高中数学选修1课件1-2.3.2抛物线的简单几何性质

点．
2．抛物线的标准方程与对称性、焦点位置的关系
一次项为 x a＞0 时，焦点在 x 轴正半轴上，开口向右
y2＝ax
项，x 轴为对 称轴
a＜0 时，焦点在 x 轴负半轴上，开口向左
一次项为 y a＞0 时，焦点在 y 轴正半轴上，开口向上
x2＝ay
项，y 轴为对 称轴
a＜0 时，焦点在 y 轴负半轴上，开口向下
解析：(1)由题意得 F(1,0)，l 的方程为 y＝k(x－1)(k＞0)． 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)．
由yy＝2＝k4xx－1， 得 k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0. Δ＝16k2＋16＞0，故 x1＋x2＝2k2k＋2 4. 所以|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋1＋x2＋1＝4k2k＋2 4. 由题设知4k2k＋2 4＝8，解得 k＝1.因此 l 的方程为 y＝x－1.
以直线 AB 的方程为 y＝12x＋2，代入抛物线方程 x2＝8y，消去 x 整 理得 y2－6y＋4＝0，从而 y1＋y2＝6，所以|AB|＝10.
故线段 AB 的长为 10.
方法二 由题意设 A(x1，y1)，B(x2，y2)．由题意得抛物线的焦 点为(0,2)，故直线 AB 的方程为 y＝12x＋2，即 x－2y＋4＝0，
由xx－ 2＝28yy＋4＝0， 消去 y 得 x2－4x－16＝0， 则 x1 ＋ x2 ＝ 4 ， x1x2 ＝ － 16 ， 代 入 弦 长 公 式 |AB| ＝ 1＋k2[x1＋x22－4x1x2]得|AB|＝10. 方法三 由题意知线段 AB 为抛物线的焦点弦，已知直线 AB 的斜率为12，p＝4，代入焦点弦的斜率式|AB|＝2p(1＋k2)(由于抛物 线的焦点在 y 轴上，因此将抛物线 y2＝2px 对应的焦点弦的斜率式
跟踪训练 2 斜率为12的直线经过抛物线 x2＝8y 的焦点，且与 抛物线相交于 A，B 两点，则线段 AB 的长为________．
解析：方法一 由题意设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则对于抛物线 x2＝8y，焦点弦长|AB|＝p＋y1＋y2＝4＋y1＋y2.
因为抛物线 x2＝8y 的焦点为(0,2)，且直线 AB 的斜率为12，所
状元随笔 用代数法求解，要注意二次项系数为 0 的情况.
方法归纳
直线与抛物线交点问题的解题思路 (1)判断直线与抛物线的交点个数时，一般是将直线与抛物线的 方程联立消元，转化为形如一元二次方程的形式，注意讨论二次项 系数是否为 0.若该方程为一元二次方程，则利用判别式判断方程解 的个数． (2)直线与抛物线有一个公共点时有两种情形：①直线与抛物线 的对称轴重合或平行；②直线与抛物线相切．
又因为点 M 在抛物线上，所以 m2＝24，所以 m＝±2 6. 所以抛物线方程为 x2＝－8y，m＝±2 6，准线方程为 y＝2.
状元随笔
因为顶点在原点，焦点在 y 轴上，点 M(m，－3)位于第三或第 四象限，所以能确定所求抛物线方程为 x2＝－2py(p＞0)．
类型二 直线与抛物线的位置关系 例 2 已知直线 l：y＝kx＋1，抛物线 C：y2＝4x，当 k 为何值 时，l 与 C： (1)有一个公共点？ (2)有两个公共点？ (3)没有公共点？
解析：(1)联立抛物线 C：y＝2x2 和直线 l：y＝kx＋1，可得 2x2 －kx－1＝0，
所以 Δ＝k2＋8＞0，所以 l 与 C 必有两交点．
(2)设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则yx11＋yx22＝1①，因为 y1＝kx1＋1， y2＝kx2＋1，代入①，得 2k＋x11＋x12＝1②，由(1)可得 x1＋x2＝12k， x1x2＝－12，代入②得 k＝1.
解析：抛物线 C：y2＝3x 的焦点为 F43，0，所以 AB 所在的直 线方程为 y＝ 33x－34.
将 y＝ 33x－34代入 y2＝3x，整理得 x2－221x＋196＝0. 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，由根与系数的关系得 x1＋x2＝221，由 抛物线的定义可得|AB|＝x1＋x2＋p＝221＋32＝12. 答案：12
类型一 由抛物线的几何性质求其标准方程 例 1 求与抛物线 y2＝－16x 共顶点，对称轴是坐标轴，且焦 点在直线 x－2y－4＝0 上的抛物线的标准方程．
解析：∵抛物线的顶点在原点，焦点在坐标轴上，∴直线 x－ 2y－4＝0 与坐标轴的交点即抛物线的焦点，令 x＝0，得 y＝－2； 令 y＝0，得 x＝4，∴抛物线的焦点为 F0，－p2. 因为 M(m，－3)在抛物线上，且|MF|＝5，
m2＝6p，
所以
m2＋－3＋p22＝5，
解得mp＝＝4±2 6.
所以抛物线方程为 x2＝－8y，m＝±2 6，准线方程为 y＝2.
方 法 二 设 抛 物 线 方 程 为 x2 ＝ － 2py(p ＞ 0) ， 则 焦 点 为 F0，－p2，准线 l：y＝p2，如图所示，作 MN⊥l，垂足为 N，则|MN| ＝|MF|＝5，而|MN|＝3＋p2，所以 3＋p2＝5，即 p＝4.
状元随笔 (1)把直线方程和抛物线方程联立，代入消元后得
出一元二次方程，只需证明判别式大于零． (2)利用设而不求思想先设出点 A，B 的坐标，利用根与系数的
关系结合 OA 和 OB 斜率之和为 1，求出斜率 k 的值．
|AB|＝2p1＋k12中的1k变为 k)可得|AB|＝10.
状元随笔 求焦点弦的方法主要有：
①|AB|＝x1＋x2＋p ②|AB|＝ 1＋k2|x1－x2|
＝ 1＋k12(y1－y2) ③|AB|＝2p(1＋k2)
类型三 抛物线的综合应用 例 3 设抛物线 C：y2＝4x 的焦点为 F，过 F 且斜率为 k(k>0) 的直线 l 与 C 交于 A，B 两点，|AB|＝8. (1)求 l 的方程； (2)求过点 A，B 且与 C 的准线相切的圆的方程．
解析：将 l 和 C 的方程联立，得yy＝ 2＝k4xx＋，1， 消去 y，得 k2x2＋(2k－4)x＋1＝0.(*) 当 k＝0 时，方程(*)只有一个解，为 x＝14，此时 y＝1.
∴直线 l 与 C 只有一个公共点41，1，此时直线 l 平行于 x 轴．
当 k≠0 时，方程(*)是一个关于 x 的一元二次方程． ①当 Δ＞0，即 k＜1 且 k≠0 时，l 与 C 有两个公共点，此时直 线 l 与 C 相交； ②当 Δ＝0，即 k＝1 时，l 与 C 有一个公共点，此时直线 l 与 C 相切； ③当 Δ＜0，即 k＞1 时，l 与 C 没有公共点，此时直线 l 与 C 相离． 综上所述，(1)当 k＝1 或 k＝0 时，直线 l 与 C 有一个公共点． (2)当 k＜1 且 k≠0 时，直线 l 与 C 有两个公共点． (3)当 k＞1 时，直线 l 与 C 没有公共点．
＝144.
状元随笔
(1)先写出直线 l 的方程，并设出两个交点的坐标，再将直线方 程与抛物线方程联立，并利用焦半径的公式建立关于斜率 k 的方程， 解方程即可求解；(2)先由(1)求得 AB 的中点坐标，并求出 AB 的垂 直平分线，然后设出圆心坐标，并根据圆心在线段 AB 的垂直平分 线上与勾股定理建立方程组，解方程组可得圆心坐标，进而可得圆 的方程．
(2)由(1)得 AB 的中点坐标为(3,2)，所以 AB 的垂直平分线方程 为 y－2＝－(x－3)，即 y＝－x＋5.设所求圆的圆心坐标为(x0，y0)， 则
y0＝－x0＋5， x0＋12＝y0－x20＋12＋16，
解得yx00＝＝23， 或xy00＝ ＝－11，6.
因此所求圆的方程为(x－3)2＋(y－2)2＝16 或(x－11)2＋(y＋6)2
方程 (p＞0) (p＞0)
(p＞0)
x2＝－2py (p＞0)
图象
范围 对称
轴 顶点 性 质 焦点
准线
离心 率
_x≥ ___0_，__y∈__R_ x_≤__0_，__y_∈__R_ _x∈ ___R_，__y_≥__0 x_∈__R__，__y_≤__0
__x__轴
__y__轴
__F__p2_，__0___ __x_＝__－__p2___
2.3.2 抛物线的简单几何性质
知识导图
学法指导 1.类比研究椭圆、双曲线的几何性质的方法学习抛物线的几何 性质． 2．进一步掌握抛物线的定义，利用定义及焦半径解决与抛物 线的焦点弦有关的问题． 3．解决直线与抛物线的位置关系时，联想直线与椭圆、双曲 线的位置关系，常用解题方法——点差法、设而不求等．
方法归纳
利用抛物线的性质可以解决的问题 (1)对称性：解决抛物线的内接三角形问题． (2)焦点、准线：解决与抛物线的定义有关的问题． (3)范围：解决与抛物线有关的最值问题． (4)焦点：解决焦点弦问题．
跟踪训练 3 已知抛物线 C：y＝2x2 和直线 l：y＝kx＋1，O 为 坐标原点．
(1)求证：l 与 C 必有两交点； (2)设 l 与 C 交于 A，B 两点，且直线 OA 和 OB 斜率之和为 1， 求 k 的值．
[小试身手]
1．四种标准方程对应的抛物线有相同的( ) A．顶点 B．焦点 C．准线 D．对称轴
解析：四种标准方程对应的抛物线有相同的顶点，都是坐标原 点；但是，焦点、准线都不相同；抛物线 y2＝2px(p＞0)与 y2＝－2px(p ＞0)的对称轴为 x 轴，抛物线 x2＝2py(p＞0)与 x2＝－2py(p＞0)的对 称轴为 y 轴．
答案：A
2．设抛物线的顶点在原点，准线方程为 x＝－2，则抛物线的 方程是( )
A．y2＝－8x B．y2＝－4x C．y2＝8x D．y2＝4x
解析：由准线方程为 x＝－2，可知抛物线的焦点在 x 轴正半轴 上，且 p＝4，所以抛物线的方程为 y2＝2px＝8x.
答案：C
3．已知抛物线 C：y2＝x 的焦点为 F，A(x0，y0)是 C 上一点，
__O_(_0_,_0_) _ _F__－__p2_，__0__ __F__0_，__p2___ ___x_＝__p2____ __y_＝__－__p2___
_F__0_，__－__p2__ ___y_＝__p2____
e＝__1__
状元随笔 1.研究性质注意定义的应用
研究抛物线的性质时要记住：看见焦点想准线；看见准线想焦
高考导航 高考单独考查抛物线性质的题目不多，常考题型为： (1)直线与抛物线的位置关系，可以以任意题型出现，有一定难 度，另外焦点弦更是高考的命题热点，分值 5～12 分． (2)抛物线与向量、圆和椭圆等综合命题，一般作为压轴题，分 值 12 分左右.
知识点 抛物线的简单几何性质
标准 y2＝2px y2＝－2px x2＝2py
当焦点为(4,0)时，p2＝4，∴p＝8，此时抛物线的标准方程为 y2 ＝16x，准线方程为 x＝－4；
当焦点为(0，－2)时，p2＝2，∴p＝4，此时抛物线的标准方程 为 x2＝－8y，准线方程为 y＝2.
故所求抛物线的标准方程为 y2＝16x 或 x2＝－8y.
状元随笔
求解本题的关键是求焦点坐标，因为焦点在直线 x －2y －4 ＝0 上，因此要求直线与坐标轴的交点，注意交点应该有两个，因 此标准方程也有两个.
|AF|＝54x0，则 x0＝(
)
A．1 B．2
C．4 D．8
解析：抛物线 C：y2＝x 的焦点为 F41，0，因为 A(x0，y0)是 C
上一点，|AF|＝54x0，所以54x0＝x0＋14，解得 x0＝1. 答案：A
4．设 F 为抛物线 C：y2＝3x 的焦点，过 F 且倾斜角为 30°的直 线交 C 于 A，B 两点，则|AB|＝________.
方法归纳 用待定系数法求抛物线方程的步骤
提醒：求抛物线的方程时要注意抛物线的焦点位置，不同的焦 点设出不同的方程．
跟踪训练 1 已知抛物线的顶点在原点，焦点在 y 轴上，抛物 线上一点 M(m，－3)到焦点的距离为 5，求 m 的值、抛物线方程和 准线方程．
解析：方法一 由抛物线开口方向向下，可设抛物线方程为 x2