4.2.2等差数列的前n项和的性质及应用(第2课时)

最大值？若存在，求 的最大值及取得最大值是n的值；若不存在，说明理由.
分析： 由 > 和 < ，可以证明{ }是递减数列，且存在正整数 k ,
使得当 ≥ 时， < ， 递减.
这样，就把求 的最大值转化为
求{ }的所有正数项的和.



另一方面，等差数列的前n项和公式可写成 = + −
最大值？若存在，求 的最大值及取得最大值是n的值；若不存在，说明理由.
解法2：
因为 =



+



−

=
−
+ = −

−


+
，

所以，当n取与 最接近的正数即5或6时， 最大，最大值为30.
合作探究
思考
在例9中，当d=-3.5时， 有最大值吗？结合例9考虑更一般的等差数列
前n 项和的最大值问题
提示：
结合 对应的二次函数知， 有最大值，当n=3时， 取到最大值.
合作探究
拓展： 等差数列前n项和 的最值
（1）二次函数法：
−


= +
= + −




将 配方，转化为二次函数的最值问题，借助函数单调性来解决。但要注意 ∈ ∗
当 d>0时， 有最小值；当 d<0时， 有最大值；
且n取最接近对称轴的自然数时， 取到最值
（2）图象法：
利用二次函数图象的对称性来确定n的值，使 取得最值.
（3） 邻项变号法：
当 > , < 时，满足ቊ
当 < , > 时，满足ቊ
≥
的项数n使 取得最大值.
所以
×
+
=

×
+
=

解方程组，得
=
ቊ
=
所以 = + × = ，于是
+ + ⋯ +
×
= × +
× =

所以第21项到第30项的和为1510.
课堂练习
已知一个等差数列{ }前10项的和是310，前20项的和是1220，
求第21项到第30项的和.
解法2：
数列 ， − ， − 构成等差数列
即310，910， − 成等差数列
所以
× = + ( − )
所以 − =
3. 若奇 表示奇数项的和， 偶 表示偶数项的和，公差为d，
① 当项数为偶数2n时， 偶 − 奇 = ，


② 当项数为偶数2n-1时， 奇 − 偶 = ，
奇
偶


=
奇
偶

+
=

+
,
− = ( − )
合作探究
例8 某校新建一个报告厅，要求容纳800个座位，报告厅共有20排座位，
列{ }，其前n项和为 .
根据题意，数列{ }是一个公差为2的等差数列，且 = .
由 = +
×(−)

× = ，可得
= .
因此，第1排应安排21个座位.
合作探究
例9
已知等差数列{ }的前n项和为 ，若 = ，公差d=-2，则 是否存在
从第2排起后一排都比前一排多2个座位，问第1排应安排多少个座位.
分析：将第1排到第20排的座位数依次排成一列，构成数列{ }. 设数列{ }的前n项和为 .
由题意可知，{ }是等差数列，并且公差及前20项的和已知，所以可利用等差数
列的前n项和公式求首项.
解： 设报告厅的座位从第1排到第20排，各排的座位依次排成一列，构成等差数
课堂练习
2 在等差数列{ }中， + + = ， + + = ，


所以当 ≠ 时，S 可以看成是二次函数


= + −



∈
当 x=n 时的函数值
如图4.2-4，当 < 时，S 关于n的图象是一条开口向下的抛
物线上的一些点. 因此，可以利用二次函数求出相应的n, S 的值,
合作探究
例9
已知等差数列{ }的前n项和为 ，若 = ，公差d=-2，则 是否存在
4.2.2 等差数列的前n项和的
性质及应用（第2课时）
人教A版（2019）
选择性必修第二册
新知导入
等差数列前n项和公式？
提示：
−1
= 1 +

2
1 +
=
2
① 推导等差数列前n项和的方法“倒序相加法”.
② 方程（组）思想的应用，“知三求一”，“知三求二”.




③ = + ( − )
最大值？若存在，求 的最大值及取得最大值是n的值；若不存在，说明理由.
解法1：
由+ − = − < ，得+ < ，所以{ }是递减数列.
又由 = + − × − = − + ，可知：
当 < 时， > ；
当 = 时， = ；
等差数列前 n 项和可以转化为关于n的一元二次函数(d≠0)或一次函数(d=0) .
新知讲解
拓展
等差数列前n项和的常用性质
设等差数列{ }的前n项和为 ，则
1. 数列{ }是等差数列 ⇔ =

+ (p、q为常数)

⇔数列{

}是等差数列.
2. 等差数列的依次k项之和， ， − ， − ， … 组成公差为 的等差数列.
+ ≤
≤
的项数n使 取得最小值.
+ ≥
课堂练习
1（例题பைடு நூலகம்编）
已知一个等差数列{ }前10项的和是310，前20项的和是1220，
求第21项到第30项的和.
解法1：
设等差数列{ }的首项为 ，公差为d，得
= ， − = .
当 > 时， < ；
所以 < < ⋯ < = > > ⋯ .


因 为 = × × + − × −
所以 的最大值为30.
也就是说，当n=5或6时， 最大.
= ，
合作探究
例9
已知等差数列{ }的前n项和为 ，若 = ，公差d=-2，则 是否存在