高考数学一轮复习讲解与练习 8.6双曲线理 新人教A版.pdf

[备考方向要明了]
考 什 么怎 么 考1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道它的简单几何性质．
2.了解圆锥曲线的简单应用、了解双曲线的实际背景、了解双曲线在刻画现实世界或解决实际问题中的作用．
3.理解数形结合的思想.1.双曲线的定义、几何性质和标准方程是高考常考内容，三种题型均有可能，高考对双曲线的要求比椭圆要低，难度为中低档，如2012年大纲全国T8，新课标全国T8等．2.直线与双曲线也是高考的重点考查内容之一，多以解答题形式考查，题目难度较大.
[归纳·知识整合]
1．双曲线的定义
满足以下三个条件的点的轨迹是双曲线
(1)在平面内；(2)动点到两定点的距离的差的绝对值为一定值；(3)这一定值一定要小于两定点的距离．
[探究]　1.与两定点F1，F2的距离之差的绝对值等于常数2a的动点的轨迹一定为双曲线吗？
提示：只有当2a|F1F2|，则轨迹不存在．
2．双曲线的标准方程和几何性质
图形标准方程－＝1(a>0，b>0)－＝1(a>0，b>0)性质范围x≥a或x≤－a，yRy≤－a或y≥a，xR对称性对称轴：坐标轴
对称中心：原点对称轴：坐标轴
对称中心：原点顶点顶点坐标：
A1(－a,0)，A2(a,0)顶点坐标：
A1(0，－a)，A2(0，a)渐近线y＝±xy＝±x离心率e＝，e(1，＋∞)a，b，c
的关系c2＝a2＋b2实虚轴线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝2a；
线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝2b；
a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长.
[探究]　2.双曲线的离心率的大小与双曲线“开口”大小有怎样的关系？
提示：离心率越大，双曲线的“开口”越大．
3．等轴双曲线
实轴与虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，其标准方程为x2－y2＝λ(λ≠0)，离心率e＝，渐近线方程为y＝±x. [自测·牛刀小试]
1．双曲线2x2－y2＝8的实轴长是( )
A．2 B．2
C．4 D．4
解析：选C　由题意知，a＝2，故长轴长为2a＝4.
2．双曲线方程：＋＝1，那么k的范围是( )
A．k>5 B．2<k<5
C．－2<k<2 D．－2<k5
解析：选D　由题意知，(|k|－2)(5－k)<0，解得－2<k5.
3．若双曲线－＝1(a>0，b>0)的离心率为2，则一条渐近线的方程为( )
A．y＝x＋1 B．y＝3x
C．y＝－3x＋1 D．y＝x
解析：选D　由题意知双曲线的渐近线方程为y＝±x＝± x＝±x，故渐近线方程为y＝±x.
4．设P是双曲线－＝1上一点，双曲线的一条渐近线方程为3x－2y＝0，F1，F2分别是双曲线的左，右焦点，若
|PF1|＝3，则|PF2|＝( )
A．1或5 B．6
C．7 D．9
解析：选C　由渐近线方程3x－2y＝0，知＝.
又b2＝9，所以a＝2，从而|PF2|＝7.
5．已知双曲线的离心率为2，焦点是(－4,0)，(4,0)，则双曲线方程为________．
解析：由已知可得c＝4，a＝2，所以b2＝12，故双曲线的方程为－＝1.
答案：－＝1
双曲线的定义、标准方程
[例1]　(1)(2012·大纲全国卷)已知F1，F2为双曲线C：x2－y2＝2的左，右焦点，点P在C上，|PF1|＝2|PF2|，则
cosF1PF2＝( )
A. B.
C. D.
(2)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线方程是y＝x，它的一个焦点在抛物线y2＝24x的准线上，则双曲线的方程为( )
A.－＝1
B.－＝1
C.－＝1
D.－＝1
[自主解答]　(1)由双曲线的定义有|PF1|－|PF2|＝|PF2|＝2a＝2，|PF1|＝2|PF2|＝4，cosF1PF2＝＝.
(2)抛物线y2＝24x的准线方程为x＝－6，则在双曲线中有a2＋b2＝(－6)2＝36.
又双曲线－＝1的一条渐近线为方程y＝x，
＝.
联立解得
所以双曲线的方程为－＝1.
[答案]　(1)C　(2)B
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双曲线定义运用中的两个注意点
(1)在解决与双曲线的焦点有关的距离问题时，通常考虑利用双曲线的定义；
(2)在运用双曲线的定义解题时，应特别注意定义中的条件“差的绝对值”，弄清楚指整条双曲线还是双曲线的一支．
1．已知ABP的顶点A，B分别为双曲线－＝1的左，右焦点，顶点P在双曲线上，则的值等于( )
A. B.
C. D.
解析：选A　在ABP中，由正弦定理知＝＝＝＝.
2．设F1，F2是双曲线－y2＝1的两个焦点，P在双曲线上，当F1PF2的面积为2时， 1·2的值为( )
A．2 B．3
C．4 D．6
解析：选B　设点P(x0，y0)，依题意得，|F1F2|＝2＝4，SPF1F2＝|F1F2|×|y0|＝2|y0|＝2，|y0|＝1.又P在曲线上，－y＝1，即x＝3(y＋1)＝6.
1·2＝(－2－x0，－y0)·(2－x0，－y0)＝x＋y－4＝3.双曲线的几何性质及应用
[例2]　(1)(2012·福建高考)已知双曲线－＝1的右焦点为(3,0)，则该双曲线的离心率等于( )
A. B.
C. D.
(2)(2012·新课标全国卷)等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线y2＝16x的准线交于A，B两点
|AB|＝4，则C的实轴长为( )
A. B．2
C．4 D．8
[自主解答]　(1)因为双曲线的右焦点坐标为(3,0)，所以c＝3，b2＝5，则a2＝c2－b2＝9－5＝4，所以a＝2.所以e＝＝.
(2)由题意可设双曲线的方程为－＝1(a>0)．易知抛物线y2＝16x的准线方程为x＝－4，联立得
16－y2＝a2.(*)因为|AB|＝4，所以y＝±2.代入(*)式，得16－(±2)2＝a2，解得a＝2(a>0)．
所以双曲线C的实轴长为2a＝4.
答案：(1)C　(2)C
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研究双曲线几何性质时的两个注意点
(1)实半轴、虚半轴所构成的直角三角形是值得关注的一个重点；
(2)由于e＝是一个比值，故只需根据条件得到关于a，b，c的一个关系式，利用b2＝c2－a2消去b，然后变形即可求e，并注意e>1.
3．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的离心率为，则该双曲线的渐近线斜率为( )
A．±2 B．±
C．± D．±
解析：选C　＝＝e2－1＝，由此可得双曲线的渐近线的斜率为k＝±＝±.
直线与双曲线的综合
[例3]　已知双曲线的中心在原点，离心率为2，一个焦点F(－2,0)．
(1)求双曲线方程；
(2)设Q是双曲线上一点，且过点F，Q的直线l与y轴交于点M，若||＝2||，求直线l的方程．
[自主解答]　(1)由题意可设所求的双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)，则有e＝＝2，c＝2，所以a＝1，则b＝.
所以所求的双曲线方程为x2－＝1.
(2)因为直线l与y轴相交于M且过焦点F(－2,0)，所以l的斜率一定存在，设为k，则l：y＝k(x＋2)，
令x＝0，得M(0,2k)，
因为||＝2||且M，Q，F共线于l，
所以＝2或＝－2.
当＝2时，xQ＝－，yQ＝k，
所以Q的坐标为.
因为Q在双曲线x2－＝1上，
所以－＝1，解得k＝±.
所以直线l的方程为y＝(x＋2)．
当＝－2时，
同理求得Q(－4，－2k)代入双曲线方程得，
16－＝1，解得k＝±.
所以直线l的方程为y＝±(x＋2)．
综上：所求的直线l的方程为y＝±(x＋2)或y＝±(x＋2)．
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求解双曲线综合问题的主要方法
双曲线的综合问题主要为直线与双曲线的位置关系．解决这类问题的常用方法是设出直线方程或双曲线方程，然后把直线方程和双曲线方程组成方程组，消元后转化成关于x(或y)的一元二次方程，利用根与系数的关系及整体代入的思想解题．设直线与双曲线交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，直线的斜率为k，则|AB|＝|x1－x2|.
4．P(x0，y0)(x0≠±a)是双曲线E：－＝1(a>0，b>0)上一点，M，N分别是双曲线E的左，右顶点，直线PM，PN的斜率之积为.
(1)求双曲线的离心率；
(2)过双曲线E的右焦点且斜率为1的直线交双曲线于A，B两点，O为坐标原点，C为双曲线上一点，满足＝λ＋，求λ的值．
解：(1)点P(x0，y0)(x0≠±a)在双曲线－＝1上，有－＝1，
由题意又有·＝，
可得a2＝5b2，c2＝a2＋b2＝6b2，
则e＝＝.
(2)联立
得4x2－10cx＋35b2＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则
设＝(x3，y3)，＝λ＋，即
又C为双曲线上一点，则x－5y＝5b2，
即(λx1＋x2)2－5(λy1＋y2)2＝5b2，
化简得λ2(x－5y)＋(x－5y)＋2λ(x1x2－5y1y2)＝5b2.
又A(x1，y1)，B(x2，y2)在双曲线上，
所以x－5y＝5b2，x－5y＝5b2.
由式得x1x2－5y1y2＝x1x2－5(x1－c)(x2－c)＝－4x1x2＋5c(x1＋x2)－5c2＝10b2.
将代入化简得λ2＋4λ＝0，解得λ＝0或λ＝－4.
1个规律——等轴双曲线的离心率及渐近线的关系
双曲线为等轴双曲线双曲线的离心率e＝双曲线的两条渐近线互相垂直(位置关系)．
2种方法——求双曲线标准方程的两种方法
(1)定义法，根据题目的条件，若满足定义，求出相应a，b，c即可求得方程．
(2)待定系数法
②待定系数法求双曲线方程的常用方法
3个关注点——双曲线几何性质的关注点
双曲线的几何性质从以下三点关注：
(1)“六点”：两焦点、两顶点、两虚轴端点；
(2)“四线”：两对称轴(实、虚轴)，两渐近线；
(3)“两形”：中心、顶点、虚轴端点构成的三角形，双曲线上的一点(不包括顶点)与两焦点构成的三角形．
3个防范——双曲线问题的三个易混点
(1)区分双曲线中的a，b，c大小关系与椭圆a，b，c关系，在椭圆中a2＝b2＋c2，而在双曲线中c2＝a2＋b2.
(2)双曲线的离心率大于1，而椭圆的离心率e(0,1)．
(3)双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线方程是y＝±x，－＝1(a>0，b>0)的渐近线方程是y＝±x.
易误警示——双曲线几何性质的解题误区
[典例]　(2012·湖南高考)已知双曲线C：－＝1的焦距为10，点P(2,1)在C的渐近线上，则C的方程为( )
A.－＝1
B.－＝1
C.－＝1
D.－＝1
[解析]　由已知可得双曲线的焦距2c＝10，a2＋b2＝52＝25，排除C，D，又由渐近线方程为y＝x＝x，得＝，解得a2＝20，b2＝5.
[答案]　A
1．因对双曲线的几何性质不清，误以为c＝10，错选C；
2．因对双曲线渐近线理解不清而出现渐近线求解错误，错解成＝，从而错选B.
3．解决与双曲线性质有关的问题时，还易出现对a，b，c之间的关系式c2＝a2＋b2与椭圆中a，b，c之间的关系式a2＝c2＋b2的混淆，从而出现解题错误等．
已知点(2,3)在双曲线C：－＝1(a>0，b>0)上，C的焦距为4，则它的离心率为________．
解析：法一：点(2,3)在双曲线C：－＝1上，
则－＝1，又由于2c＝4，所以a2＋b2＝4.解方程组
得a＝1或a＝4.由于a5”是“方程－＝1表示双曲线”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选A　当k>5时，方程表示双曲线；反之，方程表示双曲线时，有k>5或k2.e＝＝ >＝.
4．(2012·浙江高考)如图，中心均为原点O的双曲线与椭圆有公共焦点，M，N是双曲线的两顶点．若M，O，N将椭圆长轴四等分，则双曲线与椭圆的离心率的比值是( )
A．3 B．2
C. D.
解析：选B　设焦点为F(±c,0)，双曲线的实半轴长为a，则双曲线的离心率e1＝，椭圆的离心率e2＝，所以＝2. 5．已知双曲线－＝1(b>0)的左，右焦点分别是F1，F2，其一条渐近线方程为y＝x，点P(，y0)在双曲线上．则1·2＝( )
A．－12 B．－2
C．0 D．4
解析：选C　由渐近线方程为y＝x知双曲线是等轴双曲线，双曲线方程是x2－y2＝2，于是两焦点坐标分别是
(－2,0)和(2,0)，且P(，1)或P(，－1)．不妨取P(，1)，则1＝(－2－，－1)，2＝(2－，－1)．
1·2＝(－2－，－1)·(2－，－1)＝－(2＋)·(2－)＋1＝0.
6．(2012·皖南八校联考)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的右焦点为F，若过点且斜率为的直线与双曲线渐近线平行，则此双曲线离心率是( )
A. B.
C．2 D．2
解析：选A　依题意，应有＝，又＝ ，
即＝，解得e＝.
二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)
7．(2012·江苏高考)在平面直角坐标系xOy中，若双曲线－＝1的离心率为，则m的值为________．
解析：由题意得m>0，a＝，b＝，所以c＝.由e＝＝得＝5，解得m＝2.
答案：2
8．P为双曲线x2－＝1右支上一点，M，N分别是圆(x＋4)2＋y2＝4和(x－4)2＋y2＝1上的点，则|PM|－|PN|的最大值为________．
解析：双曲线的两个焦点为F1(－4,0)，F2(4,0)，为两个圆的圆心，半径分别为
r1＝2，r2＝1，|PM|max＝|PF1|＋2，|PN|min＝|PF2|－1，故|PM|－|PN|的最大值为
(|PF1|＋2)－(|PF2|－1)＝|PF1|－|PF2|＋3＝5.
答案：5
9．(2012·辽宁高考)已知双曲线x2－y2＝1，点F1，F2为其两个焦点，点P为双曲线上一点，若PF1PF2，则
|PF1|＋|PF2|的值为________．
解析：不妨设点P在双曲线的右支上，因为PF1PF2，所以(2)2＝|PF1|2＋|PF2|2，又因为|PF1|－|PF2|＝2，所以(|PF1|－|PF2|)2＝4，可得2|PF1|·|PF2|＝4，则(|PF1|＋|PF2|)2＝|PF1|2＋|PF2|2＋2|PF1|·|PF2|＝12，所以
|PF1|＋|PF2|＝2.
答案：2
三、解答题(本大题共3小题，每小题12分，共36分)
10．双曲线C与椭圆＋＝1有相同焦点，且经过点(，4)．
(1)求双曲线C的方程；
(2)若F1，F2是双曲线C的两个焦点，点P在双曲线C上，且F1PF2＝120°，求F1PF2的面积．
解：(1)椭圆的焦点为F1(0，－3)，F2(0,3)．
设双曲线的方程为－＝1(a>0，b>0)，
则a2＋b2＝32＝9.
又双曲线经过点(，4)，所以－＝1，
解得a2＝4，b2＝5或a2＝36，b2＝－27(舍去)，
所以所求双曲线C的方程为－＝1.
(2)由双曲线C的方程，知a＝2，b＝，c＝3.
设|PF1|＝m，|PF2|＝n，则|m－n|＝2a＝4，
平方得m2－2mn＋n2＝16.
在F1PF2中，由余弦定理得
(2c)2＝m2＋n2－2mncos 120°＝m2＋n2＋mn＝36.
由得mn＝.
所以F1PF2的面积为S＝mnsin 120°＝.
11．设A，B分别为双曲线－＝1(a>0，b>0)的左，右顶点，双曲线的实轴长为4，焦点到渐近线的距离为.
(1)求双曲线的方程；
(2)已知直线y＝x－2与双曲线的右支交于M，N两点，且在双曲线的右支上存在点D，使＋＝t，求t的值及点D的坐标．
解：(1)由题意知a＝2，
一条渐近线为y＝x，即bx－2y＝0.
＝，解得b2＝3，
双曲线的方程为－＝1.
(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，D(x0，y0)，
则x1＋x2＝tx0，y1＋y2＝ty0.
将直线方程代入双曲线方程得x2－16x＋84＝0，
则x1＋x2＝16，y1＋y2＝12.
∴
∴t＝4，点D的坐标为(4，3)．
12．设双曲线－＝1的两个焦点分别为F1，F2，离心率为2.
(1)求此双曲线的渐近线l1，l2的方程；
(2)若A，B分别为l1，l2上的点，且2|AB|＝5|F1F2|，求线段AB的中点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线．
解：(1)e＝2，c2＝4a2.c2＝a2＋3，a＝1，c＝2.
双曲线方程为y2－＝1，渐近线方程为y＝±x.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点M(x，y)．
2|AB|＝5|F1F2|，|AB|＝|F1F2|＝×2c＝10.
＝10.
又y1＝x1，y2＝－x2,2x＝x1＋x2,2y＝y1＋y2，
y1＋y2＝(x1－x2)，y1－y2＝(x1＋x2)，
＝10，
3(2y)2＋(2x)2＝100，即＋＝1.
则M的轨迹是中心在原点，焦点在x轴上，长轴长为10，短轴长为的椭圆．
1．已知双曲线中心在原点且一个焦点为F(，0)，直线y＝x－1与其相交于M，N两点，MN中点的横坐标为－，则此双曲线的方程是( )
A.－＝1
B.－＝1
C.－－1
D.－＝1
解析：选D　中点，设双曲线－＝1与y＝x－1的两交点A(x1，y1)，B(x2，y2)，
k＝＝＝＝1.
解得方程为－＝1.
2．(2013·揭阳模拟)中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的一条渐近线经过点(4，－2)，则它的离心率为
________．
解析：双曲线的渐近线方程为y＝±x，则＝，
故离心率e＝＝ ＝.
答案：
3．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)和椭圆＋＝1有相同的焦点，且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍，则双曲线的方程为________．
解析：由题意知，椭圆的焦点坐标是(±，0)离心率是.故在双曲线中，c＝，e＝＝，故a＝2，b2＝c2－a2＝3，故所求双曲线的方程是－＝1.
答案：－＝1
4．双曲线－＝1(a＞1，b＞0)的焦距为2c，直线l过点(a,0)和(0，b)，且点(1,0)到直线l的距离与点(－1,0)到直线l的距离之和s≥c，求双曲线的离心率e的取值范围．
解：直线l的方程为＋＝1，即bx＋ay－ab＝0.
由点到直线的距离公式，且a＞1，得到点(1,0)到直线l的距离d1＝.
同理得到点(－1,0)到直线l的距离d2＝.
所以s＝d1＋d2＝＝.
由s≥c，得≥c，
即5a≥2c2.
于是得5≥2e2，即4e4－25e2＋25≤0.
解不等式，得≤e2≤5.
由于e＞1，故e的取值范围是.。