第一节 可测集的结构 - 欢迎来到重庆邮电大学理学院首页

开集Gn，使得E Gn且m(Gn E) 1 n
令O Gn
n 1
, 则O为G 型集，且E O
m(O E) m(Gn E) 1 n , n 1, 2,3,
故m(O E ) 0
例：设E为[0,1]中的有理数全体， 试各写出一个与E只相差一 零测度集的 G 型集或 F 型集。
有理数集可看成可数个单点集的并，而单点集是闭集； 通过取余 G 型集与 F 型集相互转化（并与交，开集与闭集互换）
二. 可测集与开集、闭集的关系
定理：
(1)若E可测，则 0, 开集G， 使得E G且m(G E )
即：可测集与开集、闭集只相差一小测度集 （可测集“差不多”就是开集或闭集）， 从而可测集基本上是至多可数个开区间的并。
且m (G E ) ，则E是可测集。
证明：对任意的1/n，
开集Gn，使得E Gn且m (Gn E) 1 n
令O Gn，则O为G 型集，E O且
n 1

m (O E) m (Gn E) 1 ,2,3, n , n 1
故m (O E) 0
(2).若E可测，则存在 F 型集H, 使 H E且m( E H ) 0
(1).若E可测，则存在 G 型集 O, 使 E O且m(O E) 0 (2).若E可测，则存在 F 型集H, 使 H E且m( E H ) 0
证明：若(1)已证明，由Ec可测可知
G 型O，使得E O且m(O E ) 0
1 n i1
, ri 2 ))
1 n i1
类似可证：
若E Rn，则存在G 型集O，
使得E O且mO m E（称O为E的等测包） 证明:由外测度定义知
* 1 , 开区间列 { I }, 使得 E I 且 m E ni ni n i 1


i 1

| I ni | m* E
从而E O (O E)为可测集

例：设E为[0,1]中的有理数全体， 试各写出一个与E只相差一小 测度集的开集和闭集。
E {r1 , r2 , r3 ,}
开集： G (ri
i 1

, r i1 i1 ) i 2 2
闭集：空集
例：设E*为[0,1]中的无理数全体，试各写出一个与E*只相差一小 测度集的开集和闭集。
O ((ri 2 , ri 2 )) G 型集： n 1 i 1


1 n i 1
1 n i 1
F 型集： 空集
注：上面的交与并不可交换次序
例：设E*为[0,1]中的无理数全体，试各写出一个与E*只相差一零 测度集的 G 型集或 F 型集。
G 型集： (0,1)
F 型集： H [0,1] ((r n1 i 1 i 2
(2)若E可测，则 0, 闭集F， 使得F E且m( E F )
(1)若E可测，则 0, 开集G， (2)若E可测，则 0, 闭集F， 使得E G且m(G E )
使得F E且m( E F )
证明：若(1)已证明，由Ec可测可知
开集: (0,1) 闭集： F [0,1] (ri 2 , ri 2 ) i 1
i 1 i1
三. 可测集与 G 集和 F 集的关系 定理：
(1).若E可测，则存在 G 型集 O, 使
E O且m(O E) 0
可测集可由 G 型集去掉一零集，
或 F 型集添上一零集得到。
i 1

m(G E ) m( Gi Ei ) m((Gi Ei ))
i 1 i 1 i 1 i 1




m((Gi Ei )) m((Gi Ei ) 2 i
i 1 i 1 i 1



例 设E R n，若 0, 开集G，使得E G
p73 ; 1970，R.Solovay证明不可测集存在 蕴涵选择公理）
存在不是Borel集的可测集
（利用Cantor函数和不可测集构造） 参见：《实变函数》周民强 , p87
0, 开区间列{I i }, 使得E I i 且m* E
i 1

i 1

| I i | m* E
令G I i , 则G为开集，E G，且
i 1

mE mG mI i | I i | mE
i 1 i 1


从而（这里用到mE<+∞ ）
证明见书本p66
注：零集、区间、开集、闭集、 G 型集（可数个开集的交）、 F 型集（可数个闭集的并）、Borel型集（粗略说：从开集出发 通过取余，取交或并（有限个或可数个）运算得到）都是可测集。 注：开集、闭集既是 G 型集也是 F 型集； 有理数集是 F 型集，但不是 G 型集； 无理数集是 G 型集，但不是 F 型集。
1 n
令Gn I ni , 则Gn为开集，E Gn，且
i 1

m* E mGn mI ni | I ni | m* E
i 1 i 1



1 n
令O Gn，则O为G 型集，且O E,mO=mபைடு நூலகம்E
n 1
第四节 不可测集
存在不可测集（利用选择公理构造，教材
若若ee可测则存在可测则存在01中的无理数全体试各写出一个与中的无理数全体试各写出一个与ee只相差一零只相差一零测度集的测度集的01中的有理数全体中的有理数全体试各写出一个与试各写出一个与ee只相差一只相差一零测度集的零测度集的类似可证
第三章 测度理论
第三节 可测集类
一 可测集的实例
例 区间 I 是可测集，且 mI | I |
0, 开集G，使得E G且m(G E )
c c
取F=G c，则F为闭集 F E
且m( E F ) m( E F c ) m((E c ) c F c ) m( F c E c ) m(G E c )
证明:(1)当mE<+∞时，由外测度定义知
c c
HE且 取H=O c，则H为 F 型集 ，
m( E H ) m( E H )
c
m((E ) H ) m( H E ) m(O E ) 0
c c c c c c
(1).若E可测，则存在 G 型集 O, 使
E O且m(O E) 0
证明：对任意的1/n，
m(G E) mG mE
(2)当mE=+∞时， 这时将E分解成可数个互不相交的可测集的并：
E Ei (m E i )
i 1
对每个Ei应用上述结果
开集Gi，使得Ei Gi且m(Gi Ei ) 2 i
令G Gi , 则G为开集，E G，且