集合竞赛试题

竞赛试题选讲之：集合与函数
一、选择题（本题满分36分，每小题6分）
1．（2006陕西赛区预赛）a,b 为实数，集合{,1},{,0},:b M P a f x x a
==→表示把集合M 中的元素x 映射到集合P 中仍为x ，则a+b 的值等于
（ ）
A ． -1
B ．0
C ．1
D ．1±
2．（2006天津）已知函数22)(2+-=ax x x f ，当),1[+∞-∈x 时，a x f ≥)(恒成立，则a 的取值范围是 （ ） A ．12<<-a B ．12≤≤-a C ．23-≤≤-a D ．13≤≤-a 3．（2006陕西赛区预赛）若关于x 的方程3
23()2
5x
a
a
+=-有负数根，则实数a 的取值范围为
（ ）
A ．2(,)
(5,)3
-∞-+∞
B ．3
(,)
(5,)4
-∞-+∞ C ．2(,5)3- D ．23
(,)34
-
4．（2006陕西赛区预赛）若函数()f x 满足22
(
)log ||
f x x =+()f x 的解析式是
（ ）
A ．2log x
B ．2log x -
C ．2x
-
D ．2
x -
5．（2006年江苏）函数3log 3
x
y =的图象是
（ ）
A B C D 6．（2006陕西赛区预赛）已知实系数一元二次方程2(1)10x a x a b +++++=的两个实根为12,x x 且
1201,1x x <<>则b
a 的取值范围是
（ ） A ．1(1,]2-- B ．1(1,)2-- C ．1(2,]2-- D ．1
(2,)2
--
7．（2006年江苏）设()f x 是定义在R 上单调递减的奇函数．若120x x +>，230x x +>，310x x +>则
（ ） A ．()()()1230f x f x f x ++> B ．()()()1230f x f x f x ++<
C ．()()()1230f x f x f x ++=
D ．()()()123f x f x f x +>
8．（2006吉林预赛）如果集合A={y|y=－x 2+1，x ∈R +}，B={y|y=－x+1，x ∈R}，则A 与B 的交集是
（ ） A ． (0，1)或(1，1) B ．{(0，1)，(1，1)} C ． {0，1} D ． (－∞，1)
9．（2006安徽初赛）已知lg x 的小数部分为a ，则21
lg x
的小数部分为 （ ）
A ．2a -的小数部分
B ．12a -的小数部分
C ．22a -的小数部分
D ．以上都不正确
10．（2006吉林预赛）若函数f(x)=x 3－6bx+3b 在(0，1)内有极小值，则实数b 的取值范围是 （ ） A ． (0，1) B ． (－∞，1) C ． (0，+∞) D ． (0，0.5)
11．（2006年南昌市）设集合22{8|},{29|}A a a N B b b N =+∈=+∈,若A B P =,则P 中元素个数为
（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．至少3个 12．（2006年南昌市）设x x
x f -+=11)(,记()()1f x f x =,若)),(()(1x f f x f n n =+则=)(2006x f （ ）
A ．x
B ．-x 1
C ．x x -+11
D ．1
1+-x x
二、填空题（本题满分54分，每小题9分）
1．（2006安徽初赛）已知实数x 、y 满足()()()()5
5
1115115
41545
x x y y ⎧-+-=⎪⎨-+-=-⎪⎩，则x y += ． 2．（2006天津）已知集合},,,,{54321a a a a a C B A = ，且},{21a a B A = ，则集合A 、B 、C 所有可能的情况有 种．
3．（2006年南昌市）设M ＝{1,2,…,100},A 是M 的子集,且A 中至少含有一个立方数,则这种子集A 的个数是
____________. 4．（2006年江苏）集合{}
3,,010A x x n n N n ==∈<<，{}5,,06B y y m m N m ==∈≤≤，则集合A
B 的
所有元素之和为 ．
5．（2006年南昌市）若曲线2|2|y x =-与直线3y x k =+恰有三个公共点,则k 的值为___
6．（2006年上海）已知函数:f R +
→R 满足：对任意,x y ∈R +
，都有11()()()20062005f x f y f xy x
y
⎛⎫=+++ ⎪
⎝⎭
，
则所有满足条件的函数f 为 ．
7．（2006年上海）对于任意实数a ，b ，不等式{}
max ,,2006a b a b b C +--≥恒成立，则常数C 的最大
值是 ．（注：{}max ,,x y z 表示x ，y ，z 中的最大者．）
8．（2006年上海）设2()cos f x x ax b x =++，{}{}()0,R (())0,R x f x x x f f x x =∈==∈≠∅，则满足条件的所有实数a ，b 的值分别为 ．
三、解答题（每小题20分，共60分）
1．（2006年江苏）设集合()12log 32A x x ⎧⎫⎪⎪
=-≥-⎨⎬⎪⎪⎩⎭
，21a B x x a ⎧⎫=>⎨⎬-⎩⎭．若A B ≠∅，求实数a 的取值
范围．
2．(集训试题)已知a>0，函数f(x)=ax-bx 2,
（1）当b>0时，若对任意x ∈R 都有f(x)≤1，证明：a ≤2b ；
（2）当b>1时，证明：对任意x ∈[0, 1], |f(x)|≤1的充要条件是：b-1≤a ≤2b ； （3）当0<b ≤1时，讨论：对任意x ∈[0, 1], |f(x)|≤1的充要条件。

3．(06重庆卷) 已知定义域为R 的函数()f x 满足()2
2()().f
f x x
x f x x x -+=-+
（I ）若(2)3f =，求(1)f ;又若(0)f a =，求()f a ;
（II ）设有且仅有一个实数0x ，使得00()f x x =，求函数()f x 的解析表达式.
参考答案
一、 选择题（本题满分36分，每小题6分）
CDDBA ADBDD DCB 二、 填空题（本题满分54分，每小题9分） 1．15； 2．500； 3．100
962
2-; 4．225; 5．无解; 6．1()2006f x x
=+; 7．1003;
8．04a ≤<，b ＝0; 三、 解答题（每小题20分，共60分）
1．解：{}
13A x x =-≤<，()(){}
30B x x a x a =--<．当0a >时，{}
03B x a x a =<<<，由A
B ≠∅
得03a <<；当0a <时，{}
30
B x a x a =<<<，由A B ≠∅得1a >-；当0a =时，
{}
20
B x x =<=∅，与A B ≠∅不符．综上所说，()()1,00,3a ∈-．
2．解：（1）证：依题设，对任意x ∈R ，都有f(x)≤1。

∵f(x)=-b(x-b a 2)2+b a 42，∴f(b a 2)=b
a 42 ≤1，∵a>0, b>0,
∴a ≤2b 。

（2）证：（必要性），对任意x ∈[0, 1]，|f(x)|≤1⇒-1≤f(x)据此可推出-1≤f(1)即a-b ≥-1，∴a ≥b-1。

对任
意x ∈[0, 1]，|f(x)|≤1⇒f(x)≤1，因为b>1，可推出f(
b
1)≤1。

即a ·
b
1-≤1，∴a ≤2b ，所以b-1
≤a ≤2b 。

（充分性）：因b>1, a ≥b-1，对任意x ∈[0, 1]，可以推出：ax-bx 2≥b(x-x 2)-x ≥-x
≥-1，即：ax-bx 2≥-1；因为b>1，a ≤2b ，对任意x ∈[0, 1]，可推出ax-bx 2≤2b -bx 2≤1，即ax-bx 2≤1，∴-1≤f(x)≤1。

综上，当b>1时，对任意x ∈[0, 1], |f(x)|≤1的充要条件是：b-1≤a ≤2b 。

（3）解：因为a>0, 0<b ≤1时，对任意x ∈[0, 1]。

f(x)=ax-bx 2≥-b ≥-1，即f(x)≥-1；
f(x)≤1⇒f(1)≤1⇒a-b ≤1，即a ≤b+1；a ≤b+1⇒f(x)≤(b+1)x-bx 2≤1，即f(x)≤1。

所以，当a>0, 0<b ≤1时，对任意x ∈[0, 1]，|f(x)|≤1的充要条件是：a ≤b+1. 3．
222
22)() 2)(2)22
2322,(1)1 f(0)=a,f(00)00,()x f x x x
f f a a f a a ∈+=-++=-++=-+=-+=-+=222
解：(I)因为对任意x R,有f(f(x)-x 所以f(f(2)-2又由f(2)=3,得f(3-2）即若则即
2200020
2
00000
2000000220(II)(())().
() ,() () ()0()0()x R f f x x x f x x x x f x x x R f x x x x x x f x x x x f x x x x x x x f x x x f x x ∈-+=-+=∈-+==-+==-=-+==因为对任意，有又因为有且只有一个实数，使得所以对任意有在上式中令，有又因为，所以，故=0或=1
若=0，则，即202202 0
()1,() 1. () 1 ()
x
x x x x x f x x x f x x x f x x x x R --=≠-+==-+=-+∈但方程有两个不相同实根，与题设条件矛盾。

故若=1，则有即易验证该函数满足题设条件。

综上，所求函数为
竞赛试题选讲之 《集合与函数练习》
1．（06北卷）已知(3)4,1()log ,1
a a x a x f x x x --⎧=⎨
≥⎩＜
，是（-∞，+∞）上的增函数，那么a 的取值范围是
（ ）
A ．(1，+∞)
B ．(-∞,3)
C ．[
5
3
，3] D ．(1 ,3)
2.（06全国II ）函数f (x )＝∑i ＝1
19
|x －n |的最小值为
（ ）
A ．190
B ．171
C ．90
D ．45 3.（山东卷）已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x+2)=－f (x ),则,f (6)的值为 （ ）
A ．－1
B ．0
C ．1
D ．2
4.（06天津卷）已知函数)(x f y =的图象与函数x a y =（0>a 且1≠a ）的图象关于直线x y =对称，记
]1)2(2)()[()(-+=f x f x f x g ．若)(x g y =在区间]2,2
1
[上是增函数，则实数a 的取值范围是
（ ）
A ．),2[+∞
B ．)2,1()1,0(
C ．)1,21[
D ．]2
1
,0(
5．（06天津卷）如果函数2()(31)(01)x x f x a a a a a =-->≠且在区间[)0+，∞上是增函数，那么实数a 的
取值范围是
（ ）
A ．203⎛
⎤ ⎥⎝⎦
，
B
．13⎫
⎪⎪
⎣⎭
C
．(
D ．3
2⎡⎫+⎪⎢⎣⎭
，∞
6.（06浙江卷）对a,b ∈R,记max{a,b}=⎩⎨⎧≥b
a b b
a a ＜,,，函数f （x ）＝max{|x+1|,|x-2|}(x ∈R)的最小值是
（ ）
AB0
B ．
1
2
C ．
3
2
D ．3
7．（2006安徽初赛）若关于x
2kx +恰有一个实根，则k 的取值范围是 ．
8．（2006陕西赛区预赛）设()f x 是以2为周期的奇函数，且2
()35f -=
，若sin α=
则(4cos 2)f α的值 .
9．（2006吉林预赛）已知函数x x f 2
1log )(=，设)(a f a x =
，)(b f b y =，)
(c f c z =，其中0<c<b<a<1，那么x 、y 、z 的大小顺序为 .
10．（2006吉林预赛）若关于x 的方程)(log 122a x x -=-有正数解，则实数a 的取值范围为______.
11．(集训试题)对每一实数对(x, y)，函数f(t)满足f(x+y)=f(x)+f(y)+f(xy)+1。

若f(-2)=-2，试求满足f(a)=a 的所
有整数a=_________.
12．(集训试题)设n 是正整数，集合M={1，2，…，2n}．求最小的正整数k ，使得对于M 的任何一个k 元子
集，其中必有4个互不相同的元素之和等于
13．(集训试题)．若log 4(x+2y)+log 4(x-2y)=1，则|x|-|y|的最小值是_________.
14．(06重庆卷)设0,1a a >≠，函数2
lg(23)
()x
x f x a -+=有最大值，则不等式()
2
log 570a x x -+>的解集
为 。

15．（2006陕西赛区预赛）(20分)设123(,)(,)(2,)P x a y Q x y r a y ++、、是函数()2x f x a =+的反函数图象
上三个不同点，且满足1322y y y +=的实数x 有且只有一个，试求实数a 的取值范围.
16．(06重庆卷)已知定义域为R 的函数12()2x x b
f x a
+-+=+是奇函数。

（Ⅰ）求,a b 的值；（Ⅱ）若对任意的t R ∈，
不等式22(2)(2)0f t t f t k -+-<恒成立，求k 的取值范围；
17．（200 6天津）已知α、β是关于x 的二次方程0222
=--tx x 的两个根，且βα<，若函数
14)(2+-=
x t x x f ．（Ⅰ）求βαβα--)
()(f f 的值；（Ⅱ）对任意的正数1x 、2x ，求证：
||2|)()(|21212121βααββα-<++-++x x x x x x x x f ．
竞赛试题选讲之《集合与函数练习》答案
1．解：依题意，有a >1且3－a >0，解得1<a <3，又当x <1时，（3－a ）x －4a <3－5a ，当x ≥1时，log a x ≥0，所以3－5a ≤0解得a ≥
3
5
，所以1<a <3故选D 2．解析:19
1
()123
19n f x x n x x x x ==
-=-+-+-+-∑表示数轴上一点到1,2,3…19的距离之和,可知
x 在1—19最中间时f(x)取最小值.即x=10时f(x)有最小值90,故选C
本题主要考察求和符号的意义和绝对值的几何意义,难度稍大,且求和符号不在高中要求范围内,只在线性回归中简单提到过.
3．解：因为f （x ）是定义在R 上的奇函数，所以f （0）＝0，又f （x ＋4）＝－f （x ＋2）＝f （x ），故函数，f （x ）的周期为4，所以f （6）＝f （2）＝－f （0）＝0，选B
4．解析：已知函数)(x f y =的图象与函数x a y =（0>a 且1≠a ）的图象关于直线x y = 对称,则
()log a f x x =，记()()[()(2)1]g x f x f x f =+-=2(log )(log 21)log a a a x x +-．
当a >1时，若)(x g y =在区间]2,21[上是增函数，log a y x =为增函数，令log a t x =，t ∈[1
log 2
a , log 2a ]，
要求对称轴log 211log 22a a --
≤，矛盾；当0<a <1时，若)(x g y =在区间]2,2
1
[上是增函数，log a y x =为减函数，令log a t x =，t ∈[log 2a ,1log 2a ]，要求对称轴log 211log 22a a --
≥，解得1
2
a ≤,所以实数a 的取值范围是]2
1
,0(,选D.
5．解析：函数y 2(31)(0x x a a a a =-->且1)a ≠可以看作是关于x
a 的二次函数，若a >1，则x y a =是增函
数，原函数在区间[0,)+∞上是增函数，则要求对称轴2312a +≤0，矛盾；若0<a <1，则x
y a =是减函数，
原函数在区间[0,)+∞上是增函数，则要求当x
t a =(0<t<1)时，22(31)y t a t =-+在t ∈(0，1)上为减函数，即对称轴2312a +≥1
，∴2
13a ≥，∴实数a 的取值范围是，选B.
6．解：当x <－1时，|x ＋1|＝－x －1，|x －2|＝2－x ，因为（－x －1）－（2－x ）＝－3<0，所以2－x >－x －1；当－1≤x <
12时，|x ＋1|＝x ＋1，|x －2|＝2－x ，因为（x ＋1）－（2－x ）＝2x －1<0，x ＋1<2－x ；当1
2
≤x <2时，x ＋1≥2－x ；当x ≥2时，|x ＋1|＝x ＋1，|x －2|＝x －2，显然x ＋1>x －2；
故2((,1)12([1,))2()11([,2))
2
1([2,))x x x x f x x x x x -∈-∞-⎧⎪
⎪-∈-⎪=⎨
⎪+∈⎪⎪+∈+∞⎩
据此求得最小值为32。

选C 8。

-3
11．1或-2; 解：令x=y=0得f(0)=-1；令x=y=-1，由f(-2)=-2得，f(-1)=-2，又令x=1, y=-1可得f(1)=1，再令
x=1，得f(y+1)=f(y)+y+2 ①，所以f(y+1)-f(y)=y+2，即y 为正整数时，
f(y+1)-f(y)>0，由f(1)=1可知对一切正整数y ，f(y)>0，因此y ∈N *
时，f(y+1)=f(y)+y+2>y+1，即对一切大于1的正整数t ，恒有f(t)>t ，由①得f(-3)=-1, f(-4)=1。

下面证明：当整数t ≤-4时，f(t)>0，因t ≤-4，故-(t+2)>0，由①得：f(t)-f(t+1)=-(t+2)>0， 即f(-5)-f(-4)>0，f(-6)-f(-5)>0，……，f(t+1)-f(t+2)>0，f(t)-f(t+1)>0
相加得：f(t)-f(-4)>0，因为：t ≤4，故f(t)>t 。

综上所述：满足f(t)=t 的整数只有t=1或t=2。

12．解：考虑M 的n+2元子集P={n-l ，n ，n+1，…，2n}．P 中任何4个不同元素之和不小于
(n-1)+n+(n+1)+(n+2)=4n+2，所以k ≥n+3．将M 的元配为n 对，B i =(i ，2n+1-i)，1≤i≤n ． 对M 的任一n+3元子集A ，必有三对123,,i i i B B B 同属于A(i 1、i 2、i 3两两不同)．又将M 的元配为n-1对，C i (i ，2n-i)，1≤i≤n-1．对
M 的任一n+3元子集A ，必有一对4i C 同属于A ，这一对4i C 必与123,,i i i B B B 中至少一个无公共元素，这4个元素互不相同，且和为2n+1+2n=4n+1,最小的正整数k=n+310．
13．解：⎩⎨⎧=->⇒⎪⎩
⎪
⎨⎧=-+>->+44||24)2)(2(020
22
2y x y x y x y x y x y x 3
由对称性只考虑y ≥0，因为x>0，∴只须求x-y 的最小值，令x-y=u ，代入x 2-4y 2=4，有3y 2-2uy+(4-u)2=0，这个关于y 的二次方程显然有实根，故△=16(u 2-3)≥0。

14．解析：设0,1a a >≠，函数2lg(23)
()x x f x a
-+=有最大值，∵2lg(23)lg 2x x -+≥有最小值，∴ 0<a <1，
则不等式()2
log 570a x x -+>的解为22570
571x x x x ⎧-+>⎨-+<⎩
，解得2<x <3，所以不等式的解集为()2,3.
15. ）或02
1
(>-=a a
16．解析：（Ⅰ）因为()f x 是奇函数，所以(0)f =0，即1
11201()22
x
x b b f x a a +--=⇒=∴=++ 又由f （1）= -f （-1）知1112
2 2.41
a a a -
-=-⇒=++
（Ⅱ）解法一：由（Ⅰ）知11211
()22221
x x x
f x +-==-+++，易知()f x 在(,)-∞+∞上 为减函数. 又因()f x 是奇函数，从而不等式： 22(2)(2)0f t t f t k -+-<
等价于222(2)(2)(2)f t t f t k f k t -<--=-，因()f x 为减函数，由上式推得：
2222t t k t ->-．即对一切t R ∈有：2320t t k -->，
从而判别式1
4120.3
k k ∆=+<⇒<-
解法二：由（Ⅰ）知1
12()22x
x f x +-=+．又由题设条件得：
22
22222121
121202222
t t t k
t t t k ---+-+--=<++，
即 ：2222
212212(22)(12)(22)(12)0t k t t t t t k -+--+-+-++-<，
整理得 2
3221,t
t k
-->因底数2>1,故:2320t t k -->
上式对一切t R ∈均成立，从而判别式14120.3
k k ∆=+<⇒<- 17．【解】（Ⅰ）由书籍，根据韦达定理得有2
t
=
+βα，1-=⋅βα βααβαβααααα22)(2414)(22-==-+-=+-=t f ，αβαβ
ββαββββ22
)(2414)(2
2-==-+-=+-=t f ， ∴
222)()(=-+-=--βαα
ββαβαf f ………………………………………5分 （Ⅱ）已知函数14)(2+-=x t x x f ，∴2
22)
1()22(2)(+---='x tx x x f 而且对],[βα∈x ，0))((2222
≤--=--βαx x tx x ，于是0)(≥'x f ，
∴函数1
4)(2
+-=
x t
x x f 在],[βα上是增函数 ………………………………10分 注意到对于任意的正数1x 、2x
0)(2122121>+-=-++x x x x x x x αβαβα，0)
(2
112121<+-=-++x x x x x x x βαββα
即ββαα<++<2121x x x x ，同理βαβα<++<2
121x x x x ． ………………………15分
∴)()()(2121ββααf x x x x f f <++<，)()()(2121βα
βαf x x x x f f <++<，
)()()(2
121αα
ββf x x x x f f -<++-<-．
于是)()()()()]()([2
1212121αβα
ββααβf f x x x x f x x x x f f f -<++-++<--，
∴)()(|)()(|2
1212121αβαββαf f x x x x f x x x x f -<++-++．
而||222)()(βααβαβ-=-=-f f ，
∴||2|)()(|2
1212121βααββα-<++-++x x x x x x x x f ． ………………………20分。