高一年级下期期中考试数学试卷(理科)

高一年级下期期中考试数学试卷（理科）
全卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．共150分，考试时间120分钟。

第Ⅰ卷
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共６０分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)
1． 已知向量a r =(－１ ,２)，且向量,b a ⊥r r 则b r
等于（ ）
A. (２，１)
B. (－１，２)
C. (－２，１)
D.(－２，－２)
2．设ABC ∆的内角Ａ,Ｂ,Ｃ所对的边分别为a, b, c ；且三内角Ａ,Ｂ,Ｃ依次成等差数列， 三边a, b, c 依次成等比数列，则ABC ∆ 的形状为（ ）
A.正三角形
B.直角三角形
C.钝角三角形
D.等腰直角三角形
3． 已知数列{a n }和{n b }均为等差数列，其前n 项和分别为Ｓn 和Ｔn ，并且
3
7n n S n T n
+=
，则
5
5
a b 等于（ ） A. 17
B.
421
C.
835
D. 32
4．设ABC ∆的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ；且a=203
3
,c=102 ,A=45O ．则角Ｂ等于（ ）
A.600
B. 600或1200
C.150
D.150或750
5．设12345,,,,A A A A A 是平面中给定的5个不同的点，则同一平面内使123450MA MA MA MA MA ++++=u u u u r u u u u r u u u u r u u u u r u u u u r r
成立的点M 的个数为（ ）
A.0
B.1
C.5
D.10
6．小王从甲地到乙地往返的时速分别为a 和b （０<a<b ），其全程的平均时速为v ，则（ ）
ab
ab
ab <v<
2
a b
+ D. v=
2
a b
+ 7. 设点Ｏ在ABC ∆的内部，且有230OA OB OC ++=u u r
u u r
u u r r
，则ABC ∆的面积与ABC ∆的面积之比
为（ ）
A.32
B.53
C.2 D ．3
8．已知数列{a n }为等差数列，若13
12
1a a <- 且它的前n 项和n S 有最大值，那么n S 取最小正数时n 的值是（ ）
A.22
B.23
C.24
D.25
9．已知的平面向量r a 和r b ，且≠0r r a ，r a ≠ r b ，1b =r ，r a 和r b －r a 夹角为1３5o
，则a r 的取值范围为( )
A.0,1⎡⎤⎣⎦
B.()1,2
C.(
0,2
D.2,1⎤
⎥⎢⎥⎣⎦
10．已知函数(x)x f e x =+，对于曲线y=f （x ）上横坐标成等差数列的三个点A,B,C ，给出以下判断：
①△ABC 一定是钝角三角形； ②△ABC 可能是直角三角形 ③△ABC 可能是等腰三角形； ④△ABC 不可能是等腰三角形
其中，正确的判断是（ ） A.①④ B.②③ C.①③ D.②④
11．设a + b = 2, b >0，则
1||
2||a a b
+
的最小值为（ ） A.1
2
B.
34
C.1
D.
5
4
12．设r a 是已知的平面向量且≠0r r a ，关于向量r
a 的分解，有如下四个命题：
①给定向量r b ，总存在向量r c ，使=+r r r
a b c ；
②给定向量r b 和r c ，总存在实数λ和μ，使λμ=+r r r
a b c ；
③给定单位向量r b 和正数μ，总存在单位向量r c 和实数λ，使λμ=+r r r
a b c ；
④给定正数λ和μ，总存在单位向量r b 和单位向量r c ，使λμ=+r r r
a b c ；
上述命题中的向量r b ，r c 和r
a 在同一平面内且两两不共线，则真命题的个数是
A.4
B.3 C ．2 D.1
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分．第(13)题～第(21)题为必考题，每个试题考生都必须做答．第(22)题～第(23)题为选考题，考生根据要求做答．
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共２０分，把答案写在题中横线上) 13．如图4，在平行四边形ABCD 中 ，AP ⊥BD ，垂足
为P ，
3=AP ，则
=
14．已知Ｏ为坐标原点，向量(sin ,1)OA θ=u u r
, (cos ,0)OB θ=u u r ，(sin ,2)OC θ=-u u r ,
()02cos sin ,1P αα=--u u r
．若Ｏ,Ｐ,Ｃ三点共线，求得OA OB +u u r u u r 的值为 . 15．已知数列{n b }的通项公式为12,n n b -= 数列{a n }(n N *∈)满足222,,n a n b b b + 成等比数列，
若12340m a a a a a ++++≤L ，则m 的最大值是 ．
16．设ABC ∆的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ；则下列命题正确的序号是 ①若cos ２Ａcos ２Ｂ≤ ，则b a ≤； ②若sinA cosB,=，则＝２π
C ；
③若sin sin ２Ａ２Ｂ=；则ＡＢ= ； ④若2ab c >，则3
C π
< ；
⑤若(3n)+=≤n n n a b c ，则ABC ∆为锐角三角形． 三、解答题(解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17.（本小题满分12分）已知()f x 是定义域为R 的偶函数，()00,f = 当0≤x 时，
2()0＋b =+≤f x x x c 的解集为4,0x ⎡⎤∈-⎣⎦
(Ⅰ)求()f x 的解析式；
(Ⅱ) 求不等式(x 1)5+≤f 的解集． 18．（本小题满分12分）如图，A,B,C,D 都在同一个与水平面垂直的平面内，B ，D 为两岛上的两座灯塔的塔顶。

测量
船于水面A 处测得B 点和D 点的仰角分别为075，030，于水
面C 处测得B 点和D 点的仰角均为060，AC=１００m ．试求
B ，D 之间的距离（计算结果精确到０.０１km ，
2≈1.4146≈2.449）．
19. （本题满分12分）已知数列{a n }中，a 1=5,,a 2=2,
a n =2a n-1+3a n-2, (n ≥ 3)．
(Ⅰ)证明数列{a n －3a n －1}成等比数列，并求数{a n }列的通项公式a n . (Ⅱ)若数列()121
7
n n n n b a a +-=+ ，求数列{ b n }的前n 项和Ｓn .
20.(本小题满12分) 在ABC △中，角Ａ,Ｂ,Ｃ的对边分别为a, b, c,且
(2a c)cos Ｂb cosC -=, b=2.
(Ⅰ)求角Ｂ的大小；
(Ⅱ)求ＡＢ＋ＢＣ的取值范围
21.(本小题满分
12分) 设数列
{}
n a 的前n 项和为n S .已知
11a =,21212
33
n n n s s n n n ++=
+++,*n ∈N . (Ⅰ) 求数列{}n a 的通项公式； (Ⅱ) 证明:对一切正整数n ,有
1
2
3
1
1
1
1
5
3
n
a a a a +
+
++
<
L (III) 设n 为一切正整数,试比较123
1
23
n
n
a a a a +
+
++
L 与３的大小．
请考生从第（22）、（23）两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目。

如果多做，则按所做的第一个题目计分，解答时请写清题号。

22.（本小题满分10分）在四边形ＡＢＣＤ中，Ａ,Ｂ是两个定点，Ｃ,Ｄ是动点，ＡＢ=3 ,ＢＣ=ＣＤ=ＤＡ=１,
与
的面积分别为Ｓ和Ｔ．求Ｓ2 +Ｔ2 的最大值，并求
Ｓ2+Ｔ2取得最大值时，BCD ∠ 的度数． 23. （本小题满分10分）设0,0a b >>，且11
a b a b
+=
+． （ⅰ）证明：2a b +≥；
（ⅱ）22+≤a a ，求2+b b 的取值范围．
数学试题（理科）参考答案与评分标准
一、 选择题：１—１２ ＡＡＢＤ ＢＡＤＢ ＣＡＢＢ
二、 填空题： 13．３ 14．７４
５
15．７ 16． ①④⑤
三、解答题：
17．(Ⅰ)解:当x<０时，f(x)=x(x+4); ……………２分 又Q f(-x)=f(x), x>0, －x<0 ,∴f(x)=f(-x)=－x(－x+4)= x(x －4)． ……４分 于是{
224,x 0,
4,0.
()x x x x x f x -≥+<∴=
……………6分
(Ⅱ)由f(x)=５得x=5,或x=－５，∴由图象知 f(x)<５的解集为)(
5,5x ∈- ，……………９分
∴由－５<x+1<5,得－６<x<4, ∴ f(x+1)<５的解集为)(
6,4x ∈- .……………１２
分
18．解:在△ABC 中，∠DAC=30°, ∠ADC=60°－∠DAC=30°, 所以CD=AC=0.1 又∠BCD=180°－60°－60°=60°，
故CB 是△CAD 底边AD 的中垂线，所以BD=BA ， ……5分 在△ABC 中，
sin sin AB AC
BCA ABC
=
∠∠ 即sin 60326
,sin1520
AC AB +=
=o o ……………９分 因此， 326
0.3320
BD km =
≈。

故B ，D 的距离约为0.33km 。

……………… 12分
19.解：（Ⅰ）Q a n =2a n-1+3a n-2, (n ≥ 3)．∴()11233n n n n a a a a ----=-- ……１分，
又a 1=5,,a 2=2,21313,a a ∴-=- ∴}{
13n n a a -- 是首项为－１３，公比为－１的等比数列． ∴()
()
2
1
13131131n n n n a a ----=-⨯-=⨯-()1123n n n n a a a a ---+=+…①…………３分
同理 ，Q a n =2a n-1+3a n-2, (n ≥ 3)．∴()1123n n n n a a a a ---+=+，217,a a ∴+=
2
173n n n a a --+=⨯……
②， ……………５分 ①＋３②，得()1
1413173n n n a --=⨯-+⨯ ，∴()11137
1344
n n n a --=
⨯-+⨯ ．…………6分
（Ⅱ）由（Ⅰ），得2173n n n a a --+=⨯， ∴21
7
n n b -== ()1213n n --⨯ ，……………７分
()0121133353213n n S n -=⨯+⨯+⨯++-⨯L L ，③
()()01133353233213n n n S n n -=⨯+⨯++-⨯+-⨯L L ．④ ……………８分 ③－④，得
()()121212333213n n n S n --=++++--⨯L L ＝()
()11313213n n n -----⨯
＝()13223n n -+-⨯ ， ……………１１分 ∴()113n n S n x =+- ． ………………12分
20.解：（Ⅰ）()()2cosB b cosC,2sinA sinC cosB sinB cosC a c -=∴-=Q ， 又()2sinA cosB sin sinA,sinA 0,B C =+=>∴1cosB ,B .23
π
∴=∴= …………6分 （Ⅱ）22222,b 2cosb a 45
B a c ac c ac π
=
∴=+-=+-=Q
2242a c ac ac ac ac =+-≥-= ，当且仅当a=c 时取等号． ()2
4316, 4.a c ac a c ∴+=+≤∴+≤ 又a c +> 2,24,a c ∴<+≤
即 ＡＢ+ＢＣ(2,4].∈ ………………12分
21. 【解析】 (Ⅰ) 依题意,1212
2133
S a =---,又111S a ==,所以24a =；
Q 2121233n n n s s n n n ++=
+++ ,()()()11
,3
121n n S S n n n n +∴-=+++ { ()
1n
S n n ∴
+ }是首项为１／２，公差为１／３的等差数列， ……………２分
()1n S n n ∴+＝()1121
1236n n ++-= ，()()1216n n n n S ++=，
()()
()112126
n n n n S n ---=
≥ ，()212n n n a S S n n -=-=≥ ，
当n=1时，11a = 也成立．
2,n .n a n N *=∈ ………４分
(Ⅱ) 当n=1时，结论成立，当2n ≥ 时，22111,422n n n n ⎛⎫⎛⎫
>-
=+- ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭ 2
1
1
1122n a n n n =
<
⎛⎫⎛⎫
+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
＝1111+22n n -- ． ……………6分 2
1
1
2
3
1
1
1
1
1
=n
k n
a a a a k
=+
+
++
∑
L
＝2
113
112
22
22
2
2
1
1
11151
5
1+1133
n
n
k k k k n n k ==⎛⎫<+-
=+-=
-<
⎪-
+
++
⎝⎭∑
∑ ………８分 (Ⅲ) 当1n =时,
1
1
13=<a ；当2≥n 时, ()()
2211
11
-===<=-+-+-k k k k k a k k k k k k k k k k k k k
＝1
1
1
k k
-
-； ……………１０
分
1
2
3
1
2
3
n
n
a a a a +
+
++
L =2
2
211111212131n
n
k
k k k k k n ==⎛⎫⎛⎫
+<+-=+-< -⎝
∑∑ ．……………１２
22．【解析】连结ＢＤ,过点Ｃ，作ＣＨBD ⊥于Ｈ，设ＢＤ=２x,则ＢＨ=ＨＤ=x ,
21,BC CD x ==-31
1.x -<< ……………２分 ()
2
2
222411x x ,2T BD CE x x ⎛⎫
=•=-=- ⎪⎝⎭
……………４分 ()
2
2
213sinA 1cos 24S AB AD A ⎛⎫=•=- ⎪⎝⎭
=4212.4x x -+- ……………6分
22
42241
24S T x x x x ∴+=-+-+- =2
237248x ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭
， 31 1.2x -<<当且仅当()
222max
3
7
,4
8,
x S T =
+=
……………８分 此时，23,1,120x BD BC CD BCD ====∠=o ……………１０分
23.【解析】（Ⅰ）证明：由11,0,0a b
a b a b a b ab
++=
+=>>，得1ab = 由基本不等式及1ab =，有22a b ab +≥=，即2a b +≥． ……………５分
(Ⅱ)因为得1ab =，1
,0,b a a
∴=>且 22+≤a a ，
得01<≤a ；从而1,b ≥ ∴()
2
21
2
1912444
b b b +=+
-
≥-= ， )22,,1b b b ⎡+∈+∞=⎣时取等号． ……………１０
分。