绝对值有关问题

第二讲 绝对值

一、绝对值的定义域性质

1、绝对值的定义：在数轴上，一个数所对应的点与 的距离称为该数的绝对值，记作 。

2、绝对值的性质：

（1） 绝对值的非负性，可以用下式表示：|a|≥0，这是绝对值非常重要的性质； （a ＞0）

（2） |a |= （a =0） （代数意义）

(a ＜0)

（3） 若|a |=a ，则a ；若|a |=-a ，则a ；

（4） 任何一个数的绝对值都不小于这个数，也不小于这个数的相反数，即 ，

且 ；

（5） 若|a |=|b |，则 或 ；（几何意义）

（6） |ab |= ；|

b a |= （b ≠0）； （7） |a |2= = ；

（8） |a+b | |a|+|b| |a-b| ||a|-|b|| |a|+|b| |a+b| |a|+|b| |a-b|

[例1]

（1） 绝对值大于2.1而小于4.2的整数有多少个？

（2） 若ab<|ab|，则下列结论正确的是（ ）

A.a ＜0，b ＜0

B.a ＞0，b ＜0

C.a ＜0，b ＞0

D.ab ＜0

（3） 下列各组判断中，正确的是（ ）

A ．若|a|=b ，则一定有a=b B.若|a|＞|b|,则一定有a ＞b

C. 若|a|＞b ，则一定有|a|＞|b|

D.若|a|=b ，则一定有a 2=(-b) 2

（4） 设a ，b 是有理数，则|a+b|+9有最小值还是最大值？其值是多少？

练习1：

1、 绝对值小于3.1的整数有哪些？它们的和为多少？

2、有理数a 与b 满足|a|>|b|，则下面哪个答案正确（ ）

A.a ＞b

B.a=b

C.a<b

D.无法确定

3、若|x-3|=3-x ，则x 的取值范围是____________

4、若a ＞b ，且|a|<|b|，则下面判断正确的是（ ）

A.a ＜0

B.a ＞0

C.b ＜0

D.b ＞0

5、设a ，b 是有理数，则-8-|a-b|是有最大值还是最小值？其值是多少？

[例2]

（1）若3|x-2|+|y+3|=0，则

x y 的值是多少？ （2）若|x+3|+(y-1)2=0，求n x

y )4(--的值

小知识点汇总：（本源 |a|≥0 b 2≥0）

若(x-a)2+(x-b)2=0,则 且 ；

若|x-a|+(x-b)2=0,则 且 ；

若|x-a|+|x-b|=0，则 且 ； 【例3】（1）已知x 是有理数，且|x|=|-4|，那么x=

（2）已知x 是有理数，且-|x|=-|2|，那么x=

（3）已知x 是有理数，且-|-x|=-|2|，那么x=

二、简单的绝对值方

（4）如果x ，y 表示有理数，且x ，y 满足条件|x|=5，|y|=2，|x-y|=y-x ，那么x+y 的值是多少？

6、若|x|=4，|y|=6，求代数式|x+y|的值

【例4】

解方程：（1）05|5|23=-+x （2）|4x+8|=12 （3）|3x+2|=-1

（4）已知|x-1|=2，|y|=3，且x 与y 互为相反数，求

y xy x 4312--的值

【例5】 若已知a 与b 互为相反数，且|a-b|=4，求

1

2+++-ab a b ab a 的值

【例6】

（1

） 已知a=-21，b=-31，求||

32|34|2|2|4)2(|42|2--+-+-++a b b a b a b a 的值 （2） 若|a|=b ，求|a+b|的值

（3） 化简：|a-b|

7、化简：（1）|3.14-π| （2）|8-x|（x ≥8）

【例7】有理数a ，b ，c 在数轴上对应点如图所示，化简|b+a|+|a+c|+|c-b|

8、已知a ，b ，c 在数轴上的位置如图所示，化简|a|+|c-b|+|a-c|+|b-a|

9、数a ，b 在数轴上对应的点如图所示，是化简|a+b|+|b-a|+|b|-|a-|a||

【例8】（1）若a<-b 且0>b a

，化简|a|-|b|+|a+b|+|ab|

（2）若-2≤a ≤0，化简|a+2|+|a-2|

（3）已知x<0<z,xy>0,|y|>|z|>|x|,求|x+z|+|y+z|-|x-y|的值

10、如果0<m<10并且m ≤x ≤10，化简|x-m|+|x-10|+|x-m-10|

三、化简绝对式

c b 0 a

a 0 c b

a 0 b

【例9】（1）已知x<-3,化简|3+|2-|1+x||| （2）若a<0，试化简||3|||3|2a a a a --

【例10】若abc ≠0，则

||||||c c b b a a ++的所有可能值

11、有理数a ，b ，c ，d ，满足

1||-=abcd abcd ，求d

d c c b b a a ||||||||+++的值

【例11】化简|x+5|+|2x-3|

12、化简：|2x-1|

【例12】求|m|+|m-1+|m-2|的值

|a|的几何意义：在数轴上，表示这个数的点离开原点的距离

|a-b|的几何意义：在数轴上，表示数a，b对应数轴上两点间的距离【例13】求|x-3|+|x-5|+|x-2|+|x+1|+|x+7|的最小值

题后小结论：

求|x-a

1|+|x-a

2

|+…+|x-a

n

|的最小值：

当n为奇数时，把a

1、a

2

、…a

n

从小到大排列，x等于最中间的数值时，该式子的值最小。

当n为偶数时，把a

1、a

2

、…a

n

从小到大排列，x取最中间两个数值之间的数（包括最中

间的数）时，该式子的值最小。体现了一个“向中心靠拢的思想”

1、设a

1、a

2

、a

3

、a

4

、a

5

为五个有理数，满足a

1

< a

2

< a

3

< a

4

< a

5

,求|x- a

1

|+|x- a

2

|+|x- a

3

|+|x-

a

4

|+|x- a

5

|的最小值

四、绝对值几何意义的