四川省德阳市什邡七一中学2021年高三数学文联考试卷含解析

四川省德阳市什邡七一中学2021年高三数学文联考试卷含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 设集合A={x|x2﹣3x＜0}，B={x||x|＞2}，则A∩B=（）
A．（2，3）B．（﹣2，3）C．（0，2）D．（﹣2，0）
参考答案：
A
【考点】交集及其运算．
【分析】求出集合A，B，利用集合的基本运算即可得到结论．
【解答】解：A={x|x2﹣3x＜0}=（0，3），B={x||x|＞2}={x|x＞2或x＜﹣2}=（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞），
则A∩B=（2，3）
故选：A
2. 一种团体竞技比赛的积分规则是：每队胜、平、负分别得2分、1分、0分，已知甲球队已赛4场，积4分，在这4场比赛中，甲球队胜、平、负（包括顺序）的情况共有（）
A．7种B．13种C．18种D．19种
参考答案：
D
考点：计数原理的应用．
专题：应用题；排列组合．
分析：由题意4=1+1+2+0=2+2+0+0=1+1+1+1，即可得出结论．
解答：解：由题意4=1+1+2+0=2+2+0+0=1+1+1+1，
所以球队胜、平、负（包括顺序）的情况共有++1=19种，
故选：D．
点评：本题考查计数原理的运用，考查学生的计算能力，比较基础
3. 若，，则等于（）
A. B. C. D. 无法计算参考答案：
B
4. 已知函数f(x)(x∈R)满足f(－x)=2－f(x)，若函数与y= f(x)图像的交点为( x1, y1), ( x2, y2),…,
( x m, y m),则（）
（A）0 （B）m （C）2m （D）4m 参考答案：
B
由f(－x)=2－f(x)得f(x)关于(0,1)对称，
而也关于(0,1)对称，
∴对于每一组对称点，
∴，故选B．
5. 设为向量，则“”是“”的
（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件
（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件
参考答案：
C
考点：充分条件与必要条件
因为，所以
所以，，反之也成立
故答案为：C
6. 如图，是函数y=f（x）的导函数f′（x）的图象，则下面判断正确的是( )
A．在区间（﹣2，1）上f（x）是增函数B．在（1，3）上f（x）是减函数
C．在（4，5）上f（x）是增函数D．当x=4时，f（x）取极大值
参考答案：
C
【考点】导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性．
【专题】计算题．
【分析】由于f′（x）≥0?函数f（x）d单调递增；f′（x）≤0?单调f（x）单调递减，观察f′（x）的图象可知，通过观察f′（x）的符号判定函数的单调性即可
【解答】解：由于f′（x）≥0?函数f（x）d单调递增；f′（x）≤0?单调f（x）单调递减
观察f′（x）的图象可知，
当x∈（﹣2，1）时，函数先递减，后递增，故A错误
当x∈（1，3）时，函数先增后减，故B错误
当x∈（4，5）时函数递增，故C正确
由函数的图象可知函数在4处取得函数的极小值，故D错误
故选：C
【点评】本题主要考查了导数的应用：通过导数的符号判定函数单调性，要注意不能直接看导函数的单调性，而是通过导函数的正负判定原函数的单调性
7. 对任意，不等式sinx?f（x）＜cosx?f′（x）恒成立，则下列不等式错误的是（）
A．B．C．
D．
参考答案：
D
【考点】利用导数研究函数的单调性；导数的运算．
【专题】转化思想；导数的概念及应用；导数的综合应用．
【分析】构造函数g（x）=f（x）cosx，求函数的导数，利用导数研究函数的单调性，然后利用单调性进行判断即可．
【解答】解：构造函数g（x）=f（x）cosx，
则g′（x）=cosx?f′（x）﹣sinx?f（x），
∵sinx?f（x）＜cosx?f′（x），
∴g′（x）=cosx?f′（x）﹣sinx?f（x）＞0，即g（x）在上为增函数，
则g（）＜g（），
即f（）cos＜f（）cos，
即f（）＜f（），
即f（）＜f（），
又g（1）＜g（），
即f（1）cos1＜f（）cos，
即，
故错误的是D．
故选：D．
【点评】本题主要考查函数的大小比较，构造函数，求函数的导数，研究函数的单调性是解决本题的关键．
8. 已知, 圆内的曲线与轴围成的阴影部分区域记为(如图),
随机往圆内投掷一个点,则点落在区域的概率为
A．B． . C D．
参考答案：
B
9. 设a＝log54，b＝(log53)2，c＝log45，则()
A ．a ＜c ＜b
B ．b ＜c ＜a
C ．a ＜b ＜c
D ．b ＜a ＜c 参考答案： D
10. 已知直角中，
，是
的内心，
是
内部(不含边界)的动
点，若
，则
的取值范围是（ ）
A ．
B ．()
C ．()
D ．()
参考答案：
A
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 两车在十字路口相遇后，又沿不同方向继续前进，已知A 车向北行驶，速率为30 km/h,B 车向东行驶，速率为40 km/h,那么A 、B 两车间直线距离的增加速率为 ．
参考答案：
50 km/h
12. 如图，将一块半径为2的半圆形纸板切割成等腰梯形的形状，下底AB 是半圆的直径，上底CD 的端点在半圆上，则所得梯形的最大面积为
．
参考答案：
【考点】7F
：基本不等式．
【分析】连接OD ，过C
，D 分别作DE⊥AB 于E ，CF⊥AB，垂足分别为E ，F ．设∠AOD=θ
．OE=2cosθ，DE=2sinθ．可得CD=2OE=4cosθ，梯形ABCD 的面积
S=
=4sinθ（1+cosθ），平方换元利用导数研究函数的单调性极值与最值即
可得出．．
【解答】解：连接OD ，过C ，D 分别作DE⊥AB 于E ，CF⊥AB，垂足分别为E ，F ． 设∠AOD=θ
．
OE=2cosθ，DE=2sinθ． 可得CD=2OE=4cosθ， ∴梯形ABCD 的面积S=
=4sinθ（1+cosθ），
S 2=16sin 2θ（1+2cosθ+cos 2θ）=16（1﹣cos 2θ）（1+2cosθ+cos 2θ） 令cosθ=t∈（0，1）．
则S 2=16（1﹣t 2）（1+2t+t 2）=f （t ）． 则f′（t ）=﹣32（t+1）2
（3t ﹣1）．
可知：当且仅当t=时，f （t ）取得最大值：
．
因此S 的最大值为：
．
13. 已知函数f (x )的导数f ′(x )＝a (x ＋1)(x －a )，若f (x )在x ＝a 处取得极大值，则a 的取值范围
是________． 参考答案：
(－1,0) 略
14. 已知A （1，0），P ，Q 是单位圆上的两动点且满足
，则
+
的最大值为 ．
参考答案：
【考点】平面向量数量积的运算． 【专题】平面向量及应用．
【分析】设=，则=，的方向任意．可得
+==1××，即可得出．
【解答】解：设=，则==，的方向任意．
∴+==1××≤，因此最大值为．
故答案为：．
【点评】本题考查了数量积运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
15. 在等差数列中,若,则数列的前11项和________.
参考答案：
略
16. 已知函数f（x）的定义域为，部分对应值如下表，f（x）的导函数y=f'（x）的图象如图所示．下列关于f（x）的命题：
②函数f（x）在上是减函数；
③如果当x∈时，f（x）的最大值是2，那么t的最大值为4；
④当1＜a＜2时，函数y=f（x）﹣a有4个零点．
其中正确命题的序号是．
参考答案：
①②
【考点】6A：函数的单调性与导数的关系．
【分析】由导函数的图象得到原函数的单调区间，由此判断命题①②，由定义域和值域的关系判断命题③，结合极小值f（2）的大小判断当1＜a＜2时函数y=f（x）﹣a的零点情况．
【解答】由导函数的图象可知：当x∈（﹣1，0），（2，4）时，f′（x）＞0，
函数f（x）增区间为（﹣1，0），（2，4）；
当x∈（0，2），（4，5）时，f′（x）＜0，函数f（x）减区间为（0，2），（4，5）．
由此可知函数f（x）的极大值点为0，4，命题①正确；
∵函数在x=0，2处有意义，∴函数f（x）在上是减函数，命题②正确；
当x∈时，f（x）的最大值是2，那么t的最大值为5，命题③不正确；
2是函数的极小值点，若f（2）＞1，则函数y=f（x）﹣a不一定有4个零点，命题④不正确．∴正确命题的序号是①②．
故答案为：①②．
17. 执行如图所示的程序框图，输出的
=
参考答案：
8194
略
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. [选修4-5：不等式选讲]
已知函数f（x）=|x﹣m|（m＞0），g（x）=2f（x）﹣f（x+m），g（x）的最小值为﹣1．
（Ⅰ）求m的值；
（Ⅱ）若|a|＜m，|b|＜m，且a≠0．求证：f（ab）＞|a|f（）．
参考答案：
【考点】分段函数的应用．
【分析】（Ⅰ）根据函数f（x）=|x﹣m|（m＞0），可得函数g（x）的解析式，进而构造方程，可得m的值；
（Ⅱ）若|a|＜m，|b|＜m，要证f（ab）＞|a|f（）．即证|ab﹣1|＞|a﹣b|平方可得结论．
【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=|x﹣m|（m＞0），
∴g（x）=2f（x）﹣f（x+m）=，
故当x=m时，函数取最小值﹣m=﹣1，
解得：m=1；
（Ⅱ）证明：要证f（ab）＞|a|f（）．
即证|ab﹣1|＞|a﹣b|，
∵|a|＜1，|b|＜1，
∴（ab﹣1）2﹣（a﹣b）2=（a2b2﹣2ab+1）﹣（a2﹣2ab+b2）=（a2﹣1）（b2﹣1）＞0，即（ab﹣1）2＞（a﹣b）2，
∴|ab﹣1|＞|a﹣b|，
∴f（ab）＞|a|f（）
19. 已知等差数列满足：，，的前项和为. (Ⅰ)求及；
(Ⅱ)令，求数列的前项和.
参考答案：
解：(Ⅰ)设等差数列{a n}的公差为d，因为a3＝7，a5＋a7＝26，
所以有，解得a1＝3，d＝2，
所以a n＝3＋2(n－1)＝2n＋1；
S n＝3n＋×2＝n2＋2n.
(Ⅱ)由(1)知a n＝2n＋1，所以b n＝＝＝·＝·，
所以T n＝·
＝·＝，
即数列{b n}的前n项和T n＝.
20. （本小题满分12分）将同样大小的颜色为红、黄、蓝、白的4个小球放入编号为1、2、3、4、5的五个格子中，每个格子的容量均大于4个，请计算：
（1）恰有2个格子为空格的概率；
（2）放入小球最多的格子中球的数量的分布列和期望．
参考答案：
（1）…………（4分）
（2）设放入小球数量最多的格子中球的数量为x，
则 ,
,
…………（10分）
…………（12分）
21. 已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，一个顶点为B（0，﹣1），且其右焦点到直线
的距离为3．
（1）求椭圆的方程；
（2）是否存在斜率为k（k≠0），且过定点的直线l，使l与椭圆交于两个不同的点M、N，且|BM|=|BN|？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．
参考答案：
【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．
【分析】（1）设椭圆的方程为，由已知得b=1．设右焦点为（c，0），由题
意得，由此能求出椭圆的方程．
（2）直线l的方程y=kx+，代入椭圆方程，得（1+3k2）x2+9kx+=0．由△=81k2﹣15（1+3k2）＞0得，设点M（x1，y1），N（x2，y2），则，设M、N的中点为P，则点P的坐标为．由此入手能够导出直线l的方程．
【解答】解：（1）设椭圆的方程为，由已知得b=1．
设右焦点为（c，0），由题意得，∴，
∴a2=b2+c2=3．
∴椭圆的方程为．
（2）直线l的方程y=kx+，代入椭圆方程，得
（1+3k2）x2+9kx+=0．
由△=81k2﹣15（1+3k2）＞0得，
设点M（x1，y1），N（x2，y2），
则，
设M、N的中点为P，则点P的坐标为．
∵|BM|=|BN|，∴点B在线段MN的中垂线上．
，化简，得．
∵，∴，
所以，存在直线l满足题意，直线l的方程为
或．
22. 某企业生产一种机器的固定成本(即固定投入)为0.5万元，但每生产100台时，又需可变成本(即另增加投入)0.25万元．市场对此商品的年需求量为500台，销售的收入(单位：万元)函数为
，其中x是产品生产的数量(单位：百台)．
(1)求利润关于产量的函数．
(2)年产量是多少时，企业所得的利润最大？
参考答案：
（1）解：设年产量为x，利润为
………………6分
（2）解：由（1）知时，………………8分
时，=………………10分
当时，
故年产量为475台时，工厂所得利润最大………………12分
【分析】
（1）由于商品年需求量为，故要对产量分成不大于和大于两段来求利润.当
时，用收入减掉成本，即为利润的值.当时，成本和的表达式一样，但是销售收入是固定的，由此求得解析式.（2）两段函数，二次函数部分用对称轴求得其最大值，一次函数部分由于是递减的，在左端点有最值的上限.比较两段函数的最大值，来求得整个函数的最大值.
【详解】(1)当0≤x≤5 时，产品能全部售出，
则成本为0.25x＋0.5，收入为5x－x2，
利润f(x)＝5x－x2－0.25x－0.5
＝－x2＋4.75x－0.5.
当x>5 时，只能销售500台，
则成本为0.25x＋0.5，销售收入为5×5－×52＝，
利润f(x)＝－0.25x－0.5＝－0.25x＋12.
综上，利润函数f(x)＝
(2)当0≤x≤5时，f(x)＝－(x－4.75)2＋10.781 25，
当x＝4.75∈[0,5]时，f(x)max＝10.781 25(万元)；
当x>5 时，函数f(x) 是递减函数，则f(x)<12－0.25×5＝10.75(万元)．
10．75<10.781 25.
综上，当年产量是475台时，利润最大．
【点睛】本小题主要考查实际生活计算利润的问题.在利润等于收入减去成本.本题中含有固定成本和
可变成本.而需求量是一个固定值，所以产量超过500时，收入是固定的，这一点解题过程中要注意到.。