2021高考数学 立体几何专题 大题练习

2021高考立体几何大题练习

1．如图，四棱锥P-ABCD 的底面ABCD 为正方形，PA PB PC PD ===，E ，F 分别是棱PC ，AB 的中点.

（1）求证：//EF 平面P AD ；

（2）若4PA AB ==，求直线EF 与平面P AB 所成角的正弦值.

2．如图，四棱锥P ABCD -中，PAD △为等边三角形，//,AB CD AD CD ⊥，且24CP CA AB CD ====.

（1）求证：平面PAD ⊥平面ABCD ；

（2）求二面角B CP D --的余弦值.

3．如图，三棱柱111ABC A B C -中，侧面11BB C C 为菱形，1B C 的中点为O ，且AO ⊥平面11BB C C ．

(1)证明：1B C AB ⊥；

(2)若1AC AB ⊥，o 160CBB ∠=，1BC =，试画出二面角1A BC B --的平面角，并求它的余弦值．

4．在立体几何中，用一个平面去截一个几何体得到的平面图形叫截面. 如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点,G M 分别是棱1,C C BC 的中点.

（1）证明：1A M G D 、、、共面；

（2）求截面1AMGD 的面积.

5．如图，在棱柱ABCD A B C D ''''-中，底面ABCD 为平行四边形，4DD CD '==，2AD =，π3

BAD ∠=，且D 在底面上的投影H 恰为CD 的中点.

（1）求证：BC ⊥平面B D H ''；

（2）求二面角C BH C '--的大小.

6．三棱柱111ABC A B C -中，平面11⊥AA B B 平面ABC ，114AB AA A B ===，

2BC = ， AC =F 为棱AB 的中点，点E 为线段11AC 上的动点.

（1）求证：EF BC ⊥；

（2）若点E 为线段11AC 的中点，求点C 到平面BEF 的距离.

7．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，平面11ACC A ⊥平面ABC ，90ACB ∠=︒，4AB =，2BC =，侧面11ACC A 是菱形，160A AC ∠=︒，点D ，E 分别为11A B ，AC 的中点．

（1）证明：//AD 平面11EB C ；

（Ⅱ）求直线1AA 与平面11EB C 所成角的正弦值．

参考答案

1．（1）见解析（2）

3 【分析】

（1）取PD 中点M ，连接AM ，ME ，可证明出//AF ME ，即有//EF AM ，根据线面平行的判定定理，即可证出//EF 平面P AD ；

（2）连接AC ，BD 交于点O ，以OA ，OB ，OP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz ，由线面角的向量公式即可求出．

【详解】

（1）取PD 中点M ，连接AM ，ME ，

因为E ，M 分别是棱PC ，PD 的中点， 所以12

ME DC =，//ME DC ， 因为F 是AB 的中点，且,AB CD =//AB CD ，

所以//AF DC ，且12

AF DC =，即//AF ME . 故四边形AFEM 是平行四边形，从而有//EF AM .

又因为EF ⊄平面PAD ，AM ⊂平面PAD ，

所以//EF 平面PAD.

（2）连接AC ，BD 交于点O ，连接OP ，

由题意得PO ⊥平面ABCD ，AC BD ⊥，

以OA ，OB ，OP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴

建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz ，

本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。

则A (0,B (C -(0,0,P ，

(E F ，

(AP =-(AB =-(22,EF =，

设平面PAB 的法向量为(,,)n x y z =.

由0,

0,AP n AB n ⎧⋅=⎨⋅=⎩得0,0,

x z x y -+=⎧⎨-+=⎩ 可取1x =，得(1,1,1)n =.

设EF 与平面PAB 所成的角为θ， 所以||2sin |cos ,|3||

EF n EF n EF n θ⋅=〈〉==‖，

即直线EF 与平面PAB 所成角的正弦值为

3

． 【点睛】 本题主要考查线面平行的判定定理的应用以及利用向量求直线与平面所成角，意在考查学生的直观想象能力，逻辑推理能力和数学运算能力，属于中档题．

2．（1）证明见解析（2）7

-

【分析】

（1）根据边角关系，求出CD ⊥AD ，由AD ⊥CD ，判断出CD ⊥平面P AD ，再证明出结论；

（2）取AD 中点O ，则PO ⊥AD ，由（1）知，PO ⊥平面ABCD ，如图，以O 为坐标原点建立空间直角坐标系，求出平面BCP 和平面CDP 的法向量，利用夹角公式求出即可．

【详解】

（1）证明：因为,2,4AD CD CD CA ⊥==，

所以22212AD AC CD =-=，即AD =因为PAD △为等边三角形，

所以PD AD ==因为4,2PC CD ==，

所以222CD PD PC +=，即CD PD ⊥.

又因为,PD AD D CD AD ⋂=⊥，

所以CD ⊥平面PAD ，

又因为CD ⊂平面ABCD ，

所以平面PAD ⊥平面ABCD .

（2）解：取AD 中点O ，则PO AD ⊥，由（1）知，PO ⊥平面ABCD .

如图，以O 为坐标原点建立空间直角坐标系，

则(0,0,3),(P D C B ， (3,2,3),(23,2,0),(0,2,0)PC BC DC =-=-=.