2016-2017学年重庆市大学城一中高二(下)期中数学试卷(理科)

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2015-2016年重庆一中高二(下)期中数学试卷(理科)和答案

2015-2016学年重庆一中高二（下）期中数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12个小题，每个小题5分，共60分，每个小题只有一个正确答案，将正确答案填涂在答题卡的相应位置）1．（5分）已知集合M＝{x|y＝}，N＝{y|y＝x2}，则下列说法正确的是（）A．M＝（0，+∞）B．M＝N C．M∩N＝{0，1}D．M∩N＝∅2．（5分）在△ABC中，已知∠A＝π，|BC|＝7，|AC|＝5，则|AB|＝（）A．3B．3C．8D．83．（5分）在（x﹣）10的展开式中，常数项为（）A．﹣90B．90C．﹣45D．454．（5分）已知a，b均为正实数，则（a+）（b+）的最小值为（）A．3B．7C．8D．95．（5分）已知随机变量ζ服从正态分布N（2，4），且P（ζ＜4）＝0.8，则P （0＜ζ＜2）＝（）A．0.6B．0.4C．0.3D．0.26．（5分）某校在半期考试中要考察六个学科，已知语文必须安排在首场，且数学与英语不能相邻，则这六个学科总共有（）种不同的考试顺序．A．36B．48C．72D．1127．（5分）集合A＝{1，x，y}，B＝{1，x2，2y}，若A＝B，则实数x的取值集合为（）A．{}B．{，﹣}C．{0，}D．{0，，﹣}8．（5分）已知双曲线的方程为﹣＝1（a＞0，b＞0），它的一个顶点到一条渐近线的距离为d，已知d≥c（c为双曲线的半焦距长），则双曲线的离心率的取值范围为（）A．[，2]B．[，]C．（，]D．（1，）∪[，+∞）9．（5分）下列说法中正确的是（）A．“若x2＝1，则x＝1或x＝﹣1”的否命题为“若x2≠1，则x≠1或x≠﹣1”B．已知命题“p∧q”为假命题，则命题“p∨q”也是假命题C．设U为全集，集合A，B满足（∁U A）∩B＝（∁U B）∩A，则必有A＝B＝∅D．设λ为实数，“∃x∈[﹣1，1]，满足≤λ”的充分不必要条件为“λ≥1”10．（5分）如图，已知AB，AC是圆的两条弦，过B作圆的切线与AC的延长线相交于D．过点C作BD的平行线与AB相交于点E，AE＝3，BE＝1，则BC的长为（）A．B．C．2D．11．（5分）在△ABC中，已知+＝，则cos B的最小值为（）A．B．C．D．12．（5分）函数f（x）＝x3﹣3x2﹣x+1在x＝x0处取得极大值，设m≠x0，且f （x0）＝f（m），则|m﹣x0|＝（）A．B．2C．3D．3二、填空题（本大题共4个小题，每个小题5分，共20分，将正确答案填写在答题卡上的相应位置）13．（5分）在以原点O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，已知两点A （2，π），B（3，），则△AOB的面积为．14．（5分）在10瓶饮料中，其中有3瓶已过了保质期，从这10瓶饮料中任取3瓶，则至少取到一瓶已过保质期饮料的概率为．15．（5分）如图所示，网格纸上每个小正方形的边长为1，粗线画出的是某四面体的三视图，则该四面体的表面积为．16．（5分）集合A，B满足条件A∩B≠∅，A∪B＝{1，2，3，4，5}，当A≠B 时，我们将（A，B）和（B，A）视为两个不同的集合对，则满足条件的集合对（A，B）共有个．三、解答题（本大题共6个小题，共70分，将解答过程填写在答题卡上的相应位置）17．（12分）已知集合A＝{x||x﹣a|≤1}，B＝{x|x2﹣5x+4≤0}．（1）当a＝1时，求A∪B；（2）已知“x∈A”是“x∈B”的充分条件，求实数a的取值范围．18．（12分）小明在某社交网络的朋友圈中，向在线的甲、乙、丙随机发放红包，每次发放1个，甲、乙、丙每人每次抢到红包的概率均为．（1）若小明发放1元的红包2个，求甲最多抢到1个红包的概率；（2）若小明共发放3个红包，第一次发放5元，第二次发放5元，第三次发放10元，记甲抢到红包的总金额为ζ元，求ζ的分布列和数学期望．19．（12分）已知P﹣ABC为正三棱锥，底面边长为2，设D为PB的中点，且AD⊥PC，如图所示（1）求证：PC⊥平面P AB；（2）求二面角D﹣AC﹣B的平面角的余弦值．20．（12分）已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆上，且•＝0，|F1F2|＝4，|PF1|＝．（1）求椭圆C的标准方程；（2）经过点P（3，0）的直线l和椭圆C交于A，B两个不同的点，设AB的中点为Q（x0，y0），Q（x0，y0），求x0+y0的取值范围．21．（12分）已知函数f（x）＝2xlnx．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）经过点（0，﹣2）作函数f（x）图象的切线，求该切线的方程；（3）当x∈（1，+∞）时f（x）＜λ（x2﹣1）恒成立，求常数λ的取值范围．[选修4-1：几何证明选讲]22．（10分）如图所示，设P为圆O外的点，过点P作圆O的切线P A，切点为A，过点P作圆O的割线PBC，与圆交于B，C两点，AH⊥OP，垂足为H．（1）求证：△PHB～△PCO；（2）已知圆O的半径为1，P A＝，PB＝，求四边形BCOH的面积．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]23．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（其中参数t∈R，a 为常数），在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的方程为ρ＝2cos（θ+）．（1）求曲线C普通方程；（2）已知直线l曲线C交于A，B且|AB|＝，求常数a的值．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）＝+|x+a|．（1）当a＝2时，求f（x）的最小值；（2）当x∈[，1]时，f（x）≤x恒成立，求a的取值范围．2015-2016学年重庆一中高二（下）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12个小题，每个小题5分，共60分，每个小题只有一个正确答案，将正确答案填涂在答题卡的相应位置）1．（5分）已知集合M＝{x|y＝}，N＝{y|y＝x2}，则下列说法正确的是（）A．M＝（0，+∞）B．M＝N C．M∩N＝{0，1}D．M∩N＝∅【解答】解：由集合M＝{x|y＝}＝{x|x≥0}，N＝{y|y＝x2}＝{y|y≥0}，∴M＝N，故选：B．2．（5分）在△ABC中，已知∠A＝π，|BC|＝7，|AC|＝5，则|AB|＝（）A．3B．3C．8D．8【解答】解：由余弦定理可知：|BC|2＝|AC|2+|AB|2﹣2|AB•||AC|cos A，即49＝25+|AB|2﹣10|AB|×（﹣），整理得：|AB|2+5|AB|﹣24＝0，解得|AB|＝3或|AB|＝﹣8，∴|AB|＝3，故选：A．3．（5分）在（x﹣）10的展开式中，常数项为（）A．﹣90B．90C．﹣45D．45【解答】解：（x﹣）10的展开式的通项公式为T r+1＝x10﹣r（﹣）r＝•（﹣1）r•x10﹣5r，r＝0，1，2 (10)由题意可令10﹣5r＝0，解得r＝2，即有常数项为•（﹣1）2＝45．故选：D．4．（5分）已知a，b均为正实数，则（a+）（b+）的最小值为（）A．3B．7C．8D．9【解答】解：∵a，b均为正实数，∴（a+）（b+）＝5+ab+≥5+2＝9，当且仅当ab＝2，a，b＞0时取等号．故选：D．5．（5分）已知随机变量ζ服从正态分布N（2，4），且P（ζ＜4）＝0.8，则P （0＜ζ＜2）＝（）A．0.6B．0.4C．0.3D．0.2【解答】解：∵随机变量X服从正态分布N（2，σ2），μ＝2，得对称轴是x＝2．P（ξ＜4）＝0.8∴P（ξ≥4）＝P（ξ≤0）＝0.2，∴P（0＜ξ＜4）＝0.6∴P（0＜ξ＜2）＝P（0＜ξ＜4）＝0.3．故选：C．6．（5分）某校在半期考试中要考察六个学科，已知语文必须安排在首场，且数学与英语不能相邻，则这六个学科总共有（）种不同的考试顺序．A．36B．48C．72D．112【解答】解：根据题意，分3步进行分析：①、语文必须安排在首场，则语文有1种安排方法，②、将除语文、英语、数学外的三科全排列，安排在语文之后，有A33＝6种安排方法，排好后，有4个空位可用，③、在4个空位中，任选2个，安排数学、英语，有A42＝12种安排方法，则这六个学科总共有1×6×12＝72种不同的考试顺序，故选：C．7．（5分）集合A＝{1，x，y}，B＝{1，x2，2y}，若A＝B，则实数x的取值集合为（）A．{}B．{，﹣}C．{0，}D．{0，，﹣}【解答】解：集合A＝{1，x，y}，B＝{1，x2，2y}，若A＝B，则，解得；x＝1或0，y＝0，显然不成立，或，解得：x＝，故实数x的取值集合为{}，故选：A．8．（5分）已知双曲线的方程为﹣＝1（a＞0，b＞0），它的一个顶点到一条渐近线的距离为d，已知d≥c（c为双曲线的半焦距长），则双曲线的离心率的取值范围为（）A．[，2]B．[，]C．（，]D．（1，）∪[，+∞）【解答】解：设双曲线的一个顶点为A（a，0），双曲线的一条渐近线为y＝x，即bx﹣ay＝0，∵点到一条渐近线的距离为d，已知d≥c，∴d＝＝≥c，即ab≥c2，平方得a2b2≥c4，即9a2（c2﹣a2）≥2c4，即2c4﹣9a2c2+9a4≤0，则2e4﹣9e2+9≤0，则≤e2≤3，则≤e≤，故选：B．9．（5分）下列说法中正确的是（）A．“若x2＝1，则x＝1或x＝﹣1”的否命题为“若x2≠1，则x≠1或x≠﹣1”B．已知命题“p∧q”为假命题，则命题“p∨q”也是假命题C．设U为全集，集合A，B满足（∁U A）∩B＝（∁U B）∩A，则必有A＝B＝∅D．设λ为实数，“∃x∈[﹣1，1]，满足≤λ”的充分不必要条件为“λ≥1”【解答】解：A．若x2＝1，则x＝1或x＝﹣1”的否命题为“若x2≠1，则x≠1且x≠﹣1”故A错误，B．当p假q真时，满足“p∧q”为假命题，但命题“p∨q”是真命题，故B错误，C．若A＝U，B＝∅，则满足（∁U A）∩B＝（∁U B）∩A，但A＝B＝∅不成立，故C错误，D．当x∈[﹣1，1]，∈[0，1]，若“∃x∈[﹣1，1]，满足≤λ”成立，则λ≥0即可．则“∃x∈[﹣1，1]，满足≤λ”的充分不必要条件为“λ≥1”，正确，故D 正确故选：D．10．（5分）如图，已知AB，AC是圆的两条弦，过B作圆的切线与AC的延长线相交于D．过点C作BD的平行线与AB相交于点E，AE＝3，BE＝1，则BC的长为（）A．B．C．2D．【解答】解：由题意，∵过B作圆的切线与AC的延长线相交于D，∴∠CBD＝∠A，∵CE∥DB，∴∠CBD＝∠BCE，∴∠A＝∠BCE，∵∠B＝∠B，∴△ACB∽△CEB，∵AE＝3，BE＝1，∴，∴CB＝2，故选：C．11．（5分）在△ABC中，已知+＝，则cos B的最小值为（）A．B．C．D．【解答】解：∵+＝，∴+＝，可得：＝＝，∴cos B＝，又∵，cos B＝，∴＝＝，可得：2b2＝a2+c2，∴cos B＝＝＝≥＝，∴cos B的最小值为．故选：D．12．（5分）函数f（x）＝x3﹣3x2﹣x+1在x＝x0处取得极大值，设m≠x0，且f （x0）＝f（m），则|m﹣x0|＝（）A．B．2C．3D．3【解答】解：设x0是函数的极值点，则f′（x0）＝0，得：3﹣6x0﹣1＝0，解得：x0＝，设f（m）＝f（x0），得：m3﹣3m2﹣m＝﹣3﹣x0，整理得：+（m﹣3）x0+（m2﹣3m﹣1）＝0，由于x0是函数的极值点，故关于x0的方程有且只有1个根，故（m﹣3）2﹣4（m2﹣3m﹣1）＝0，即3m2﹣6m﹣13＝0，解得：m＝，由于x0是极大值，故x0＜0，m＞0，∴|m﹣x0|＝﹣＝2．二、填空题（本大题共4个小题，每个小题5分，共20分，将正确答案填写在答题卡上的相应位置）13．（5分）在以原点O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，已知两点A （2，π），B（3，），则△AOB的面积为3．【解答】解：∵∠AOB＝＝，＝＝3，∴S△AOB故答案为：3．14．（5分）在10瓶饮料中，其中有3瓶已过了保质期，从这10瓶饮料中任取3瓶，则至少取到一瓶已过保质期饮料的概率为．【解答】解：所有的抽法共有C103＝120种，而至少取到一瓶已过保质期饮料的抽法有C103﹣C73＝85种，故至少取到一瓶已过保质期饮料的概率为＝，故答案为：．15．（5分）如图所示，网格纸上每个小正方形的边长为1，粗线画出的是某四面体的三视图，则该四面体的表面积为．【解答】解：根据三视图和题意知几何体是三棱锥P﹣ABC，直观图如图所示：D是AC的中点，PB⊥平面ABC，且PB＝BD＝3，∴PB⊥AB，PB⊥BC，PB⊥BD，则PD＝3，∵底面△ABC是等腰三角形，AB＝BC＝3，AC＝6，∴P A＝PC＝＝3，则PD⊥AC，∴该几何体的表面积S＝＝，故答案为：．16．（5分）集合A，B满足条件A∩B≠∅，A∪B＝{1，2，3，4，5}，当A≠B 时，我们将（A，B）和（B，A）视为两个不同的集合对，则满足条件的集合对（A，B）共有211个．【解答】解：∵A∪B＝{1，2，3，4，5}，∴A，B均为集合{1，2，3，4，5}的子集．由A∩B≠∅，可得A，B不为∅．①当A为一元集时，不妨令A＝{1}，则B＝{1，2，3，4，5}，此时对子（A，B）有＝5个；②当A为二元集时，不妨令A＝{1，2}，则B＝{1，2，3，4，5}，或B＝{2，3，4，5}，或B＝{1，3，4，5}，此时对子（A，B）有×3＝30个；③当A为三元集时，不妨令A＝{1，2，3}，则B＝{1，2，3，4，5}，或B＝{1，2，4，5}，或B＝{1，3，4，5}，或B＝{2，3，4，5}，或B＝{1，4，5}，或B＝{2，4，5}，或B＝{3，4，5}．此时对子（A，B）有×7＝70个；④当A为四元集时，A＝{1，2，3，4}，则B＝{1，2，3，4，5}，或B＝{1，2，3，5}，或B＝{1，2，4，5}，或B＝{1，3，4，5}，或B＝{2，3，4，5}，或B＝{1，2，5}，或B＝{1，4，5}，或B＝{2，4，5}，或B＝{3，4，5}，或B＝{1，3，5}，或B＝{2，3，5}，或B＝{1，5}，或B＝{4，5}，或B＝{3，5}，或B＝{2，5}，或B＝{5}，此时对子（A，B）有×15＝75个；⑤当A为五元集时，A＝{1，2，3，4，5}，B的个数为25﹣1＝31个．综上满足条件A∪B＝{1，2，3，4}的不同对子（A，B）有5+30+70+75+31＝211个．故答案为：211．三、解答题（本大题共6个小题，共70分，将解答过程填写在答题卡上的相应位置）17．（12分）已知集合A＝{x||x﹣a|≤1}，B＝{x|x2﹣5x+4≤0}．（1）当a＝1时，求A∪B；（2）已知“x∈A”是“x∈B”的充分条件，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）当a＝1时，由|x﹣1|≤1，解得0≤x≤2，所以A＝[0，2]，由x2﹣5x+4≤0得到（x﹣1）（x﹣4）≤0，解得1≤x≤4，故B＝[1，4]，所以A∪B＝[0，4]，（2）由|x﹣a|≤1，解得a﹣1≤x≤a+1，所以A＝[a﹣1，a+1]，因为“x∈A”是“x∈B”的充分条件所以A⊆B，所以a+1≤4且a﹣1≥1，解得2≤a≤3，故实数a的取值范围为[2，3]．18．（12分）小明在某社交网络的朋友圈中，向在线的甲、乙、丙随机发放红包，每次发放1个，甲、乙、丙每人每次抢到红包的概率均为．（1）若小明发放1元的红包2个，求甲最多抢到1个红包的概率；（2）若小明共发放3个红包，第一次发放5元，第二次发放5元，第三次发放10元，记甲抢到红包的总金额为ζ元，求ζ的分布列和数学期望．【解答】解：（1）设“甲最多抢到一个红包”为事件A，则P（A）＝＝；（2）ζ的所有可能值为0，5，10，15，20．P（ζ＝0）＝＝；P（ζ＝5）＝×＝；P（ζ＝10）＝＝；P（ζ＝15）＝×＝，P（ζ＝20）＝＝，故ζ的分布列：期望Eζ＝0×+5×+10×+15×+20×＝．19．（12分）已知P﹣ABC为正三棱锥，底面边长为2，设D为PB的中点，且AD⊥PC，如图所示（1）求证：PC⊥平面P AB；（2）求二面角D﹣AC﹣B的平面角的余弦值．【解答】证明：（1）以AB中点O为原点，OC为x轴，OA为y轴，过O作平面ABC的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，A（0，1，0），B（0，﹣1，0），C（，0，0），由于点P在△ABC中的射影为△ABC的中心，设P（，0，h），故＝（，0，﹣h），＝（0，﹣2，0），•＝，∴PC⊥AB，而PC⊥AD，∵AB∩AD＝A，∴PC⊥平面P AB．（2）由中点公式知D（，﹣，），由•，知：＝＝0，解得h＝，设平面ACD的法向量为＝（x，y，z），∵＝（，﹣，），＝（），∴，取x＝，解得＝（），平面ABC的法向量为＝（0，0，1），设所求二面角的平面角为θ，则cosθ＝＝＝．∴二面角D﹣AC﹣B的平面角的余弦值为．20．（12分）已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆上，且•＝0，|F1F2|＝4，|PF1|＝．（1）求椭圆C的标准方程；（2）经过点P（3，0）的直线l和椭圆C交于A，B两个不同的点，设AB的中点为Q（x0，y0），Q（x0，y0），求x0+y0的取值范围．【解答】解：（1）由2c＝4，c＝2，由勾股定理丨PF2丨＝＝＝，由椭圆定义2a＝丨PF1丨+丨PF2丨＝+＝2，a＝，b＝＝1，故椭圆方程为：；（2）当直线与x轴重合时，Q（x0，y0），此时x0+y0＝0，若直线与x轴不重合，设l的方程为x＝my+3，与椭圆联立得（m2+5）y2+6my+4＝0，由△＝20m2﹣80m＞0，解得：m＞2或m＜﹣2，由韦达定理：y1+y2＝，y0＝＝，μ＝x0+y0＝my0+3+y0＝（m+1）y0+3＝＝，其中t＝5﹣m，t∈（﹣∞，3）∪（7，+∞）+当t＝0时，μ＝0，当t≠0时，μ＝＝，设f（t）＝t+﹣10，其中t∈（﹣∞，0）∪（0，3）∪（7，+∞），函数图象知：f（t）∈（，+∞）∪（﹣∞，﹣10﹣2），从而μ＝∈[，0）∪（0，），综上μ＝x0+y0∈[，）．21．（12分）已知函数f（x）＝2xlnx．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）经过点（0，﹣2）作函数f（x）图象的切线，求该切线的方程；（3）当x∈（1，+∞）时f（x）＜λ（x2﹣1）恒成立，求常数λ的取值范围．【解答】解：（1）∵f（x）＝2xlnx，x＞0，∴f′（x）＝2lnx+2，令f′（x）＞0得增区间（，+∞），令f′（x）＜0得减区间（0，）；（2）设切点的坐标为（x0，2x0lnx0），设切线的斜率为k，一方面k＝，另一方面k＝f′（x0）＝2lnx0+2，从而有＝2lnx0+2，化简得x0＝1，从而切点坐标为（1，0），∴切线方程为y＝2x﹣2；（3）由已知x∈（1，+∞）时2xlnx＜λ（x2﹣1）恒成立，等价于2lnx＜λ（x﹣）在x∈（1，+∞）恒成立构造g（x）＝2lnx﹣λ（x﹣），则g（x）＜0在x∈（1，+∞）时恒成立由g（2）＜0即2ln2﹣λ＜0得必要条件λ＞0，∴g′（x）＝﹣λ（1+）＝，记h（x）＝﹣λx2+2x﹣λ，判别式△＝4﹣4λ2，若λ≥1，则△≤0，且h（x）开口向下，故h（x）≤0恒成立，此时g′（x）≤0恒成立，从而g（x）在（1，+∞）上单调递减，故g（x）＜f（1）＝0，符合题意若0＜λ＜1，则△＞0，此时h（x）＝0有两个实数根x1，x2，不妨设x1＜x2，由韦达定理得x1+x2＝＞0，x1，•x2＝1＞0，故x1，x2均为正数，且x1＜1＜x2，从而h（x）＝0在（1，+∞）上有唯一的实数根x2，结合图象知：当x∈（1，x2）时h（x）＞0，即g′（x）＞0，∴g（x）在（1，x2）上单调递增，故当x∈（1，x2）时，g（x）＞g（1）＝0，不符合题意综上：λ的取值范围为[1，+∞）．[选修4-1：几何证明选讲]22．（10分）如图所示，设P为圆O外的点，过点P作圆O的切线P A，切点为A，过点P作圆O的割线PBC，与圆交于B，C两点，AH⊥OP，垂足为H．（1）求证：△PHB～△PCO；（2）已知圆O的半径为1，P A＝，PB＝，求四边形BCOH的面积．【解答】证明：（1）在直角△POA中，由射影定理知：P A2＝PH•PO，又根据切线长定理知：P A2＝PB•PC，从而PH•PO＝PB•PC，即，∵∠BPH＝∠OPC，∴△PHB～△PCO；解：（2）由勾股定理PO＝2，由切线长定理P A2＝PB•PC，可得PC＝，在△POC中，cos C＝＝，∴sin C＝＝＝．所以S△OCP由△PHB∽△PCO，相似比为＝，面积比为（）2＝＝．从而四边形BCOH的面积S＝S△OCP[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]23．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（其中参数t∈R，a 为常数），在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的方程为ρ＝2cos（θ+）．（1）求曲线C普通方程；（2）已知直线l曲线C交于A，B且|AB|＝，求常数a的值．【解答】解：（1）曲线C的方程为，ρ＝2cos（θ+），即ρ2＝2×（cosθ﹣sinθ），可得直角坐标方程：x2+y2＝2x﹣2y，配方后为（x﹣1）2+（y+1）2＝2．（2）把直线l的参数方程代入圆的方程可得：+＝2，化为t2+at+a2﹣2＝0，△＝a2﹣4（a2﹣2）＞0，解得a2．∴t1+t2＝﹣a，t1•t2＝a2﹣2，由参数t的含义知：|AB|＝|t1﹣t2|＝＝＝，化为8﹣3a2＝5，化为a2＝1，满足△＞0，解得a＝±1，综上：常数a的值为±1．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）＝+|x+a|．（1）当a＝2时，求f（x）的最小值；（2）当x∈[，1]时，f（x）≤x恒成立，求a的取值范围．【解答】解：（1）当a＝2时，f（x）＝|x﹣1|+|x+2|≥|（x﹣1）﹣（x+2）|＝3，当（x﹣1）（x﹣2）≤0，即1≤x≤2时，可以取到等号，故f（x）的最小值为3；（2）由于f（x）＝|x﹣1|+|x+a|，当x∈[，1]时，f（x）＝1﹣x+|x+a|≤x恒成立，变形为g（x）＝|x+a|﹣2x+1≤0在x∈[，1]时恒成立，即g（x）max≤0，当x+a≥0时，g（x）＝x+a﹣2x+1＝﹣x+a+1，此时g（x）单调递减；当x+a＜0时，g（x）＝﹣x﹣a﹣2x+1＝﹣3x﹣a+1，此时g（x）仍单调递减．由于g（x）图象连续，故g（x）在R上单调递减，g（x）max＝g（）＝|a+|﹣≤0，变形为﹣≤a+≤，解得a的范围是[﹣1，﹣]．。

重庆市高二数学下学期期中试题理(2021年整理)

重庆市2016-2017学年高二数学下学期期中试题理重庆市2016-2017学年高二数学下学期期中试题理编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（重庆市2016-2017学年高二数学下学期期中试题理）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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12重庆市2016—2017学年高二数学下学期期中试题理一、选择题：本题共12小题,每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知242120n n C A =,则n 的值是A ．1B ．2C ．3D ．42．将3个不同的小球放入编号为1、2、3、4的4个盒子中，则不同放法有（）种 A ．81 B ．64 C ．14 D ．123．下表是技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x （吨)与相应的生产能耗y （吨）的几组对应数据，根据表中提供的数据，求出y 关于x 的线性回归方程为35.07.0ˆ+=x y，则表中m 的值为 x 3 4 5 6 y 2.5m44.5A ．4B ．3C ．3。

5D ．4。

54．412⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x 的展开式中的常数项为3A ．64-B ．32-C ．32D ．64 5．若)(x f 在R 上可导,3)2('2)(2++=x f x x f , 则)1(f '= A ．6- B ．6 C ．4 D ．4-6．某疾病研究所想知道吸烟与患肺病是否有关,于是随机抽取1000名成年人调查是否吸烟及是否患有肺病,得到22⨯列联表,经计算得2 5.231K =，已知在假设吸烟与患肺病无关的前提条件下，22( 3.841)0.05,( 6.635)0.01P K P K ≥=≥=，则该研究所可以A ．有95％以上的把握认为“吸烟与患肺病有关”B ．有95％以上的把握认为“吸烟与患肺病无关”C ．有99%以上的把握认为“吸烟与患肺病有关”D ．有99％以上的把握认为“吸烟与患肺病无关”7．我校高二年级在半期考试中要考察六个学科，已知语文考试必须安排在首场，且数学与英语不能相邻，则这六个学科总共有( ）种不同的考试顺序。

数学---重庆市大学城第一中学校2016-2017学年高一下学期期中考试(理)试题

重庆市大学城第一中学校2016-2017学年高一下学期期中考试数学（理）试题第I 卷（选择题60分）一．选择题（本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.）1.已知{}n a 为等比数列，若1log 531-=a ，则=82a a （）A ． 6B ．9C ． 10D ．16 2.在△ABC 中，a 2-c 2+b 2=ab ，则角C 为（）A.45O 或135OB ．60OC ．120OD ．30O3.已知a ,b ∈R ，且a >b ，则下列不等式中恒成立的是（）A. a 2>b 2B. lg (a －b)>0C. (21)a <(21)b D. ba >14. 已知向量(0 ,a =- ， (b = ，则向量a 在b上的投影为（）A.3-B.3-C.3D.35.已知关于x 的一元二次不等式02>++c bx ax 的解集为{}32<<-x x ，则不等式02<+-a bx cx 的解集是（）A. ⎭⎬⎫⎩⎨⎧>-<3121x x x 或 B. ⎭⎬⎫⎩⎨⎧>-<2131x x x 或 C. ⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<-3121x x D. ⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<-2131x x 6.由下面的条件能得出△ABC 为锐角三角形的是（） A ．51cos sin =+A A B ．0<⋅ C ．0)cos(cos cos <+B A B A D ．o 30,33,3===B c b 7.设,24,0,0=++>>ab b a b a 则（）A ．b a +有最大值8B ．b a +有最小值8C ．ab 有最大值8D ．ab 有最小值88. 已知数列{}n a 中，a 1=1，a 2=3，a n +2 +n a = a n +1 ，则=2014a （） A ．1- B ．1 C ．2 D ．39.在△ABC 中，AB =3，AC =2，BC =4，则CA AB ⋅=( )A ．32 B ．23 C ．23- D ．32- 10.已知整数对排列如下：（1,1），（1,2），（2,1），（1,3），（2,2），（3,1），（1,4），（2,3），（3,2），（4,1），（1,5），（2,4）......则第60个整数对是( )A ． (5，11)B ．(11，5)C ． (7，5)D ．(5，7) 11.锐角三角形ABC 中，内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，若2B A =，则ba的取值范围是（）A. B. C D. 12.已知正项等比数列，满足，则的最小值为（）A.9B.18C. 27D.36第II 卷（主观题90分）二、填空题（本大题共4小题,每小题5分,共20分.） 13.设全集，集合，则_______.14. 若平面向量a 与b 满足:||2,||1a b == ,||a b +=则a 与b 的夹角为 .15.实数,x y 满足1002x y x y -+≤⎧⎪>⎨⎪≤⎩，则4y z x =-的最小值为_________.16.在中,角的对边分别是,若,则的大小_______.三、解答题（本大题共6小题,共70分.17-21题每题12分，22题10分） 17.(本小题12分.)已知等差数列{}n a 满足:3577,26.{}n a a a a =+=的前n 项和为.n SABC ∆,,A B C ,,a b c 2sin sin a b c B A+=A ∠(Ⅰ)求n a 及n S ；(Ⅱ)令()nn S b n n=∈+N ，求证：数列{}n b 为等差数列.18.（本小题满分12分.）已知平面内三个向量:(3,2),(1,2),(4,1).a b c ==-=（Ⅰ）若()//(2)a kc b a +-,求实数k 的值；（Ⅱ）设(,)d x y = ,且满足()()a b d c +⊥- ,||d c - d .19.(本小题12分.)设三角形ABC 的内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，且B a b sin 332=，A 为锐角 (1)若a ＝3，6=b ,求角B ；(2)若c b c b c b S ABC ,,,,求323>=+=∆．20.(本小题12分.)设等差数列{}n a 的公差为1>d ，前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的公比为q ．已知11b a =，22b =，q d =，10100S =．(1)求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；(2)记nn nac b =，求数列{}n c 的前n 项和n T ．21.（本小题满分12分.）如图,,A B 是海面上位于东西方向相距5(33)+海里的两个观测点,现位于A 点北偏东045,B 点北偏西060的D 点有一艘轮船发出求救信号,位于B 点南偏西060且与B 点相距203海里的C 点的救援船立即前往营救,其航行速度为30海里/小时,则该救援船达到D 点需要多长时间？22．(本小题满分10分.) 已知函数()23kxf x x k=+()0k > （1）若()f x m >的解集为{|3,2}x x x <->-或，求不等式25302kmx x ++>的解集；（2）若存在03,x >使得()01f x >成立，求k 的取值范围.参考答案一、选择题：1.B2.B3.C4.A5.D6.C7.B8.A9.A 10.D 11.D 12.D二、填空题13.14. 06015. 32- 16.π4 三.解答题17.解:(1)由题意有，112721026a d a d +=⎧⎨+=⎩132a d =⎧⇒⎨=⎩21,(2)n n a n S n n ⇒=+=+.................5分（2）(2)2n n S n n b n n n+===+ ，又12(1)1(2)n n b b n n n --=+-+=≥，所以，数列{}n b 为等差数列...10分18.解:(1)因为(3,2)k(4,1)(34k,2k)a kc +=+=++，2(5,2)b a -=- ，又()//(2)a kc b a +- ，所以162(34k)5(2k)0k .13+++=⇒=-..................6分（2）因为(2,4),(4,1)a b d c x y +=-=--，所以222(4)4(1)06202(4)(1)5x y x x y y x y -+-===⎧⎧⎧⇒⎨⎨⎨==-+-=⎩⎩⎩或. ...................11分故(6,0)(2,2).d =或 ...................12分19.(本小题12分，第1小题6分，第2小题6分) 解：（1）由题得：B A B sin sin sin 332=，所以 23=A sin π3A =再由正弦定理得：,sin 22=B 所以π3π44B =或（舍） 6分注：本题也可以直接得出,sin 22=B 又因为b a >，所以π4B =（2）由（1）得：π3A =，分）9（234321===∆bc A bc S ABC sin所以2=bc ，又因为c b c b >=+,3分）12（12所以==c b ,20.（本小题12分，第1小题6分，第2小题6分）11119104510011,2229a a d a a d d d =⎧-==⎧⎧⎪⎨⎨⎨===⎩⎩⎪⎩解：（）由题得：解得：（舍）)(分6212故：1⎩⎨⎧=-=-n n n b n a123121357212,1(1)22222n n n n n n c T ----==+++++ （）2345113579212222222n n n T -=++++++ . ②① -②可得221111212323222222n n n n n n T --+=++++-=- ，故n T 12362n n -+=-.（12分）21.解:在ABD ∆中，0006045105ADB ∠=+=，由正弦定理可得:sin sin 45AB BDADB =∠，sin 45BDBD =⇒= ...................5分在BCD ∆中，060CBD ∠=，由余弦定理可知:2222cos CD BD CB BD CB CBD =+-⋅⋅⋅∠，即22202cos60900CD =+-⋅=，故30CD =..............10分所以130CDt ==（小时），救援船到达D 点需要1小时时间. ...........12分 22. 解：⑴ 220()303kxk f x m m mx kx km x k>∴>⇔>⇔-+<+ 不等式230mx kx km -+<的解集为{|3,2}x x x <->-或∴3,2--是方程230mx kx km -+=的根，且m <0252365k k m m k =⎧⎧=-⎪⎪∴⇒⎨⎨=-⎪⎪=⎩⎩∴223530230122k mx x x x x ++>⇔--<⇔-<<∴不等式25302k mx x ++>的解集为31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭ ⑵法一：()()222()1103033kxf x k x kx k x k x x k>⇔>>⇔-+<⇔->+ 存在03,x >使得()01f x >成立，即存在03,x >使得成立2003x k x >-.令()()2,3,3x g x x x =∈+∞-，则()min k g x >令3x t -=，则()0,t ∈+∞，2(3)96612t y t t t +==++≥=当且仅当9t t=即3t =6x =即时等号成立.()min 12g x ∴= ()12,k ∴∈+∞ 法二：()22()110303kxf x k x kx k x k>⇔>>⇔-+<+ .令()()23,3,g x x kx k x =-+∈+∞存在03,x >使得()01f x >成立，即存在()00g x <成立，即()min 0g x <成立当06k <≤时，()g x 在()3,+∞上单调递增，∴()()39g x g >=，显然不存在()0g x < 当6k >时，()g x 在3,2k ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在,2k ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，()2min 324k k g x g k ⎛⎫==-+ ⎪⎝⎭，由2120k k -+<可得12k >综上，()12,k ∈+∞。

重庆市第一中学2016-2017学年高二下学期第二次月考数学(理)(解析版)

重庆市第一中学2016-2017学年高二下学期第二次月考(理)一、选择题(共12小题，每小题5分，满分60分)1．若a ＜b ＜0，则下列结论不正确的是( )A.1a ＞1bB.a －b a ＞0 C ．a 2＜b 2D ．a 3＜b 32．下列结论正确的是( )A ．当x ＞0且x ≠1时，lg x ＋1lg x ≥2B ．当x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2时，sin x ＋4sin x的最小值为4 C ．当x ＞0时，x ＋1x≥2 D ．当0＜x ≤2时，x －1x无最大值 3．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a ＝1，b ＝2，B ＝45°，则角A 等于( )A ．30°B ．60°C ．30°或150°D ．60°或120°4．不等式lg(x 2－3x )＜1的解集为( )A ．(－2,5)B ．(－5,2)C ．(3,5)D ．(－2,0)∪(3,5)5．下列结论正确的是( )A ．若数列{a n }的前n 项和为S n ，S n ＝n 2＋n ＋1，则{a n }为的等差数列B ．若数列{a n }的前n 项和为S n ，S n ＝2n －2，则{a n }为等比数列C ．非零实数a ，b ，c 不全相等，若a ，b ，c 成等差数列，则1a ，1b ，1c可能构成等差数列 D ．非零实数a ，b ，c 不全相等，若a ，b ，c 成等比数列，则1a ，1b ，1c一定构成等比数列 6．在等比数列{a n } 中，a 1＝4，公比为q ，前n 项和为S n ，若数列{S n ＋2}也是等比数列，则q 等于( )A ．2B ．－2C ．3D ．－3 7．设集合A ＝{x |－2≤x ＜4}，B ＝{x |x 2－ax －4≤0}，若B ⊆A ，则实数a 的取值范围为( )A ．[－1,2]B ．[－1,2)C ．[0,3)D ．[0,3]8．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，cos 2A 2＝b ＋c 2c，则△ABC 的形状一定是( ) A ．正三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等腰直角三角形9．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若m ＞1且a m －1＋a m ＋1－a 2m －1＝0，S 2m －1＝39，则m 等于( )A ．10B ．19C ．20D ．3910．设数列{a n }满足a 1＋2a 2＋22a 3…＋2n －1a n ＝n 2(n ∈N *)，通项公式是( ) A ．a n ＝12nB ．a n ＝12n －1C ．a n ＝12nD ．a n ＝12n ＋1 11．若实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋3y －3≥0，2x －y －3≤0，x －my ＋1≥0，且x ＋y 的最大值为9，则实数m 等于( ) A ．－2B ．－1C ．1D ．212．设a n ＝|sin 1|1＋|sin 2|22＋…＋|sin n |2n ，则对任意正整数m ，n (m ＞n )都成立的是( ) A ．a m －a n ＜12n B ．a m －a n ＞12n C ．a m －a n ＜12m D ．a m －a n ＞m －n 2二、填空题(共4小题，每小题5分，满分20分)13．若实数x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ＋1≥0，x ＋y ≥2，x ≤1，则2x ＋y 的最大值为______．14．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝a n ＋2n －1(n ∈N *)，则a n ＝__________.15．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知tan A ＝12，tan B ＝13，且最长边的长为1，则△ABC 最短边的长为______．16．若x 、y 、z 均为正实数，则xy ＋yz x 2＋y 2＋z 2的最大值为____．三、解答题(共6小题，满分70分)17．(10分)(1)已知正数a ，b 满足a ＋4b ＝4，求1a ＋1b的最小值．(2)求函数f(k)＝k2＋2k2＋6的最大值．18.(12分)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且a2＋c2＝b2＋ac.(1)若b＝3，sin C＝2sin A，求c的值；(2)若b＝2，求△ABC面积的最大值．19．(12分)解关于x的不等式ax2－2x－2－a＜0(a＞－1)．20．(12分)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知cos A －3cos C cos B ＝3c －a b. (1)求sin C sin A的值； (2)若B 为钝角，b ＝10，求a 的取值范围．21．(12分)设数列{a n }是首项为a 1(a 1＞0)，公差为2的等差数列，其前n 项和为S n ，且S 1，S 2，S 3成等差数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)记b n ＝a n 2n 的前n 项和为T n ，求T n .22．(12分)数列{a n}的各项均为正数，S n为其前n项和，对于任意n∈N*，总有a n，S n，a2n成等差数列．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)设数列{b n}中，b n＝a1·a2·a3·…·a n，数列{1b n}的前n项和为T n，求证：T n＜2.参考答案1．C[∵a＜b＜0，且y＝x2在(－∞，0)上单调递增减，故a2＞b2，C错误．]2．C[对于A，当0＜x＜1时，lg x＜0，不等式不成立；对于B ，当x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2时，sin x ∈(0,1)，sin x ＋4sin x的最小值4取不到，由于sin x ＝2不成立；对于C ，当x ＞0时，x ＋1x ≥2x ·1x＝2，当且仅当x ＝1时等号成立；对于D ，当0＜x ≤2时，x －1x 递增，当x ＝2时，取得最大值32. 综合可得C 正确．]3．A [∵a ＝1，b ＝2，B ＝45°，∴由正弦定理可得：sin A ＝a sin B b ＝1×222＝12， ∵a ＝1＜b ＝2，由大边对大角可得：A ∈(0,45°)，∴解得A ＝30°.]4．D [∵lg(x 2－3x )＜1，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 2－3x ＞0，x 2－3x ＜10，解得－2＜x ＜0或3＜x ＜5，∴不等式lg(x 2－3x )＜1的解集为(－2,0)∪(3,5)．]5．D [在A 中，∵数列{a n }的前n 项和为S n ，S n ＝n 2＋n ＋1，∴a 1＝S 1＝1＋1＋1＝3，a n ＝S n －S n －1＝(n 2＋n ＋1)－[(n －1)2＋(n －1)＋1]＝2n ，n ＝1时，a n ＝2≠a 1，故{a n }不为等差数列，故A 错误；在B 中，∵数列{a n }的前n 项和为S n ，S n ＝2n －2，∴a 1＝S 1＝2－2＝0，∴{a n }不为等比数列，故B 错误；在C 中，若1a ，1b ，1c 构成等差数列，则2b ＝1a ＋1c ＝a ＋c ac ＝2b ac， ∴b 2＝ac ，∴ac ＝(a ＋c 2)2＝a 2＋c 2＋2ac 4，∴a ＝c ，继而a ＝c ＝b ，与非零实数a ，b ，c 不全相等矛盾，∴1a ，1b ，1c不可能构成等差数列，故C 错误；在D 中，∵非零实数a ，b ，c 不全相等，a ，b ，c 成等比数列，∴b 2＝ac ，∴1b 2＝1ac ＝1a ×1c， ∴1a ，1b ，1c一定成等比数列，故D 正确．] 6．C [由题意可得q ≠1，由数列{S n ＋2}也是等比数列可得S 1＋2，S 2＋2，S 3＋2成等比数列，则(S 2＋2)2＝(S 1＋2)(S 3＋2)．代入等比数列的前n 项和公式整理可得：(6＋4q )2＝24(1＋q ＋q 2)＋12，解得 q ＝3.]7．C [∵Δ＝a 2＋16＞0，∴设方程x 2－ax －4＝0的两个根为x 1，x 2，(x 1＜x 2)，即函数f (x )＝x 2－ax －4的两个零点为x 1，x 2，(x 1＜x 2)，则B ＝[x 1，x 2]．若B ⊆A ，则函数f (x )＝x 2－ax －4的两个零点在[－2,4)之间．注意到函数f (x )的图象过点(0，－4)，∴只需⎩⎪⎨⎪⎧ f －＝4＋2a －4≥0，f ＝16－4a －4＞0，解得0≤a ＜3.]8．B [在△ABC 中，∵cos 2A 2＝b ＋c 2c， ∴1＋cos A 2＝sin B ＋sin C 2sin C ＝12·sin B sin C ＋12∴1＋cos A ＝sin B sin C ＋1，即cos A ＝sin B sin C， ∴cos A sin C ＝sin B ＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C ，∴sin A cos C ＝0，sin A ≠0，∴cos C ＝0，∴C 为直角．]9．C [∵数列{a n }为等差数列，则a m －1＋a m ＋1＝2a m ，则a m －1＋a m ＋1－a 2m －1＝0可化为2a m －a 2m －1＝0，解得a m ＝1，又∵S 2m －1＝(2m －1)a m ＝39，则m ＝20.]10．C [设{2n －1·a n }的前n 项和为T n ， ∵数列{a n }满足a 1＋2a 2＋22a 3…＋2n －1a n ＝n 2(n ∈N *)， ∴T n ＝n 2，∴2n －1a n ＝T n －T n －1＝n 2－n －12＝12， a n ＝122n －1＝12n ，经验证，n ＝1时也成立，故a n ＝12n .] 11．C [先根据约束条件画出可行域，设z ＝x ＋y ，将最大值转化为y 轴上的截距，当直线z ＝x ＋y 经过直线x ＋y ＝9与直线2x －y －3＝0的交点A (4,5)时，z 最大，将m 等价为斜率的倒数，数形结合，将点A 的坐标代入x －my ＋1＝0得m ＝1.]12．A [a m －a n ＝n ＋2n ＋1＋n ＋2n ＋1＋…＋sin m 2m ≤12n ＋1＋12n ＋2＋…＋12m ＝12n .12[1－12m －n ]1－12＜12n .] 13．4 [满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x ＋y ≥2，x ≤1的平面区域如下图所示：由图可知：当x ＝1，y ＝2时，2x ＋y 取最大值4.]14．n 2－2n ＋2解析 ∵a 1＝1，a n ＋1＝a n ＋2n －1(n ∈N *)，∴a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1＝(2n －3)＋(2n －5)＋…＋1＋1 ＝n －n －3＋2＋1 ＝n 2－2n ＋2. 15.55解析由题意可得tan C ＝－tan(A ＋B )＝－tan A ＋tan B 1－tan A ·tan B ＝－12＋131－12×13＝－1， ∴∠C ＝135°，c 为最长边，故c ＝1，又∵0＜tan B ＝13＜12＝tan A ， ∴B 为最小角，b 为最短边，∵tan B ＝13，∴sin B ＝1010，由正弦定理可得b ＝c sin B sin C ＝55. 16.22解析 ∵x 2＋12y 2≥2xy ，12y 2＋z 2≥2yz ， ∴xy ＋yz x 2＋y 2＋z 2＝xy ＋yz ⎝⎛⎭⎫x 2＋12y 2＋⎝⎛⎭⎫12y 2＋z 2≤xy ＋yz 2xy ＋yz ＝22，当且仅当x ＝z ＝22y 时，等号成立． 17．解 (1)由a ，b ＞0，且a ＋4b ＝4，即有1a ＋1b ＝14(a ＋4b )(1a ＋1b )＝14(5＋a b ＋4b a) ≥14(5＋2a b ·4b a )＝94. 当且仅当a ＝2b ＝43时取得最小值，则1a ＋1b 的最小值为94. (2)令t ＝2＋k 2(t ≥2)，则g (t )＝t t 2＋4＝1t ＋4t ≤12t ·4t＝14，当且仅当t ＝2，即k ＝±2时，取得等号，即有f (k )的最大值为14. 18．解 (1)∵sin C ＝2sin A ，∴由正弦定理可得c ＝2a ，又∵a 2＋c 2＝b 2＋ac .b ＝3，∴a 2＋4a 2＝3＋2a 2，解得a ＝1，c ＝2.(2)由余弦定理可得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝ac 2ac ＝12， ∴sin B ＝32，又∵b ＝2，a 2＋c 2＝b 2＋ac .∴4＋ac ＝a 2＋c 2≥2ac ，即ac ≤4，∴S △ABC ＝12ac sin B ，当且仅当a ＝c ＝2时等号成立．故△ABC 面积的最大值为 3.19．解 (1)当a ＝0时，有－2x －2＜0，∴x ＞－1.(2)a ＞0时，∵Δ＝4－4a (－2－a )＝4a 2＋8a ＋4＝4(a ＋1)2＞0，方程ax 2－2x －2－a ＝0的两根为a ＋2a ，即x 1＝－1，x 2＝a ＋2a， ∴不等式的解集为{x |－1＜x ＜a ＋2a}． (3)当－1＜a ＜0时，Δ＝4－4a (－2－a )＝4a 2＋8a ＋4＝4(a ＋1)2＞0，不等式ax 2－2x －2－a ＜0的解集为{x |x ＜a ＋2a 或x ＞－1}．综上，关于x 的不等式ax 2－2x －2－a ＜0(a ＞－1)的解集为：当－1＜a ＜0时，关于x 的不等式ax 2－2x －2－a ＜0(a ＞－1)的解集为{x |x ＜a ＋2a或x ＞－1}．当a ＝0时，关于x 的不等式ax 2－2x －2－a ＜0(a ＞－1)的解集为{x |x ＞－1}；当a ＞0时，关于x 的不等式ax 2－2x －2－a ＜0(a ＞－1)的解集为{x |－1＜x ＜a ＋2a}． 20．解 (1)由正弦定理，设a sin A ＝b sin B ＝c sin C＝k ，则3c －a b ＝3k sin C －k sin A k sin B ＝3sin C －sin A sin B，所以cos A －3cos C cos B ＝3sin C －sin A sin B. 即(cos A －3cos C )sin B ＝(3sin C －sin A )cos B ，化简可得sin(A ＋B )＝3sin(B ＋C )．又A ＋B ＋C ＝π，所以sin C ＝3sin A ，因此sin C sin A＝3. (2)由sin C sin A＝3得c ＝3a . 由题意⎩⎪⎨⎪⎧a ＋c ＞b ，a 2＋c 2＜b 2， ∴52＜a ＜10.21．解 (1)∵S 1＝a 1，S 2＝a 1＋a 2＝2a 1＋2，S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝3a 1＋6，由S 1，S 2，S 3成等差数列得，2S 2＝S 1＋S 3，即22a 1＋2＝a 1＋3a 1＋6，解得a 1＝1，故a n ＝2n －1.(2)b n ＝a n 2n ＝2n －12n ＝(2n －1)(12)n ， T n ＝1×12＋3×14＋5×18＋…＋(2n －1)·(12)n ，① ①×12得，12T n ＝1×(12)2＋3×(12)3＋5×(12)4＋…＋(2n －3)×(12)n ＋(2n －1)×(12)n ＋1，② ①－②得，12T n ＝12＋2×(12)2＋2×(12)3＋…＋2×(12)n －(2n －1)×(12)n ＋1＝2×12－12n 1－12－12－(2n －1)×(12)n ＋1＝32－12n －1－2n －12n ＋1，∴T n ＝3－42n －2n －12n ＝3－2n ＋32n . 22．(1)解 ∵对于任意n ∈N *，总有a n ，S n ，a 2n 成等差数列，∴2S n ＝a n ＋a 2n ，∴当n ≥1时，2S n －1＝a n －1＋a 2n －1，相减可得，2a n ＝a n ＋a 2n －(a n －1＋a 2n －1)，化为(a n ＋a n －1)(a n －a n －1－1)＝0，∵数列{a n }的各项均为正数，∴a n －a n －1－1＝0，当n ＝1时，2a 1＝a 1＋a 21，a 1＞0，解得a 1＝1.∴数列{a n }是等差数列，首项为1，公差为1.∴a n ＝1＋(n －1)＝n .(2)证明 b n ＝a 1·a 2·a 3·…·a n ＝n ！.∴数列{1b n }的前n 项和为T n ＝11＋12！＋13！＋…＋1n ！≤1＋11×2＋12×3＋…＋1n －n ＝1＋(1－12)＋(12－13)＋…＋(1n －1－1n)＝2－1n ＜2.。

重庆市大学城一中2016-2017学年高一下学期期中数学试卷(理科)(word版含答案)

2016-2017学年重庆市大学城一中高一（下）期中数学试卷（理科）一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．已知{a n}为等比数列，若，则a2a8=（）A．10 B．9 C．6 D．162．在△ABC中，a2﹣c2+b2=ab，则角C的大小为（）A．30° B．45° C．60° D．120°3．已知a，b∈R，且a＞b，则下列不等式恒成立的是（）A．a2＞b2B．＞1 C．lg（a﹣b）＞0 D．（）a＜（）b4．已知向量=， =，则向量在方向上的投影为（）A．﹣3 B． C．D．35．已知关于x的一元二次不等式ax2+bx+c＞0的解集为{x|﹣2＜x＜3}，则不等式cx2﹣bx+a ＜0的解集是（）A．{x|x或x} B．{x|x或x＞} C．{x|﹣＜x＜} D．{x|﹣＜x＜} 6．由下面的条件能得出△ABC为锐角三角形的是（）A．B．C．cosAcosBcos（A+B）＜0 D．7．设a＞0，b＞0，a+b+ab=24，则（）A．a+b有最大值8 B．a+b有最小值8 C．ab有最大值8 D．ab有最小值88．已知数列{a n}中，a1=1，a2=3，a n+2+a n=a n+1，则a2014=（）A．﹣3 B．﹣1 C．2 D．39．在△ABC中，AB=3，AC=2，BC=4，则•=（）A．B．C．﹣ D．﹣10．已知整数对排列如下：（1，1），（1，2），（2，1），（1，3），（2，2），（3，1），（1，4），（2，3），（3，2），（4，1），（1，5），（2，4）则第60个整数对是（）A．（5，11） B．（11，5） C．（7，5）D．（5，7）11．锐角三角形ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若B=2A ，则的取值范围是（）A ．B ．C ．D ．12．已知正项等比数列{a n }，满足a 5+a 4﹣a 3﹣a 2=9，则a 6+a 7的最小值为（） A ．9 B ．18 C ．27 D ．36二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）13．设全集U=R ，集合A={x|log 2x ≥1}，B={x|x 2﹣2x ﹣3＜0}，则A ∩B= ．14．若平面向量与满足：，，则与的夹角为．15．实数x ，y 满足，则的最小值为．16．在△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ，若+=2c ，则∠A 的大小为．三、解答题（本大题共6小题，共70分.17-21题每题12分，22题10分） 17．已知等差数列{a n }满足：a 3=7，a 5+a 7=26，{a n }的前n 项和为S n （Ⅰ）求a n 及S n ；（Ⅱ）令b n =（n ∈N +），求证：数列{b n }为等差数列．18．已知平面内三个向量：．（Ⅰ）若，求实数k 的值；（Ⅱ）设，且满足，，求．19．设三角形ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且b=asinB ，A 为锐角（1）若a=3，b=，求角B ；（2）若S △ABC =，b+c=3，b ＞c ，求b ，c ．20．设等差数列{a n }的公差为d ＞1，前n 项和为S n ，等比数列{b n }的公比为q ．已知b 1=a 1，b 2=2，q=d ，S 10=100．（1）求数列{a n }，{b n }的通项公式；（2）记，求数列{c n}的前n项和T n．21．如图，A，B是海面上位于东西方向相距5（3+）海里的两个观测点，现位于A点北偏东45°，B点北偏西60°的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60°且与B点相距20海里的C点的救援船立即即前往营救，其航行速度为30海里/小时，该救援船到达D点需要多长时间？22．已知函数f（x）=（k＞0）．（1）若f（x）＞m的解集为{x|x＜﹣3或x＞﹣2}，求不等式5mx2+x+3＞0的解集；（2）若存在x＞3使得f（x）＞1成立，求k的取值范围．2016-2017学年重庆市大学城一中高一（下）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．已知{a n}为等比数列，若，则a2a8=（）A．10 B．9 C．6 D．16【考点】8G：等比数列的性质．【分析】由，对数式与指数式的互化可得 a5=3，再由等比数列的定义和性质可得 a2a8 =a52．【解答】解：∵{a n}为等比数列，若，∴a5=3，∴a2a8 =a52=9，故选：B．2．在△ABC中，a2﹣c2+b2=ab，则角C的大小为（）A．30° B．45° C．60° D．120°【考点】HR：余弦定理．【分析】利用余弦定理表示出cosC，将已知的等式代入求出cosC的值，由C为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出C的度数．【解答】解：∵a2﹣c2+b2=ab，∴cosC===，又C为三角形的内角，则C=60°．故选C3．已知a，b∈R，且a＞b，则下列不等式恒成立的是（）A．a2＞b2B．＞1 C．lg（a﹣b）＞0 D．（）a＜（）b【考点】3R：函数恒成立问题．【分析】利用不等式的性质与函数的单调性质，通过特值排除，对A、B、C、D四个选项逐一分析判断即可．【解答】解：对于A，令a=0，b=﹣1，02=0，（﹣1）2=1，满足a＞b，但不满足a2＞b2，故A 错误；对于B，令a=0，b=﹣1， ==0＜1，故B错误；对于C，令a=0，b=﹣1，lg（a﹣b）=lg1=0，故C错误；对于D，y=（）x为减函数，故当a＞b时，（）a＜（）b，故D正确；综上所述，以上四个不等式恒成立的是D．故选：D．4．已知向量=， =，则向量在方向上的投影为（）A．﹣3 B．C．D．3【考点】9R：平面向量数量积的运算．【分析】设向量与的夹角为θ，求得cosθ=的值，只根据向量在上的投影为||•cosθ，计算求得结果．【解答】解：由题意可得||=2，||=2， =0﹣6=﹣6，设向量与的夹角为θ，则cosθ===﹣，∴向量在上的投影为||•cosθ=2•（﹣）=﹣3，故选：A．5．已知关于x的一元二次不等式ax2+bx+c＞0的解集为{x|﹣2＜x＜3}，则不等式cx2﹣bx+a ＜0的解集是（）A．{x|x或x} B．{x|x或x＞} C．{x|﹣＜x＜}D．{x|﹣＜x＜}【考点】74：一元二次不等式的解法．【分析】关于x的不等式ax2+bx+c＞0的解集为{x|﹣2＜x＜3}，可知a＜0，且﹣2，3是方程ax2+bx+c=0的两个实数根，利用根与系数的关系可得a、b、c的关系；再代入不等式cx2﹣bx+a ＜0化为﹣6x2+x+1＞0，求解即可．【解答】解：关于x的一元二次不等式ax2+bx+c＞0的解集为{x|﹣2＜x＜3}，∴a＜0，且﹣2，3是一元二次方程ax2+bx+c=0的两个实数根，∴=﹣（﹣2+3）=﹣1， =﹣6，a＜0；∴不等式cx2﹣bx+a＜0化为﹣6x2+x+1＞0，化为6x2﹣x﹣1＜0，解得﹣＜x＜．因此不等式的解集为{x|﹣＜x＜}．故选：D．6．由下面的条件能得出△ABC为锐角三角形的是（）A．B．C．cosAcosBcos（A+B）＜0 D．【考点】GZ：三角形的形状判断．【分析】对于A，两边平方得，可知A为钝角；对于B，，可知夹角A为钝角；对于C，cosAcosBcosC＞0，从而三余弦均为正，故正确；对于D，有两解，C为60°或120°．【解答】解：由题意，对于A，两边平方得，∴A为钝角；对于B，，∴A为钝角；对于C，由cosAcosBcos（A+B）＜0 可得cosAcosBcosC＞0，从而可知三余弦均为正，从而三角形为锐角三角形；对于D，，C为60°或120°．故选C．7．设a＞0，b＞0，a+b+ab=24，则（）A．a+b有最大值8 B．a+b有最小值8 C．ab有最大值8 D．ab有最小值8【考点】7F：基本不等式．【分析】由a＞0，b＞0，a+b+ab=24，解方程，用a表示b，把ab和a+b转化成只含有字母a 的代数式，利用基本不等式求出ab的最大值和a+b的最小值．【解答】解：∵∴；而故答案为B．8．已知数列{a n}中，a1=1，a2=3，a n+2+a n=a n+1，则a2014=（）A．﹣3 B．﹣1 C．2 D．3【考点】8H：数列递推式．【分析】由条件a n+2+a n=a n+1，可得a n+2=a n+1﹣a n，得到a n+6=a n，从而确定数列是周期数列，利用数列的周期性即可求解．【解答】解：∵a n+2+a n=a n+1，∴a n+2=a n+1﹣a n．∴a n+3=a n+2_a n+1=a n+1﹣a n﹣a n+1=﹣a n，即a n+6=﹣a n+3=a n，即数列{a n}是周期为6的周期数列．∴a2014=a335×6+4=a4，∵a1=1，a2=3，a n+2=a n+1﹣a n，∴a3=a2﹣a1=3﹣1=2，a4=a3﹣a2=2﹣3=﹣1．故a2014=a4=﹣1．故选：B．9．在△ABC中，AB=3，AC=2，BC=4，则•=（）A．B．C．﹣D．﹣【考点】9R：平面向量数量积的运算．【分析】首先利用余弦定理求出角A，然后利用平面向量的数量积公式解答即可．【解答】解：在△ABC中，AB=3，AC=2，BC=4，所以cosA=，所以与的夹角的余弦值为，则•=|AC||AB||cosA|=2×3×=；故选：A．10．已知整数对排列如下：（1，1），（1，2），（2，1），（1，3），（2，2），（3，1），（1，4），（2，3），（3，2），（4，1），（1，5），（2，4）则第60个整数对是（）A．（5，11） B．（11，5） C．（7，5）D．（5，7）【考点】F1：归纳推理．【分析】我们可以在平面直角坐标系中，将：（1，1）、（1，2）、（2，1）、（1，3）、（2，2），（3，1），（1，4），（2，3），（3，2），（4，1），…，按顺序连线，然后分析这些点的分布规律，然后归纳推断出，点的排列规律，再求出第60个数对．【解答】解：我们在平面直角坐标系中，将各点按顺序连线，如图示：有（1，1）为第1项，（1，2）为第2项，（1，3）为第4项，…（1，11）为第56项，因此第60项为（5，7）．故选D．11．锐角三角形ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若B=2A，则的取值范围是（）A．B．C．D．【考点】HP：正弦定理；GS：二倍角的正弦．【分析】由题意可得 0＜2A＜，且＜3A＜π，解得A的范围，可得cosA的范围，由正弦定理求得=2cosA，解得所求．【解答】解：锐角△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，B=2A，∴0＜2A＜，且B+A=3A，∴＜3A＜π．∴＜A＜，∴＜cosA＜．由正弦定理可得==2cosA，∴＜2cosA＜，故选 B．12．已知正项等比数列{a n}，满足a5+a4﹣a3﹣a2=9，则a6+a7的最小值为（）A．9 B．18 C．27 D．36【考点】88：等比数列的通项公式．【分析】可判数列{a n+a n+1}也是各项均为正的等比数列，则a2+a3，a4+a5，a6+a7构成等比数列．设其公比为x，a2+a3=a，则x∈（1，+∞），a4+a5=ax，结合已知可得a=，代入可得y=a6+a7的表达式，x∈（1，+∞），由导数求函数的最值即可．【解答】解：∵数列{a n}是各项均为正的等比数列，∴数列{a n+a n+1}也是各项均为正的等比数列，则a2+a3，a4+a5，a6+a7构成等比数列．设其公比为x，a2+a3=a，则x∈（1，+∞），a5+a4=ax，∴有a5+a4﹣a3﹣a2=ax﹣a=9，即a=，∴y=a6+a7=ax2=，x∈（1，+∞），求导数可得y′=，令y′＞0可得x ＞2，故函数在（1，2）单调递减，（2，+∞）单调递增，∴当x=2时，y=a6+a7取最小值：36．故选：D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）13．设全集U=R，集合A={x|log2x≥1}，B={x|x2﹣2x﹣3＜0}，则A∩B= [2，3）．【考点】1E：交集及其运算．【分析】求出集合A，B，根据集合的交集定义进行计算．【解答】解：∵log2x≥1=log22，∴x≥2，∴A=[2，+∞），∵x2﹣2x﹣3＜0，∴（x﹣3）（x+2）＜0，解得﹣2＜x＜3，∴B=（﹣2，3），∴A∩B=[2，3），故答案为：[2，3）14．若平面向量与满足：，，则与的夹角为．【考点】9S：数量积表示两个向量的夹角．【分析】对两边平方，计算，代入夹角公式得出向量的夹角．【解答】解： =4， =1，∵，∴+2=7，∴=1，∴cos＜＞==，∴＜＞=．故答案为：．15．实数x，y满足，则的最小值为．【考点】7C：简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，由的几何意义，即可行域内的动点与定点P （4，0）连线的斜率求得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（1，2），的几何意义为可行域内的动点与定点P（4，0）连线的斜率，由图可知，的最小值为．故答案为：．16．在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，若+=2c，则∠A的大小为．【考点】HP：正弦定理．【分析】由+=2c，利用正弦定理可得：=2sinC，再利用基本不等式的性质可得sinC=1，即可得出．【解答】解：由正弦定理可得：，又+=2c，∴=2sinC≥2，当且仅当sinA=sinB时取等号．而sinC≤1，∴sinC=1，又C∈（0，π）．∴C=．又sinA=sinB，∴A=B=．故答案为：．三、解答题（本大题共6小题，共70分.17-21题每题12分，22题10分）17．已知等差数列{a n}满足：a3=7，a5+a7=26，{a n}的前n项和为S n（Ⅰ）求a n及S n；（Ⅱ）令b n=（n∈N+），求证：数列{b n}为等差数列．【考点】8C：等差关系的确定；84：等差数列的通项公式；85：等差数列的前n项和．【分析】（Ⅰ）利用等差数列的首项、公差、项和项数的关系列出方程求出首先和公差，得到通项公式；（Ⅱ）利用等差数列的定义证明．【解答】解：（Ⅰ）等差数列{a n}满足：a3=7，a5+a7=26，所以a5+a7=2a3+6d=26，即14+6d=26解得d=2，又a1+2d=7，所以a1=3，所以a n=2n+1；S n=n（n+2）；（Ⅱ）证明：因为b n===n+2，b n+1﹣b n=n+3﹣（n+2）=1，所以数列{b n}为等差数列．18．已知平面内三个向量：．（Ⅰ）若，求实数k的值；（Ⅱ）设，且满足，，求．【考点】9T：数量积判断两个平面向量的垂直关系．【分析】（1）利用向量共线定理即可得出．（2）利用向量垂直与数量积的关系、数量积运算性质即可得出．【解答】解：（1）因为，，又，∴﹣5（2+k）=2（3+4k），解得k=﹣．（2）∵=（2，4），=（x﹣4，y﹣1），又，，∴，解得，或．故=（6，0）或（2，2）．19．设三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b=asinB，A为锐角（1）若a=3，b=，求角B；（2）若S△ABC=，b+c=3，b＞c，求b，c．【考点】HP：正弦定理；HR：余弦定理．【分析】（1）将a，b代入条件式计算得出B，根据a＞b可知B为锐角，从而得出B；（2）利用正弦定理将边化角，得出sinA，利用面积公式得出bc，结合b+c=3，解方程组得出b，c．【解答】解：（1）∵b=asinB，∴=，∴sinB=，∵A是锐角，a＞b，∴B．∴B=．（2）∵b=asinB，∴sinB=sinAsinB，∴sinA=，∵A是锐角，∴A=．∵S△ABC===，∴bc=2．又b+c=3，b＞c，∴b=2，c=1．20．设等差数列{a n}的公差为d＞1，前n项和为S n，等比数列{b n}的公比为q．已知b1=a1，b2=2，q=d，S10=100．（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（2）记，求数列{c n}的前n项和T n．【考点】8E：数列的求和；8M：等差数列与等比数列的综合．【分析】（1）利用已知条件求出数列的首项与公差，然后求解通项公式．（2）化简数列的通项公式，然后利用错位相减法求和即可．【解答】（本小题，第1小题，第2小题6分）解：（1）由题意可得：，解得（舍去）或，所以a n=2n﹣1，b n=2n﹣1．（2）∵，c n=，∴T n=+…+…①，…②①﹣②可得，故T n=．21．如图，A，B是海面上位于东西方向相距5（3+）海里的两个观测点，现位于A点北偏东45°，B点北偏西60°的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60°且与B点相距20海里的C点的救援船立即即前往营救，其航行速度为30海里/小时，该救援船到达D点需要多长时间？【考点】HU：解三角形的实际应用．【分析】先根据内角和求得∠DAB和，∠DBA及进而求得∠ADB，在△ADB中利用正弦定理求得DB的长，进而利用里程除以速度即可求得时间．【解答】解：由题意知AB=5（3+）海里，∠DBA=90°﹣60°=30°，∠DAB=90°﹣45°=45°，∴∠ADB=180°﹣（45°+30°）=105°，在△ADB中，有正弦定理得=∴DB===10又在△DBC中，∠DBC=60°DC2=DB2+BC2﹣2×DB×BC×cos60°=900∴DC=30∴救援船到达D点需要的时间为=1（小时）答：该救援船到达D点需要1小时．22．已知函数f（x）=（k＞0）．（1）若f（x）＞m的解集为{x|x＜﹣3或x＞﹣2}，求不等式5mx2+x+3＞0的解集；（2）若存在x＞3使得f（x）＞1成立，求k的取值范围．【考点】7E：其他不等式的解法．【分析】（1）根据f（x）＞m的解集为{x|x＜﹣3或x＞﹣2}，可得 f（﹣3）=m，f（﹣2）=m，求得m、k的值，从而求得不等式5mx2+x+3＞0的解集．（2）由题意可得k＞在（3，+∞）上能成立，故k大于g（x）=的最小值．再利用导数求得g（x）的最小值，可得k的取值范围．【解答】解：（1）∵函数f（x）=（k＞0），f（x）＞m的解集为{x|x＜﹣3或x＞﹣2}，∴f（﹣3）=m，f（﹣2）=m，即=m，且=m，求得k=2，m=﹣，故不等式5mx2+x+3＞0，即不等式﹣2x2+x+3＞0，即 2x2﹣x﹣3＜0，求得﹣1＜x＜，故不等式的解集为{x|﹣1＜x＜}．（2）∵存在x＞3使得f（x）＞1成立，∴＞1在（3，+∞）上有解，即x2﹣kx+3k＜0在（3，+∞）上有解，k＞在（3，+∞）上能成立，故k大于g（x）=的最小值．∵g′（x）=，∴在（3，6）上，g′（x）＜0，g（x）为减函数；在（6，+∞）上，g′（x）＞0，g（x）为增函数，故g（x）的最小值为g（6）=12，∴k＞12．2017年6月26日。

【数学】重庆市第一中学2016-2017学年高二下学期第二次月考(理)(解析版)

2016-2017学年重庆市重庆一中高二下学期期中考试数学(理科) 试题(解析版)

2016-2017学年重庆市重庆一中高二下学期期中考试数学（理科）试题一、选择题1．若复数满足()()125z i i --=，其中是虚数单位，则z 的值为（） A. 2B.C.D. 【答案】A【解析】由题意可得： ()512122iz i i i i-==+=-+-，则: 2,2z i z ==. 本题选择A 选项.2．随机变量()29,X N σ~, (6)0.2P X <=,则(912)P X <<=（）A. 0.3B. 0.4C. 0.4987D. 0.9974 【答案】A【解析】由题意可得该正态分布图象的对称轴为9x =, 利用对称性，则10.22(912)0.32P X -⨯<<==. 本题选择A 选项.3．已知141123+=+， 1131121232++=+++， 111811212312345+++=++++++,…., 若11111211212312341237n +++++=++++++++++ , 则n =（） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】B 【解析】()1211212311n n n n n ⎛⎫==⨯- ⎪++++++⎝⎭,则：1111112123123412311111111122222334451111221nn n n +++++++++++++++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+⨯-+⨯-+⨯-++⨯- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫=+⨯- ⎪+⎝⎭从而有方程： 111212217n ⎛⎫+⨯-= ⎪+⎝⎭，解得： 6n =. 本题选择B 选项.4．齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马，田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马，现从双方的马匹中随机选一匹进行一场比赛，则在齐王的马获胜的条件下，齐王的上等马获胜的概率为（） A.23 B. 12 C. 13D. 1 【答案】B【解析】设齐王的三匹马分别记为123,,a a a ,田忌的三匹马分别记为123,,b b b ，齐王与田忌赛马，其情况有：()()()()()()()()()111213212223313233,,,,,,,,,,,,,,,,,,a b a b a b a b a b a b a b a b a b 共9种，其中齐王的马获胜的情形有6种，齐王的上等马获胜的情形有3中则齐王获胜的概率为： 3162p ==. 本题选择B 选项. 5．若曲线21y=ln 22a x x x ++的切线斜率都是正数，则实数a 的取值范围是（） A. ()1,+∞ B. [)1,+∞ C. ()0,+∞ D. [)0,+∞ 【答案】D【解析】满足题意时： 22'20a x x ay x x x++=++=>在定义域()0,+∞上恒成立，即： 22a x x >--在定义域()0,+∞上恒成立，二次函数()22,0x x --∈-∞，由恒成立的条件可得实数的取值范围是 [)0,+∞.本题选择D 选项.6．对某校高二年级某班63名同学，在一次期末考试中的英语成绩作统计，得到如下的列联表：附： ()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，参照附表，得到的正确结论是（）A. 在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“该班学生英语成绩优秀与性别有关”B. 在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“该班学生英语成绩优秀与性别有关”C. 没有90%以上的把握认为“该班学生英语成绩优秀与性别有关”D. 有90%以上的把握认为“该班学生英语成绩优秀与性别有关” 【答案】C【解析】由题意计算可得：()2263121911210.0006 2.70623403033k ⨯⨯-⨯=≈<⨯⨯⨯，则没有90%以上的把握认为“该班学生英语成绩优秀与性别有关”. 本题选择C 选项.7．设,x y 满足约束条件20{103x y x y x +-≥-+≥≤，若z m x y =+的最小值为3-，则m 的值为（）A. 9-B. 73-C. 23-D. 23【答案】C【解析】结合不等式组表示的可行域，分类讨论： (1)当0m ->时，有： 313m -=-，解得： 23m =-； (2)当0m -<时， 131,322m m -≤-+=-，此时不合题意，舍去. 综上可得， 23m =-. 本题选择C 选项. 点睛：目标函数中含有参数时，要根据问题的实际意义注意转化成“直线的斜率”、“点到直线的距离”等模型进行讨论研究。

2016-2017学年上学期重庆市第一中学高二期中考试试卷理科数学 Word版含答案

2016-2017学年上学期重庆市第一中学高二年级期中考试测试卷理科数学一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．直线033=-+y x 的倾斜角为（） A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°2．3个班分别从5个风景区中选择一处游览，不同选法的种数是（） A ．53B ．35C ．35AD ．35C3．对任意的实数m ，直线1+=my x 与圆422=+y x 的位置关系一定是（） A ．相切B ．相交且直线过圆心C ．相交且直线不过圆心D ．相离4．已知椭圆方程为14922=+y x 的左、右焦点分别为21,F F ，过左焦点1F 的直线交椭圆于B A ,两点，则2ABF ∆的周长为（） A ．12B ．9C ．6D ．45．若方程2211x ym m+=-表示焦点在y 轴上的双曲线，则实数m 的取值范围为（） A ．m <0B ．0m <<1C ．m >1D ．1m -<<06．设椭圆22143x y +=的左右焦点分别为21,F F ，点P 在椭圆上，若1252PF PF ⋅= ，则12PF PF ⋅=（） A ．2B ．3C ．72D ．927．在()()1nx n N +-∈的二项展开式中，若只有第4项的二项式系数最大，则n⎛⎝的二项展开式中的常数项为（）A ．960B ．-160C ．-560D ．-9608．已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形，则该正方体的正视图的面积不可能为（） A ．1BCD9．P 是双曲线221916x y -=的右支上一点，,M N 分别是圆2210210x y x +++=和2210240x y x +-+=上的点，则PM PN -的最大值为（）A ．6B ．7C ．8D ．910．4个男生4个女生站成一排，要求相邻两人性别不同且男生甲与女生乙相邻，则这样的站法有（） A ．576种B ．504种C ．288种D ．252种11．已知点(),P x y 在椭圆22143x y +=上运动，设2xd =，则d 的最小值为（） A2-B．1C1-D1-12．已知直线l 与坐标轴不垂直且横、纵截距相等，圆()()222:12C x y r ++-=，若直线l 和圆C 相切，且满足条件的直线l 恰好有三条，则圆的半径r 的取值集合为（） A．{B．C．⎧⎪⎨⎪⎩D．1,⎧⎪⎨⎪⎩二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．）13．抛物线22y x =的焦点到准线的距离为．14．已知1,10,220x x y x y ≥⎧⎪-+≤⎨⎪--≤⎩，则22x y +的最小值是．15．将编号1，2，3，4，5的小球放入编号1，2，3，4，5的盒子中，每个盒子放一个小球，则至多有两个小球的编号与盒子的编号相同的放法共有种．16．已知双曲线C 的右焦点为F ，过F 的直线l 与双曲线C 交于不同两点A B 、，且A B 、两点间的距离恰好等于焦距，若这样的直线l 有且仅有两条，则双曲线C 的离心率的取值范围为．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（本小题满分12分）ABC ∆中，点()()()1,2,1,3,3,3A B C --．（1）求AC 边上的高所在直线的方程；（2）求AB 边上的中线的长度．18．（本小题满分12分）已知()()622801282112x x x a a x a x a x -+-=++++ ．（1）求2a ；（2）求()()2224681357a a a a a a a a +++-+++．19．（本小题满分12分）已知过点()1,2P 的直线l 和圆226x y +=交于,A B 两点；（1）若点P 恰好为线段AB 的中点，求直线l 的方程；（2）若AB =l 的方程．20．（本小题满分12分）设P 是圆2225x y +=上的动点，点D 是P 在x 轴上投影，M 为线段PD 上一点，且45MD PD =．（1）当P 在圆上运动时，求点M 的轨迹C 的方程；（2）过点()3,0且斜率为45的直线交轨迹C 于,A B 两点，若点()3,0F -，ABF ∆求的面积．21．（本小题满分12分）已知直线1:4360l x y -+=和直线2:2pl x =-，若抛物线()2:20C y px p =>上的点到直线1l 和直线2l 的距离之和的最小值为2．（1）求抛物线C 的方程；（2）在抛物线C 上恒有两点关于直线3y kx =+对称，求k 的取值范围．22．（本小题满分10分）已知椭圆()2222:10x y T a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F ，动点P 在椭圆上运动，12PF PF ⋅的最大值为25，且点P 到1F 的距离的最小值为1．（1）求椭圆T 的方程；（2）直线l 与椭圆T 有且仅有一个交点A ，且l 切圆222:M x y R +=（其中()35R <<）于点B ，求A B 、两点间的距离AB 的最大值；（3）当过点()10,1C 的动直线与椭圆T 相交于两不同点G H 、时，在线段GH 上取一点D ，满足=GC HD GD CH ⋅⋅，求证：点D 在定直线上．2016-2017学年上学期重庆市第一中学高二年级期中考试测试卷理科数学答案一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1-5: DBCAA6-10: CBCDB11、12：AD二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．）13．114．515．10916．()12+⎛∞ ⎝ ，三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）18．解：（1）分析项的构成，知：()()()1226621121474a C C =⋅+-⋅-+⋅=．（2）原式=()()123812345678a a a a a a a a a a a a ++++-+-+-+-+ ，令0x =，得01a =，令1x =，得012381238=2=1a a a a a a a a a +++++⇒++++ ，令1x =-，得012345678=2916a a a a a a a a a -+-+-+-+ 12345678=2915a a a a a a a a ⇒-+-+-+-+ 从而原式=2915．19．解：（1）易知圆心为原点O ，由已知OP l ⊥，所以1OP l k k ⋅=-，而2OP k =，解出12l k =-，由点斜式可得直线的方程为：250x y +-=（2）当直线l的斜率不存在时刚好满足AB =1x =；若直线斜率存在，设为()21y k x -=-，整理为()20kx y k -+-=由垂径定理圆心到直线的距离1h ==所以1h ，解出34k =，此时直线的方程为3450x y -+= 综上可知满足条件的直线方程为：1x =或3450x y -+=．20．解：（1）2212516x y +=．（2）直线()4:35AB y x =-2415x =，点F 到AB的距离为d =，故12S AB d =⋅=．21．解：（1）由抛物线的定义知：距离之和的最小值为点F 到直线1l 的距离，故26225p p +=⇒=，从而抛物线的方程为24y x =．（2）设()()1122,,,A x y B x y 关于直线3y kx =+对称，故可设直线AB x ky m =-+：．代入24y x =得2440y ky m +-=．设AB 的中点为()00,M x y ，则12022y y y k +==-，所以 2002x ky m k m =-+=+．因为点()00,M x y 在3y kx =+上，则()2223k k k m -=++．即3223k k m k ++=-．又AB 与抛物线有两个不同的交点，故216160k m ∆=+>．将m 代入上式得()()3223013010k k k k k k k k++<⇒+-+<⇒-<<，故k 的取值范围为()1,0k ∈-．22．解：（1）由于2122122PF PF PF PF a ⎛+⎫⋅≤= ⎪⎝⎭，所以12PF PF ⋅的最大值为2a ，当12PF PF =时取等号，由已知可得225a =，即5a =，又14a c c -=⇒=，所以2229b a c =-=，故椭圆的方程为221259x y +=．（2）设()()1122,,,A x y B x y 分别为直线l 与椭圆和圆的切点，设直线AB 的方程为y kx m =+．因为A 既在椭圆上，又在直线AB 上，从而有221259x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消y 得 ()()222259502590kx kmx m +++-=．由于直线与椭圆相切，故，()()()2225042592590km k m ∆=-+⨯-=，从而可得22925m k =+①，且125kx m-=②．由222x y R y kx m ⎧+=⎨=+⎩，消y 得()2222120k x kmx m R +++-=．由于直线与椭圆相切，得 ()2221m R k =+③，且22kR x m=-④．由①③得222925R k R -=-，故()()()()222222121211AB x x y y k x x =-+-=+- ()()22222222222222525922525925k R R m R R Rm R R R---=⋅=⋅=+---3434304≤-=-=，即2AB ≤．当且仅当R =时取等号，所以AB 的最大值为2．（3）设G H D 、、的坐标分别为()()()1122,,,,,x y x y x y ，由题设知,,,GC HD GD CH均不为零，记GC GDCH DH λ== ，则0λ>且1λ≠，又C G D H 、、、四点共线，则=,GC CH GD DH λλ-= ．于是121210111x x y y λλλλ-⎧=⎪⎪-⎨-⎪=⎪-⎩且121211x x x y y y λλλλ+⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩．从而 2221222221221011x x x y y y λλλλ⎧-=⎪⎪-⎨-⎪=⎪-⎩．又G H 、在椭圆上，则22112222925925925925x y x y ⎧+=⨯⎪⎨+=⨯⎪⎩，消去1122,,,x y x y 得 9025925x y +=⨯，即点D 在定直线185450x y +-=上．。

重庆市大学城第一中学校2017-2018学年高二数学下学期半期考试试题理精

重庆市大学城第一中学校2017-2018学年高二数学下学期半期考试试题理一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.若x 是实数，i 是虚数单位，且1)()xi x i i +-=-（，则x =（）A. -1B. 1C. 0D. 22.在等比数列{}n a 中，2a =2，516a =，则6a =( ) A.28B.32C.64D.14 3.若曲线2y x ax b =++在点(0，b)处的切线方程是10x y -+=，则( )A ．1,1a b ==B ．-1,1a b ==C ．1,-1a b ==D ．-1,-1a b ==4.在区间()0,3上任取一个实数x ，则22x <的概率是( ) A.23 B.12 C.13 D.145.已知向量(2,1)a =，(3,4)b =，(,2)c k =.若(3)//a b c -，则实数的值为（）A ．8-B ．-2C ．1-D ． -66.已知变量,x y 满足0226x y x y x y ≤≤⎧⎪+≥⎨⎪+≤⎩，则2z x y =-的最大值为( )A.1B.2C.3D.4 7.()52121x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭展开式中的常数项是( ) A.12 B.12- C.8 D.8-8.若某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积等于( )A ．30B ．12C ．24D ．49．甲、乙、丙、丁四个人到重庆旅游，有朝天门、解放碑、瓷器口三个景点可供选择，每个人只去一个景点，每个景点至少有一个人去，则甲不到瓷器口的方案有（）A. 60种B. 54种C. 48种D. 24种10．若0,0,a b >>且函数32()422f x x ax bx =--+在1x =处有极值，若t ab =，则t 的最大值为( )A ．2B ．3C ．6D ．911.如图，设椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>的右顶点为A ，右焦点为F ，B 为椭圆在第二象限上的点，直线BO 交椭圆E 于点C ，若直线BF 平分线段AC 于M ，则椭圆E 的离心率是（）A ．12B ．23C ．13D ．1412、已知()21ln 12f x a x ax x ⎛⎫=-≤≤ ⎪⎝⎭满足：斜率不小于1的任意直线l 与()f x 的图象至多有一个公共点，则实数a 的取值范围为（）A 、[]1,1-B 、[]2,1-C 、[]1,2-D 、3ln 22,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ 第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上．13.要从5件不同的礼物中选出3件分送3位同学，不同方法的种数是 .14.已知()554014513521+,x a x a x a x a a a a -=+++++=则 .15.若函数322()(21)43f x x a x ax =-++在区间()1,3a a +内有极值，则实数a 的取值范围是 . 16、已知定义在R 上的函数()f x 满足：()[)[)()()222,0,1,22,1,0,x x f x f x f x x x ⎧+∈⎪=+=⎨-∈-⎪⎩且，()252x g x x +=+，则方程()()f x g x =在区间[]5,1-上的所有实根之和为 . 三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17.（本小题满分12分）把4位男售票员和4位女售票员平均分成4组,到4辆公共汽车里售票,如果同样两人在不同汽车上服务算作不同的情况.（Ⅰ）有几种不同的分配方法?（Ⅱ）每小组必须是一位男售票员和一位女售票员,有几种不同的分配方法?18.（本小题满分12分）已知,,a b c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C的对边，cos sin 0a C C b c --=（Ⅰ）求A ；（Ⅱ）若2a =，△ABC,.b c19、（本题12分）如图，在多面体ABCDEF 中，底面ABCD 是边长为2的的菱形， 60BAD ∠=，四边形BDEF 是矩形，平面BDEF ⊥平面ABCD ，3BF =，G 和H 分别是CE 和CF 的中点. （Ⅰ）求证：平面//BDGH 平面AEF ；（Ⅱ）求二面角H BD C --的大小.20.（本小题满分12分）已知圆()22:18C x y ++=，定点()1,0,A M 为圆上一动点，线段MA 的垂直平分线交线段MC （点C 圆C 的圆心）于点N ，设点N 的轨迹为曲线E ；（Ⅰ）求曲线E 的方程；（Ⅱ）若经过()0,2F 的直线l 交曲线E 于不同的两点,G H ，（点G 在点F , H 之间），且满足35FG FH →→=，求直线l 的方程.A BC D EF G H21．（本小题12分）已知函数()()3263x f x x x x t e =-++， t R ∈．（Ⅰ）若函数()y f x =有三个不同的极值点，求t 的值；（Ⅱ）若存在实数[]0,2t ∈，使对任意的[]1,x m ∈，不等式()f x x ≤恒成立，求正整数m 的最大值．选考题请从22、23两道题中任选一题作答22．已知直线（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2cos ρθ=.（1）将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）设点M 直角坐标为，直线l 与曲线C 的交点为A ，B ，求||||MA MB ⋅的值.22、已知函数3212)(-++=x x x f .（Ⅰ）求不等式6)(≤x f 的解集；（Ⅱ）若关于x 的不等式1)(-<a x f 的解集非空，求实数a 的取值范围．大一中高17-18学年下期2019届期中考试答案理科数学一：解答题C B A CD B B C D D C A二：解答题13 60 14 -121 15 (1, +∞) 16 -7三、解答题：本大题共5小题，满分70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17.(1)男女合在一起共有8人,每个车上2人,可以分四个步骤完成,先安排2人上第一辆车,共有错误！未找到引用源。

重庆市大学城第一中学校2016-2017学年高二上学期期中考试数学(理)试题含答案

2016—2017学年度大学城一中高2018级期中考试数学试题一、选择题（每小题5分，共60分）1．直线10--=不经过的象限是( )x yA．第四象限B．第三象限C．第二象限D．第一象限2．已知直线l经过点A（﹣2，0）与点B（﹣5,3)，则该直线的倾斜角为（）A．150°B．135°C．60°D．45°3．关于直线m，n与平面α，β，有以下四个命题：①若m∥α，n∥β且α∥β，则m∥n；②若m⊥α,n⊥β且α⊥β，则m⊥n；③若m⊥α，n∥β且α∥β，则m⊥n;④若m∥α，n⊥β且α⊥β，则m∥n;其中真命题的序号是( ）A．①②B．③④C．①④D．②③4．直线被圆所截得的弦长为( ）A。

B。

1 C. D.5．已知在四面体ABCD中，E，F分别是AC,BD的中点，若AB=2，CD=4，EF⊥AB，则EF与CD所成的角的度数为（）A．90°B．45°C．60°D．30°6．已知直线l过点P(，1），圆C：x2+y2=4,则直线l与圆C的位置关系是（）A．相交B．相切C．相交和相切D．相离7．已知底面边长为1,侧棱长为2的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上,则该球的表面积为( ）A 。

323πB 43πC.2π D 。

4π8．如图，某几何体的正视图(主视图)，侧视图(左视图）和俯视图分别是等边三角形,等腰三角形和菱形，则该几何体体积为（） A 。

B 。

4 C.D 。

29．方程(x ﹣）=0表示的曲线为( ） A ．一条线段与半圆 B ．一条射线与一段劣弧C ．一条射线与一个圆D ．一条直线和一个圆10．已知四棱锥S －ABCD 的所有棱长都相等，E 是SB 的中点，则AE ，SD 所成的角的正弦值为（）A ．B ．C ．D ．11．直线ax ＋by ＋c ＝0与圆x 2＋y 2＝9相交于两点M 、N ，若c 2＝a 2＋b 2，则OM ·ON （O 为坐标原点）等于( ）A ．－7B ．－14C ．7D ．1412。

重庆市2016-2017学年高二数学下学期期中试卷理(含解析)

2016-2017学年重庆市高二（下）期中数学试卷（理科）一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的．1．复数i（2﹣i）=（）A．1+2i B．1﹣2i C．﹣1+2i D．﹣1﹣2i2．将5封信投入3个邮筒，不同的投法有（）A．53种 B．35种 C．3种D．15种3．下面四个推导过程符合演绎推理三段论形式且推理正确的是（）A．大前提：无限不循环小数是无理数；小前提：π是无理数；结论：π是无限不循环小数B．大前提：无限不循环小数是无理数；小前提：π是无限不循环小数；结论：π是无理数C．大前提：π是无限不循环小数；小前提：无限不循环小数是无理数；结论：π是无理数D．大前提：π是无限不循环小数；小前提：π是无理数；结论：无限不循环小数是无理数4．有5盆互不相同的玫瑰花，其中黄玫瑰2盆、白玫瑰2盆、红玫瑰1盆，现把它们摆放成一排，要求2盆白玫瑰不能相邻，则这5盆玫瑰花的不同摆放种数是（）A．120 B．72 C．12 D．365．曲线f（x）=在点（1，f（1））处的切线的倾斜角为（）A． B． C． D．6．函数f（x）在其定义域内可导，其图象如图所示，则导函数y=f′（x）的图象可能为（）A． B． C． D．7．已知点集，则由U中的任意三点可组成（）个不同的三角形．A．7 B．8 C．9 D．108．已知函数f（x）=x2+cosx，f′（x）是函数f（x）的导函数，则f′（x）的图象大致是（）A．B． C． D．9．若（x3+）n展开式中只有第6项系数最大，则展开式的常数项是（）A．210 B．120 C．461 D．41610．从0，1，2，3，4，5这六个数字中任取四个数字，其中奇数偶数至少各一个，组成没有重复数字的四位数的个数为（）A．1296 B．1080 C．360 D．30011．设过曲线f（x）=﹣e x﹣x（e为自然对数的底数）上任意一点处的切线为l1，总存在过曲线g（x）=ax+2cosx上一点处的切线l2，使得l1⊥l2，则实数a的取值范围为（）A．[﹣1，2] B．（﹣1，2）C．[﹣2，1] D．（﹣2，1）12．已知函数：，，设函数F（x）=f（x+3）•g（x﹣5），且函数F（x）的零点均在区间[a，b]（a＜b，a，b∈Z）内，则b﹣a的最小值为（）A．8 B．9 C．10 D．11二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把答案填在答题卡上相应位置.13．若=1+i，i为虚数单位，则z的虚部为．14．有10个零件，其中6个一等品，4个二等品，若从10个零件中任意取3个，那么至少有1个一等品的不同取法有种．15．曲线y=2x﹣x3在x=﹣1的处的切线方程为．16．函数f（x）=x2﹣2lnx的单调减区间是．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．已知函数f（x）=ax3+cx+d（a≠0）是R上的奇函数，当x=1时f（x）取得极值﹣2．求f（x）的单调区间和极大值．18．已知（+）n展开式中的所有二项式系数和为512，（1）求展开式中的常数项；（2）求展开式中所有项的系数之和．19．福建师大附中高二年级将于4月中旬进行年级辩论赛，每个班将派出6名同学分别担任一辩、二辩、三辩、四辩、五辩和六辩．现某班已有3名男生和3名女生组成了辩论队，按下列要求，能分别安排出多少种不同的辩论顺序？（要求：先列式，再计算，最后用数字作答）（1）三名男生和三名女生各自排在一起；（2）男生甲不担任第一辩，女生乙不担任第六辩；（3）男生甲必须排在第一辩或第六辩，3位女生中有且只有两位排在一起．20．设函数f（x）=x3﹣x2+bx+c（a＞0），曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y=1（1）求b，c的值；（2）若函数f（x）有且只有两个不同的零点，求实数a的值．21．在数列{a n}中，a1=6，且a n﹣a n﹣1=+n+1（n∈N*，n≥2），（1）求a2，a3，a4的值；（2）猜测数列{a n}的通项公式，并用数学归纳法证明．22．已知f（x）=ax﹣lnx，x∈（0，e]，g（x）=，其中e是自然常数，a∈R．（Ⅰ）当a=1时，研究f（x）的单调性与极值；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求证：f（x）＞g（x）+；（Ⅲ）是否存在实数a，使f（x）的最小值是3？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．2016-2017学年重庆市大学城一中高二（下）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的．1．复数i（2﹣i）=（）A．1+2i B．1﹣2i C．﹣1+2i D．﹣1﹣2i【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则解答．【解答】解：原式=2i﹣i2=2i﹣（﹣1）=1+2i；故选：A．2．将5封信投入3个邮筒，不同的投法有（）A．53种 B．35种 C．3种D．15种【考点】D9：排列、组合及简单计数问题．【分析】本题是一个分步计数问题，首先第一封信有3种不同的投法，第二封信也有3种不同的投法，以此类推每一封信都有3种结果，根据分步计数原理得到结果．【解答】解：由题意知本题是一个分步计数问题，首先第一封信有3种不同的投法，第二封信也有3种不同的投法，以此类推每一封信都有3种结果，∴根据分步计数原理知共有35种结果，故选B．3．下面四个推导过程符合演绎推理三段论形式且推理正确的是（）A．大前提：无限不循环小数是无理数；小前提：π是无理数；结论：π是无限不循环小数B．大前提：无限不循环小数是无理数；小前提：π是无限不循环小数；结论：π是无理数C．大前提：π是无限不循环小数；小前提：无限不循环小数是无理数；结论：π是无理数D．大前提：π是无限不循环小数；小前提：π是无理数；结论：无限不循环小数是无理数【考点】F5：演绎推理的意义．【分析】根据三段论推理的标准形式，逐一分析四个答案中的推导过程，可得出结论．【解答】解：对于A，小前提与大前提间逻辑错误，不符合演绎推理三段论形式；对于B，符合演绎推理三段论形式且推理正确；对于C，大小前提颠倒，不符合演绎推理三段论形式；对于D，大小前提及结论颠倒，不符合演绎推理三段论形式；故选：B4．有5盆互不相同的玫瑰花，其中黄玫瑰2盆、白玫瑰2盆、红玫瑰1盆，现把它们摆放成一排，要求2盆白玫瑰不能相邻，则这5盆玫瑰花的不同摆放种数是（）A．120 B．72 C．12 D．36【考点】D3：计数原理的应用．【分析】先把除了2盆白玫瑰花以外的三盆花任意排，再从那三盆花形成的4个空中选出2个空插入这2盆白玫瑰，再根据分步计数原理求得结果．【解答】解：先把2盆白玫瑰挑出来，把剩下的三盆花任意排，方法有=6种，再从那三盆花形成的4个空中选出2个空插入这2盆白玫瑰，方法有=12种，再根据分步计数原理求得满足条件的不同摆放种数是6×12=72种，故选B．5．曲线f（x）=在点（1，f（1））处的切线的倾斜角为（）A．B．C． D．【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程；I2：直线的倾斜角．【分析】求出函数的导数，利用导数的几何意义求切线的斜率，进而利用斜率和倾斜角之间的关系求切线的倾斜角．【解答】解：因为f（x）=，所以，所以函数在点（1，f（1））处的切线斜率k=f'（1）=﹣1，由k=tanα=﹣1，解得，即切线的倾斜角为．故选D．6．函数f（x）在其定义域内可导，其图象如图所示，则导函数y=f′（x）的图象可能为（）A．B．C． D．【考点】3O：函数的图象．【分析】根据函数的单调性确定f'（x）的符号即可．【解答】解：由函数f（x）的图象可知，函数在自变量逐渐增大的过程中，函数先递增，然后递减，再递增，当x＞0时，函数单调递增，所以导数f'（x）的符号是正，负，正，正．对应的图象为C．故选C．7．已知点集，则由U中的任意三点可组成（）个不同的三角形．A．7 B．8 C．9 D．10【考点】D3：计数原理的应用．【分析】先求出点集U，在任选三点，当取（﹣1，1），（0，0），（1，1）时，三点在同一条直线上，不能构成三角形，故要排除，问题得以解决．【解答】解：点集，得到{（﹣1，﹣1），（0，0），（1，1），（2，8），（3，27）}，从中选选3点，有C53=10种，当取（﹣1，1），（0，0），（1，1）时，三点在同一条直线上，不能构成三角形，故要排除，故则由U中的任意三点可组成10﹣1=9个不同的三角形．故选：C．8．已知函数f（x）=x2+cosx，f′（x）是函数f（x）的导函数，则f′（x）的图象大致是（）A．B．C．D．【考点】3O：函数的图象．【分析】由于f（x）=x2+cosx，得f′（x）=x﹣sinx，由奇函数的定义得函数f′（x）为奇函数，其图象关于原点对称，排除BD，取x=代入f′（）=﹣sin=﹣1＜0，排除C，只有A适合．【解答】解：由于f（x）=x2+cosx，∴f′（x）=x﹣sinx，∴f′（﹣x）=﹣f′（x），故f′（x）为奇函数，其图象关于原点对称，排除BD，又当x=时，f′（）=﹣sin=﹣1＜0，排除C，只有A适合，故选：A．9．若（x3+）n展开式中只有第6项系数最大，则展开式的常数项是（）A．210 B．120 C．461 D．416【考点】DB：二项式系数的性质．【分析】（x3+）n展开式中只有第6项系数最大，可得n=10．再利用通项公式即可得出．【解答】解：（x3+）n展开式中只有第6项系数最大，∴n=10．∴的通项公式为：T r+1=（x3）10﹣r=x30﹣5r，令30﹣5r=0，解得r=6．∴展开式的常数项是=210．故选：A．10．从0，1，2，3，4，5这六个数字中任取四个数字，其中奇数偶数至少各一个，组成没有重复数字的四位数的个数为（）A．1296 B．1080 C．360 D．300【考点】D3：计数原理的应用．【分析】①若这个四位数中有一个奇数三个偶数，利用分步计数原理求得满足条件的四位数的个数；②若这个四位数中有二个奇数二个偶数，分当偶数不包含0和当偶数中含0两种情况，分别求得满足条件的四位数的个数，可得此时满足条件的四位数的个数；③若这个四位数中有三个奇数一个偶数，分当偶数不包含0和当偶数中含0两种情况，分别求得满足条件的四位数的个数，可得此时满足条件的四位数的个数．再把以上求得的三个值相加，即得所求．【解答】解：①若这个四位数中有一个奇数三个偶数，则有•=3种；先排0，方法有3种，其余的任意排，有=6种方法，再根据分步计数原理求得这样的四位数的个数为 3×3×6=54个．②若这个四位数中有二个奇数二个偶数，当偶数不包含0时有C22C32A44=72，当偶数中含0时有C21C32C31A33=108，故组成没有重复数字的四位数的个数为72+108=180个．③若这个四位数中有三个奇数一个偶数，当偶数不包含0时有••A44=48，当偶数中含0时有1××A33=18个．故此时组成没有重复数字的四位数的个数为48+18=66个．综上可得，没有重复数字的四位数的个数为 54+180+66=300个，故选D．11．设过曲线f（x）=﹣e x﹣x（e为自然对数的底数）上任意一点处的切线为l1，总存在过曲线g（x）=ax+2cosx上一点处的切线l2，使得l1⊥l2，则实数a的取值范围为（）A．[﹣1，2] B．（﹣1，2）C．[﹣2，1] D．（﹣2，1）【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】求出函数f（x）=﹣e x﹣x的导函数，进一步求得∈（0，1），再求出g（x）的导函数的范围，然后把过曲线f（x）=﹣e x﹣x上任意一点的切线为l1，总存在过曲线g （x）=ax+2cosx上一点处的切线l2，使得l1⊥l2转化为集合间的关系求解．【解答】解：由f（x）=﹣e x﹣x，得f′（x）=﹣e x﹣1，∵e x+1＞1，∴∈（0，1），由g（x）=ax+2cosx，得g′（x）=a﹣2sinx，又﹣2sinx∈[﹣2，2]，∴a﹣2sinx∈[﹣2+a，2+a]，要使过曲线f（x）=﹣e x﹣x上任意一点的切线为l1，总存在过曲线g（x）=ax+2cosx上一点处的切线l2，使得l1⊥l2，则，解得﹣1≤a≤2．即a的取值范围为﹣1≤a≤2．故选：A．12．已知函数：，，设函数F（x）=f（x+3）•g（x﹣5），且函数F（x）的零点均在区间[a，b]（a＜b，a，b∈Z）内，则b﹣a的最小值为（）A．8 B．9 C．10 D．11【考点】52：函数零点的判定定理．【分析】利用导数分别求出函数f（x）、g（x）的零点所在的区间，然后再求F（x）=f（x+3）•g（x﹣4）的零点所在区间，即求f（x+3）的零点和g（x﹣4）的零点所在区间，根据图象平移即可求得结果．【解答】解：∵f（0）=1＞0，f（﹣1）=1﹣1﹣+﹣…+＜0，∴函数f（x）在区间（﹣1，0）内有零点；当x∈（﹣1，0）时，f′（x）=＞0，∴函数f（x）在区间（﹣1，0）上单调递增，故函数f（x）有唯一零点x∈（﹣1，0）；∵g（1）=1﹣1+﹣+…﹣＞0，g（2）=1﹣2+﹣+…+﹣＜0．当x∈（1，2）时，g′（x）=﹣1+x﹣x2+x3﹣…+x2013﹣x2014=＞0，∴函数g（x）在区间（1，2）上单调递增，故函数g（x）有唯一零点x∈（1，2）；∵F（x）=f（x+3）•g（x﹣4），且函数F（x）的零点均在区间[a，b]（a＜b，a，b∈Z）内，∴f（x+3）的零点在（﹣4，﹣3）内，g（x﹣4）的零点在（5，6）内，因此F（x）=f（x+3）•g（x﹣3）的零点均在区间[﹣4，6]内，∴b﹣a的最小值为10．故选：C．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把答案填在答题卡上相应位置.13．若=1+i，i为虚数单位，则z的虚部为﹣1 ．【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】直接由=1+i，得，然后利用复数代数形式的乘除运算化简，则z的虚部可求．【解答】解：由=1+i，得=，则z的虚部为：﹣1．故答案为：﹣1．14．有10个零件，其中6个一等品，4个二等品，若从10个零件中任意取3个，那么至少有1个一等品的不同取法有116 种．【考点】D9：排列、组合及简单计数问题．【分析】考虑其对立事件“3个都是二等品”，用间接法可得结论．【解答】解：考虑其对立事件“3个都是二等品”，用间接法，得至少有1个一等品的不同取法有C103﹣C43=116．故答案为：116．15．曲线y=2x﹣x3在x=﹣1的处的切线方程为x+y+2=0 ．【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】根据导数的几何意义求出函数在x=﹣1处的导数，从而得到切线的斜率，再利用点斜式方程写出切线方程即可．【解答】解：y'=2﹣3x2y'|x=﹣1=﹣1而切点的坐标为（﹣1，﹣1）∴曲线y=2x﹣x3在x=﹣1的处的切线方程为x+y+2=0故答案为：x+y+2=016．函数f（x）=x2﹣2lnx的单调减区间是（0，1）．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】依题意，可求得f′（x）=，由f′（x）＜0即可求得函数f（x）=x2﹣2lnx的单调减区间．【解答】解：∵f（x）=x2﹣2lnx（x＞0），∴f′（x）=2x﹣==，令f′（x）＜0由图得：0＜x＜1．∴函数f（x）=x2﹣2lnx的单调减区间是（0，1）．故答案为（0，1）．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．已知函数f（x）=ax3+cx+d（a≠0）是R上的奇函数，当x=1时f（x）取得极值﹣2．求f（x）的单调区间和极大值．【考点】6D：利用导数研究函数的极值．【分析】由条件f（1）=2，f′（1）=0求得a、b，再利用导数求出单调区间，从而求解．【解答】解．由奇函数定义，有f（﹣x）=﹣f（x），x∈R．即﹣ax3﹣cx+d=﹣ax3﹣cx﹣d，∴d=0因此，f（x）=ax3+cx，f′（x）=3ax2+c由条件f（1）=2为f（x）的极值，必有f′（1）=0故，解得 a=1，c=﹣3因此f（x）=x3﹣3x，f′（x）=3x2﹣3=3（x﹣1）（x+1）当x∈（﹣∞，﹣1）时，f′（x）＞0，故f（x）在单调区间（﹣∞，﹣1）上是增函数．当x∈（﹣1，1）时，f′（x）＜0，故f（x）在单调区间（﹣1，1）上是减函数．当x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0，故f（x）在单调区间∈（1，+∞）上是增函数．所以，f（x）的极大值为f（﹣1）=2．18．已知（+）n展开式中的所有二项式系数和为512，（1）求展开式中的常数项；（2）求展开式中所有项的系数之和．【考点】DB：二项式系数的性质．【分析】（1）根据题意，令x=1求出n的值，再利用通项公式求出展开式的常数项；（2）令x=1，即可求出展开式中所有项的系数和．【解答】解：（1）对（+）n，所有二项式系数和为2n=512，解得n=9；设T r+1为常数项，则：T r+1=C9r••=C9r2r，由﹣r=0，得r=3，∴常数项为：C93•23=672；（2）令x=1，得（1+2）9=39．19．福建师大附中高二年级将于4月中旬进行年级辩论赛，每个班将派出6名同学分别担任一辩、二辩、三辩、四辩、五辩和六辩．现某班已有3名男生和3名女生组成了辩论队，按下列要求，能分别安排出多少种不同的辩论顺序？（要求：先列式，再计算，最后用数字作答）（1）三名男生和三名女生各自排在一起；（2）男生甲不担任第一辩，女生乙不担任第六辩；（3）男生甲必须排在第一辩或第六辩，3位女生中有且只有两位排在一起．【考点】D8：排列、组合的实际应用．【分析】（1）根据题意，分3步分析：①、用捆绑法将3名男生看成一个元素，并考虑其3人之间的顺序，②、同样方法分析将3名女生的情况数目，③、将男生、女生两个元素全排列，由分步计数原理计算可得答案；（2）根据题意，分2种情况讨论：①、男生甲担任第六辩，剩余的5人进行全排列，分别担任一辩、二辩、三辩、四辩、五辩，由排列数公式计算即可，②、男生甲不担任第六辩，分别分析男生甲、女生乙、其他4人的情况数目，进而由乘法原理可得此时的情况数目；最后由分类计数原理计算可得答案．（3）根据题意，分2步进行分析：①、男生甲必须排在第一辩或第六辩，则甲有2种情况，②、用间接法分析“3位女生中有且只有两位排在一起”的情况数目，由分步计数原理计算可得答案．【解答】解：（1）根据题意，分3步分析：①、将3名男生看成一个元素，考虑其顺序有A33=6种情况，②、将3名女生看成一个元素，考虑其顺序有A33=6种情况，③、将男生、女生两个元素全排列，有A22=2种情况，则三名男生和三名女生各自排在一起的排法有6×6×2=72种；（2）根据题意，分2种情况讨论：①、男生甲担任第六辩，剩余的5人进行全排列，分别担任一辩、二辩、三辩、四辩、五辩，有A55=120种情况，②、男生甲不担任第六辩，则甲有4个位置可选，女生乙不担任第六辩，有4个位置可选，剩余的4人进行全排列，担任其他位置，有A44=24种情况，则男生甲不担任第六辩的情况有4×4×24=384种；故男生甲不担任第一辩，女生乙不担任第六辩的顺序有120+384=504种；（3）根据题意，分2步进行分析：①、男生甲必须排在第一辩或第六辩，则甲有2种情况，②、剩下的5人进行全排列，分别担任一辩、二辩、三辩、四辩、五辩，有A55=120种情况，其中3名女生相邻，则有A33•A33=36种情况，3名女生都不相邻，则有A33•A22=12种情况，则3位女生中有且只有两位排在一起的情况有120﹣36﹣12=72种；故男生甲必须排在第一辩或第六辩，3位女生中有且只有两位排在一起有2×72=144种不同的顺序．20．设函数f（x）=x3﹣x2+bx+c（a＞0），曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y=1（1）求b，c的值；（2）若函数f（x）有且只有两个不同的零点，求实数a的值．【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程；6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）先求f（x）的导数f'（x），再求f（0），由题意知f（0）=1，f'（0）=0，从而求出b，c的值；（2）求导数，利用f（a）=0，即可求出实数a的值．【解答】解：（1）因为函数f（x）=x3﹣x2+bx+c，所以导数f'（x）=x2﹣ax+b，又因为曲线y=f（x）在点P（0，f（0））处的切线方程为y=1，所以f（0）=1，f'（0）=0，即b=0，c=1．（2）由（1），得f'（x）=x2﹣ax=x（x﹣a）（a＞0）由f'（x）=0得x=0或x=a，∵函数f（x）有且只有两个不同的零点，所以f（0）=0或f（a）=0，∵f（0）=1，∴f（a）=a3﹣+1=0，∴a=．21．在数列{a n}中，a1=6，且a n﹣a n﹣1=+n+1（n∈N*，n≥2），（1）求a2，a3，a4的值；（2）猜测数列{a n}的通项公式，并用数学归纳法证明．【考点】RG：数学归纳法；8H：数列递推式．【分析】（1）分别取n=2，3，4即可得出；（2）由（1）猜想a n=（n+1）（n+2），再利用数学归纳法证明即可．【解答】解：（1）n=2时，a2﹣a1=+2+1，∴a2=12．同理可得a3=20，a4=30．（2）猜测a n=（n+1）（n+2）．下用数学归纳法证明：①当n=1，2，3，4时，显然成立；②假设当n=k（k≥4，k∈N*）时成立，即有a k=（k+1）（k+2），则当n=k+1时，由且a n﹣a n﹣1=+n+1，得+n+1，故==（k+2）（k+3），故n=k+1时等式成立；由①②可知：a n=（n+1）（n+2）对一切n∈N*均成立．22．已知f（x）=ax﹣lnx，x∈（0，e]，g（x）=，其中e是自然常数，a∈R．（Ⅰ）当a=1时，研究f（x）的单调性与极值；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求证：f（x）＞g（x）+；（Ⅲ）是否存在实数a，使f（x）的最小值是3？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．【考点】6E：利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（Ⅰ）求导函数，确定函数的单调性，从而可得函数f（x）的极小值；（Ⅱ）f（x）在（0，e]上的最小值为1，令h（x）=g（x））+，求导函数，确定函数的单调性与最大值，即可证得结论；（Ⅲ）假设存在实数a，使f（x）的最小值是3，求导函数，分类讨论，确定函数的单调性，利用f（x）的最小值是3，即可求解．【解答】（Ⅰ）解：f（x）=x﹣lnx，f′（x）=…∴当0＜x＜1时，f′（x）＜0，此时f（x）单调递减当1＜x＜e时，f′（x）＞0，此时f（x）单调递增…∴f（x）的极小值为f（1）=1 …（Ⅱ）证明：∵f（x）的极小值为1，即f（x）在（0，e]上的最小值为1，∴f（x）＞0，f（x）min=1…令h（x）=g（x））+=+，，…当0＜x＜e时，h′（x）＞0，h（x）在（0，e]上单调递增…∴h（x）max=h（e）=＜=1=|f（x）|min…∴在（1）的条件下，f（x）＞g（x）+；…（Ⅲ）解：假设存在实数a，使f（x）的最小值是3，f′（x）=①当a≤0时，x∈（0，e]，所以f′（x）＜0，所以f（x）在（0，e]上单调递减，f（x）=f（e）=ae﹣1=3，∴a=（舍去），所以，此时f（x）无最小值．…min②当0＜＜e时，f（x）在（0，）上单调递减，在（，e]上单调递增，f（x）min=f（）=1+lna=3，∴a=e2，满足条件．…③当时，x∈（0，e]，所以f′（x）＜0，所以f（x）在（0，e]上单调递减，f（x）min=f（e）=ae﹣1=3，∴a=（舍去），所以，此时f（x）无最小值．…综上，存在实数a=e2，使f（x）的最小值是3．…。

高二数学下学期期中试题理(10)word版本

重庆市沙坪坝区虎溪镇2016-2017学年高二数学下学期期中试题理时间：120分钟一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.复数()=-i i 2（）i 21+i 21-i 21+-i 21--2.将5封信投入3个邮筒，不同的投法共有（）种种种种 3.下面四个推导过程符合演绎推理三段论形式且推理正确的是（）大前提:无限不循环小数是无理数；小前提：是无理数；结论：是无限不循环小数大前提:无限不循环小数是无理数；小前提：是无限不循环小数；结论：是无理数大前提:是无限不循环小数；小前提：无限不循环小数是无理数；结论：是无理数大前提:是无限不循环小数；小前提：是无理数；结论：无限不循环小数是无理数 4.有5盆互不相同的玫瑰花，其中黄玫瑰2盆、白玫瑰2盆、红玫瑰1盆，现把它们摆放成一排，要求2盆白玫瑰不能相邻，则这5盆玫瑰花的不同摆放种数是（） A ．120 B ． 72 C ．12 D ．36 5．曲线1()f x x=在点(1,(1))f 处的切线的倾斜角为（） A.4π B. 3π C. 32π D.43π 6.函数)(x f 在其定义域内可导，其图象如右图所示，则导函数)('x f y =的图象可能为（）(）个不同的三角形。

A ．7B ．8 C. 9 D.10 8.已知函数()x x x f cos 412+=，()x f '为()x f 的导函数，()x f '的图象是（）D. 9.若321()nx x+展开式中只有第6项系数最大，则展开式的常数项是（） A ．210 B ．120 C. 461 D.41610.从0,1,2,3,4,5这六个数字中任取四个数字，其中奇数偶数至少各一个，组成没有重复数字的四位数的个数为（）A ．1296B ．1080C ．360D ．30011.设过曲线()xf x e x =--（为自然对数的底数）上任意一点处的切线为，总存在过曲线()2cos g x ax x =+上一点处的切线，使得21l l ⊥，则实数的取值范围为（） A ．[]1,2-B ．()1,2-C ．[]2,1-D ．()2,1-12.已知函数()232014201512320142015x x x x f x x =+-+--+， ()232014201512320142015x x x x g x x =-+-++-，设函数()(3)(4)F x f x g x =+⋅-，且函数()F x 的零点均在区间),,](,[Z ∈<b a b a b a 内，则-b a 的最小值为( )A ．8B ．9 C. 10 D.11二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把答案填在答题卡上相应位置.13.若()i zi +=-112，为虚数单位，则的虚部为.14. 有10个零件，其中6个一等品，4个二等品，若从10个零件中任意取3个，那么至少有1个一等品的不同取法有种.15.曲线32y x x =-在1x =-处的切线方程为。