高一数学三角函数三角恒等变换解三角形试题答案及解析

高一数学三角函数三角恒等变换解三角形试题答案及解析
1.下列说法正确的是（）
A．小于的角是锐角
B．在中，若，那么
C．第二象限的角大于第一象限的角
D．若角与角的终边相同，那么
【答案】B
【解析】因为余弦函数在上单调递减，故有，则，根据终边相同的角、象
限角的概念可知A、B、C选项不对。

【考点】终边相同的角、象限角的概念。

2.已知中，分别为的对边，，则为（）
A．等腰三角形B．直角三角形
C．等腰直角三角形D．等腰或直角三角形
【答案】D
【解析】根据正弦定理，原式化为：，所以，或是，即，或是，所以是等腰三角形，或是直角三角形．
【考点】1．正弦定理；2．判定三角形的形状．
3.（）
A．0B．－C．1D．
【答案】D
【解析】
【考点】二倍角公式
4.函数的一个单调增区间是（）．
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由诱导公式原三角函数可化为，原函数的单调递增区间即
为函数的单调递减区间，由，可得所求函数的单调递增区
间为，故原函数的一个单调增区间为．
【考点】正弦函数的单调性
5.在中的内角所对的边分别为，若,则的形状为
A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．不确定
【答案】A
【解析】由正弦定理得,故选A．【考点】正弦定理，两角和的正弦公式．
6.若，且是锐角三角形，则周长的取值范围__________．
【答案】
【解析】根据正弦定理，,那么,,所以三角形的周长是,整理得到：,根据三角形是锐角三角形，所以,所以周长的取值范围是．
【考点】1．正弦定理；2．三角函数的取值范围．
7.若且是，则是（）
A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角
【答案】C
【解析】由于，故可能是第三或者第四象限角；由于，故可能是第一或者第三象限角．由于且，故是第三象限角，故选C．
【考点】象限角
8.计算下列几个式子，①,②2（sin35°cos25°+sin55°cos65°）, ③
, ④，结果为的是（）
A．①②B．①③C．①②③D．①②③④
【答案】C
【解析】①原式；
②原式；③原式；④原式
【考点】三角函数基本公式
9.给出下列四个命题：
①函数y=sin（cosx）的最小正周期是；
②在△ABC中, 若AB=2,AC=3,∠ABC=,则△ABC必为锐角三角形；
③函数的值域是；
④在同一坐标系中，函数的图象和函数的图象有三个公共点；
其中正确命题的是（把你认为正确的序号都填上）
【答案】②④
【解析】①函数y=sin（cosx）的最小正周期是2；②若AB=2,AC=3,∠ABC=，由余弦定理
可得，由三边长度可知三角形为锐角三角形；③函数
的值域是；④在同一坐标系中，函数的图象和函数的图象
有无数个公共点
【考点】1．三角函数性质；2．解三角形
10.已知，则
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】，故选D．
【考点】同角三角函数关系式，二倍角公式．
11.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a=，c=，C=，则角
B= ．
【答案】或
【解析】根据正弦定理，，所以，那么或，那么
或
【考点】正弦定理
12.在△ABC中，如果，那么等于．
【答案】
【解析】，由正弦定理可知，所以
【考点】正余弦定理解三角形
13.已知，是第一象限角，则的值为（）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】因为,是第一象限角，所以,则,故选C
【考点】同角三角函数的基本关系及诱导公式
14.为了得到函数的图像，只需把函数的图像（）
A．向左平移个单位长度
B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度
D．向右平移个单位长度
【答案】D
【解析】把函数的图象向右平移个单位长度得函数的图
象.故选D.
【考点】三角函数图象变换.
15.若一扇形的面积为80π ，半径为20 ，则该扇形的圆心角为________．
【答案】72°（或）
【解析】由扇形的面积，得，解得，即扇形的圆心角为．
【考点】扇形的面积公式．
【知识点睛】在弧度制下，计算扇形的面积和弧长比在角度制下更方便、简捷，熟悉并牢记下列公式：①；②；③，其中是扇形的半径，是弧长，为圆心角，是扇形面积是解答此类试题的关键．
16.的三个内角所对边长分别为，设向量
, ，若，则角的大小为（）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由，得，由正弦定理，得＝，整理得，所以由余弦定理，得，所以，故选B．
【考点】1、平面向量平行的充要条件；2、正余弦定理．
【题型点睛】平面向量与解三角形的综合，常常是以三角形的边或以角的三角函数为向量的纵、横坐标，同时已知两个或几个向量间的垂直、平行、数量积等关系，求解相应的三角形问题，求解时通常利用向量知识将已知转化为三角函数关系，然后结合正弦定理与余弦定理等知识求解．
17.函数的部分图像如图所示，则的单调递减区间为（）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】由五点作图知，，解得，，所以，令
，解得，故单调减区间为，，故选D．
【考点】三角函数的解析式，三角函数的单调性．
18.函数的最大值为________．
【答案】1
【解析】由题意知：
即，因为，所以的最大值为1．
【考点】两角和与差的三角函数，三角函数的最值．
19.（2015秋•和平区期末）已知扇形的周长为8cm，圆心角为2rad，则该扇形的面积为．考点：扇形面积公式．
【答案】4
【解析】设扇形的半径为r，弧长为l，根据扇形周长和弧长公式列式，解之得r=2，l=4，再由扇形面积公式可得扇形的面积S．
解：设扇形的半径为r，弧长为l，则
解得r=2，l=4
由扇形面积公式可得扇形面积S=lr==4
故答案为：4
20.（2015秋•和平区期末）已知函数f（x）=Asin（3x+φ）（A＞0．x∈（﹣∞，+∞），0＜φ＜π）在x=时取得最大值4．．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）求f（x）的解析式；
（3）若f（α+）=．求tan2α的值．
【答案】（1）；（2）f（x）=4sin（3x+）；（3）±．
【解析】（1）根据题意，求出f（x）的最小正周期T=；
（2）根据f（x）
=f（）求出A与φ的值即可；
max
（3）根据f（α+）的值求出cos2α与sin2α的值，再求出tan2α的值．
解：（1）∵函数f（x）=Asin（3x+φ），
∴f（x）的最小正周期为T==；
=f（）=Asin（3×+φ）=4，
（2）∵f（x）
max
∴A=4，且sin（+φ）=1，
又∵0＜φ＜π，
∴＜+φ＜，
∴+φ=，解得φ=，
∴f（x）=4sin（3x+）；
（3）∵f（α+）=，
∴4sin[3（α+）+]=，
化简得sin（2α+）=，
即cos2α=，
∴sin2α=±=±，
∴tan2α==±．
【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；正弦函数的图象．
21.在中，，，为三个内角为相应的三条边，若，且
（1）求证：；
（2）若，试将表示成的函数，并求值域．
【答案】（1）证明见解析；（2）＝，值域是．
【解析】（1）给出了的边角关系式，用正弦定理化成关于三角形内角三角函数的关系，通过三角恒等变换和三角形内角的性质得证；（2）由（1）可得，把平方，整理可得关于三角形边和角的关系，消去角，即得的函数关系式，结合角的范围可求得其值域．
试题解析：（1）由，及正弦定理有，
∴或．
若，且，
∴，；
∴，所以，
（2）∵，∴。

∵，∴，
∴，
从而＝＝
∵，∴，∴，
∴，所以值域是
【考点】正、余弦定理解三角形，向量模的应用及三角函数的值域问题．
【方法点晴】三角形边、角混合式是常见的条件，对这类条件的处理通常有两种思路：一是结合边的次数选择合适的定理消去边，通过三角恒等变换得到角的关系，二是消去角的三角函数，转化为三边间的关系，通过因式分解得解；对于三角形中向量模的处理方法，通常是平方，转化为三角形边角之间的关系，结合已知条件来作答，要注意向量的方向，准确判断向量夹角是三角形的内角还是其补角．
22.已知扇形的半径是2，面积为8，则此扇形的圆心角的弧度数是（）
A．4B．2C．8D．1
【答案】A
【解析】记扇形的圆心角为，故选A．
【考点】1、扇形面积公式．
23.已知，且为第四象限角，则的值为（）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】因为，且为第四象限角，则，所以，故选B．
【考点】1、三角函数的定义和符号；2、同角三角函数关系式．
24.（2010秋•潍坊期末）已知△ABC的三个顶点分别为A（2，3），B（﹣1，﹣2），C（﹣3，4），求
（Ⅰ）BC边上的中线AD所在的直线方程；
（Ⅱ）△ABC的面积．
【答案】（Ⅰ）x﹣2y+4=0；（Ⅱ）14
【解析】（Ⅰ）求出中点D的坐标，用两点式求出中线AD所在直线的方程，并化为一般式．（Ⅱ）求出线段BC的长度，求出直线BC的方程和点A到直线BC的距离，即可求得，
∴△ABC的面积．
解：（Ⅰ）由已知得BC中点D的坐标为D（﹣2，1），∴中线AD所在直线的方程是
，
即 x﹣2y+4=0．
（Ⅱ）∵，直线BC的方程是，即
3x+y+5=0，
点A到直线BC的距离是，∴△ABC的面积是．
【考点】直线的一般式方程；点到直线的距离公式．
25.角所在象限是（）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】A
【解析】，角1120°与角40°的终边相同，而40°角是第一象限角，故1120是
第一象限角．故选A．
【考点】任意角和弧度制．
26.在函数①y=cos|2x|，②y=|cosx|，③，④中，最小正周期为π
的所有函数为．（请填序号）
【答案】①②③
【解析】由条件利用三角函数的周期性，得出结论．
解：函数①y=cos|2x|=cos2x的最小正周期为=π，
②y=|cosx|的最小正周期为•2π=π，
③的最小正周期为=π，
④的最小正周期为，
故答案为：①②③．
【考点】三角函数的周期性及其求法．
27.α是第四象限角，，则sinα=（）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】根据同角的三角函数之间的关系sin2+cos2α=1，得到余弦的值，又由角在第四象限，确定符号．
解：∵α是第四象限角，
∴sinα=，
故选B．
【考点】同角三角函数基本关系的运用．
28.已知，且．
（1）求sinα+cosα的值；
（2）若，且5sin（2α+β）=sinβ，求角β的大小．
【答案】（1）．（2）．
【解析】（1）利用二倍角的余弦公式，直接求出sinα，cosα，即可求得sinα+cosα的值．（2）根据，求出sin2α，利用两角和的正弦函数展开5sin（2α+β）=sinβ，化简可得tanβ=﹣1，即可求出角β的大小．
解：（1）由，得，
所以，又，
所以．
因为cos2α=1﹣sin2α，
所以，
又，
所以，
所以．
（2）因为，
所以2α∈（0，π），
由已知，
所以，
由5sin（2α+β）=sinβ，得5（sin2αcosβ+cos2αsinβ）=s inβ，
所以，即3cosβ=﹣3sinβ，
所以tanβ=﹣1，
因为，
所以．
【考点】三角函数中的恒等变换应用．
29.设函数，若，且，则（）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】因为，所以函数是偶函数，且在时，，都是单调递增函数且大于0，所以函数在区间是单调递增函数，那么根据以上性质，
当满足时，，即，故选D.
【考点】函数性质的应用
30.设a∈R，f（x）=cosx（asinx﹣cosx）+cos2满足f =f（0），
（1）求函数f（x）的解析式；（写成形如y=Asin（wx+φ）+B的形式，w＞0）
（2）画出函数在[0，π]的图象；
（3）求函数在[，]上的最大值和最小值．
【答案】（1）f（x）=2sin（2x﹣），（2）图见解析（3）
【解析】（1）利用对函数解析式化简整理，进而根据三角函数的性质求得函数的解析式．
（2）直接作图即可，
（2）根据x的范围，最后根据三角函数图象和性质求得函数的最大和最小值
解：（1）f（x）=cosx（asinx﹣cosx）+cos2=acosxsinx﹣cos2x+sin2x=sin2x﹣cos2x，由f =f（0）得﹣×+=﹣1，解得a=2，
因此f（x）=sin2x﹣cos2x=2sin（2x﹣），
（2）图象如图所示：
（3）当x∈[，]时，f（x）为增函数，当x∈[，]时，f（x）为减函数，
所以函数f（x）在[，]上的最大值为f（）=2，
又因为f（）=，f（）=，
故f（x）的最小值为．
【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．
31.已知且cosα＜0，tanα＜0，则sinα等于（）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由条件利用同角三角函数的基本关系，二倍角的余弦公式，求得sinα的值．
解：∵已知且cosα＜0，tanα＜0，∴α为第二象限角，则sinα＞0．
∵cos2α=1﹣2sin2α=，∴sinα=，
故选：B．
【考点】同角三角函数基本关系的运用．
32.已知角θ的终边经过点M（﹣2，3），则sinθ=．
【答案】
【解析】由条件利用任意角的三角函数的定义，求得sinθ的值．
解：∵角θ的终边经过点M（﹣2，3），∴x=﹣2，y=3，r==，
则sinθ===，
故答案为：．
【考点】任意角的三角函数的定义．
33.若，则的大小关系（）.
A．是sinθ＜cosθ＜tanθB．是sinθ＜tanθ＜cosθ
C．是tanθ＜sinθ＜cosθD．以上都不是
【答案】C
【解析】时
【考点】三角函数性质
34.若一个圆锥的侧面积是底面积的2倍，则圆锥铡面展开图的扇形的圆心角为（）A．B．C．D．
【答案】C
【解析】假设圆锥的母线长为，侧面展开圆心角为，则侧面积应该为，而底面圆的周长为，可求得底面面积为，由题意可知，可求得，故本题正确选项为C.
【考点】圆锥的侧面积与底面积.
【思路点睛】本题主要考查圆锥体的侧面积与底面积，因为圆锥的侧面由母线旋转形成的，所以其展开图为扇形，且该扇形的弧长等于底面圆的周长，所以可假设母线长为，这样就可用母线来求得弧长也即底面圆的周长，从而求得底面的半径，再结合已知条件侧面积与底面面积的关系即可求得圆心角．
35.已知,，那么= .
【答案】.
【解析】
【考点】两角差的正切公式.
36.的值是（）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】本题主要利用任意角的三角函数的诱导公式并结合特殊角的三角函数进行求解值.因为
，故选A.
【考点】1、任意角的三角函数；2、诱导公式.
37.在中，角的对边分别为，若，则角的值为（）A．B．或C．D．或
【答案】B
【解析】因为，所以，即，所以或，故选B.
【考点】1.余弦定理；2.同角三角函数关系.
38.如图，一个半圆和长方形组成的铁皮，长方形的边AD为半圆的直径，O为半圆的圆心，
AB=2，BC=4，现要将此铁皮剪出一个，其中边MN⊥BC，点在曲线上运动.
（1）设∠MOD=30°，若，求的面积；
（2）求剪下的铁皮面积的最大值.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）要求三角形的面积，首先研究条件，由于MN⊥BC，因此点在线段上，从而，为此只要设MN交AD交于Q点，求出MN和AQ的长即可得面积；（2）铁
皮在变化，但由于始终有MN⊥BC，因此P到MN的距离的最大值是P在线段AB上，就
选为A点，同（1）即高的最大值为AQ，这样就只有MN在变化，为确定位置，设∠MOD=θ
=MN ，则MQ=2sinθ，OQ=2cosθ，，实质上我们得出了S
△PMN
(2+2sinθ)(2+2cosθ) ="2" (1+sinθcosθ+sinθ+cosθ)，（其中是P到MN的距离），利用换元法
可求得此式的最大值．
试题解析：（1）设MN交AD交于Q点，，点在线段上，
∵∠MQD=30°，∴MQ=，OQ=
=MN AQ=××（2+）=
S
△PMN
（2）设∠MOD=θ，则MQ=2sinθ，OQ=2cosθ.
设到的距离为，则，
∴S
=MN(2+2sinθ)(2+2cosθ) ="2" (1+sinθcosθ+sinθ+cosθ)
△PMN
令sinθ+cosθ=t∈，则S
="2" (1++)
△PMN
当t=即θ=，且在线段上时，S
取得
△PMN
最大值，最大值为.
【考点】三角形的面积，三角函数的应用．
39.已知船A在灯塔C北偏东且到C的距离为，船B在灯塔C西偏北且到C的距离为，则A，B两船的距离为.
【答案】
【解析】由题意得，又，由余弦定理得
.所以答案应填：
．
【考点】余弦定理．
40.如图，角为钝角，且，点、分别是在角的两边上不同于点的动点.
（1）若=5， =，求的长；
（2）设，且，求和的值.
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）先求，再利用余弦定理求出；（2）先求出的值，进而求出，，再利用，即可求得结论．
试题解析：（1）是钝角，，
在中，由余弦定理得：
所以，
解得或（舍去负值），所以
（2）由. 在三角形APQ中，.
∵,
【考点】1、和差角公式；2、余弦定理．
41.在中,内角对应的边长分别为,已知, ,
（1）求角；
（2）若,求的取值范围．
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）由向量平行，可得，这个式子结合余弦定理可得，即得；（2）首先，其次可以把用角（或）表示，则可借助正弦定理得
，从而，变形转化后由可得其
范围．
试题解析：（1）∵,由余弦定理
得,
∵,∴
∵,∴
（2）由正弦定理得,∴,
∴
；
∵,∴,
．
所以
【考点】向量平行的坐标表示，余弦定理，正弦定理，两角和与差的正弦公式，正弦函数的性质．【名师】本题考查正弦定理、余弦定理，正弦函数的性质，解题时主要是应用正（余）弦定理建
立边角间的关系或转化边角关系．在求的范围时，最简单的方法是应用余弦定理结合基本不
等式得出结论，由得，即，解得，又由得．
42.已知向量，，函数．
（1）求函数的解析式与对称轴方程；
（2）在中，分别是角的对边，且，，，且，求
的值．
【答案】（1）；（2），.
【解析】（1）由题根据半角公式化简可得，然后利用三角函数性质求得对
称轴；（2）根据所给条件结合三角形性质及余弦定理计算即可得到，然后求得对应的a,b.
试题解析：（1）由题，
对称轴方程为；
（2），
∴，
即：，
将代入k式可得：,
解之得：
∴，
，∴，.
【考点】平面向量的坐标运算；余弦定理
43.若的内角满足，则（）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由，得，即，又
，又，所以，所以.
【考点】三角函数的化简求值.
44.当时，函数的最小值为（）
A．2B．C．4D．
【答案】C
【解析】，因为，所以，所以，当且仅当时，等号成立，所以此时函数的
最小值为，故选C.
【考点】三角函数的基本关系式及基本不等式求最值.
【方法点晴】本题主要考查了利用三角恒等变换的公式化简求值和三角函数的最值、基本不等式的应用，其中正确利用三角恒等变换的二倍角公式和三角函数的基本关系式，分子、分母同除以，转化为关于的函数解析式，进而利用的范围得到，最后利用基本不等式求解函数的最小值是解答本题的关键，着重考查了知识的迁移能力和转化与化归思想的应用，属于中档试题.
45.已知函数.
（1）写出函数的单调递减区间；
（2）设，的最小值是，最大值是，求实数的值.
【答案】（1）；（2） .
【解析】（1）利用三角函数的恒等变换，由，即可运算函数的单调递减区间；（2）根据，可得的范围，进而得的范围，根据的最小值为，最大值为，即可求解实数的值.
试题解析：
（1），
∴为所求的单调递减区间；
（2），
，
【考点】三角恒等变换的应用；三角函数的图象与性质.
46.计算
（1）已知，求的值；
（2）求的值.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）由已知可得，把给出的式子分子、分母同除以变成关于的代数
式，即可求得其值；（2）把分子中的化成弦并通分，把化成，根据
二倍角公式和和角公式可得到原式等于，约分解得其值.
试题解析：（1），即，
原式；
（2）原式.
【考点】三角函数的化简、求值.
47.将函数的图象向左平移个单位长度，若所得图象与原图象重合，则的值
不可能为（）
A．4B．6C．8D．12
【答案】B
【解析】因为将函数的图象向左平移个单位长度，若所得图象与原图象重合，所以是已知函数的周期的整数倍，即，解得，所以的值不可能
为，故选B.
【考点】三角函数的图像与性质及图象的变换.
【方法点晴】本题主要考查了三角函数的图象与性质、三角函数的周期、三角函数的图象变换等
基础知识的综合应用，其中根据图象向左平移个单位长度后，图象重合，得出是已知函数的
周期的整数倍是解得本题的关键，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力和转化与化归思想
的应用，属于中档试题.
48.在△ABC中，已知b2＝ac且c＝2a，则cos B等于（）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由b2＝ac且c＝2a得
【考点】余弦定理
49.将－300o化为弧度为（）
A．－B．－C．－D．－
【答案】B
【解析】由题为角度化弧度，需依据基本条件：来进行互化。

即：
【考点】角度制与弧度制的互化.
50.已知tan（π﹣α）=﹣2，则=（）
A．﹣3B．﹣C．D．3
【答案】D
【解析】利用诱导公式及已知可得tanα=2，利用同角三角函数基本关系式化简所求后即可计算得解．
解：∵tan（π﹣α）=﹣tanα=﹣2，可得：tanα=2，
∴===3．
故选：D．
51.计算tan10°tan20°+（tan10°+tan20°）= ．
【答案】1
【解析】由10°+20°=30°，利用两角和的正切函数公式及特殊角的三角函数值化简后，即可得到所求式子的值．
解：因为tan30°=tan（10°+20°）==，
则（tan10°+tan20°）=1﹣tan10°tan20°
即tan10°tan20°+（tan10°+tan20°）=1．
故答案为：1
52.下列说法正确的是（）
A．在内sin x>cos x
B．函数y＝2sin的图象的一条对称轴是x＝π
C．函数y＝的最大值为π
D．函数y＝sin 2x的图象可以由函数y＝sin的图象向右平移个单位得到
【答案】C
【解析】A错；B错；
C正确；正确答案是左移D错，故选B.
【考点】三角函数的图象与性质.
【易错点晴】本题主要考查三角函数的图象与性质，属于中等难题.本题虽然难度不大，但是考查的知识点较多，不细心容易犯错.选项A要结合函数图象求解正确率会较高；选项B可以用代入
检验法避免繁杂的计算；选项C通过构造法逐步限制范围，速度较快；选项D要分清平移的先后顺序，才不会犯错.
53.函数的定义域为_____________________．
【答案】
【解析】由题意得，即,解得．
【考点】函数的定义域及其求法 .
54.设函数若函数的图象与轴相邻两个交点间的距离为，且图像的一条对称轴是直线。

（1）求的值；
（2）求函数的单调增区间；
（3）画出函数在区间上的图像。

【答案】（1）（2）（3）见解析
【解析】（1）由图象与x轴的任意两个相邻交点间的距离为，可得出函数的周期，再由对称轴是直线可求出值；
（2）由（1）的出的函数解析式，可运用正弦函数的单调性，解不等式可求函数的单调增区间；
（3）由函数解析式，可运用“五点”作图法，注意所要求的区间，
可通过列表（关键点），描点，连线得出函数图像。

试题解析：（1）函数的图象与轴的两个相邻交点间的距离为，
，又函数图像的一条对称轴是直线
（2）由（1）可知
得：
所以函数的单调增区间是；
（3）
、
所以函数在区间上的图像为：
【考点】1.运用三角函数的性质求函数解析式；2.三角函数性质的应用。

3.五点作图法。

55.角是第二象限角，是其终边上一点，且，则的值为（）A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由题意得，因为，所以，因为角是第二象限角，所以
，故选C.
【考点】三角函数的定义.
56.已知锐角三角形的边长分别为1、3、，则的取值范围是（）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】三边长分别为1,3，a，且为锐角三角形
当3为最大边时，设3所对的角为，
则根据余弦定理得：，
，解得；
当a为最大边时，设a所对的角为，
则根据余弦定理得：，
，解得，
综上，实数a的取值范围为，
故选B．
【考点】余弦定理的应用．
57.如图，游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径．一种是从A沿直线步行到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C．现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50 m/min．在甲出发2 min 后，乙从A乘缆车到B，在B处停留1 min后，再从B匀速步行到C．假设缆车匀速直线运行的速度为130 m/min，山路AC长为
1 260 m，经测量，cos A＝，cos C＝．
（Ⅰ）求索道AB的长；
（Ⅱ）问：乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？
（Ⅲ）为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？【答案】（Ⅰ）；
（Ⅱ）当t＝min时，甲、乙两游客距离最短；（Ⅲ）．
【解析】（Ⅰ）首先求,再根据求得,最后根据正弦定理求索道AB长；（Ⅱ）假设乙出发t min后，分别得到甲和乙距离点A的距离，再根据余弦定理表示甲和乙的距离，求函数的最值同时得到出发的时间；（Ⅲ）首先计算甲和乙同时步行时到达终点C的距离，
然后分别计算所需时间，两人的时间差在范围．从而得到乙的步行速度的范围．
试题解析：（1）在△ABC中，因为cos A＝，cos C＝，
所以sin A＝，sin C＝．
从而sin B＝sin[π－（A＋C）]＝sin（A＋C）＝sin Acos C＋cos Asin C＝．
由正弦定理，得AB＝·sin C＝．
所以索道AB的长为1 040 m．
（2）假设乙出发t min后，甲、乙两游客距离为d，此时，甲行走了（100＋50t）m，乙距离A
处130t m，所以由余弦定理得d2＝（100＋50t）2＋（130t）2－2×130t×（100＋50t）×＝200
（37t2－70t＋50）．
因为0≤t≤，即0≤t≤8，
故当t＝min时，甲、乙两游客距离最短．
（3）由正弦定理，得·sin A＝．
乙从B出发时，甲已走了50×（2＋8＋1）＝550 m，还需走710 m才能到达C．
设乙步行的速度为v m/min，由题意得－3≤－≤3，解得≤v≤，所以为使两位游客
在C处互相等待的时间不超过3 min，乙步行的速度应控制在（单位：m/min）范围
内．
【考点】1．正弦定理；2．余弦定理；3．解三角形．
58.已知函数f（x）=sin2x+cos2x，若f（x﹣φ）为偶函数，则φ的一个值为（）A．B．C．D．
【答案】C
【解析】为偶函数，
【考点】三角函数奇偶性
59.已知函数的最小正周期是，则正数的值为 .
【答案】
【解析】.
【考点】三角函数的周期性.
60.已知函数，，其部分图象如下图，则函数的解析式为（）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】结合图象可以看出，故，又，则，故选B.
61.在中，，则这个三角形一定是（）
A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰或直角三角形
【答案】A
【解析】由正弦定理可得，即，也即
，所以，即，所以是等腰三角形，应选答案A。

62.⑴已知，若为第二象限角，且，求
的值；
⑵已知，求的值．
【答案】（1）（2）2
【解析】
(1)首先化简的解析式，然后利用同角三角函数基本关系求解函数值即可；
(2)利用和同角三角函数基本关系求解的值即可.
试题解析：
（1）
．
，，
又因为为第二象限角，所以，
．
（2）因为，
所以
．
点睛：熟记同角三角函数关系式及诱导公式，特别是要注意公式中的符号问题；
注意公式的变形应用，如sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α，1＝sin2α＋cos2α及sin α＝tan α·cos α等．这是解题中常用到的变形，也是解决问题时简化解题过程的关键所在．
63.在中，内角、、所对的边分别为，若，则的形状为（）
A．直角三角型B．钝角三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形
【答案】C
【解析】因为在中的内角所对的边分别为，若
,所以，所以，可得，所以三角形是正三角形，故选C.
【方法点睛】本题主要考查利用正弦定理、特殊角的三角函数以及判断三角形形状，属于中档题.判断三角形状的常见方法是：（1）通过正弦定理和余弦定理，化边为角，利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断；(2)利用正弦定理、余弦定理，化角为边，通过代数恒等变换，求出边与边之间的关系进行判断；（3）根据余弦定理确定一个内角为钝角进而知其为钝角三角形.
64.已知角的终边上一点，且.
（I）求的值；
（II）若，求的值.
【答案】（1）（2）0
【解析】（I）根据三角函数的定义可得的值；（II）根据该式的特征分子分母同时除以，分子分母同时除以将式子化简，将，代入即可. 试题解析：（I）由三角函数的定义，得，解得.
（II）
点睛：本题主要考查了三角函数的定义，即已知角终边上除去原点外的任意一点，求三角函数的值，其中，，；以及三角函数式的化简求值，对于
分式中的分子分母均是关于的齐次式时，分子分母同时除以或，将其转化为正切的形式是常用的手段.
65.若函数的函数（部分）如图所示，则和的取值是（）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由图像可知，即，故，将点代入函数解析式可得，即，故，应选答案B。

66.已知，且sinA=，那么sin2A等于（）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】因，所以，应选答案D。

67.若并且（）A．B．C．D．
【答案】C
【解析】∵α、β均为锐角且α＜β，
∴＜α-β＜0，
∵cos（α-β）=，
∴sin（α-β）=
∵cos2α=，α为锐角
∴sin2α=，
∴cos（α+β）=cos[2α-（α-β）]=cos 2αcos（α-β）+sin 2αsin（α-β）
=，
∵α+β∈（0，π），∴α+β= ．
本题选择C选项.
68.已知函数，若不等式在上有解，则实数的最小值
为（）
A．5B．-5C．11D．-11
【答案】A
【解析】由题意可得，由于，所以
，则，故，所以由题意可得
，应选答案A 。

69.定义运算，例如：，则函数的值域为__________．【答案】。