2007-江苏省连云港市高一数学第二学期期末考试试题 苏教版

2007-2008学年江苏省连云港市高一数学第二学期期末考试试题
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分，把答案填在题中横线上。

1、若不等式260x x m -+>的解集为{}3x x R x ∈≠且，则实数m 的值为 ▲ 。

2、设直线l 的方程为4(3)y m x +=-，当m 取任意的实数时，这样的直线必过一定点的坐标为 ▲ 。

3、已知某种产品的生产成本每年降低25%。

若该产品2005年底的生产成本为6400元／件，那么2008年底的生产成本为 ▲ 元／件。

4、若空间两点A (),,1m n 、A '()1,2,1n m --关于z 轴对称，则mn 的值为 ▲ 。

5、已知点()0,4A ,而点B 在直线0x y +=上运动，则当线段AB 最短时，点B 的坐标为 ▲ 。

6、函数6
y x x
=+
的值域为 ▲ 。

7、数列{}n a 的前n 项和2*()n S n n n N =+∈，则10a 等于 ▲ 。

8、在 ABC 中，已知A B b a 2,6,5===，则A sin 的值为 ▲ 。

9、若不等式01)14(<+++y a ax 表示直线01)14(=+++y a ax 下方的平面区域，则实数a 的取值范围为 ▲ 。

10、已知直线l ⊥平面α，m 为与直线l 不重合的直线。

下列判断：①若m ⊥l ，则m ∥α；②若m ⊥α，则m ∥l ；③若m ∥α，则m ⊥l 。

其中正确的序号是 ▲ 。

11、海上有三个小岛,,,C B A 其中B A ,两岛相距610海里，从A 岛望C 岛和B 岛所成的视角为60º，从B 岛望C 岛和A 岛所成的视角为75º，则B 岛和C 岛的距离为 ▲ 海里。

12、从原点向圆091222=+-+y y x 作两条切线，则该圆夹在两条切线间的劣弧长为 ▲ 。

13、以原点为圆心的圆C 全部在区域⎩⎨⎧≥+-≥+-040
82y x y x 内，则圆C 面积的最大值为
▲ 。

14、若数列{}n x 满足：,3,121==x x 且...)4,3,2(31
1==-+n x x x x n n
n n ，则它的通项n x 等于 ▲ 。

二、解答题：本大题共6小题，共90分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15、（本小题满分14分）
求圆心在直线01332=-+y x 上，且与直线01034:1=+-y x l ， 直线0834:2=--y x l 都相切的圆的方程。

16、（本小题满分14分）
已知四边形ABCD 中，︒=∠====60,6,4,2D DA CD BC AB 且试求四边形ABCD 的面积。

17、（本小题满分14分）
某工厂建造一个无盖的长方形贮水池，其容积为64003m ，深度为4m ，如果池底每12m 的造价为160元，池壁每12m 的造价为100元，怎样设计水池能使总造价最低？最低总造价为多少元？
18、（本小题满分16分）
D
C
B
A
正三棱柱111ABC A B C -的底面边长与侧棱长都是2，,D E 分别是11,BB CC 的中点。

（Ⅰ）求三棱柱111ABC A B C -的全面积； （Ⅱ）求证：BE ∥平面1ADC ; （Ⅲ）求证：平面1ADC ⊥平面11ACC A .
19、（本小题满分16分）
如图，在△ABC 中,AD 为BC 边上的高，垂足D 在边BC 上，
2204CAD BAD πθθ⎛
⎫∠=∠=<< ⎪⎝
⎭,1,BD =设△ABD ,△ACD 的面积分别为12,S S .
（Ⅰ）当
2
1
4S S >时，求tan θ的取值范围； （Ⅱ）当129
4
S S >
时，求tan θ的取值范围. 20、（本小题满分16分）
已知等差数列{}n a 的前10项和为100，且47a =，对任意的*k N ∈,在k a 与1k a +之间插入12k -个2，得到新数列{}n b 的前n 项和. (Ⅰ) 10a 是数列{}n b 的第几项？
(Ⅱ) 是否存在正整数m ，使2008m T =？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由.
(Ⅲ) 若m a 是数列{}n b 的第()f m 项，试比较()2f m m T S +与的大小，并说明理由.
C 1
B 1
A 1
E D
C
B
A D
C
A
B
参考答案
一、填空题：（每小题5分，共70分）
1、9m =；
2、()3,4-；
3、2700；
4、3
4
-；5、()2,2-；6、(][),88,-∞-⋃+∞；
7、20；8、45；9、1
4
a >-；10、②③；11、30；12
；13、8π；14、(1)
23n n -
二、解答题：（本大题共6小题，共90分）
15、解：设圆心坐标为(),a b ，则23130a b +-= ⑴
又由圆与直线01034:1=+-y x l ，直线0834:2=--y x l 都相切得
431043855
a b a b -+--=，化简得4310a b -+= ⑵
⑴ ⑵两式联立解得23a b =⎧⎨=⎩，即圆心为()2,3，
故半径为
4233109
55
⨯-⨯+=，
所以，所求圆的方程为()()2
2
2
9235x y ⎛⎫
-+-= ⎪⎝⎭
.
16、解：连AC , 在△ACD 中，由6,4,60AD CD D ==∠=︒,可得
2222cos AC AD DC AD DC D =+-∠2264246cos6028=+-⨯⨯︒=，
在△ABC 中，由22,4,28,AB BC AC ===
可得222cos 2AB BC AC B AB BC +-∠=
22
24281
2242
+-==-⨯⨯.
又0180B <∠<,
故sin B ∠=
所以四边形ABCD 的面积11sin sin 22
ACD ABC
S S S
AD CD D AB BC B =+=
∠+∠ =11
46sin 6024sin1208322
⨯⨯+⨯⨯=.
17、解：设水池上底面相邻两边的长分别为,x ym ,水池总造价为z 元，则有
D
C
B
A
4xy =6400,即xy =1600.
故z =160(xy )+100(88x y +
)1601600≥⨯+ 1601600160040320000=⨯+⨯= 当且仅当40x y ==时，z =320000. 故当40x y ==时，z 取最大值320000元.
答：当水池底面为正方形（其边长为40）时，水池总造价最低，最低总造价为320000元.
18、（1）解由三棱柱111ABC A B C -是正三棱柱，且棱长均为2， 可知底面是正三角形，侧面均为正方形， 故三棱柱111ABC A B C -
的全面积2
2223212S =+⨯=+(2) 在正三棱柱111ABC A B C -中，因为,D E 分别是11,BB CC 的中点， 可知11111
22
BD BB CC EC =
==,又BD ∥1EC , 所以四边形1BDC E 是平行四边形，故BE ∥1DC , 又1DC ⊂平面1ADC ,BE ⊄平面1ADC , 所以BE ∥平面1ADC .
(3) 连1AC ,设1AC 与1AC 相交于O ，
则由侧面11ACC A 为正方形，可知1AC 与1AC 互相平分. 在Rt △11B C D
中，1DC ==
同理可得AD =故1DC AD =, 连OD ,可得1OD AC ⊥. 连1,CD A D ,同理可证1OD AC ⊥,
又1AC 与1AC 相交于O ，故OD ⊥平面11ACC A . 因为OD ⊂平面1ADC ,故平面1ADC ⊥平面11ACC A .
B 1
A 1D
B
A
19、解：⑴22112tan 21,,tan 2tan tan 1tan 1tan BD AD CD AD θθθθθθ
==
===-- 22121tan S CD CD S BD θ===-，由2211
42
S S θ>>
得tan ， 又04π
θ<<，故0tan 1θ<<，从而所求tan θ范围为.⎫⎪⎪⎝⎭
⑵ 由1294S S >
，得222
11129
44tan 1tan 4
AD CD θθ=>-， 令2tan x θ=，得29920x x -+>，故23x >或1
3
x <
，
即22tan 3θ>或2
1tan 3θ<，又04
π
θ<<，
tan 1θ<<，或0tan θ<<. 20、解：⑴在数列{}n b 中，对每一个k N ∈,在k a 与与1k a +之间有12k -个2，
∴10a 在数列{}n b 中的项数为9
8
121012421052112
-+++++=+=-.
即10a 是数列{}n b 中第521项.
(2)设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，
由题设可知11
104510037a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得11,
2.a d =⎧⎨=⎩
故()11221n a n n =+-=-，
在数列{}n b ，m a 及其前面所有项的和为
()()113521242m m -+++
+-+++
+⎡⎤⎣⎦()1222122212
m m m m -⨯-=+
=+--，
∵10112102112220082112+-=<<+-，且2008-1122=886=443⨯2. ∴存在521443964m =+=，使得2008m T =. (3)由（2）知()f m T =222m m +-， 又()()2
2135232m S m m +=+++
++=+，
所以()()()()2
22222246m m m f m T S m m m +-=+--+=-+，
要比较()2m f m T S +与的大小，只需比较246m m +与的大小即可. 当122,4610,246;m m m m m ==+=<+时，故 当224,46114,246;m m m m m ==+=<+时，故 当328,4618,246;m m m m m ==+=<+时，故 当4216,4622,246;m m m m m ==+=<+时，故 当52(46),m m m m ≥=-+时，令C
由1240m m m C C +-=->，可知{}m C 从第5项起往后是递增的， 又56C =>0,故当50m m C ≥>时，，即()2m f m T S +>.
综上可知当1,2,3,4m =时，()2m f m T S +<；当5m ≥时，()2m f m T S +>.。