高中数学第三章函数的应用3.2.1几类不同增长的函数模型课时作业(含解析)新人教A版必修1

3.2.1 几类不同增长的函数模型
[基础巩固](25分钟，60分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．下列函数中，随x的增大，增长速度最快的是( )
A．y＝1 B．y＝x
C．y＝2x D．y＝log3x
解析：结合函数y＝1，y＝x，y＝2x及y＝log3x的图象可知，随着x的增大，增长速度最快的是y＝2x.
答案：C
2．如图所示给出了红豆生长时间t(月)与枝数y(枝)的散点图，那么最能拟合诗句“红豆生南国，春来发几枝”所提到的红豆生长时间与枝数的关系的函数模型是( )
A．指数函数：y＝2t B．对数函数：y＝log2t
C．幂函数：y＝t3 D．二次函数：y＝2t2
解析：由散点图可知，与指数函数拟合最贴切，故选A.
答案：A
3．已知a，b，c，d四个物体沿同一方向同时开始运动，假设其经过的路程和时间x的
函数关系分别是f1(x)＝x2，f2(x)＝x 1
2，f3(x)＝log2x，f4(x)＝2x，如果运动时间足够长，则
运动在最前面的物体一定是( )
A．a B．b
C．c D．d
解析：根据四种函数的变化特点，指数函数是一个变化最快的函数．当运动时间足够长时，最前面的物体一定是按照指数函数运动的物体．
答案：D
4．在同一坐标系中画出函数y＝log a x，y＝a x，y＝x＋a的图象，可能正确的是( )
解析：函数y ＝a x
与y ＝log a x 的单调性相同，由此可排除C ；直线y ＝x ＋a 在y 轴上的截距为a ，则选项A 中0<a <1，选项B 中a >1，显然y ＝a x
的图象不符，排除A ，B ，选D.
答案：D
5．y 1＝2x ，y 2＝x 2
，y 3＝log 2x ，当2<x <4时，有( ) A ．y 1>y 2>y 3 B ．y 2>y 1>y 3 C ．y 1>y 3>y 2 D ．y 2>y 3>y 1
解析：在同一平面直角坐标系内画出这三个函数的图象(图略)，在区间(2,4)内，从上到下图象依次对应的函数为y 2＝x 2
，y 1＝2x
，y 3＝log 2x ，故y 2>y 1>y 3.
答案：B
二、填空题(每小题5分，共15分)
6．已知函数f (x )＝3x
，g (x )＝2x ，当x ∈R 时，f (x )与g (x )的大小关系为________． 解析：在同一直角坐标系中画出函数f (x )＝3x
，g (x )＝2x 的图象，如图所示，
由于函数f (x )＝3x
的图象在函数g (x )＝2x 图象的上方，则f (x )>g (x )． 答案：f (x )>g (x )
7．据报道，青海湖水在最近50年内减少了10%，如果按此规律，设2013年的湖水量为
m ，从2013年起，过x 年后湖水量y 与x 的函数关系是________．
解析：设湖水量每年为上年的q %， 则(q %)50
＝0.9， 所以q %＝0.9
150，所以x 年后湖水量y ＝m ·(q %)x
＝m ·0.950
x .
答案：y ＝0.9
50
x ·m
8．某工厂8年来某种产品总产量C 与时间t (年)的函数关系如图所示，以下四种说法：
①前三年产量增长的速度越来越快；②前三年产量增长的速度越来越慢；③第三年后这种产品停止生产；④第三年后产量保持不变，其中说法正确的序号是________．解析：由t∈[0,3]的图象联想到幂函数y＝xα(0<α<1)，反应了C随时间的变化而逐渐增长但速度越来越慢．由t∈[3,8]的图象可知，总产量C没有变化，即第三年后停产，所以②③正确．
答案：②③
三、解答题(每小题10分，共20分)
9．每年的3月12日是植树节，全国各地在这一天都会开展各种形式的植树活动，某市现有树木面积10万平方米，计划今后5年内扩大树木面积，现有两种方案如下：方案一：每年植树1万平方米；
方案二：每年树木面积比上一年增加9%.
哪个方案较好？
解析：方案一：5年后树木面积为：10＋1×5＝15(万平方米)．
方案二：5年后树木面积是10(1＋9%)5≈15.386(万平方米)，
因为15.386>15，所以方案二较好．
10．某公司拟投资100万元，有两种投资方案可供选择：一种是年利率为10%，按单利计算，5年后收回本金和利息；另一种是年利率为9%，按每年复利一次计算，5年后收回本金和利息．哪一种投资更有利？这种投资比另一种投资5年可多得利息多少元？(结果精确到0.01万元)
解析：本金100万元，年利率为10%，按单利计算，5年后的本息和是100×(1＋10%×5)＝150(万元)．
本金100万元，年利率为9%，按每年复利一次计算，5年后的本息和是100×(1＋9%)5≈153.86(万元)．
由此可见，按年利率为9%每年复利一次计算的投资方式要比按年利率为10%单利计算的更有利，5年后多得利息3.86万元．
[能力提升](20分钟，40分)
11．四个函数在第一象限中的图象如图所示，a、b、c、d所表示的函数可能是( )
A．a：y＝2x b：y＝x2c：y＝x d：y＝2－x
B ．a ：y ＝x 2 b ：y ＝2x c ：y ＝2－x
d ：y ＝x C ．a ：y ＝x 2
b ：y ＝2x
c ：y ＝x
d ：y ＝2－x
D ．a ：y ＝2x b ：y ＝x 2 c ：y ＝2－x
d ：y ＝x
解析：根据幂函数、指数函数、对数函数的性质和图象的特点，a ，c 对应的函数分别是幂指数大于1和幂指数大于0小于1的幂函数，且b ，d 对应的函数分别为底数大于1和底数大于0小于1的指数函数．
答案：C
12．已知a ＝0.32
，b ＝log 20.3，c ＝20.3
，则a ，b ，c 的大小关系为________． 解析：∵a ＝0.32
<1<20.3
＝c ，∴c >a >0. 又∵b ＝log 20.3<log 21＝0，∴c >a >b . 答案：c >a >b
13．现有某种细胞100个，其中占总数1
2的细胞每小时分裂一次，即由1个细胞分裂为2
个细胞，按这种规律发展下去，经过多少小时，细胞总数可以超过1010
个？(参考数据：lg 3＝0.477，lg 2＝0.301)
解析：现有细胞100个，先考虑经过1,2,3,4个小时后的细胞总数； 1 h 后，细胞总数为
12×100＋12×100×2＝3
2×100； 2 h 后，细胞总数为
12×32×100＋12×32×100×2＝9
4×100； 3 h 后，细胞总数为
12×94×100＋12×94×100×2＝27
8×100；
4 h 后，细胞总数为
12×278×100＋12×278×100×2＝81
16×100. 可见，细胞总数y 与时间x (h)之间的函数关系为
y ＝100×⎝ ⎛⎭
⎪⎫32
x ，x ∈N *.
由100×⎝ ⎛⎭⎪⎫32x >1010，得⎝ ⎛⎭
⎪⎫32x >108
，
两边同时取以10为底的对数，
得x lg 32>8，∴x >8lg 3－lg 2
.
∵8lg 3－lg 2＝80.477－0.301≈45.45， ∴x >45.45.
故经过46 h ，细胞总数超过1010
个．
14．某医疗研究所开发一种新药，如果成人按规定的剂量服用，据监测：服药后每毫升血液中的含药量y 与时间t 之间近似满足如图所示的曲线．
(1)写出服药后y 与t 之间的函数关系式；
(2)据测定，每毫升血液中含药量不少于4 μg 时治疗疾病有效，假若某病人一天中第一次服药为上午7：00，问：一天中怎样安排服药时间(共4次)效果最佳？
解析：(1)依题意得y ＝⎩⎪⎨⎪
⎧
6t ，0≤t ≤1，－23
t ＋20
3，1<t ≤10.
(2)设第二次服药时在第一次服药后t 1小时，则－23t 1＋20
3＝4，解得t 1＝4，因而第二次
服药应在11：00.
设第三次服药在第一次服药后t 2小时，则此时血液中含药量应为前两次服药后的含药量的和，即有－23t 2＋203－23(t 2－4)＋20
3
＝4，解得t 2＝9，故第三次服药应在16：00.
设第四次服药在第一次服药后t 3小时(t 3>10)，则此时第一次服进的药已吸收完，血液中含药量应为第二、第三次的和，即有－23(t 3－4)＋203－23(t 3－9)＋20
3＝4，解得t 3＝13.5，
故第四次服药应在20：30.。