．分析：(1)先证明四边形OCED 是平行四边形，然后证明它的一组邻边相等；(2)因为△DOC 是等边三角形，根据菱形的面积计算公式可以求菱形的边长，从而求出AC 的长．解：(1)证明：∵DE ∥OC ，CE ∥OD ，∴四边形OCED 是平行四边形． ∵四边形ABCD 是矩形，∴AO ＝OC ＝BO ＝OD . ∴四边形OCED 是菱形．(2)∵∠ACB ＝30°，∴∠DCO ＝90°－30°＝60°.又∵OD ＝OC ，∴△OCD 是等边三角形． 过D 作DF ⊥OC 于F ，则CF ＝12OC ，设CF ＝x ，则OC ＝2x ，AC ＝4x . 在Rt △DFC 中，tan 60°＝DFFC，∴DF＝FC·tan 60°＝3x.由已知菱形OCED的面积为83得OC·DF＝83，即2x·3x＝8 3.解得x＝2.∴AC＝4×2＝8.方法总结菱形的定义既可作为性质，也可作为判定．证明一个四边形是菱形的一般方法：(1)四边相等；(2)首先证明是平行四边形，然后证明有一组邻边相等；(3)对角线互相垂直平分；(4)对角线垂直的平行四边形．触类旁通 2 如图，在ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点O作直线EF⊥BD，分别交AD，BC于点E和点F，求证：四边形BEDF是菱形．考点三、正方形的性质与判定【例3】如图①，在正方形ABCD中，E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA上的点，HA＝EB＝FC＝GD，连接EG，FH，交点为O.(1)如图②，连接EF，FG，GH，HE，试判断四边形EFGH的形状，并证明你的结论；(2)将正方形ABCD沿线段EG，HF剪开，再把得到的四个四边形按图③的方式拼接成一个四边形．若正方形ABCD的边长为3 cm，HA＝EB＝FC＝GD＝1 cm，则图③中阴影部分的面积为__________cm2.分析：根据题目的条件可先证△AEH，△BFE，△CGF，△DHG四个三角形全等，证得四边形EFGH的四边相等，然后由全等再证一个角是直角．解：(1)四边形EFGH是正方形．证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，AB＝BC＝CD＝DA.∵HA＝EB＝FC＝GD，∴AE＝BF＝CG＝DH.∴△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG.∴EF＝FG＝GH＝HE.∴四边形EFGH是菱形．由△DHG≌△AEH，知∠DHG＝∠AEH.∵∠AEH＋∠AHE＝90°，∴∠DHG＋∠AHE＝90°.∴∠GHE＝90°.∴菱形EFGH是正方形．(2)1方法总结证明一个四边形是正方形可从以下几个方面考虑：(1)“平行四边形”＋“一组邻边相等”＋“一个角为直角”(定义法)；(2)“矩形”＋“一组邻边相等”；(3)“矩形”＋“对角线互相垂直”；(4)“菱形”＋“一个角为直角”；(5)“菱形”＋“对角线－相等”．【经典考题】1．(2013成都)如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，下列说法错误的是()A．AB∥DC B．AC＝BDC．AC⊥BD D．OA＝OC2．(2013滨州)若菱形的周长为8 cm，高为1 cm，则菱形两邻角的度数比为() A．3:1 B．4:1 C．5:1 D．6:13．(2013泰州)下列四个命题：①一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形；②对角线互相垂直且相等的四边形是正方形；③顺次连接矩形四边中点得到的四边形是菱形；④正五边形既是轴对称图形又是中心对称图形．其中真命题共有() A．1个B．2个C．3个D．4个4．(2013苏州)如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC.若AC＝4，则四边形CODE的周长是()A．4B．6C．8D．105．(2013贵州)以边长为2的正方形的中心O为端点，引两条相互垂直的射线，分别与正方形的边交于A，B两点，则线段AB的最小值是__________．6．(2013山东)如图，点A，F，C，D在同一直线上，点B和点E分别在直线AD的两侧，且AB＝DE，∠A＝∠D，AF＝DC.(1)求证：四边形BCEF是平行四边形；(2)若∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3，当AF为何值时，四边形BCEF是菱形？【模拟预测】1．菱形具有而矩形不一定具有的性质是()A．对角线互相垂直B．对角线相等C．对角线互相平分D．对角互补2．如图，四边形ABCD的对角线AC，BD互相垂直，则下列条件能判定四边形ABCD 为菱形的是()A．BA＝BCB．AC，BD互相平分C．AC＝BDD．AB∥CD3．已知四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝90°，如果添加一个条件，即可推出该四边形是正方形，那么这个条件可以是()A．∠D＝90°B．AB＝CD C．AD＝BC D．BC＝CD4．如图，四边形ABCD为矩形纸片，把纸片ABCD折叠，使点B恰好落在CD边的中点E处，折痕为AF.若CD＝6，则AF等于()A．4 3 B．3 3C．4 2 D．85．如图，两条笔直的公路l1，l2相交于点O，村庄C的村民在公路的旁边建三个加工厂A，B，D，已知AB＝BC＝CD＝DA＝5千米，村庄C到公路l1的距离为4千米，则村庄C到公路l2的距离是()(第5题图)A．3千米B．4千米C．5千米D．6千米6．如图，四边形ABCD是正方形，延长AB到E，使AE＝AC，则∠BCE的度数是__________．(第6题图)7．如图，EF过矩形ABCD对角线的交点O，且分别交AB，CD于E，F，那么阴影部分的面积是矩形ABCD面积的__________．(第7题图)8．如图，点P是边长为1的菱形ABCD对角线AC上一个动点，点M，N分别是AB，BC边上的中点，MP＋NP的最小值是__________．(第8题图)9．如图(1)所示，在正方形ABCD中，M是AB的中点，E是AB延长线上一点，MN⊥DM，且交∠CBE的平分线于点N.(1)求证：MD＝MN.(2)若将上述条件中“M是AB的中点”改为“M是AB上任意一点”，其余条件不变，如图(2)所示，则结论“MD＝MN”还成立吗？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由．参考答案【考点探究】触类旁通1．证明：(1)在矩形ABCD中，AD∥BC，AD＝BC，∴∠1＝∠2.∵∠2＝∠3，∴∠1＝∠3，∴BF＝DF.(2)∵AD＝BC＝BE，BF＝DF，∴AF＝EF，∴∠AEB＝∠EAF.∵∠AFE＝∠BFD，∠1＝∠3，∴∠AEB＝∠3，∴AE∥BD.触类旁通2．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，OB＝OD，∴∠EDO＝∠FBO，∠OED＝∠OFB，∴△OED≌△OFB，∴DE＝BF.又∵DE∥BF，∴四边形BEDF是平行四边形．∵EF⊥BD，∴四边形BEDF是菱形．【经典考题】1．B因为菱形的对边平行且相等，所以A正确；对角线互相平分且垂直，但不一定相等，所以C，D正确，B错误．2．C 根据已知可得到菱形的边长为2 cm ，从而可得到高所对的角为30°，相邻的角为150°，则该菱形两邻角度数比为5:1.故选C.3．B ①一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形是真命题；②对角线互相垂直且相等的四边形是正方形是假命题；③顺次连接矩形四边中点得到的四边形是菱形是真命题；④正五边形既是轴对称图形又是中心对称图形是假命题．故选B.4．C ∵CE ∥BD ，DE ∥AC ，∴四边形CODE 是平行四边形．∵四边形ABCD 是矩形，∴AC ＝BD ＝4，OA ＝OC ，OB ＝OD ，∴OD ＝OC ＝12AC ＝2，∴四边形CODE 是菱形，∴四边形CODE 的周长为4OC ＝4×2＝8. 故选C. 5．2 如图：∵四边形CDEF 是正方形，∴∠OCD ＝∠ODB ＝45°，∠COD ＝90°，OC ＝OD . ∵AO ⊥OB ，∴∠AOB ＝90°，∴∠COA ＋∠AOD ＝90°，∠AOD ＋∠DOB ＝90°，∴∠COA ＝∠DOB .∵在△COA 和△DOB 中，有⎩⎪⎨⎪⎧∠OCA ＝∠ODB ，OC ＝OD ，∠AOC ＝∠DOB ，∴△COA ≌△DOB ，∴OA ＝OB .∵∠AOB ＝90°，∴△AOB 是等腰直角三角形，由勾股定理得：AB ＝OA 2＋OB 2＝2OA ，要使AB 最小，只需OA 取最小值即可． 根据垂线段最短，OA ⊥CD 时，OA 最小． 此时OA ＝12CF ＝1，即AB ＝ 2.6．解：(1)证明：∵AF ＝DC ，∴AF ＋FC ＝DC ＋FC ，即AC ＝DF . 又∵∠A ＝∠D ，AB ＝DE ，∴△ABC ≌△DEF . ∴BC ＝EF ，∠ACB ＝∠DFE .∴BC ∥EF .∴四边形BCEF 是平行四边形．(2)若四边形BCEF 是菱形，连接BE ，交CF 于点G ，∴BE ⊥CF ，FG ＝CG .∵∠ABC ＝90°，AB ＝4，BC ＝3， ∴AC ＝AB 2＋BC 2 ＝42＋32＝5.∵∠BGC ＝∠ABC ＝90°，∠ACB ＝∠BCG ， ∴△ABC ∽△BGC . ∴BC AC ＝CG BC ，即35＝CG 3.∴CG ＝95.∴FC ＝2CG ＝185. ∴AF ＝AC －FC ＝5－185＝75.因此，当AF ＝75时，四边形BCEF 是菱形．【模拟预测】1．A 2．B 3．D4．A ∵点E 是CD 的中点，∴DE ＝CE ＝12CD ＝3.∵四边形ABCD 是矩形，∴AB ＝CD ＝6. 由折叠性质可知，AE ＝AB ＝6，BF ＝EF ， 在Rt △ADE 中，AD ＝AE 2－DE 2＝33， ∴BC ＝3 3.设CF ＝x ，BF ＝EF ＝33－x ， 在Rt △CEF 中，(33－x )2＝x 2＋32，∴x ＝ 3.∴BF ＝2 3.在Rt △ABF 中，AF ＝4 3. 5．B 6．22.5° 7．148．1 在DC 上找N 点关于AC 的对称点N ′，连接MN ′，则MN ′的长即为MP ＋NP 的最小值，此时MN ′＝AD ＝1.9．分析：(1)证MD ＝MN ，可证它们所在的三角形全等，易知MN 在钝角△MBN 中，而MD 在直角△AMD 中，显然需添加辅助线构造全等三角形，由△MBN 的特征想到可在AD 上取AD 的中点F ，构造△MDF ≌△NMB ；(2)可参照第(1)题的方法．(1)证明：取AD 的中点F ，连接MF . ∵M 是AB 的中点，F 是AD 的中点， ∴MB ＝AM ＝12AB ，DF ＝AF ＝12AD .∵AB ＝AD ，∴AF ＝AM ＝DF ＝MB ，∴∠1＝45°， ∴∠DFM ＝135°.∵BN 平分∠CBE ，∴∠CBN ＝45°. ∴∠MBN ＝135°.∴∠MBN ＝∠DFM . ∵∠DMN ＝90°，∴∠NMB ＋∠DMA ＝90°. ∵∠A ＝90°，∴∠ADM ＋∠DMA ＝90°. ∴∠NMB ＝∠ADM .∴△DFM ≌△MBN .∴MD ＝MN . (2)解：结论MD ＝MN 仍成立．证明：在AD 上取点F ，使AF ＝AM ，连接MF .由(1)中证法可得：DF ＝BM ，∠DFM ＝∠MBN ，∠FDM ＝∠BMN ， ∴△DFM ≌△MBN ，∴MD ＝MN .。
矩形、菱形、正方形知识点汇总+5大题型解析+例题
一、矩形、菱形、正方形的性质1.矩形的性质①具有平行四边形的一切性质；②矩形的四个角都是直角；③矩形的对角线相等；④矩形是轴对称图形，它有两条对称轴；⑤直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
2.菱形的性质①具有平行四边形的一切性质；②菱形的四条边都相等；③菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；④菱形是轴对称图形，每条对角线所在的直线都是它的对称轴；⑤菱形的面积＝底×高＝对角线乘积的一半。
3.正方形的性质正方形具有平行四边形，矩形，菱形的一切性质①边：四边相等，对边平行；②角：四个角都是直角；③对角线：互相平分；相等；且垂直；每一条对角线平分一组对角，即正方形的对角线与边的夹角为45度；④正方形是轴对称图形，有四条对称轴。
例1矩形ABCD中，DE⊥AC于E，且∠ADE：∠EDC=3：2，则∠BDE的度数为（）A．36° B．9°C．27° D．18°例2 如图，矩形ABCD中，AE⊥BD于点E，对角线AC与BD 相交于点O，BE：ED＝1：3，AB＝6cm，求AC的长。
例3如图，O是矩形ABCD 对角线的交点，AE平分∠BAD，∠AOD=120°，求∠AEO 的度数。
例 4 菱形的周长为40cm，两邻角的比为1:2，则较短对角线的长________ 。
例5如图，在正方形ABCD中，G是BC上任意一点，连接AG，DE⊥AG于E，BF∥DE交AG于F，探究线段AF、BF、EF三者之间的数量关系，并说明理由．答案：1：D 2：12cm 3：30° 4:10cm 5：AF=BF+EF二、矩形、菱形、正方形的判定1.矩形的判定①有一个内角是直角的平行四边形是矩形；②对角线相等的平行四边形是矩形；③有三个角是直角的四边形是矩形；④还有对角线相等且互相平分的四边形是矩形。
2.菱形的判定方法①有一组邻边相等的平行四边形是菱形；②对角线互相垂直的平行四边形是菱形；③四条边都相等四边形是菱形；④对角线垂直平分的四边形是菱形。
2014年中考数学真题分类解析汇编(25)矩形菱形与正方形
矩形菱形与正方形一、选择题6.（2014•襄阳如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在边AB，BC上，且AE=AB，将矩形沿直线EF折叠，点B恰好落在AD边上的点P处，连接BP交EF于点Q，对于下列结论：①EF=2BE；②PF=2PE；③FQ=4EQ；④△PBF是等边三角形．其中正确的是（）=PE解：∵AE=AB，∴BE=2AE，由翻折的性质得，PE=BE，∴∠APE=30°，∴∠AEP=90°﹣30°=60°，=（180°﹣∠=（180°﹣60°）=60°，∴∠7.（2014•孝感如图，正方形OABC的两边OA、OC分别在x轴、y轴上，点D（5，3）在边AB上，以C为中心，把△CDB旋转90°，则旋转后点D的对应点D′的坐标是（）8．（2014·台湾如图，D 为△ABC 内部一点，E 、F 两点分别在AB 、BC 上，且四边形DEBF 为矩形，直线CD 交AB 于G 点．若CF ＝6，BF ＝9，AG ＝8，则△ADC的面积为何？( )A ．16B ．24C ．36D ．54解：△ADC ＝△AGC ﹣△ADG ＝12×AG ×BC ﹣12×AG ×BF ＝12×8×(6＋9)﹣12×8×9＝60﹣36＝24．故选：B ．9．（2014·台湾）如图，矩形ABCD 中，AD ＝3AB ，O 为AD 中点，AD 弧是半圆．甲、乙两人想在AD 弧上取一点P ，使得△PBC 的面积等于矩形ABCD 的面积其作法如下：(甲) 延长BO 交于P 点，则P 即为所求；(乙) 以A 为圆心，AB 长为半径画弧，交于P 点，则P 即为所求．对于甲、乙两人的作法，下列判断何者正确？( )A ．两人皆正确B ．两人皆错误C ．甲正确，乙错误D ．甲错误，乙正确 解：要使得△PBC 的面积等于矩形ABCD 的面积，需P 甲H ＝P 乙K ＝2A B ．故两人皆错误． 故选：B ．14. （2014年江苏南京）如图，在矩形AOBC 中，点A 的坐标是（﹣2，1），点C的纵坐标是4，则B 、C 两点的坐标分别是（ ）A ．（，3）、（﹣，4）B ．（，3）、（﹣，4）C ．（，）、（﹣，4）D ．（，）、（﹣，4）分析：首先过点A 作AD ⊥x 轴于点D ，过点B 作BE ⊥x 轴于点E ，过点C 作CF ∥y 轴，过点A 作AF ∥x 轴，交点为F ，易得△CAF ≌△BOE ，△AOD∽△OBE，然后由相似三角形的对应边成比例，求得答案．解答：过点A作AD⊥x轴于点D，过点B作BE⊥x轴于点E，过点C作CF∥y轴，过点A作AF∥x轴，交点为F，∵四边形AOBC是矩形，∴AC∥OB，AC=OB，∴∠CAF=∠BOE，在△ACF和△OBE中，，∴△CAF≌△BOE（AAS），∴BE=CF=4﹣1=3，∵∠AOD+∠BOE=∠BOE+∠OBE=90°，∴∠AOD=∠OBE，∵∠ADO=∠OEB=90°，∴△AOD∽△OBE，∴，即，∴OE=，即点B（，3），∴AF=OE=，∴点C的横坐标为：﹣（2﹣）=﹣，∴点D（﹣，4）．故选B．二.填空题3.（2014•孝感，）如图，已知矩形ABCD，把矩形沿直线AC折叠，点B落在点E处，连接DE、BE，若△ABE是等边三角形，则= ．===a====的面积是=×2a﹣=的面积是=×2×a===，4．（2014·浙江金华）如图，矩形ABCD中，AB=8，点E是AD上的一点，有AE=4，BE的垂直平分线交BC的延长线于点F，连结EF交CD于点G，若G是CD的中点，则BC的长是7.．【解析】5. （2014•泰州）如图，正方向ABCD的边长为3cm，E为CD边上一点，∠DAE=30°，M为AE的中点，过点M 作直线分别与AD、BC相交于点P、Q．若PQ=AE，则AP等于1或2 cm．30°=，即=cm，==2的中点，∴AM=AE=cm，中，DE=NQ，∠DAE=∠NPQ=30°，30°===三.解答题2. （2014•福建泉州）如图，在锐角三角形纸片ABC中，AC＞BC，点D，E，F分别在边AB，BC，CA上．（1）已知：DE∥AC，DF∥B C．①判断四边形DECF一定是什么形状？②裁剪当AC=24cm，BC=20cm，∠ACB=45°时，请你探索：如何剪四边形DECF，能使它的面积最大，并证明你的结论；（2）折叠请你只用两次折叠，确定四边形的顶点D，E，C，F，使它恰好为菱形，并说明你的折法和理由．==12，=，即：==﹣﹣，∵，∴4. （2014•广东）如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥AB于点D，BC=10cm，AD=8cm．点P从点B出发，在线段BC上以每秒3cm的速度向点C匀速运动，与此同时，垂直于AD的直线m从底边BC出发，以每秒2cm的速度沿DA方向匀速平移，分别交AB、AC、AD于E、F、H，当点P到达点C时，点P与直线m同时停止运动，设运动时间为t秒（t＞0）．（1）当t=2时，连接DE、DF，求证：四边形AEDF为菱形；（2）在整个运动过程中，所形成的△PEF的面积存在最大值，当△PEF的面积最大时，求线段BP的长；（3）是否存在某一时刻t，使△PEF为直角三角形？若存在，请求出此时刻t的值；若不存在，请说明理由．分析：（1）如答图1所示，利用菱形的定义证明；（2）如答图2所示，首先求出△PEF的面积的表达式，然后利用二次函数的性质求解；（3）如答图3所示，分三种情形，需要分类讨论，分别求解．（1）证明：当t=2时，DH=AH=2，则H为AD的中点，如答图1所示．又∵EF⊥AD，∴EF为AD的垂直平分线，∴AE=DE，AF=DF．∵AB=AC，AD⊥AB于点D，∴AD⊥BC，∠B=∠C．∴EF∥BC，∴∠AEF=∠B，∠AFE=∠C，∴∠AEF=∠AFE，∴AE=AF，∴AE=AF=DE=DF，即四边形AEDF为菱形．（2）解：如答图2所示，由（1）知EF∥BC，∴△AEF∽△ABC，∴，即，解得：EF=10﹣t．S△PEF=EF•DH=（10﹣t）•2t=﹣t2+10t=﹣（t﹣2）2+10 ∴当t=2秒时，S△PEF存在最大值，最大值为10，此时BP=3t=6．（3）解：存在．理由如下：①若点E为直角顶点，如答图3①所示，此时PE∥AD，PE=DH=2t，BP=3t．∵PE∥AD，∴，即，此比例式不成立，故此种情形不存在；②若点F为直角顶点，如答图3②所示，此时PE∥AD，PF=DH=2t，BP=3t，CP=10﹣3t．∵PF∥AD，∴，即，解得t=；③若点P为直角顶点，如答图3③所示．过点E作EM⊥BC于点M，过点F作FN⊥BC于点N，则EM=FN=DH=2t，EM∥FN∥A D．∵EM∥AD，∴，即，解得BM=t，∴PM=BP﹣BM=3t﹣t=t．在Rt△EMP中，由勾股定理得：PE2=EM2+PM2=（2t）2+（t）2=t2．∵FN∥AD，∴，即，解得CN=t，∴PN=BC﹣BP﹣CN=10﹣3t﹣t=10﹣t．在Rt△FNP中，由勾股定理得：PF2=FN2+PN2=（2t）2+（10﹣t）2=t2﹣85t+100．在Rt△PEF中，由勾股定理得：EF2=PE2+PF2，即：（10﹣t）2=（t2）+（t2﹣85t+100）化简得：t2﹣35t=0，解得：t=或t=0（舍去）∴t=．综上所述，当t=秒或t=秒时，△PEF为直角三角形．5. （2014•珠海）如图，在正方形ABCD中，点E在边AD上，点F在边BC的延长线上，连结EF与边CD相交于点G，连结BE与对角线AC相交于点H，AE=CF，BE=EG．（1）求证：EF∥AC；（2）求∠BEF大小；（3）求证：=．中，=======15°，∴=．6. （2014•广西玉林市）如图，在正方形ABCD中，点M是BC边上的任一点，连接AM并将线段AM绕M顺时针旋转90°得到线段MN，在CD边上取点P使CP=BM，连接NP，BP．（1）求证：四边形BMNP是平行四边形；（2）线段MN与CD交于点Q，连接AQ，若△MCQ∽△AMQ，则BM与MC存在怎样的数量关系？请说明理由．=，再求出△，根据相似三角形对应边成比例可得=，从而得到=中，，∴=，，∴=，∴=12.（2014•菏泽）已知：如图，正方形ABCD，BM、DN分别平分正方形的两个外角，且满足∠MAN=45°，连结MN．（1）若正方形的边长为a，求BM•DN的值．（2）若以BM，DN，MN为三边围成三角形，试猜想三角形的形状，并证明你的结论．中，，∴=，∴中，13.（2014•济宁）如图，正方形AEFG的顶点E、G在正方形ABCD的边AB、AD上，连接BF、DF．（1）求证：BF=DF；（2）连接CF，请直接写出BE：CF的值（不必写出计算过程）．分析：（1）根据正方形的性质得出BE=DG，再利用△BEF≌△DGF求得BF=DF，（2）由BF=DF得点F在对角线AC上，再运用平行线间线段的比求解．=∴=15. （2014•益阳）如图，直线y=﹣3x+3与x轴、y轴分别交于点A、B，抛物线y=a（x﹣2）2+k经过点A、B，并与X轴交于另一点C，其顶点为P．（1）求a，k的值；（2）抛物线的对称轴上有一点Q，使△ABQ是以AB为底边的等腰三角形，求Q点的坐标；（3）在抛物线及其对称轴上分别取点M、N，使以A，C，M，N为顶点的四边形为正方形，求此正方形的边长．，解得，==，即正方形的边长为17.（2014•泰州）平面直角坐标系xOy中，点A、B分别在函数y1=（x＞0）与y2=﹣（x＜0）的图象上，A、B 的横坐标分别为a、B．（1）若AB∥x轴，求△OAB的面积；（2）若△OAB是以AB为底边的等腰三角形，且a+b≠0，求ab的值；（3）作边长为3的正方形ACDE，使AC∥x轴，点D在点A的左上方，那么，对大于或等于4的任意实数a，CD 边与函数y1=（x＞0）的图象都有交点，请说明理由．的纵坐标分别为、﹣，根据两点间的距离公式得到）））（﹣）﹣﹣（=，，）=﹣，然后比较﹣）=，而=×|4|=2，=×|﹣的纵坐标分别为、﹣（（﹣）（（﹣﹣（）=0﹣），∴1﹣=（=），）=﹣，﹣（﹣，=（19. （2014•扬州）已知矩形ABCD的一条边AD=8，将矩形ABCD折叠，使得顶点B落在CD边上的P点处．（1）如图1，已知折痕与边BC交于点O，连结AP、OP、O A．①求证：△OCP∽△PDA；②若△OCP与△PDA的面积比为1：4，求边AB的长；（2）若图1中的点P恰好是CD边的中点，求∠OAB的度数；（3）如图2，在（1）的条件下，擦去折痕AO、线段OP，连结BP．动点M在线段AP上（点M与点P、A不重合），动点N在线段AB的延长线上，且BN=PM，连结MN交PB于点F，作ME⊥BP于点E．试问当点M、N在移动过程中，线段EF的长度是否发生变化？若变化，说明理由；若不变，求出线段EF的长度．===AP，∴====．∴=D=AP ==．∴∠=．∴△=Q=PQ+=P==4=．．。
2014届中考基础复习查漏补缺第一轮：第26讲 矩形、菱形、正方形
第26讲┃ 归类示例
► 类型之五 中点四边形
命题角度： 1. 对角线相等的四边形的中点四边形； 2. 对角线互相垂直的四边形的中点四边形．
第26讲┃ 归类示例
[2011·邵阳] 在四边形 ABCD 中，E、F、G、H 分 别是 AB、BC、CD、DA 的中点，顺次连接 EF、FG、GH、 HE.
(1)请判断四边形 EFGH 的形状，并给予证明； (2)试添加一个条件，使四边形 EFGH 是菱形(写出你所 添加的条件，不要求证明)．
图 26－6
第26讲┃ 归类示例
[解析] 连接四边形对角线，利用三角形中位线定理证 明．
解：(1)四边形 EFGH 是平行四边形．证明如下：
连接 AC、BD，由 E、F、G、H 分别是所在边的中点，知 EF∥AC，且 EF＝12AC，GH∥AC，且 GH＝12AC，
顺次连结四边形各边中点所得到的四边形是平行四边形
顺次连结矩形各边中点所得到的四边形是__菱__形____
顺次连结菱形各边中点所得到的四边形是___矩__形___
常见 结论
顺次连结正方形各边中点所得到的四边形是__正__方__形__ 顺次连结等腰梯形各边中点所得的四边形是__菱__形____ 顺次连结对角线相等的四边形各边中点所得到的四边形
AC、BD 相交于点 O，E、F 分别在 OD、OC 上，且 DE＝CF， 连结 DF、AE，AE 的延长线交 DF 于点 M.求证：AM⊥DF.
图 26－4
第26讲┃ 归类示例
[解析] 根据 DE＝CF，可得出 OE＝OF，继而证明 △AOE≌△DOF，得出∠OAE＝∠ODF，然后利用等角代 换可得出∠DME＝90°，即可得出结论． 证明：∵四边形 ABCD 是正方形， ∴OD＝OC.又∵DE＝CF， ∴OD－DE＝OC－CF，即 OF＝OE，
中考数学一轮复习夯实基础课件 矩形、菱形和正方形
矩形、菱形和正方形
自 主 小 测
考 情 分 析
知 识 梳 理
考 点 精 讲
随 堂 练 习
自 主 小 测
1.如图,在矩形ABCD中,若AC=2AD,则∠AOD的大小是( C )
A.30°
B.45°
C.60°
D.90°
2.要使▱ABCD成为矩形;需添加的条件
是____________(或____________).
△AOB的面积为2,则矩形ABCD的面积为( C )
A.4
C.8
Hale Waihona Puke B.6D.10解析:∵四边形ABCD是矩形,对角线AC、BD相交于点O,
∴AC=BD,且OA=OB=OC=OD,
∴S△ADO=S△BCO=S△CDO=S△ABO=2,
∴矩形ABCD的面积为4S△ABO=8,故选C.
3.如图,矩形OABC的顶点A,C分别在x轴、y轴正半轴上,B点
1.(2020·广州)如图,矩形ABCD的对角线AC,BD交于点O,
AB=6,BC=8,过点O作OE⊥AC,交AD于点E,过点E作EF⊥BD,
垂足为F,则OE+EF的值为( C )
A.
C.
B.
D.
解析:∵AB=6,BC=8,
∴矩形 ABCD 的面积为 48,AC= + =10,
3.矩形的判定
(1)有一个角是直角的平行四边形是矩形;
(2)三个角都是直角的四边形是矩形;
(3)对角线相等的平行四边形是矩形.
1.矩形有两条对称轴,分别是每组对边中点的连线所在的直
线,对称中心是两条对角线的交点.
2.矩形是特殊的平行四边形,一般判定一个四边形是矩形时,
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第26讲┃ 归类示例
解：(1)∵四边形 ABCD 是菱形， ∴AB∥CD，BC＝CD. ∴∠1＝∠ACD， 又∵∠1＝∠2， ∴∠ACD＝∠2， ∴MC＝MD. 又∵ME⊥CD， 1 ∴CE＝ED＝ CD， 2 ∴BC＝CD＝2CE＝2.
第26讲┃ 归类示例
(2)证明： 延长DF、AB交于点N， ∵四边形ABCD是菱形，∴∠FCM＝∠ECM. 1 又∵F为边BC的中点，∴CF＝BF＝ BC. 2 1 由(1) 可知CE＝ED＝ CD， 2 ∴CF＝CE.∴△CMF≌△CME，∴MF＝ME. ∵AB∥CD，∴∠2＝∠N，∠NBF＝∠DCF. 又∵BF＝CF，∴△CDF≌△BNF.∴NF＝DF. 又∵∠1＝∠2，∴∠N＝∠1. ∴AM＝MN＝NF＋MF＝DF＋ME.
菱形 定义
对称性 菱形的 性质
定理
菱形是轴对称图形，两条对角线所在 的直线是它的对称轴 菱形是中心对称图形，它的对称中心 是两条对角线的交点 (1)菱形的四条边________； 相等 垂直 (2)菱形的两条对角线互相________平 一组对角 分，并且每条对角线平分________
第26讲┃ 考点聚焦
图 26－6
第26讲┃ 归类示例
[解析] 连接四边形对角线，利用三角形中位线定理证 明．
解：(1)四边形 EFGH 是平行四边形．证明如下：
连接 AC、BD，由 E、F、G、H 分别是所在边的中点，知 1 1 EF∥AC，且 EF＝ AC，GH∥AC，且 GH＝ AC， 2 2 ∴GH∥EF，且 GH＝EF，故四边形 EFGH 是平行四边形． (2)AC＝BD.
(1)定义法 (2)四条边________的四边形是菱形 相等 垂直 (3)对角线互相________的平行四边形是菱形 (1)由于菱形是平行四边形，所以菱形的面积 ＝底×高 菱形面 (2)因为菱形的对角线互相垂直平分，所以其 积 对角线将菱形分成4个全等三角形，故菱形的 一半 面积等于两对角线乘积的________. 菱形的 判定
第26讲┃ 考点聚焦
判定正方形的思路图：
图 26－1
第26讲┃ 考点聚焦 考点4 中点四边形
顺次连结四边形各边中点所得的四边形， 我们称之为中点 定义 四边形 顺次连结四边形各边中点所得到的四边形是平行四边形 菱形 顺次连结矩形各边中点所得到的四边形是________ 顺次连结菱形各边中点所得到的四边形是________ 矩形 正方形 顺次连结正方形各边中点所得到的四边形是________ 常见 菱形 顺次连结等腰梯形各边中点所得的四边形是________ 结论 顺次连结对角线相等的四边形各边中点所得到的四边形 菱形 是________ 顺次连结对角线互相垂直的四边形所得到的四边形是 矩形 ________
第26讲┃矩形、菱形、正方形
第26讲┃ 考点聚焦
考点聚焦
考点1
矩形 定义
矩形
直角 有一个角是________的平行四边形叫做矩形
对称性 矩形是一个轴对称图形，它有两条对称 轴 矩形是中心对称图形，它的对称中心就 是对角线的交点 直 (1)矩形的四个角都是______角； (2)矩形的对角线互相平分并且______ 相等 在直角三角形中，斜边上的中线等于 斜边 ________的一半
第26讲┃ 回归教材
中考变式
如图26－8，四边形ABCD是边长为2的正方形，点G是BC 延长线上一点，连接AG，点E、F分别在AG上，连接BE、 DF，∠1＝∠2，∠3＝∠4. (1)证明：△ABE≌△DAF； (2)若∠AGB＝30°，求EF的长．
图26－8
第26讲┃ 回归教材
解：(1)证明：∵四边形 ABCD 是正方形， ∴AB＝AD.在△ABE 和△DAF 中， ∠2＝∠1， AB＝DA， ∴△ABE≌△DAF. ∠4＝∠3， (2)∵四边形 ABCD 是正方形，∴∠1＋∠4＝90°. ∵∠3＝∠4，∴∠1＋∠3＝90°，∴∠AFD＝90°. 在正方形 ABCD 中， AD∥BC， ∴∠1＝∠AGB＝30°. 在 Rt△ADF 中，∠AFD＝90°，AD＝2， ∴AF＝ 3，DF ＝1.由(1)得△ABE≌△DAF， ∴AE＝DF＝1，∴EF＝AF－AE＝ 3－1 .
矩形的 性质
定理 推论
第26讲┃ 考点聚焦
(1)定义法 相等 矩形的判定 (2)对角线______的平行四边形是矩形 (3)有三个角是直角的四边形是矩形 (1)矩形的两条对角线把矩形分成四个面积相等的 拓展 的等腰三角形； (2)矩形的面积等于两邻边的积
第26讲┃ 考点聚焦 考点2 菱形 邻边 有一组________相等的平行四边形是菱形
第26讲┃ 归类示例
► 类型之五
中点四边形
命题角度： 1. 对角线相等的四边形的中点四边形； 2. 对角线互相垂直的在四边形 ABCD 中，E、F、G、H 分 别是 AB、BC、CD、DA 的中点，顺次连接 EF、FG、GH、 HE. (1)请判断四边形 EFGH 的形状，并给予证明； (2)试添加一个条件，使四边形 EFGH 是菱形(写出你所 添加的条件，不要求证明)．
第26讲┃ 考点聚焦 考点3 正方形
正方形的 有一组邻边相等， 且有一个角是直角的平行四边 定义 形叫做正方形 (1)正方形对边________ 平行 相等 (2)正方形四边________ (3)正方形四个角都是________ 直角 正方形的 (4)正方形对角线相等， 互相________， 垂直平分 每条对角 性质 线平分一组对角 (5)正方形既是轴对称图形也是中心对称图形， 对 称轴有四条，对称中心是对角线的交点 正方形的 (1)有一组邻边相等的矩形是正方形 判定 (2)有一个角是直角的菱形是正方形
图 26－3
第26讲┃ 归类示例
[解析] (1)根据菱形的对边平行可得 AB∥CD，可得∠1＝ ∠ACD，所以∠ACD＝∠2，得 CM＝DM，根据等腰三角形“三 线合一”的性质可得 CE＝DE；(2)证明△CEM 和△CFM 全等， 得 ME＝MF，延长 AB、DF 交于点 N，然后证明∠1＝∠N，得 AM＝NM， 再利用“角角边”证明△CDF 和△BNF 全等， NF 得 ＝DF，最后结合图形 NM＝NF＋MF 即可得证．
第26讲┃ 归类示例
在证明一个四边形是菱形时，要注意判别条件是平行四 边形还是任意四边形．若是任意四边形，则需证四条边都相 等；若是平行四边形，则需利用对角线互相垂直或一组邻边 相等来证明．
第26讲┃ 归类示例 ► 类型之三 正方形的性质及判定的应用 命题角度： 1. 正方形的性质的应用； 2. 正方形的判定．
图 26－2
第26讲┃ 归类示例
[解析] (1)利用 AAS 可得出三角形 ABE 与三角形 FCE 全等； (2)利用对角线相等的平行四边形为矩形可得出四边形 ABFC 为矩形．
证明：(1)∵E 是 BC 中点， ∴BE＝CE. ∵四边形 ABCD 是平行四边形． ∴ AB∥DF，∴∠BAE＝∠CFE . 在△ABE 与△FCE 中， ∠BAE＝∠CFE， ∠AEB＝∠FEC， ∴△ABE≌△FCE(AAS)． BE＝CE，
第26讲┃ 归类示例
正方形是特殊的平行四边形，还是特殊的矩形，特殊的菱 形，因此正方形具有这些图形的所有性质；正方形的判定方法 有两条道路：(1)先判定四边形是矩形，再判定这个矩形是菱 形；(2)先判定四边形是菱形，再判定这个菱形是矩形．
第26讲┃ 归类示例
► 类型之四
特殊平行四边形的综合应用
命题角度： 1. 矩形、菱形、正方形的性质的综合应用； 2. 矩形、菱形、正方形的关系转化．
图26－7
第26讲┃ 回归教材
解：四边形EFGH是正方形． 理由为：∵四边形ABCD是正方形， ∴DA＝AB＝BC＝CD, ∠A＝∠B. ∵AE＝BF＝HD，∴BE＝AH， ∴△HAE≌△EBF，∴HE＝EF， ∠HEA＝∠EFB. ∵∠EFB＋∠FEB＝90°， ∴∠HEA＋∠FEB＝90°， ∴∠HEF＝90°. 同理可得HE＝EF＝FG＝GH， ∠HEF＝∠EFG＝∠FGH＝∠GHE＝90°， ∴四边形EFGH是正方形． [点析] 正方形含有很多相等的边和角，这些是证明全等 的有力工具．
第26讲┃ 归类示例
依次连接四边形各边中点所得到的新四边形的形状与原 四边形对角线的关系(相等、垂直、相等且垂直)有关．
第26讲┃ 回归教材
回归教材
全等三角形在正方形问题中的重要作用
教材母题 北师大版八上P117数学理解第3题 如图26－7，在正方形ABCD中，E，F，G，H分别在它 的四条边上，且AE＝BF＝CG＝DH.四边形EFGH是什么特殊 四边形，你是如何判断的？
第26讲┃ 归类示例
[2012· 娄底] 如图 26－5，在矩形 ABCD 中，M、N 分 别是 AD、BC 的中点，P、Q 分别是 BM、DN 的中点． (1)求证：△MBA≌△NDC； (2)四边形 MPNQ 是什么样的特殊四边形？请说明理由．
图 26－5
第26讲┃ 归类示例
解：(1)证明：在矩形 ABCD 中， AB＝CD，AD＝BC，∠A＝∠C＝90°. ∵M、N 分别是 AD、BC 的中点， ∴AM＝CN. ∴△MBA≌△NDC. (2)四边形 MPNQ 是菱形． 理由：∵△MBA≌△NDC，∴BM＝DN. 连结 MN，则 MN∥AB∥CD， 得∠BNM＝∠DMN＝90°. ∵P、Q 分别是 BM、DN 的中点， 1 1 ∴PN＝MP＝ BM，MQ＝QN＝ DN， 2 2 ∴PN＝MP＝ MQ＝QN. ∴四边形 MPNQ 是菱形．
第26讲┃ 归类示例
归类示例
► 类型之一 矩形的性质及判定的应用
命题角度： 1. 矩形的性质； 2. 矩形的判定．
第26讲┃ 归类示例
[2013· 铜山] 如图 26－2，已知 E 是▱ABCD 中 BC 边 的中点，连结 AE 并延长 AE 交 DC 的延长线于点 F. (1)求证：△ABE≌△FCE； (2)连结 AC、 BF， 若∠AEC＝2∠ABC， 求证： 四边形 ABFC 为矩形．