平面向量的数量积及运算律测试题

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平面向量的数量积练习题含答案

平面向量的数量积练习题一、选择题1．已知|b|＝3，a在b方向上的投影是23，则a·b为 ( )C．3 D．2解析：由数量积的几何意义知所以a·b＝23×3＝2.答案：D2．设向量a，b满足|a＋b|＝10，|a－b|＝6，则a·b＝( )A．1 B．2 C．3 D．5解析：因为|a＋b|2＝(a＋b)2＝a2＋b2＋2a·b＝10，|a－b|2＝(a－b)2＝a2＋b2－2a·b＝6，两式相减得：4a·b＝4，所以a·b＝1.答案：A3．已知向量a，b满足|a|＝2，|b|＝1，a·b＝1，则向量a与a－b的夹角为( )解析：|a－b|＝（a－b）2＝a2＋b2－2a·b＝3，设向量a与a－b的夹角为θ，则cos θ＝a·（a－b）|a||a－b|＝22－12×3＝32，又θ∈[0，π]，所以θ＝π6.答案：A4．(2015·陕西卷)对任意向量a，b，下列关系式中不恒成立的是( ) A．|a·b|≤|a||b| B．|a－b|≤||a|－|b||C．(a＋b)2＝|a＋b|2 D．(a＋b)·(a－b)＝a2－b2解析：根据a·b＝|a||b|cos θ，又cos θ≤1，知|a·b|≤|a||b|，A恒成立．当向量a和b方向不相同时，|a－b|>||a|－|b||，B不恒成立．根据|a＋b|2＝a2＋2a·b ＋b2＝(a＋b)2，C恒成立．根据向量的运算性质得(a＋b)·(a－b)＝a2－b2，D恒成立．答案：B5．若向量a与b的夹角为60°，|b|＝4，且(a＋2b)·(a－3b)＝－72，则a的模为( ) A．2 B．4 C．6 D．12解析：因为(a＋2b)·(a－3b)＝a2－a·b＝6b2＝|a|2－|a|·|b|cos 60°－6|b|2＝|a|2－2|a|－96＝－72，所以|a |2－2|a |－24＝0，所以|a |＝6.答案：C6．已知向量a ＝(1，－2)，b ＝(x ，4)，且a ∥b ，则|a －b |＝( )A ．5 3B ．3 5C ．25D ．22解析：因为a ∥b ，所以4＋2x ＝0，所以x ＝－2，a －b ＝(1，－2)－(－2，4)＝(3，－6)，所以|a －b |＝3 5.答案：B7．(2015·杭州模拟)如图，在圆O 中，若弦AB ＝3，弦AC ＝5，则AO →·BC →的值是( )A ．－8B ．－1C ．1D ．8[答案] D[解析] 取BC 的中点D ，连接AD 、OD ，则有OD ⊥BC ，AD →＝12(AB →＋AC →)，BC →＝AC →－AB →，AO →·BC →＝(AD →＋DO →)·BC →＝AD →·BC →＋DO →·BC →＝AD →·BC →＝12(AB →＋AC →)·(AC →－AB →)＝12(AC →2－AB →2)＝12×(52－32)＝8，选D ． 8．(2015·福建卷)设a ＝(1，2)，b ＝(1，1)，c ＝a ＋k b ．若b ⊥c ，则实数k 的值等于( )A ．－32B ．－53解析：c ＝a ＋k b ＝(1＋k ，2＋k )，又b ⊥c ，所以1×(1＋k )＋1×(2＋k )＝0，解得k ＝－32. 答案：A9．已知A 、B 、C 是坐标平面上的三点，其坐标分别为A (1，2)、B (4，1)、C (0，－1)，则△ABC 的形状为( )A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．以上均不正确解析：AC →＝(－1，－3)，AB →＝(3，－1)．因为AC →·AB →＝－3＋3＝0，所以AC ⊥AB .又因为|AC →|＝10，|AB →|＝10，所以AC ＝AB .所以△ABC 为等腰直角三角形．答案：C10．点O 是△ABC 所在平面上一点，且满足OA OB OB OC OA OC ⋅=⋅=⋅u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v ，则点O 是△ABC 的( )A ．重心B ．垂心C ．内心D ．外心解析：因为OA →·OB →＝OB →·OC →，所以OB →·(OA →－OC →)＝0，即OB →·CA →＝0, 则OB →⊥CA →.同理OA →⊥BC →，OC →⊥AB →.所以O 是△ABC 的垂心．答案：B11．在△ABC 所在的平面内有一点P ，满足PA PB PC ++u u u v u u u v u u u v ＝AB u u u v ，则△PBC 与△ABC 的面积之比是( )解析：由PA →＋PB →＋PC →＝AB →，得PA →＋PB →＋BA →＋PC →＝0，即PC →＝2AP →，所以点P 是CA 边上的三等分点，如图所示．故S △PBCS △ABC ＝PC AC ＝23.答案：C12．O 是平面ABC 内的一定点，P 是平面ABC 内的一动点，若()()()()PB PC OB OC PC PA OA OC -⋅+=-⋅+u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v ＝0，则O 为△ABC 的( )A ．内心B ．外心C ．重心D ．垂心解析：因为(PB →－PC →)·(OB →＋OC →)＝0，则(OB →－OC →)·(OB →＋OC →)＝0，所以OB →2－OC →2＝0，所以|OB →|＝|OC →|.同理可得|OA →|＝|OC →|，即|OA →|＝|OB →|＝|OC →|.所以O 为△ABC 的外心．答案：B二、填空题13．如图所示，△ABC 中∠C ＝90°且AC ＝BC ＝4，点M 满足3BM MA =u u u u v u u u v ，则CM CB ⋅u u u u v u u u v ＝________．解析：CM →·CB →＝⎝⎛⎭⎪⎫CA →＋14AB →·CB →＝14AB →·CB →＝14(CB →－CA →)·CB →＝14CB 2→＝4. 答案：414.如图所示，已知点A (1，1)，单位圆上半部分上的点B满足OA OB ⋅u u u v u u u v ＝0，则向量OB u u u v 的坐标为________．解析：设B (x ，y )，y >0，⎩⎨⎧x 2＋y 2＝1，x ＋y ＝0，⎩⎨⎧x ＝－22，y ＝22，所以OB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，22. 答案：⎝⎛⎭⎪⎫－22，22 15．在△ABC 中， BC u u u v ＝a ， CA u u u v ＝b ，AB u u u v＝c ，且满足：|a |＝1，|b |＝2，|c |＝3，则a ·b ＋b ·c ＋c ·a 的值为________．解析：在△ABC 中，因为|a |＝1，|b |＝2，|c |＝3，所以△ABC 为直角三角形，且BC ⊥BA ，以BA ，BC 为x ，y 轴建立坐标系，则B (0，0)，A (3，0)，C (0，1)，所以a ＝BC →＝(0，1)，b ＝CA →＝(3，－1)，c ＝AB →＝(－3，0)．所以a·b ＋b·c ＋a·c ＝－1－3＋0＝－4.答案：－416．在△ABC 中，已知|AB u u u v |＝|AC u u u v |＝4，且 AB AC ⋅u u u v u u u v ＝8，则这个三角形的形状是________．解析：因为AB →·AC →＝4×4·cos A ＝8，所以cos A ＝12，所以∠A ＝π3，所以△ABC是正三角形．答案：正三角形三、解答题17．已知向量a＝(2，0)，b＝(1，4)．(1)求|a＋b|的值；(2)若向量k a＋b与a＋2b 平行，求k的值；(3)若向量k a＋b与a＋2b的夹角为锐角，求k的取值范围．解：(1)因为a＝(2，0)，b＝(1，4)，所以a＋b＝(3，4)，则|a＋b|＝5.(2)因为a＝(2，0)，b＝(1，4)，所以k a＋b＝(2k＋1，4)，a＋2b＝(4，8)；因为向量k a＋b与a＋2b平行，所以8(2k＋1)＝16，则k＝1 2 .(3)因为a＝(2，0)，b＝(1，4)，所以k a＋b＝(2k＋1，4)，a＋2b＝(4，8)；因为向量k a ＋b 与a ＋2b 的夹角为锐角，所以⎩⎨⎧4（2k ＋1）＋32>0，k ≠12，解得k >－92或k ≠12. 18.如图所示，ABCD 是正方形，M 是BC 的中点，将正方形折起使点A 与M 重合，设折痕为EF ，若正方形面积为64，求△AEM 的面积．解：如图所示，建立直角坐标系，显然EF 是AM 的中垂线，设AM 与EF 交于点N ，则N 是AM 的中点，又正方形边长为8，所以M (8，4)，N (4，2)．设点E (e ，0)，则AM →＝(8，4)，AN →＝(4，2)，AE →＝(e ，0)，EN →＝(4－e ，2)，由AM →⊥EN →得AM →·EN →＝0，即(8，4)·(4－e ，2)＝0，解得e ＝5，即|AE →|＝5.所以S △AEM ＝12|AE →||BM →|＝12×5×4＝10.19．设向量a ，b 满足|a |＝|b |＝1，|3a －b |＝ 5.(1)求|a ＋3b |的值；(2)求3a －b 与a ＋3b 夹角的正弦值．解：(1)由|3a －b |＝5，得(3a －b )2＝5，所以9a 2－6a·b ＋b 2＝5.因为a 2＝|a |2＝1，b 2＝|b 2|＝1，所以9－6a·b ＋1＝5.所以a·b ＝56. 所以(a ＋3b )2＝a 2＋6a·b ＋9b 2＝1＋6×56＋9×1＝15. 所以|a ＋3b |＝15.(2)设3a －b 与a ＋3b 的夹角为θ.因为(3a －b )·(a ＋3b )＝3a 2＋8a·b －3b 2＝3×1＋8×56－3×1＝203. 所以cos θ＝（3a －b ）·（a ＋3b ）|3a －b ||a ＋3b |＝2035×15＝439. 因为0°≤θ ≤180°，所以sin θ＝ 1－cos 2θ＝ 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫4392＝339. 所以3a －b 与a ＋3b 夹角的正弦值为339.20．在四边形ABCD 中，已知AB ＝9，BC ＝6，CP →＝2PD →.(1)若四边形ABCD 是矩形，求AP →·BP→的值；(2)若四边形ABCD 是平行四边形，且AP →·BP →＝6，求AB →与AD →夹角的余弦值．解：(1)因为四边形ABCD 是矩形，所以AD →·DC →＝0. 由CP →＝2PD →，得DP →＝13DC →，CP →＝23CD →＝－23DC →. 所以AP →·BP →＝(AD →＋DP →)·(BC →＋CP →)＝⎝⎛⎭⎪⎫AD →＋13DC →·⎝ ⎛⎭⎪⎫AD →－23DC →＝ AD →2－13AD →·DC →－29DC 2→＝36－29×81＝18. (2)由题意，AP →＝AD →＋DP →＝AD →＋13DC →＝AD →＋13AB →， BP →＝BC →＋CP →＝BC →＋23CD →＝AD →－23AB →，所以AP →·BP →＝⎝⎛⎭⎪⎫AD →＋13AB →·⎝ ⎛⎭⎪⎫AD →－23AB →＝ AD 2→－13AB →·AD →－29AB →2＝36－13AB →·AD →－18＝18－13AB →·AD →.又AP →·BP →＝6，所以18－13AB →·AD →＝6，所以AB →·AD →＝36.又AB →·AD →＝|AB →|·|AD →|cos θ＝9×6×cos θ＝54cos θ，所以54cos θ＝36，即cos θ＝23. 所以AB →与AD →夹角的余弦值为23. 21． (2015·济宁模拟)已知向量a ＝(cos θ，sin θ)，θ∈[0，π]，向量b ＝(3，－1)．(1)若a ⊥b ，求θ的值；(2)若|2a －b |<m 恒成立，求实数m 的取值范围．[解析] (1)∵a ⊥b ，∴3cos θ－sin θ＝0，得tan θ＝3，又θ∈[0，π]，∴θ＝π3. (2)∵2a －b ＝(2cos θ－3，2sin θ＋1)，∴|2a －b |2＝(2cos θ－3)2＋(2sin θ＋1)2＝8＋8(12sin θ－32cos θ)＝8＋8sin(θ－π3)，又θ∈[0，π]，∴θ－π3∈[－π3，23π]，∴sin(θ－π3)∈[－32，1]，∴|2a－b|2的最大值为16.∴|2a－b|的最大值为4.又|2a－b|<m恒成立．∴m>4.22．(本题满分12分)(2015·厦门模拟)已知向量a＝(cosα，sinα)，b＝(cos x，sin x)，c＝(sin x＋2sinα，cos x＋2cosα)，其中0<α<x<π.(1)若α＝π4，求函数f(x)＝b·c的最小值及相应的x的值；(2)若a与b的夹角为π3，且a⊥c，求tan2α的值．[解析]∵b＝(cos x，sin x)，c＝(sin x＋2sinα，cos x＋2cosα)，α＝π4.∴f(x)＝b·c＝cos x sin x＋2cos x sinα＋sin x cos x＋2sin x cosα＝2sin x cos x＋2(sin x＋cos x)．令t＝sin x＋cos x(π4<x<π)，则t∈(－1，2)，且2sin x cos x＝t2－1.∴y＝t2＋2t－1＝(t＋22)2－32，t∈(－1，2)．当t＝－22时，y min＝－32，此时sin x＋cos x＝－22.即2sin(x＋π4)＝－22，sin(x＋π4)＝－12，∵π4<x<π，∴π2<x＋π4<5π4.∴x＋π4＝7π6，即x＝1112π.所以函数f(x)的最小值为－32，相应的x的值为1112π.(2)∵a与b的夹角为π3，cos π3＝a·b|a||b|＝cosαcos x＋sinαsin x＝cos(x－α)，∵0<α<x<π，∴0<x－α<π.∴x－α＝π3，∵a⊥c，∴cosα(sin x＋2sinα)＋sinα(cos x＋2cosα)＝0，化简得sin(x＋α)＋2sin2α＝0.代入x－α＝π3得sin(2α＋π3)＋2sin2α＝52sin2α＋32cos2α＝0，∴tan2α＝－3 5 .。

平面向量数量积练习题

平面向量数量积练习题一、选择题A. 向量a与向量b平行B. 向量a与向量b垂直C. 向量a与向量b长度相等D. 向量a与向量b的方向相同2. 若向量a=(2, 3)，向量b=(1, 2)，则向量a与向量b的数量积为：A. 7B. 7C. 8D. 83. 已知向量a和向量b的夹角为60°，|a|=4，|b|=3，则向量a 与向量b的数量积为：A. 6B. 12C. 18D. 24二、填空题1. 已知向量a=(x, y)，向量b=(3, 2)，若a·b=6，则x的值为______。

2. 若向量a和向量b的夹角为θ，|a|=5，|b|=4，且a·b=8，则cosθ的值为______。

3. 已知向量a=(1, 2)，向量b=(m, 4)，若向量a与向量b的数量积为10，则m的值为______。

三、解答题1. 已知向量a=(3, 4)，向量b=(2, 1)，求向量a与向量b的数量积。

2. 已知向量a和向量b的夹角为45°，|a|=√2，|b|=2，求向量a与向量b的数量积。

3. 已知向量a=(x, y)，向量b=(y, x)，若向量a与向量b的数量积为10，求x和y的值。

4. 已知向量a=(2, 1)，向量b=(k, 3)，若向量a与向量b的数量积为5，求k的值。

5. 已知向量a和向量b的夹角为θ，|a|=3，|b|=4，且a·b=6，求cosθ的值。

6. 已知向量a=(4, 5)，向量b=(x, 3)，若向量a与向量b的数量积为23，求x的值。

7. 已知向量a=(x, 2)，向量b=(3, y)，若向量a与向量b的数量积为12，求x和y的值。

四、判断题1. 若向量a和向量b的数量积为0，则向量a与向量b一定垂直。

（）2. 向量a=(1, 0)与向量b=(0, 1)的数量积为1。

（）3. 已知向量a=(2, 1)，向量b=(2, 1)，则向量a与向量b的数量积为5。

平面向量的数量积与向量积练习题

平面向量的数量积与向量积练习题在学习平面向量的数量积与向量积时，练习题是非常重要的。

通过解决练习题，我们可以更好地理解和掌握相关的概念与计算方法。

下面是一些平面向量数量积与向量积的练习题，希望能够帮助大家提高解题能力。

1. 给定平面向量a = (2, -3)和b = (5, 1)，计算a·b和|a × b|。

解法：首先，我们知道a·b的计算公式为a·b = |a||b|cosθ，其中θ为a和b的夹角。

|a × b|的计算公式为|a × b| = |a||b|sinθ。

根据向量a和b的坐标，我们可以计算得到：a·b = 2*5 + (-3)*1 = 10 - 3 = 7|a × b| = √[(2*1 - (-3)*5)^2 + ((-3)*5 - 2*1)^2] = √[11^2 + (-17)^2] = √(121 + 289) = √410 ≈ 20.25所以，a·b = 7，|a × b| ≈ 20.25。

2. 已知平面向量a和b的模长分别为3和6，且a·b = -12，求向量a 与向量-b的夹角。

解法：根据a·b = |a||b|c osθ的计算公式，我们可以得到cosθ = a·b / (|a||b|)。

代入已知条件，可以计算得到cosθ = -12 / (3*6) = -12 / 18 = -2 / 3。

由于向量a和向量-b具有相同的模长，且夹角为θ和π-θ，则向量a 和向量-b的夹角为θ = arccos(-2 / 3) ≈ 2.3 radians。

3. 平面向量a = (1, 2, 3)和b = (-4, 5, 6)，求向量a × b。

解法：向量a × b的计算公式为：a × b = (a2b3 - a3b2, a3b1 - a1b3,a1b2 - a2b1)。

平面向量数量积练习题

平面向量数量积练习题一、选择题1. 平面向量的数量积（点积）具有以下哪个性质？A. 交换律B. 分配律C. 可结合律D. 所有选项都正确2. 向量\( \vec{a} \)和向量\( \vec{b} \)的数量积等于：A. \( \vec{a} + \vec{b} \)B. \( \vec{a} \times \vec{b} \)C. \( \vec{a} \cdot \vec{b} \)D. \( \vec{a} / \vec{b} \)3. 已知向量\( \vec{a} = (3, 4) \)和向量\( \vec{b} = (-1, 2) \)，求它们的数量积：A. 5B. 10C. 14D. 24. 若向量\( \vec{a} \)和向量\( \vec{b} \)的数量积为0，则它们：A. 垂直B. 平行C. 共线D. 长度相等5. 向量\( \vec{a} \)和向量\( \vec{b} \)的数量积的几何意义是：A. 向量\( \vec{a} \)的长度B. 向量\( \vec{b} \)的长度C. 向量\( \vec{a} \)在向量\( \vec{b} \)上的投影长度D. 向量\( \vec{a} \)和向量\( \vec{b} \)的夹角二、填空题6. 若向量\( \vec{a} \)和向量\( \vec{b} \)的数量积为\( 15 \)，且\( |\vec{a}| = 5 \)，\( |\vec{b}| = 3 \)，则它们之间的夹角为________。

7. 向量\( \vec{a} = (2, -3) \)和向量\( \vec{b} = (4, 6) \)的数量积是________。

8. 若向量\( \vec{a} \)和向量\( \vec{b} \)的数量积为\( -6 \)，且\( |\vec{a}| = 2 \)，\( |\vec{b}| = 3 \)，则它们之间的夹角的余弦值为________。

高二数学平面向量的数量积及运算律练习

§5.4平面向量的数量积及运算律〔一〕____班姓名____1．〔1〕2||=a ,1||=b ,a 与b 的夹角为 120,那么=⋅b a __________．〔2〕4||=a ,1||=b ,4-=⋅b a ,那么向量a 与b 的夹角为___________．2．〔1〕4||=a ,a 与b 的夹角为 30,那么a 在b 方向上的投影为___________．〔2〕3||=a ,5||=b ,13=⋅b a ,那么a 在b 上方向上的投影为___________．3．在平行四边形ABCD 中,4||=AB ,3||=AD , 60=∠DAB ,那么=⋅DA AB _______．4．〔1〕在ABC ∆中,4||=AB ,1||=AC ,ABC ∆的面积为3,那么锐角=∠BAC ______, AC AB ⋅的值为________．〔2〕在△ABC 中,AB =a ,BC =b ,CA =c ,且|a |=3,|b |=2,|c |=4,那么a ·b +b ·c +c ·a 的值为___________．5．在∆ABC 中,2||||==AC AB ,且2=⋅AC AB ,那么这个三角形的形状是 ___ ．6．以下四个命题：①假设0 =-b a ,那么b a =；②假设0=⋅b a ,那么0 =a 或0 =b ；③假设R ∈λ,且0 =a λ,那么0=λ或0 =a ；④对任意两个单位向量a ,b 都有1=⋅b a ．其中正确命题的序号是_______________．7．假设 15sin 2||=a , 15cos 4||=b ,a 与b 的夹角为 30,那么b a ⋅的值为〔〕A ．23B ．3C ．32D ．21 8．如果c a b a ⋅=⋅,且0 ≠a ,那么〔〕A ．c b =B ．c b λ=C ．c b ⊥D ．c b ,在a 方向上的投影相等9．假设a 、b 为非零向量,那么“||||b a b a ⋅=⋅〞是“a 、b 共线“的〔〕A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件10．四边形ABCD 中,0=⋅BC AB ,AB =DC ,那么四边形ABCD 是〔〕A ．平行四边形B ．菱形C ．矩形D ．正方形11．〔选作〕ABC ∆满足CB CA BC BA AC AB AB ⋅+⋅+⋅=2,那么ABC ∆的形状一定是________.12．〔04上海春季高考〕在ABC ∆中,有命题 ①BC AC AB =-；②0=++CA BC AB ；③假设0)()(=-⋅+AC AB AC AB ,那么ABC ∆为等腰三角形；④假设0>⋅AB AC ,那么ABC ∆为锐角三角形.上述命题正确的选项是〔〕A ．①②B ．①④C ．②③D ．②③④参数答案：1、－12、 1803、324、513 5、－6 6、①③ 7、B 8、D 9、A 10、C 11、直角三角形 12、C。

平面向量的数量积与面积计算练习题

平面向量的数量积与面积计算练习题题1：计算向量a=(2,3)和向量b=(-1,4)的数量积。

解：向量a=(2,3)，向量b=(-1,4)。

根据数量积的定义，向量a和向量b的数量积等于它们对应分量的乘积之和。

所以，向量a和向量b的数量积为：2 × (-1) +3 ×4 = -2 + 12 = 10。

所以，向量a=(2,3)和向量b=(-1,4)的数量积为10。

题2：已知向量a=(3,5)，向量b的模长为4，且向量a和向量b的数量积为-6，求向量b。

解：已知向量a=(3,5)，向量b的模长为4，且向量a和向量b的数量积为-6。

设向量b=(x,y)，则根据数量积的定义，有：3x + 5y = -6 （1）又因为向量b的模长为4，所以有：x^2 + y^2 = 4^2 （2）解方程组（1）和（2），可以求得向量b的坐标。

将方程（1）中的3x替换为(-6 - 5y)，得到：(-6 - 5y) + 5y = -6化简得：-6 = -6由此可知方程（1）是一个恒等式，即无论向量b的坐标如何，方程（1）永远成立。

所以，向量b的坐标可以是任意值。

因此，向量b有无数个解。

题3：计算以向量a=(2,3)和向量b=(-1,4)为邻边所构成的平行四边形的面积。

解：以向量a=(2,3)和向量b=(-1,4)为邻边所构成的平行四边形的面积可以通过计算向量a和向量b的数量积的绝对值来求得。

向量a和向量b的数量积已在题1中计算过，结果为10。

平行四边形的面积等于两个邻边的数量积的绝对值。

所以，以向量a=(2,3)和向量b=(-1,4)为邻边所构成的平行四边形的面积为|10| = 10。

题4：已知向量a=(-3,4)，向量b=(1,2)，求以向量a和向量b为邻边所构成的平行四边形的面积。

解：已知向量a=(-3,4)和向量b=(1,2)。

先计算向量a和向量b的数量积。

向量a和向量b的数量积为：(-3) × 1 + 4 × 2 = -3 + 8 = 5。

平面向量的加减与数量积练习题

平面向量的加减与数量积练习题一、向量的加减平面向量的加减是指根据向量的性质进行运算，可以将向量看作有方向和大小的箭头，通过对箭头进行平移和反转等操作进行运算。

1. 已知向量a = 2i + 3j，b = 4i - 5j，求a + b的结果。

解：将a和b的对应分量进行相加，得到：a +b = (2 + 4)i + (3 - 5)j = 6i - 2j2. 已知向量c = 6i - 7j，d = -3i + 2j，求c - d的结果。

解：将c和d的对应分量进行相减，得到：c -d = (6 - (-3))i + (-7 - 2)j = 9i - 9j二、数量积数量积也称为点积或内积，是将两个向量进行运算得到的结果，具体计算方式为将两个向量的对应分量相乘后相加。

3. 已知向量e = 3i + 4j，f = 2i - 5j，求e · f的结果。

解：将e和f的对应分量相乘后相加，得到：e ·f = (3 * 2) + (4 * (-5)) = 6 - 20 = -144. 已知向量g = 5i + 3j，h = -2i + 6j，求g · h的结果。

解：将g和h的对应分量相乘后相加，得到：g · h = (5 * (-2)) + (3 * 6) = -10 + 18 = 8三、练习题1. 已知向量m = 2i + j，n = 3i - 4j，求m + n的结果。

解：将m和n的对应分量进行相加，得到：m + n = (2 + 3)i + (1 - 4)j = 5i - 3j2. 已知向量p = 4i + 3j，q = -2i + 5j，求p - q的结果。

解：将p和q的对应分量进行相减，得到：p - q = (4 - (-2))i + (3 - 5)j = 6i - 2j3. 已知向量r = i - 2j，s = 3i + 4j，求r · s的结果。

解：将r和s的对应分量相乘后相加，得到：r · s = (1 * 3) + (-2 * 4) = 3 - 8 = -54. 已知向量t = 5i + 2j，u = -3i + 6j，求t · u的结果。

5.4 平面向量的数量积及运算律课时闯关(含答案解析)

一、选择题1．若向量a ＝(3，m )，b ＝(2，－1)，a·b ＝0，则实数m 的值为( )A ．－32 B.32C ．2D ．6解析：选D.由a·b ＝0，得3×2＋m ×(－1)＝0，∴m ＝6.2．若a ，b 是非零向量，且a ⊥b ，|a|≠|b|，则函数f (x )＝(x a ＋b )·(x b －a )是( )A ．一次函数且是奇函数B ．一次函数但不是奇函数C ．二次函数且是偶函数D ．二次函数但不是偶函数解析：选A.∵a ⊥b ，∴a·b ＝0，∴f (x )＝(x a ＋b )·(x b －a )＝x 2·a·b ＋(|b |2－|a |2)x －a·b ＝(|b |2－|a |2)·x .又∵|b |≠|a |，∴f (x )为一次函数，且是奇函数，故选A.3．(2013·重庆一中高三调研)若向量a 与b 的夹角为75°，|a |＝2sin 150°，|b |＝4cos 15°，则a·b 的值为( )A ．－1B ．1C ．－ 3 D. 3解析：选B.|a |＝2sin 150°＝2×12＝1. a·b ＝1×4cos 15°cos75°＝1×2×2cos 15°sin15°＝1.4．(2011·高考课标全国卷)已知a 与b 均为单位向量，其夹角为θ，有下列四个命题p 1：|a ＋b |>1⇔θ∈⎣⎡⎭⎫0，2π3 p 2：|a ＋b |>1⇔θ∈⎝⎛⎦⎤2π3，πp 3：|a －b |>1⇔θ∈⎣⎡⎭⎫0，π3 p 4：|a －b |>1⇔θ∈⎝⎛⎦⎤π3，π其中的真命题是( )A ．p 1，p 4B ．p 1，p 3C ．p 2，p 3D ．p 2，p 4解析：选A.由|a ＋b |＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝2＋2cos θ>1，得2＋2cos θ>1，∴cos θ>－12，∴0≤θ<2π3. 由|a －b |＝a 2－2a ·b ＋b 2＝2－2cos θ>1，得2－2cos θ>1，∴cos θ<12，∴π3<θ≤π. ∴p 1，p 4正确．5．(2011·高考辽宁卷)若a ，b ，c 均为单位向量，且a ·b ＝0，(a －c )·(b －c )≤0，则|a ＋b －c |的最大值为( )A.2－1 B ．1C. 2 D ．2解析：选B.由(a －c )·(b －c )≤0，a ·b ＝0，得a ·c ＋b ·c ≥c 2＝1，∴(a ＋b －c )2＝1＋1＋1－2(a ·c ＋b ·c )≤1.∴|a ＋b －c |≤1.二、填空题6．已知向量a ，b 满足|b|＝2，a 与b 的夹角为60°，则b 在a 上的投影是________．解析：b 在a 上的投影是|b |·cos 60°＝2×12＝1. 答案：17．(2011·高考江西卷)已知|a |＝|b |＝2，(a ＋2b )·(a －b )＝－2，则a 与b 的夹角为________．解析：∵(a ＋2b )·(a －b )＝|a |2－2|b |2＋a·b ＝－2且|a |＝|b |＝2，∴a·b ＝2，∴cos 〈a ，b 〉＝a·b |a ||b |＝12. 而〈a ，b 〉∈[0，π]，∴〈a ，b 〉＝π3. 答案：π38．(2012·高考上海卷)在平行四边形ABCD 中，∠A ＝π3，边AB 、AD 的长分别为2、1.若M 、N 分别是边BC 、CD 上的点，且满足|BM →||BC →|＝|CN →||CD →|，则AM →·AN →的取值范围是__________．解析：设|BM →||BC →|＝|CN →||CD →|＝x (0≤x ≤1)，则AM →＝AB →＋BM →＝AB →＋xAD →，AN →＝AD →＋DN →＝AD →＋(1－x )AB →，∴AM →·AN →＝(AB →＋xAD →)·[AD →＋(1－x )AB →]＝xAD →2＋(1－x )AB →2＋(x －x 2＋1)AB →·AD →＝x |AD →|2＋(1－x )|AB →|2＋(－x 2＋x ＋1)×2×1×12＝x ＋4(1－x )－x 2＋x ＋1＝－(x ＋1)2＋6.∵0≤x ≤1，∴－(x ＋1)2＋6∈[2,5]．答案：[2,5]三、解答题9．已知向量OA →＝(λcos α，λsin α)(λ≠0)，OB →＝(－sin β，cos β)，其中O 为坐标原点，β＝α－π6，求向量OA →与OB →的夹角．解：设向量OA →与OB →的夹角为θ，∵cos θ＝OA →·OB →|OA →||OB →|＝－λsin βcos α＋λsin αcos β|λ| ＝λsin (α－β)|λ|，又∵α－β＝π6，∴当λ＞0时，cos θ＝12，θ＝60°，即向量OA →与OB →的夹角为60°.当λ＜0时，cos θ＝－12，θ＝120°，即O A →与O B →的夹角为120°. 10．已知|a |＝2，|b |＝3，a 与b 夹角为45°，求使向量a ＋λb 与λa ＋b 的夹角是锐角时，λ的取值范围．解：若a ＋λb 与λa ＋b 的夹角是锐角，则(a ＋λb )·(λa ＋b )>0，且λ≠1(即夹角不是0°)．即λa 2＋(λ2＋1)a ·b ＋λb 2>0且λ≠1.∵a 2＝|a |2＝2，b 2＝|b |2＝9，a ·b ＝|a |·|b |cos 45°＝2×3×22＝3， ∴2λ＋(λ2＋1)×3＋9λ>0，即3λ2＋11λ＋3>0且λ≠1，解得λ<－11－856或λ>－11＋856且λ≠1. 11．(探究选做)(2013·重庆调研)在△ABC 中，设B C →·C A →＝C A →·A B →.(1)求证：△ABC 为等腰三角形；(2)若|B A →＋B C →|＝2且B ∈[π3，2π3]，求B A →·B C →的取值范围．解：(1)证明：因为B C →·C A →＝C A →·A B →，所以C A →·(B C →－A B →)＝0.又A B →＋B C →＋C A →＝0，所以C A →＝－(A B →＋B C →)，所以－(A B →＋B C →)·(B C →－A B →)＝0，所以A B →2－B C →2＝0，所以|A B →|2＝|B C →|2，即|A B →|＝|B C →|，故△ABC 为等腰三角形．(2)因为B ∈[π3，2π3]，所以cos B ∈[－12，12]，设|A B →|＝|B C →|＝a ，因为|B A →＋B C →|＝2，所以|B A →＋B C →|2＝4，所以a 2＋a 2＋2a 2 cos B ＝4，所以，a 2＝21＋cos B，所以B A →·B C →＝|B A →|·|B C →|cos B＝2 cos B 1＋cos B ＝2－21＋cos B ∈[－2，23]．。

平面向量平面向量的数量积试题

2329123π§2.4.1 平面向量的数量积1.已知a =4,b =2a b 且与的夹角为120º，则a b=、___________。

2.已知a b ⋅＝12，且a =3,b =5则b a 在方向上的投影为________。

3. 已知ABC 中，AB =AC =4AB,AC=8且，则这三角形的形状为______________。

4.a =3,b =5,a+b a-b λλ与垂直，则λ＝___________。

5.已知a =6,e 是单位向量，它们之间夹角是45º，则a e 在方向上的投影_________。

6.22a =1,b =2,(a b)a=0,-、则a 与 b 的夹角为（） A. 30º B.45 º C. 60 º D.90 º 7.已知 a.b 都是单位向量，下列结论正确的是（） A.a b=1⋅ B.22a =b C.ab a=b ⇒ D.a b=0⋅8.若a+b=c,a-b=d,且向量c d 与垂直，则一定有（） A. a=b B. a =bC. a b ⊥D. a =b a b ⊥且9.ABC 中，设AB=C,BC=a,CA=b 则a b+c a ⋅⋅等于______. 10.有下面四个关系式①0.0＝0；②()a b c=a(b c);⋅⋅③a b=b a,⋅⋅④0.a=0，其中正确的有（）A. 4个B.3个C.2个D.1个 11.已知b =3,a b 在方向上的投影为 ,则a b ⋅为（）A.3B.C.2D.12.下列各式正确的是（）A.a b =a b ⋅B. ()222a b=a b ⋅⋅C.若()a b-c ,⊥则a b=a c ⋅⋅ D. 若a b=a c ⋅⋅则b=c13.a =1,b=2则a b 与的夹角为120º，则()a+2b ，()2a+b 的值为（） 14.ABC 中，AB=a,BC=b,a b ⋅且>0，则ABC 为（） A.锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰直角三角形 15.已知a,b,c 为非寒向量，且a c=b c ⋅⋅，则有（）A.a=bB.a b ⊥C.()a b c -⊥ D. ()a=b a-b c ⊥或16.向量a b 与夹角为， a =2,b =1a+b a b -求的值。

平面向量的数量积检测题与详解答案

平面向量的数量积检测题与详解答案1．已知向量a ，b 满足|a|＝1，|b|＝23，a 与b 的夹角的余弦值为sin 17π3，则b ·(2a－b)等于( )A ．2B ．－1C ．－6D ．－18解析：选D ∵a 与b 的夹角的余弦值为sin 17π3＝－32，∴a ·b ＝－3，b ·(2a －b)＝2a ·b －b 2＝－18.2．已知平面向量a ＝(－2,3)，b ＝(1,2)，向量λa ＋b 与b 垂直，则实数λ的值为( ) A.413B ．－413C.54D ．－54解析：选D ∵a ＝(－2,3)，b ＝(1,2)，∴λa ＋b ＝(－2λ＋1,3λ＋2)．∵λa ＋b 与b 垂直，∴(λa ＋b)·b ＝0，∴(－2λ＋1,3λ＋2)·(1,2)＝0，即－2λ＋1＋6λ＋4＝0，解得λ＝－54.3．已知向量a ，b 满足|a|＝1，b ＝(2,1)，且a ·b ＝0，则|a －b|＝( ) A. 6 B. 5 C ．2D. 3解析：选A 因为|a|＝1，b ＝(2,1)，且a ·b ＝0，所以|a －b|2＝a 2＋b 2－2a ·b ＝1＋5－0＝6，所以|a －b|＝ 6.故选A.4．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2，－3)．若向量c 满足(a ＋c)∥b ，c ⊥(a ＋b)，则c ＝( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫79，73B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－73，－79C.⎝ ⎛⎭⎪⎫73，79 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－79，－73解析：选D 设c ＝(m ，n )，则a ＋c ＝(1＋m,2＋n )，a ＋b ＝(3，－1)，因为(a ＋c)∥b ，则有－3(1＋m )＝2(2＋n )，即3m ＋2n ＝－7，又c ⊥(a ＋b)，则有3m －n ＝0，联立⎩⎪⎨⎪⎧3m ＋2n ＝－7，3m －n ＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－79，n ＝－73.所以c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－79，－73.5．(2018·襄阳调研)已知i ，j 为互相垂直的单位向量，a ＝i －2j ，b ＝i ＋λj ，且a 与b 的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，23∪⎝ ⎛⎭⎪⎫23，＋∞B.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞C ．(－∞，－2)∪⎝⎛⎭⎪⎫－2，12D.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，12解析：选C 不妨令i ＝(1,0)，j ＝(0,1)，则a ＝(1，－2)，b ＝(1，λ)，因为它们的夹角为锐角，所以a ·b ＝1－2λ>0且a ，b 不共线，所以λ<12且λ≠－2，故选C.6．(2019·石家庄质检)若两个非零向量a ，b 满足|a ＋b|＝|a －b|＝2|b|，则向量a ＋b 与a 的夹角为( )A.π6B.π3C.2π3D.5π6解析：选A ∵|a ＋b|＝|a －b|，∴|a ＋b|2＝|a －b|2，∴a ·b ＝0.又|a ＋b|＝2|b |，∴|a ＋b|2＝4|b|2，|a|2＝3|b|2，∴|a|＝3|b|，cos 〈a ＋b ，a 〉＝a ＋b a |a ＋b||a|＝a 2＋a ·b|a ＋b||a|＝|a|22|b||a|＝|a|2|b|＝32，故a ＋b 与a 的夹角为π6. 7．(2018·宝鸡质检)在直角三角形ABC 中，角C 为直角，且AC ＝BC ＝1，点P 是斜边上的一个三等分点，则CP ―→·CB ―→＋CP ―→·CA ―→＝( )A ．0B ．1 C.94D ．－94解析：选B 以点C 为坐标原点，分别以CA ―→，CB ―→的方向为x 轴，y 轴的正方向建立平面直角坐标系(图略)，则C (0,0)，A (1，0)，B (0,1)，不妨设P ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，23，所以CP ―→·CB ―→＋CP ―→·CA―→＝CP ―→·(CB ―→＋CA ―→)＝13＋23＝1.故选B.8．(2019·武汉调研)已知平面向量a ，b ，e 满足|e|＝1，a ·e ＝1，b ·e ＝－2，|a ＋b|＝2，则a ·b 的最大值为( )A ．－1B ．－2C ．－52D ．－54解析：选D 不妨设e ＝(1,0)，则a ＝(1，m )，b ＝(－2，n )(m ，n ∈R)，则a ＋b ＝(－1，m ＋n )，所以|a ＋b|＝1m ＋n2＝2，所以(m ＋n )2＝3，即3＝m 2＋n 2＋2mn ≥2mn ＋2mn＝4mn ，当且仅当m ＝n 时等号成立，所以mn ≤34，所以a ·b ＝－2＋mn ≤－54，综上可得a ·b的最大值为－54.9．已知平面向量a ，b 满足a ·(a ＋b)＝3，且|a|＝2，|b|＝1，则向量a 与b 的夹角的正弦值为________．解析：∵a ·(a ＋b)＝a 2＋a ·b ＝22＋2×1×cos 〈a ，b 〉＝4＋2cos 〈a ，b 〉＝3， ∴cos 〈a ，b 〉＝－12，又〈a ，b 〉∈[0，π]，∴sin 〈a ，b 〉＝1－cos 2〈a ，b 〉＝32. 答案：3210．(2018·湖北八校联考)已知平面向量a ，b 的夹角为2π3，且|a|＝1，|b|＝2，若(λa ＋b)⊥(a －2b)，则λ＝________.解析：∵|a|＝1，|b|＝2，且a ，b 的夹角为2π3，∴a ·b ＝1×2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－1，又∵(λa ＋b)⊥(a －2b)，∴(λa ＋b)·(a －2b)＝0，即(λa ＋b)·(a －2b)＝λa 2－2b 2＋(1－2λ)a ·b ＝λ－8－(1－2λ)＝0，解得λ＝3.答案：311．(2018·合肥一检)已知平面向量a ，b 满足|a|＝1，|b|＝2，|a ＋b|＝3，则a 在b 方向上的投影等于________．解析：∵|a|＝1，|b|＝2，|a ＋b|＝3， ∴(a ＋b)2＝|a|2＋|b|2＋2a ·b ＝5＋2a ·b ＝3， ∴a ·b ＝－1，∴a 在b 方向上的投影为a ·b |b|＝－12.答案：－1212.如图所示，在等腰直角三角形AOB 中，OA ＝OB ＝1，AB ―→＝4AC ―→，则OC ―→·(OB ―→－OA ―→)＝________.解析：由已知得|AB ―→|＝2，|AC ―→|＝24，则OC ―→·(OB ―→－OA ―→)＝(OA ―→＋AC ―→)·AB ―→＝OA ―→·AB ―→＋AC ―→·AB ―→＝2cos 3π4＋24×2＝－12.答案：－1213．(2019·南昌质检)设向量a ，b 满足|a|＝|b|＝1，且|2a －b|＝ 5. (1)求|2a －3b|的值；(2)求向量3a －b 与a －2b 的夹角θ.解：(1)∵|2a －b|2＝4a 2－4a ·b ＋b 2＝4－4a ·b ＋1＝5，∴a ·b ＝0， ∴|2a －3b|＝4a 2－12a ·b ＋9b 2＝4＋9＝13.(2)cos θ＝3a －b a －2b |3a －b||a －2b|＝3a 2＋2b 29a 2＋b 2×a 2＋4b 2＝510×5＝22， ∵θ∈[0，π]，∴θ＝π4.。

平面向量的数量积练习题

§ 平面向量的数目积一、选择题1．若向量 a ， b ， c 知足 a ∥b 且 a ⊥c ，则 c ·(a ＋2b)＝()A ．4B ．3C ．2D ． 0分析：由 a ∥b 及 a ⊥ c ，得 b ⊥c ，则 c ·(a ＋2b)＝c ·a ＋ 2c ·b ＝ 0.答案： Da ·a2．若向量 a 与 b 不共线， a ·b ≠0，且 c ＝ a － a ·b b ，则向量 a 与 c 的夹角为 ()A ．0分析 ∵ a ·c ＝a · － a ·a＝ a ·a － a 2a a ·bb·＝ 2－a 2＝0， a ·b a b a又 a ≠0，c ≠0，∴ a ⊥ c ，∴〈 a ，c 〉＝ π2，应选 D. 答案 Dr r3. 设向量 a =（1. cos ）与 b =（ -1， 2 cos ）垂直，则 cos2等于（）21 C .0AB22rr r r0, 1 2cos 20, cos 22cos 21 0. 正确的选项是 C.分析 Q ab, a b答案 C4．已知 | a| ＝6，| b| ＝3，a ·b ＝－ 12，则向量 a 在向量 b 方向上的投影是 ( )．A ．－ 4B ．4C ．－ 2D ． 2分析设 a 与 b 的夹角为 θ，∵ a ·b 为向量 b 的模与向量 a 在向量 b 方向上的投a ·b2影的乘积，而 cos θ＝ | a|| b| ＝－ 3，2∴ | a|cos θ＝ 6×－ 3 ＝－ 4.答案A5．若 a ，b ，c 均为单位向量，且 a ·b ＝0，(a －c) ·(b －c) ≤0，则 | a ＋ b － c| 的最大值为()．－1B．1D．2分析由已知条件，向量 a，b，c 都是单位向量能够求出， a2＝1，b2＝1，c2＝1，由 a·b＝0，及 (a－ c)(b－ c) ≤0，能够知道， (a＋b) ·c≥c2＝1，因为 | a＋ b－ c| 2＝ a2 ＋b2＋c2＋2a·b－2a·c－ 2b·c，因此有 | a＋ b－ c| 2＝ 3－ 2(a·c＋b·c) ≤1，故 | a＋b－c| ≤1.答案 B1 3 2＋2a·bx＋1 在 x 6．已知非零向量 a、b 知足 | a| ＝ 3| b| ，若函数 f(x)＝3x ＋| a| x∈ R 上有极值，则〈 a，b〉的取值范围是 ()∵ f(x)＝1 3 2＋2a·bx＋1 在 x∈ R 上有极值，∴ f′(x)＝ 0 有两不相等的分析3x ＋ | a| x实根，∵ f′(x)＝x2＋2| a| x＋ 2a·b，∴ x2＋2| a| x＋2a·b＝0 有两个不相等的实根，∴Δ＝ 4| a| 2－8a·b＞ 0，即12| a| 2 ∴cos〈 a， b〉＜| a|| b|＝π∴6＜〈 a，b〉≤π.1 a·ba·b＜2| a| 2，∵ cos〈a，b〉＝| a|| b| ， | a| ＝ 3| b| ，32，∵ 0≤〈a，b〉≤π，答案 D7．如图，已知正六边形P1P2P3P4P5P6，以下向量的数目积中最大的是()．→·P1P3→·P1P4→·P1P5→·P 1P 6→→→→2π分析因为 P 1P 2⊥P 1P 5，故其数目积是 0，可清除 C ；P 1P 2与P 1P 6的夹角是3 ，故其数目积小于零，可清除 D ；设正六边形的边长是 a ，→ →→ →3 → → → →＝° 2 则P 1 2·1 3＝| P 1 21 32，P1 2·1 4＝| P 1 21 4P P P P || P P |cos 30 ＝°2aP P PP || P P |cos 60a .答案 A 二、填空题8．已知向量 a ，b 均为单位向量，若它们的夹角是 60°，则 | a －3b| 等于 ________．分析 ∵ | a －3b| 2＝a 2－6a ·b ＋9b 2＝10－ 6×cos60＝°7，∴ | a －3b| ＝ 7. 答案 7r (3, r (3m 1,4 r r9.已知向量 a2) , a m) ，若 a b ，则 m 的值为．r r r r3(3m 1) ( 2)(4 m) 0, m 1分析 Q ab, a b答案 110．已知 a 与 b 为两个不共线的单位向量， k 为实数，若向量 a ＋ b 与向量 ka － b 垂直，则 k ＝________.分析设 a 与 b 夹角为 θ，由题意知 | a| ＝ 1， | b| ＝ 1， θ≠0且 θ≠π由.a ＋b 与向量 ka － b 垂直，得(a ＋ b) ·(ka －b)＝ 0，即 k| a| 2＋(k － 1)| a|| b|cos θ－ | b| 2＝0，(k － 1)(1＋cos θ)＝0.又 1＋cos θ≠0，∴ k － 1＝ 0，k ＝1.答案 1．已知2π2，＝1＋ 2若 ·＝， 11e 1，e 2 是夹角为 3 2e bke e .a b 0则实数 k 的值为 ________．分析由题意知： a ·b ＝(e 1－ 2·1＋2 ＝，即 2 1 2 1 2 2122e ) (ke e ) 0 ke ＋e e －2ke e － 2e ＝ 0， 2π 2π 5即 k ＋cos 3 －2kcos 3 －2＝0, 化简可求得 k ＝4. 5答案 4uuur12．在等腰直角三角形ABC 中，D 是斜边 BC 的中点，假如 AB 的长为 2，则( ABuuur uuur＋ AC )·AD 的值为________．uuuruuuruuuruuur 1 uuuruuur uuuruuuruuur分析：| BC | 2＝| AB | 2＋| AC | 2＝8，| AD | ＝2| BC | ，AB ＋ AC ＝2 AD ，( AB uuur uuur ＝2 uuur uuur ＝ 1 uuur 2＝4.＋ AC · AD · 2| BC |) AD AD答案： 4三、解答题13．已知向量 a ＝ (1,2)，b ＝(2，－ 2)．(1)设 c ＝4a ＋b ，求 (b ·c)a ；(2)若 a ＋λb 与 a 垂直，求 λ的值；(3)求向量 a 在 b 方向上的投影．分析： (1)∵a ＝(1,2)， b ＝ (2，－ 2)，∴ c ＝4a ＋b ＝(4,8)＋(2，－ 2)＝(6,6)．∴ b ·c ＝2×6－ 2×6＝0，∴ (b ·c) a ＝0a ＝ 0.(2) a ＋λb ＝ (1,2)＋λ(2，－ 2)＝(2λ＋1,2－2λ)，因为 a ＋λb 与 a 垂直，5∴ 2λ＋1＋2(2－2λ)＝0，∴λ＝2.(3)设向量 a 与 b 的夹角为 θ，向量 a 在 b 方向上的投影为 | a|cos θ.· ＝ 1×2＋2×－2 2＝－ 2∴ | a|cos θ＝ a b22＋－ 22＝－| b| 2 2 2 .→ → →14．如下图， AB ＝(6,1)，BC ＝ (x ，y)， CD ＝(－2，－ 3)． → →(1)若BC ∥ DA ，求 x 与 y 之间的关系式；→ →(2)在(1)条件下，若 AC ⊥ BD ，求 x ，y 的值及四边形 ABCD 的面积．→ → → → → →分析(1)∵AD ＝AB ＋ BC ＋CD ＝(x ＋4，y －2)， DA ＝－ AD ＝ (－x －4,2－y)．→→→又 BC∥DA且BC＝(x，y)，∴ x(2－ y)－y(－x－4)＝0，即 x＋2y＝0.①→→→→→→→→(2)因为 AC＝AB＋BC＝ (x＋6，y＋ 1)，BD＝ BC＋CD＝(x－ 2，y－3)，又 AC⊥ BD，∴→ →AC·BD＝0.即 (x＋6)(x－2)＋ (y＋1)(y－3)＝ 0，②联立①②化简，得 y2－2y－3＝0，∴ y＝ 3 或 y＝－ 1.→→故当 y＝3 时， x＝－ 6，此时 AC＝(0,4)，BD＝(－ 8,0)，1 → →∴S ABCD＝2| AC| ·|BD| ＝16；→→当 y＝－ 1 时， x＝ 2，此时 AC＝(8,0)， BD＝ (0，－ 4)，1 → →∴S ABCD＝2| AC| ·|BD| ＝16.→→→→→→→15．已知平面上三点 A，B，C 知足 | AB| ＝3，| BC| ＝4，| CA| ＝5，求AB·BC＋BC·CA → →＋CA·AB的值．→→分析由题意知△ ABC为直角三角形， AB⊥BC，→ →3∴AB·BC＝0，cos∠BAC＝5，4cos∠BCA＝5，→→4∴ BC和CA夹角的余弦值为－5，→→3CA和AB夹角的余弦值为－5，→→→→→→∴AB·BC＋BC·CA＋ CA·AB4 3＝20×－5＋15×－5＝－ 25.16．设两向量e1，e2知足 | e1| ＝2，| e2| ＝ 1，e1，e2的夹角为60°，若向量2t e1 ＋ 7e2与向量 e1＋t e2的夹角为钝角，务实数t 的取值范围．思路剖析转变为 (2te1＋ 2 ·1 ＋ 2 ＜7e ) (e te )且 2te1＋7e2≠λ(e1＋te2)(λ＜0)．分析 2 ＝， 2 ·2＝××＝°由已知得 e1 2＝，14 e 1 e e 2 1 cos 601.∴ (2te ＋7e ) ·(e ＋te )＝2te2＋ (2t2＋ 7)e ·e ＋ 7te2＝2t2＋15t ＋7.12121 1 2 2欲使夹角为钝角，需2t 2＋15t＋7＜0.1得－ 7＜t＜－2.设 2t e1＋ 7e2＝λ(e1＋t e2)(λ＜ 0)．2t＝λ，∴∴ 2t 2＝ 7.7＝t λ.14∴ t＝－ 2 ，此时λ＝－14.14即 t＝－ 2 时，向量2te1＋7e2与e1＋te2的夹角为π.∴夹角为钝角时， t 的取值范围是－7，－14 ∪－14，－1 2 2 2。

平面向量的数量积练习题含答案

平面向量的数量积A 组专项基础训练一、选择题(每小题5分，共20分)1． (2012·辽宁)已知向量a ＝(1，－1)，b ＝(2，x )，若a ·b ＝1，则x 等于( )A ．－1B ．－12 C.12 D ．1 2． (2012·重庆)设x ，y ∈R ，向量a ＝(x,1)，b ＝(1，y )，c ＝(2，－4)，且a ⊥c ，b ∥c ，则|a＋b |等于( ) A. 5 B.10 C ．2 5 D ．103．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2，－3)．若向量c 满足(c ＋a )∥b ，c ⊥(a ＋b )，则c 等于( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫79，73B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－73，－79C.⎝ ⎛⎭⎪⎫73，79D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－79，－73 4．在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝2，BC ＝10，则AB →·AC→等于 ( ) A ．－32 B ．－23 C.23 D.32二、填空题(每小题5分，共15分)5．已知向量a ，b 夹角为45°，且|a |＝1，|2a －b |＝10，则|b |＝________.6．在△ABC 中，M 是BC 的中点，AM ＝3，BC ＝10，则AB →·AC→＝________. 7．已知a ＝(2，－1)，b ＝(λ，3)，若a 与b 的夹角为钝角，则λ的取值范围是__________．三、解答题(共22分)8． (10分)已知a ＝(1,2)，b ＝(－2，n ) (n >1)，a 与b 的夹角是45°.(1)求b ；(2)若c 与b 同向，且a 与c －a 垂直，求c .9． (12分)设两个向量e 1、e 2满足|e 1|＝2，|e 2|＝1，e 1、e 2的夹角为60°，若向量2t e 1＋7e 2与向量e 1＋t e 2的夹角为钝角，求实数t 的取值范围．B 组专项能力提升一、选择题(每小题5分，共15分)1．在△ABC 中，AB ＝2，AC ＝3，AB →·BC→＝1，则BC 等于 ( ) A. 3 B.7 C ．2 2 D.23 2．已知|a |＝6，|b |＝3，a·b ＝－12，则向量a 在向量b 方向上的投影是( )A ．－4B ．4C ．－2D ．23．在直角三角形ABC 中，点D 是斜边AB 的中点，点P 为线段CD 的中点，则|P A |2＋|PB |2|PC |2等于( )A ．2B ．4C ．5D ．10二、填空题(每小题5分，共15分)4．设向量a ＝(1,2m )，b ＝(m ＋1,1)，c ＝(2，m )．若(a ＋c )⊥b ，则|a |＝________.5．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝2，点E 为BC 的中点，点F 在边CD 上，若AB →·AF →＝2，则AE →·BF→的值是________．6．在矩形ABCD 中，边AB 、AD 的长分别为2、1，若M 、N 分别是边BC 、CD 上的点，且满足|BM →||BC→|＝|CN →||CD →|，则AM →·AN →的取值范围是________．三、解答题7． (13分)设平面上有两个向量a ＝(cos α，sin α) (0°≤α<360°)，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32.(1)求证：向量a ＋b 与a －b 垂直；(2)当向量3a ＋b 与a －3b 的模相等时，求α的大小．平面向量的数量积参考答案A 组专项基础训练1.答案 D 解析 a ·b ＝(1，－1)·(2，x )＝2－x ＝1⇒x ＝1.2．答案 B解析 ∵a ＝(x,1)，b ＝(1，y )，c ＝(2，－4)，由a ⊥c 得a ·c ＝0，即2x －4＝0，∴x ＝2.由b ∥c ，得1×(－4)－2y ＝0，∴y ＝－2.∴a ＝(2,1)，b ＝(1，－2)．∴a ＋b ＝(3，－1)，∴|a ＋b |＝32＋(－1)2＝10. 3．答案 D解析设c ＝(x ，y )，则c ＋a ＝(x ＋1，y ＋2)，又(c ＋a )∥b ，∴2(y ＋2)＋3(x ＋1)＝0.①又c ⊥(a ＋b )，∴(x ，y )·(3，－1)＝3x －y ＝0.②联立①②解得x ＝－79，y ＝－73.4．答案 D解析由于AB →·AC →＝|AB →|·|AC →|·cos ∠BAC＝12(|AB →|2＋|AC →|2－|BC →|2)＝12×(9＋4－10)＝32. 二、填空题(每小题5分，共15分)5．答案 32解析 ∵a ，b 的夹角为45°，|a |＝1，∴a ·b ＝|a |·|b |cos 45°＝22|b |，|2a －b |2＝4－4×22|b |＋|b |2＝10，∴|b |＝3 2.6．答案－16解析如图所示，AB→＝AM →＋MB →， AC→＝AM →＋MC → ＝AM →－MB →，∴AB →·AC →＝(AM →＋MB →)·(AM→－MB →) ＝AM→2－MB →2＝|AM →|2－|MB →|2＝9－25＝－16. 7．答案 (－∞，－6)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－6，32解析由a·b <0，即2λ－3<0，解得λ<32，由a ∥b 得：6＝－λ，即λ＝－6.因此λ<32，且λ≠－6.三、解答题(共22分)8．解 (1)a·b ＝2n －2，|a |＝5，|b |＝n 2＋4， ∴cos 45°＝2n －25·n 2＋4＝22，∴3n 2－16n －12＝0，∴n ＝6或n ＝－23(舍)，∴b ＝(－2,6)． (2)由(1)知，a·b ＝10，|a |2＝5.又c 与b 同向，故可设c ＝λb (λ>0)，(c －a )·a ＝0，∴λb·a －|a |2＝0，∴λ＝|a |2b·a ＝510＝12，∴c ＝12b ＝(－1,3)． 9．解 ∵e 1·e 2＝|e 1|·|e 2|·cos 60°＝2×1×12＝1，∴(2t e 1＋7e 2)·(e 1＋t e 2)＝2t e 21＋7t e 22＋(2t 2＋7)e 1·e 2＝8t ＋7t ＋2t 2＋7＝2t 2＋15t ＋7. 由已知得2t 2＋15t ＋7<0，解得－7<t <－12.当向量2t e 1＋7e 2与向量e 1＋t e 2反向时，设2t e 1＋7e 2＝λ(e 1＋t e 2)，λ<0，则⎩⎪⎨⎪⎧2t ＝λ，λt ＝7⇒2t 2＝7⇒t ＝－142或t ＝142(舍)．故t 的取值范围为(－7，－142)∪(－142，－12)．B 组专项能力提升一、选择题(每小题5分，共15分)1．答案 A解析 ∵AB →·BC→＝1，且AB ＝2，∴1＝|AB →||BC →|cos(π－B )，∴|AB →||BC →|cos B ＝－1. 在△ABC 中，|AC |2＝|AB |2＋|BC |2－2|AB ||BC |cos B ，即9＝4＋|BC |2－2×(－1)． ∴|BC |＝ 3.2．答案 A解析 a·b 为向量b 的模与向量a 在向量b 方向上的投影的乘积，得a·b ＝|b ||a |·cos 〈a ，b 〉，即－12＝3|a |·cos 〈a ，b 〉，∴|a |·cos 〈a ，b 〉＝－4.3．答案 D解析 ∵P A →＝CA →－CP →，∴|P A →|2＝CA →2－2CP →·CA→＋CP →2. ∵PB →＝CB →－CP →，∴|PB →|2＝CB →2－2CP →·CB →＋CP →2.∴|P A →|2＋|PB→|2 ＝(CA →2＋CB →2)－2CP →·(CA →＋CB →)＋2CP →2＝AB →2－2CP →·2CD→＋2CP →2. 又AB→2＝16CP →2，CD →＝2CP →，代入上式整理得|P A →|2＋|PB→|2＝10|CP →|2，故所求值为10. 二、填空题(每小题5分，共15分)4．答案 2解析利用向量数量积的坐标运算求解．a ＋c ＝(1,2m )＋(2，m )＝(3,3m )．∵(a ＋c )⊥b ，∴(a ＋c )·b ＝(3,3m )·(m ＋1,1)＝6m ＋3＝0，∴m ＝－12.∴a ＝(1，－1)，∴|a |＝ 2.5．答案 2解析方法一坐标法．以A 为坐标原点，AB ，AD 所在直线为x 轴，y 轴建立平面直角坐标系，则A (0,0)，B (2，0)，E (2，1)，F (x,2)．故AB→＝(2，0)，AF →＝(x,2)，AE →＝(2，1)，BF →＝(x －2，2)， ∴AB →·AF →＝(2，0)·(x,2)＝2x .又AB →·AF→＝2，∴x ＝1.∴BF →＝(1－2，2)． ∴AE →·BF →＝(2，1)·(1－2，2)＝2－2＋2＝ 2.方法二用AB→，BC →表示AE →，BF →是关键．设DF→＝xAB →，则CF →＝(x －1)AB →. AB →·AF →＝AB →·(AD →＋DF →)＝AB →·(AD →＋xAB →)＝xAB →2＝2x ，又∵AB →·AF→＝2，∴2x ＝2， ∴x ＝22.∴BF →＝BC →＋CF →＝BC →＋⎝ ⎛⎭⎪⎫22－1AB →.∴AE →·BF →＝(AB →＋BE →)·⎣⎢⎡⎦⎥⎤BC →＋⎝ ⎛⎭⎪⎫22－1AB → ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →＋12BC →⎣⎢⎡⎦⎥⎤BC →＋⎝ ⎛⎭⎪⎫22－1AB → ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22－1AB →2＋12BC →2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22－1×2＋12×4＝ 2.6．答案 [1,4]解析利用基向量法，把AM→，AN →都用AB →，AD →表示，再求数量积．如图所示，设|BM →||BC →|＝|CN →||CD →|＝λ(0≤λ≤1)，则BM→＝λBC →， CN→＝λCD →，DN →＝CN →－CD →＝(λ－1)CD →， ∴AM →·AN →＝(AB →＋BM →)·(AD →＋DN →)＝(AB →＋λBC →)·[AD →＋(λ－1)CD →]＝(λ－1)AB →·CD →＋λBC →·AD→ ＝4(1－λ)＋λ＝4－3λ，∴当λ＝0时，AM →·AN →取得最大值4；当λ＝1时，AM →·AN→取得最小值1.∴AM →·AN→∈[1,4]．三、解答题7．(1)证明 ∵(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2＝|a |2－|b |2＝(cos 2α＋sin 2α)－⎝ ⎛⎭⎪⎫14＋34＝0，故向量a ＋b 与a －b 垂直．(2)解由|3a ＋b |＝|a －3b |，两边平方得3|a |2＋23a·b ＋|b |2＝|a |2－23a·b ＋3|b |2，所以2(|a |2－|b |2)＋43a·b ＝0，而|a |＝|b |，所以a·b ＝0，即⎝ ⎛⎭⎪⎫－12·cos α＋32·sin α＝0，即cos(α＋60°)＝0，∴α＋60°＝k ·180°＋90°， k ∈Z ，即α＝k ·180°＋30°，k ∈Z ，又0°≤α<360°，则α＝30°或α＝210°.。

高一数学下学期平面向量的数量积及运算律习题精选试题

高一数学下学期平面向量的数量积及运算律习题精选一、选择题1．以下各题①假设，那么对任何一个向量，有.②假设，那么对任何一个非零向量，有.③假设，，那么.④假设，那么、中至少有一个为.⑤假设，，那么.⑥假设，那么，当且仅当时成立.其中真命题的个数为〔〕A．1 B．2 C．3 D．42．设、、是任意的非零平面向量，且互相不一共线，那么①；②；③不与垂直；④中，是真命题的有〔〕A．①② B．②③ C．③④ D．②④3．，，与的夹角为，那么等于〔〕A．12 B．3 C．6 D．4．和是两个单位向量，夹角为，那么下面向量中与垂直的是〔〕A． B． C． D．5．设、是夹角为的单位向量，那么和的夹角为〔〕A． B． C． D．6．中、、的对边分别为、、，，，，那么等于〔〕A． B． C． D．7．有四个式子，①；②；③；④，其中正确的个数为〔〕A．4个 B．3个 C．2个 D．1个8．在中，设，，那么等于〔〕A．0 B． C． D．9、设、是两非零向量，是在的方向上的投影，而是在的方向上的投影．假设与的夹角为钝角，那么〔〕A．B．C．D．10．在中，假设，，，且，那么的形状是〔〕A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．ABC均不正确11．假设为所在平面内一点，且满足，那么的形状为〔〕A．正三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形D．A、B、C均不是二、填空题12．，，那么=__________〔设、是两个互相垂直的单位向量〕.13．假如向量、满足、，且和的夹角为，那么=________.14．假设向量、、满足，且，，. 那么_______.15．设，，且垂直，那么的值是__________.三、解答题16．设向量和的长度分别为和3，夹角是，求.17．，，且、、方向一样，求证.18．求证：平行四边形对角线的平方和等于它各边的平方和。

19．：，，且与的夹角为，问当且仅当为何值时，向量与垂直？20．：为⊙的一条直径，为圆周角，求证：直径所对的圆周角是直角，即.21．向量、、是模相等的非零向量，且，求证是正三角形.参考答案1．A 2．D 3．C 4．C 5．B 6．D 7．D 8．D 9．C 10．C 11．C12．13．3 14． 15．16．17．证明：∵，，∴，又、、同方向，∴，而，故结论得证.〔同学们考虑：假设、、方向不同，结果又如何？〕18．证明：设在中，，对角线，，那么，，∴，即.∴原题得证。

平面向量数量积及运算基础练习题

平面向量数量积及运算基础练习题(共2页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--平面向量的数量积及运算练习题一、选择题：1、下列各式中正确的是（）（1）(λ·a) ·b=λ·(a b)=a · (λb), （2）|a ·b|= | a |·| b |,（3）(a ·b)· c= a · (b ·c), （4）(a+b) · c = a ·c+b ·cA ．（1）（3）B ．（2）（4）C ．（1）（4）D ．以上都不对.2、在ΔABC 中,若(CA CB)(CA CB)0+•-=,则ΔABC 为（） A ．正三角形 B ．直角三角形 C ．等腰三角形 D ．无法确定3、若| a |=| b |=| a －b |, 则b 与a+b 的夹角为（）A ．30°B ．60°C ．150°D ．120° 4、已知| a |=1,| b |=2 ,且(a －b)和a 垂直,则a 与b 的夹角为（） A ．60°B ．30°C ．135°D ．45° 5、若2AB BC AB 0•+=,则ΔABC 为（） A ．直角三角形 B ．钝角三角形 C ．锐角三角形 D ．等腰直角三角形6、设| a |= 4, | b |= 3, 夹角为60°, 则| a+b |等于（）A ．37B ．13C ．37D ．13 7、己知 | a |= 1,| b |= 2, a 与的夹角为60, c =3a+b, d =λa －b ,若c ⊥d,则实数λ的值为（）A ． 74B ．75C ．47D ．57 8、设 a,b,c 是平面内任意的非零向量且相互不共线,则其中真命题是（）① (a ·b)·c －(c ·a)·b=0 ② | a | －| b |< | a －b |③ (b ·c)·a －(c ·a)·b 不与c 垂直 ④ (3a+2b) ·(3a －2b)= 9| a | 2－4| b | 2A ．①②B ．②③C ．③④D ．②④9.（陕西）已知非零向量AB 与AC 满足0AB AC BC AB AC ⎛⎫ ⎪+⋅= ⎪⎝⎭且12AB AC AB AC ⋅=, 则ABC △为 .A 等边三角形 .B 直角三角形 .C 等腰非等边三角形 .D 三边均不相等的三角形 10(全国Ⅰ文）点O 是ABC △所在平面内的一点，满足OA OB OB OC OC OA ⋅=⋅=⋅，则点O 是ABC △的.A 三个内角的角平分线的交点.B 三条边的垂直平分线的交点.C 三条中线的交点 .D 三条高的交点 11．已知向量a ＝(x ＋z,3)，b ＝(2，y －z )，且a ⊥b ，若x ，y 满足不等式|x |＋|y |≤1，则z 的取值范围为( )．A ．[－2,2]B ．[－2,3]C ．[－3,2]D ．[－3,3]12．设两个向量a ＝(λ＋2，λ2－cos 2 α)和b ＝⎝⎛⎭⎫m ，m 2＋sin α，其中λ，m ，α为实数．若a ＝2b ，则λm 的取值范围是( )．A ．[－6,1] B ．[4,8] C ．(－∞，1] D ．[－1,6]二、填空题：13、已知e 是单位向量,求满足a ∥e 且a ·e = -18的向量a=__________.14. 设a ＝(1,2)，b ＝(2,3)，若向量λa ＋b 与向量c ＝(－4，－7)共线，则λ＝________.15．若三点A (2,2)，B (a,0)，C (0，b )(ab ≠0)共线，则1a ＋1b 的值为________．16．设向量a ，b 满足|a |＝25，b ＝(2,1)，且a 与b 的方向相反，则a 的坐标为________．三、解答题：1、已知| a |=4, | b|=5, |a+b|=21 ,求： ① a ·b ② (2a －b)·(a+3b)2.已知两单位向量a 与b 的夹角为120︒，若2c a b =-，3d b a =-,试求c 与d 的夹角。

平面向量数量积练习题

平面向量数量积练习题平面向量数量积练习题平面向量数量积教学要求学生掌握平面向量数量积的概念、几何意义、性质、运算律及坐标表示，分享了平面向量数量积的练习题，欢迎借鉴！一、选择题：(本大题共6小题，每小题6分，共36分，将正确答案的代号填在题后的括号内．)1．设i，j是互相垂直的单位向量，向量a＝(m＋1)i－3j，b＝i＋(m－1)j，(a＋b)⊥(a－b)，则实数m的值为( )A．－2 B．2C．－12 D．不存在解析：由题设知：a＝(m＋1，－3)，b＝(1，m－1)，∴a＋b＝(m＋2，m－4)，a－b＝(m，－m－2)．∵(a＋b)⊥(a－b)，∴(a＋b)(a－b)＝0，∴m(m＋2)＋(m－4)(－m－2)＝0，解之得m＝－2.故应选A.答案：A2．设a，b是非零向量，若函数f(x)＝(xa＋b)(a－xb)的图象是一条直线，则必有( )A．a⊥b B．a∥bC．|a|＝|b| D．|a|≠|b|解析：f(x)＝(xa＋b)(a－xb)的图象是一条直线，即f(x)的表达式是关于x的一次函数．而(xa＋b)(a－xb)＝x|a|2－x2ab＋ab－x|b|2，故ab＝0，又∵a，b为非零向量，∴a⊥b，故应选A.答案：A3．向量a＝(－1,1)，且a与a＋2b方向相同，则ab的范围是( ) A．(1，＋∞) B．(－1,1)C．(－1，＋∞) D．(－∞，1)解析：∵a与a＋2b同向，∴可设a＋2b＝λa(λ>0)，则有b＝λ－12a，又∵|a|＝12＋12＝2，∴ab＝λ－12|a|2＝λ－12×2＝λ－1>－1，∴ab的范围是(－1，＋∞)，故应选C.答案：C4．已知△ABC中， ab<0，S△ABC＝154，|a|＝3，|b|＝5，则∠BAC等于( )A．30° B．－150°C．150° D．30°或150°解析：∵S△ABC＝12|a||b|sin∠BAC＝154，∴sin∠BAC＝12，又ab<0，∴∠BAC为钝角，∴∠BAC＝150°.答案：C5．(2010辽宁)平面上O，A，B三点不共线，设则△OAB的面积等于( )A.|a|2|b|2－(ab)2B.|a|2|b|2＋(ab)2C.12|a|2|b|2－(ab)2D.12|a|2|b|2＋(ab)2解析：cos〈a，b〉＝ab|a||b|，sin∠AOB＝1－cos2〈a，b〉＝1－ab|a||b|2，所以S△OAB＝12|a||b|sin∠AOB＝12|a|2|b|2－(ab)2.答案：C6．(2010湖南)在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，则等于( ) A．－16 B．－8C．8 D．16解析：解法一：因为cosA＝ACAB，故 cosA＝AC2＝16，故选D.解法二：在上的投影为| |cosA＝| |，故 cosA＝AC2＝16，故选D.答案：D二、填空题：(本大题共4小题，每小题6分，共24分，把正确答案填在题后的横线上．)7．(2010江西)已知向量a，b满足|b|＝2，a与b的`夹角为60°，则b在a上的投影是________．解析：b在a上的投影是|b|cos〈a，b〉＝2cos60°＝1.答案：18．(2010浙江)已知平面向量α，β，|α|＝1，|β|＝2，α⊥(α－2β)，则|2α＋β|的值是________．解析：由于α⊥(α－2β)，所以α(α－2β)＝|α|2－2αβ＝0，故2αβ＝1，所以|2α＋β|＝4|α|2＋4αβ＋|β|2＝4＋2＋4＝10.答案：109．已知|a|＝2，|b|＝2，a与b的夹角为45°，要使λb－a与a垂直，则λ＝________.解析：由λb－a与a垂直，(λb－a)a＝λab－a2＝0，所以λ＝2.答案：210．在△ABC中，O为中线AM上的一个动点，若AM＝2，则)的最小值是________．解析：令| |＝x且0≤x≤2，则| |＝2－x.＝－2(2－x)x＝2(x2－2x)＝2(x－1)2－2≥－2.∴ 的最小值为－2.答案：－2三、解答题：(本大题共3小题，11、12题13分，13题14分，写出证明过程或推演步骤．)11．已知|a|＝2，|b|＝1，a与b的夹角为45°，求使向量(2a＋λb)与(λa－3b)的夹角是锐角的λ的取值范围．解：由|a|＝2，|b|＝1，a与b的夹角为45°，则ab＝|a||b|cos45°＝2×1×22＝1.而(2a＋λb)(λa－3b)＝2λa2－6ab＋λ2ab－3λb2＝λ2＋λ－6.设向量(2a＋λb)与(λa－3b)的夹角为θ，则cosθ＝(2a＋λb)(λa－3b)|2a＋λb||λa－3b|>0，且cosθ≠1，∴(2a＋λb)(λa－3b)>0，∴λ2＋λ－6>0，∴λ>2或λ<－3.假设cosθ＝1，则2a＋λb＝k(λa－3b)(k>0)，∴2＝kλ，λ＝－3k，解得k2＝－23.故使向量2a＋λb和λa－3b夹角为0°的λ不存在．所以当λ>2或λ<－3时，向量(2a＋λb)与(λa－3b)的夹角是锐角．评析：由于两个非零向量a，b的夹角θ满足0°≤θ≤180°，所以用cosθ＝ab|a||b|去判断θ分五种情况：cosθ＝1，θ＝0°；cosθ＝0，θ＝90°；cosθ＝－1，θ＝180°；cosθ<0且cosθ≠－1，θ为钝角；cosθ>0且cosθ≠1，θ为锐角．12．设在平面上有两个向量a＝(cosα，sinα)(0°≤α<360°)，b＝－12，32.(1)求证：向量a＋b与a－b垂直；(2)当向量3a＋b与a－3b的模相等时，求α的大小．解：(1)证明：因为(a＋b)(a－b)＝|a|2－|b|2＝(cos2α＋sin2α)－14＋34＝0，故a＋b与a－b垂直．(2)由|3a＋b|＝|a－3b|，两边平方得3|a|2＋23ab＋|b|2＝|a|2－23ab＋3|b|2，所以2(|a|2－|b|2)＋43ab＝0，而|a|＝|b|，所以ab＝0，则－12cosα＋32sinα＝0，即cos(α＋60°)＝0，∴α＋60°＝k180°＋90°，即α＝k180°＋30°，k∈Z，又0°≤α<360°，则α＝30°或α＝210°.13．已知向量a＝(cos(－θ)，sin(－θ))，b＝cosπ2－θ，sinπ2－θ，(1)求证：a⊥b；(2)若存在不等于0的实数k和t，使x＝a＋(t2＋3)b，y＝－ka＋tb满足x⊥y，试求此时k＋t2t的最小值．解：(1)证明：∵ab＝cos(－θ)cosπ2－θ＋sin(－θ)sinπ2－θ＝sinθcosθ－sinθcosθ＝0.∴a⊥b.(2)由x⊥y，得xy＝0，即[a＋(t2＋3)b](－ka＋tb)＝0，∴－ka2＋(t3＋3t)b2＋[t－k(t2＋3)]ab＝0，∴－k|a|2＋(t3＋3t)|b|2＝0.又|a|2＝1，|b|2＝1，∴－k＋t3＋3t＝0，∴k＝t3＋3t，∴k＋t2t＝t3＋t2＋3tt＝t2＋t＋3＝t＋122＋114.故当t＝－12时，k＋t2t有最小值114.。

平面向量的数量积测试题.

平面向量的数量积测试题（时间60分钟，满分100分）一、选择题：（每小题5分，共30分）1、已知a 、b 为两个单位向量，下列四个命题正确的是（）（A ）a =b （B ）a ·b =0 （C ）|a ·b |<1 （D ）2a =2b2、有下面四个关系式①0 ·a = 0 ②)()(c b a c b a ⋅⋅=⋅⋅ ③a b b a ⋅=⋅ ④||||||a b b a ⋅=⋅其中正确的个数是（）（A ）4 （B ）3 （C ）2 （D ）13、a 、b 是非零向量，||||b a b a ⋅=⋅是a 、b 共线的（）（A ）充分非必要条件（B ）必要非充分条件（C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件4、设),(11y x a = ，),(22y x b = ，则下列命题中错误的是（）（A ）2121||y x a += （B ）01221=+⇔y x y x b a ∥（C ）2121y y x x b a +=⋅ （D ）02121=+⇔⊥y y x x b a5、已知向量)3,4(=a ，向量b 是垂直a 的单位向量，则b 等于（）（A ）)53,54()54,53(或（B ）)54,53()54,53(--或（C ）)53,54()54,53(--或（D ）)54,53()54,53(--或 6、以)2,5(),5,3(),2,1(---C B A 为顶点的三角形是（）（A ）直角三角形（B ）锐角三角形（C ）钝角三角形（D ）等边三角形二、填空题：（每小题5分，共30分）7、已知|a |=5，a 与b 的夹角为 30，则a 在b 方向上的投影为______________________8、若)3,4(-=a 、)6,(λ=b ，且b a ∥则λ=_______________________9、若a ·b <0，则a 与b 夹角θ的取值范围是____________________________________10、若向量a 和b 的长度分别为4和3，夹角为 60，则|a +b |=________________________11、已知)1,2(-=a ，)3,(λ=b ,若a 与b 夹角为锐角，则λ的取值范围是_______________12、已知)4,3(-=a ，|b |=|a |，且b a ⊥，则b =________________________________三、解答题（每小题10分，共40分）13、已知|a |=2，|b |=3，b a ⊥，且b a 23+与b a -λ也互相垂直，求λ的值。

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